23.11.17

El Folio de Cuatro Caras

Cuaderno de bitácora: otra actividad que hemos recogido del libro Bricológica (ver el artículo de las papirolas) y que hemos compartido con los grumetes es el llamado "Folio de Cuatro Caras".

Se