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Mostrando entradas de 2009

Sobre el go (2)

Cuaderno de bitácora: en abril de 2008, tuve la oportunidad de impartir un pequeño curso de go de tres días para profesores en el Centro de Profesores (CEP) de Montilla, Córdoba. Para ilustrar mis clases, realicé una presentación en diapositivas, dividida en tres partes, y recientemente, revisando los artículos que tengo en borrador y que todavía no he terminado para publicar en el blog, se me ha ocurrido incluir esas presentaciones aquí, para todo aquél que quiera contemplarlas.
Las presentaciones son amplias, 233 diapositivas entre las tres, y en ellas se explican los pasos básicos para aprender a jugar al go, pero además se habla ampliamente de los beneficios del go, del material que se emplea en las partidas, de la historia y la filosofía, de los niveles de juego, de la etiqueta durante el juego, y de las matemáticas en el go.
Las diapositivas necesitaron muchas horas de trabajo. Contienen muchas imágenes, gran parte de ellas son de jugadas y posiciones en el tablero, pero muchas …

Los Embajadores de Holbein

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Recuperamos otro artículo que ya apareció en doDK; para esta ocasión lo hemos actualizado y ampliado considerablemente.

Cuando estaba en el colegio, en cierto libro de texto que no logro recordar, encontré una foto del cuadro Los Embajadores, de Hans Holbein. En aquella época la pintura, como tantas otras, habría pasado desapercibida para mis ojos infantiles, si no hubiera sido por la extraña forma alargada que destacaba en la parte inferior del cuadro, forma que no encajaba con ninguna perspectiva y que me resultaba inquietante e incomprensible. Aunque los recuerdos se me mezclan con lo que luego he aprendido del cuadro, estoy dispuesto a asegurar que no tardé demasiado en darme cuenta de que para poder comprender la ilógica forma alargada se necesitaba observarla desde el correcto punto de vista: había que inclinar el libro y mirarlo casi de perfil, y entonces la forma perdía su longitud y se comprimía hasta verse el descifrado dibujo de una calavera.


Puede parecer sorprendente que a…

[El Problema de la Semana] Los cuatro cuatros

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¡Feliz Navidad a todos!
Recuperamos aquí otro problema clásico:

El problema de los cuatro cuatros consiste en obtener todos los números que se puedan con cuatro cuatros (ni uno más, ni uno menos) y las reglas de las operaciones aritméticas básicas. Concretando más, debemos encontrar la manera de escribir todos los números del cero al diez utilizando cuatro cuatros, los signos de sumar, restar, multiplicar y dividir, y los paréntesis.
Hay que tener en cuenta que para cada número puede haber varias formas de hacerlo. Como ejemplo, damos la obtención del cero:
0 = 4 + 4 − 4 − 4; o bien, 0 = 44 − 44
1 = ...
2 = ...
etc.

A continuación una imagen de relleno, y después, la solución. ¡No siga leyendo si quiere intentar resolver el problema por sí mismo!




Solución:

Hay varias posibilidades. Una de ellas podría ser:

1 = 44 : 44
2 = 4 : 4 + 4 : 4
3 = (4 + 4 + 4) : 4
4 = (4 − 4) · 4 + 4
5 = (4 · 4 + 4) : 4
6 = (4 + 4) : 4 + 4
7 = 4 + 4 − 4 : 4
8 = 4 + (4 · 4) : 4
9 = 4 + 4 + 4 : 4
10 = (44 − 4) : 4

Notas…

[El Problema de la Semana] Cuadrados correlativos

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Aquí tenemos otro problema de los que en su momento planteamos a los grumetes y luego publicamos en doDK:

Obsérvese las siguientes igualdades (se pueden comprobar que son ciertas):
32 + 42 = 52
102 + 112 + 122 = 132 + 142
212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272
Como ya se habrá dado cuenta, en cada igualdad los números van correlativos. ¿Sería capaz de encontrar otra igualdad como las anteriores pero con cinco sumandos en el primer término y cuatro en el segundo? Es decir, buscar una expresión:
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = f2 + g2 + h2 + i2
siendo a, b, c, d, e, f, g, h, i, números enteros consecutivos.

Abajo tenemos una imagen ilustrativa, y más abajo... ¡cuidado! ¡la solución!




Los números buscados son:
362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442
Este problema de los cuadrados correlativos se puede resolver por tanteo, pero también se puede resolver planteando una ecuación: llamamos x − 4, x − 3, x − 2, x − 1, x a los números a la izquierda del igual, y x + 1, x + 2, x + 3, x + 4 a los que…

La verdadera identidad de Monsieur LeBlanc

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Se puede decir, sin caer en la exageración, que los conflictos bélicos que se libraron a principios del siglo XIX fueron auténticas guerras mundiales, mucho antes de la Primera y la Segunda Guerra Mundial libradas en el siglo XX, porque las Guerras Napoleónicas involucraron a la mayoría de los países europeos, y los enfrentamientos se extendieron no sólo por toda Europa, sino por muchos otros puntos del globo terrestre, especialmente cuando esos enfrentamientos se dieron entre las flotas oceánicas de Inglaterra y Francia.
[ilustración extraída de http://www.kalipedia.com/]

Enmarcados en este clima de conflicto internacional, se encuentran los sucesos que vamos a narrar a continuación, y que forman parte de esa curiosa historia de las matemáticas que todo matenavegante culto debería conocer.
En octubre del año 1806, los ejércitos napoleónicos vencieron al ejército prusiano en la batalla de Jena, y desde ese momento, marcharon sobre Prusia con una celeridad inusitada, derrotando a las trop…

[El Problema de la Semana] El número de teléfono

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Este problema fue planteado a los grumetes hace varios años:

Cuando le pregunté el número de teléfono a un compañero, me dijo:

"Mi número tiene cinco cifras. Si le pones un 4 delante obtienes un número que es el cuádruple del que obtienes si le pones el 4 detrás."
¿Cuál es el número de teléfono de mi compañero?


A continuación ponemos una imagen ilustrativa, y más abajo... ¡la solución!


[en la foto, Graham Bell en 1892, haciendo la primera llamada de teléfono, de Nueva York a Chicago]

Para hallar el número de teléfono se puede plantear la siguiente multiplicación:

X Y Z T R 4 · 4 = 4 X Y Z T R

donde X Y Z T R es el número de teléfono del compañero, dígito a dígito.

Haciendo la multiplicación progresivamente por 4 obtenemos que el número pedido es:
X Y Z T R = 1 0 2 5 6


[El Problema de la Semana] Primos gemelos

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Éste es el nuevo problema de la semana planteado:
Algunas parejas de números primos se diferencian en 2 unidades. Diremos entonces que estos números son primos gemelos.
El número que hay entre los 2 números de cada pareja de primos gemelos tiene una curiosa propiedad: es un múltiplo de 6 (exceptuando la primera pareja de primos gemelos: 3 y 5).
Trate de dar una explicación convincente de esta propiedad.
A continuación, ponemos una ilustración, y debajo de ella... ¡cuidado, que viene la solución al problema!

[en la imagen, los gemelos Fred y George Weasley, personajes de los libros de Harry Potter]

Se trata de demostrar lógica y matemáticamente la propiedad enunciada arriba. Veamos: todos los números primos salvo el 2 son impares. Si una pareja de números primos, a y b, son gemelos, es decir, se diferencian en dos unidades, entonces ambos primos son impares, (porque el 2 no tiene ningún gemelo, ya que ni el 0 ni el 4 son primos). Entonces el número que hay entre ellos, llamémosle x, es par, …

[El Problema de la Semana] Las patatas fritas

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Esta semana les hemos puesto a los grumetes el siguiente problema:

Tres viajeros se detienen en un bar para cenar, pero el cocinero sólo puede ofrecerles patatas fritas. Los viajeros se duermen agotados. Uno de ellos se despierta, se come la tercera parte de las patatas y se vuelve a dormir. Al poco se despierta otro, que se come la tercera parte de las patatas restantes. El tercero hace lo mismo. El cocinero vuelve a la mesa y se encuentra a los tres viajeros dormidos y ocho patatas en el plato. ¿Cuántas había al principio?

La solución se explica más abajo de la ilustración. Ya sabe que si quiere intentar el problema usted por sí solo, ¡no debe seguir leyendo!



El problema se puede solucionar bien por tanteo, bien mediante el planteamiento de un esquema con fracciones, bien con una ecuación.
Nosotros lo vamos a resolver usando fracciones.
El primer viajero se come 1/3 de las patatas, luego deja 2/3 sin comer.
El segundo viajero se come 1/3 de las que quedan, y 1/3 de 2/3 es exactamente 2/9 …

[El Problema de la Semana] El cumpleaños

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Creo que este problema o acertijo puede ser muy interesante:
Antonio me comentaba el otro día: anteayer tenía 22 años, pero el año próximo tendré 25. ¿Cuándo es mi cumpleaños?
Recuérdese que la solución está incluida más abajo. Si quiere resolverlo por sí mismo, STOP! ¡no siga leyendo!

Solución: El cumpleaños de Antonio es el 31 de diciembre. Hoy es 1 de enero. Anteayer era 30 de diciembre, y tenía 22 años. Ayer era 31 de diciembre, cumplió años, y tiene 23 años desde ayer hasta el 31 de diciembre del presente año, en que cumplirá 24. El 31 de diciembre del año que viene cumplirá 25. Comprendo que la solución puede ser difícil de comprender. Si le cuesta entenderla, pregúntese primero ¿qué día es hoy (entendiendo por "hoy" el día en el que está hablando Antonio)? Hágase un esquema con un calendario. Estos problemas de calendarios y tiempos son complicados. No desespere.

El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Caleidoscopios

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Cuaderno de bitácora: supongo que todos los que ven por primera vez un caleidoscopio quedan fascinados por él. A mi me enseñaron uno cuando era pequeño, y me pareció algo precioso, y ya de mayor he podido comprar un par de ellos que en su día encontré en algunos mercados portuarios de cierto país costero.

El funcionamiento de un caleidoscopio es muy sencillo. El corazón del aparato, lo que le da vida, son dos espejos alargados rectangulares unidos por uno de sus lados mayores, formando un ángulo determinado. Esos dos espejos se colocan dentro de un tubo, uno de cuyos extremos se utilizará como abertura para ver la imagen, y el otro se cierra habitualmente con un cristal o plástico transparente y sobre él un papel o plástico translúcido. Entre el cristal transparente y el plástico translúcido, se suelen colocar pedacitos sueltos de cristal o plástico de colores, para que al mover el caleidoscopio o agitarlo vayan adquiriendo nuevas posiciones, formando patrones cambiantes y siempre nuev…

Tres cuartos de asesinato

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Cuaderno de bitácora: como quiera que en las largas horas de matenavegación también dedico tiempo a mi amor por la literatura, desde hace meses he estado leyendo poco a poco Las aventuras del buen soldado Svejk, de Jaroslav Hasek, "una de las novelas más hilarantes y subversivas de la literatura universal, en la que se da vida al entrañable y humilde soldado Svejk, enrolado en el ejército austrohúngaro durante la Primera Guerra Mundial" y en la que aparece inesperadamente un pasaje curioso que no me resisto a reflejar en el blog. Svejk, debido a una circunstancia estúpida, pierde el tren con destino a Budejovice, tren que le tenía que llevar a incorporarse al regimiento 91, al que pertenece. Entonces decide dirigirse a Budejovice a pie, atravesando pueblo tras pueblo, y en uno de esas poblaciones es arrestado por los gendarmes y acusado de deserción o, lo que es peor, de espionaje. El centinela llevó a Svejk al despacho. El jefe de los gendarmes lo invitó a sentarse con un ges…

[El Problema de la Semana] El concurso de música

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Otro de los problemas que en su momento incluí en doDK es el que traemos a continuación. Es un problema muy sencillo. Recuérdese que más abajo se incluye la solución del problema. El lector que quiera resolverlo por sí mismo no debe leer más allá de la ilustración.
En un concurso de música han acudido siete participantes, y el jurado ha decidido que participen en el siguiente orden: Dolores Pérez, Remedios García, Miranda Fernández, Fátima Rosales, Soledad Moreno, Laura Martín, Silvia Hermosillo. Las concursantes aceptan el orden de participación pero se preguntan el porqué de dicho orden.
¿Sabrías tú explicar por qué el jurado ha decidido que participen en dicho orden?
[En la imagen, la cantante de jazz Diana Krall. Fotografía de Skip Bolen]
Solución: el orden se ha seguido según la propia escala musical; si nos fijamos en las primeras letras de cada nombre nos daremos cuenta de que coinciden con las notas musicales.

Sobre Gauss

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Recuperamos otro de los restos del naufragio de doDK, una biografía sobre uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos.
Gauss, un genio sobrehumano Hay quien afirma que Carl Friedrich Gauss ha sido el más grande de los matemáticos y quizás el genio más dotado de cuantos se tiene noticia. En él se dieron cita tantas cualidades que resulta una figura enigmática para el mundo científico, una figura que se sale del ámbito de lo humano y entra en lo sobrehumano. Tenía intuición, originalidad, potencia y capacidad por encima del resto de científicos, y una persistente tenacidad, y sus descubrimientos fueron extraordinariamente diversos y profundos. Nació en 1777 en Brunswick, al norte de Alemania. Desde pequeño mostró una extraordinaria capacidad para los números. Se dice, por ejemplo, que Gauss fue un niño prodigio al estilo de Goethe o Mozart, cada uno en su campo. Goethe, cuando tenía seis años, escribía y dirigía pequeñas obras para un teatro de marionetas; Mozart, con cinco…

[El Problema de la Semana] El papel doblado como una malla hexagonal

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Recuperamos hoy otro problema, publicado ya en doDK, que más que problema podríamos denominar pasatiempo, juego o truco de magia. Se trata de tomar un folio o una cuartilla de papel, y sin ayuda de ningún medio exterior, tan solo con las manos, doblarlo de forma que los dobleces aparezcan formando una especie de malla hexagonal, igual que las de algunas alambradas, como en la ilustración: Es éste un juego que casi todos los cursos les enseño a los grumetes. Lo aprendí en el libro de Martin Gardner, Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. Transcribo a continuación lo que Gardner comenta en el libro sobre el truco: El truco de la alambrada Este extraño truco de salón se debe a Tan Hock Chuan, mago profesional chino que vive en Singapur. Chuan se lo describió en una carta a Johnnie Murray, un prestidigitador aficionado de Portland, Maine, quien me lo hizo llegar. Una cuartilla corriente, de unos 20 por 13 cm, es marcada por un observador, a fin de poderla identificar luego. El ma…

El hundimiento de doDK

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Cuaderno de bitácora: lo que temíamos desde hace semanas ha sucedido por fin: doDK ya no existe. Fue precisamente en octubre de 2003 cuando iniciamos la andadura por la Matenavegación, y creamos doDK, una página web alojada en Geocities, de Yahoo. En ella, con ilusión, fuimos incluyendo algunos artículos, pasatiempos, problemas, curiosidades, anécdotas, chistes... lo que nos parecía interesante en aquellos momentos. Pasó el tiempo y descubrimos Blogger y el fenómeno de los blogs, y decidimos abrir éste en el que estamos embarcados, con el nombre de El Matenavegante, y nos dimos cuenta que nos gustaba el formato de los blogs, y que trabajar con ellos era sencillo y ágil. Como no manejo mucho el mundo de las páginas web, y tan sólo sé hacer unas cuantas cosas muy sencillas, me pareció que, de momento, trabajar a través del blog era lo más adecuado para lo que buscaba, y doDK se quedó como una página estática que poco a poco dejé de actualizar. Así ha permanecido durante meses y años amarrad…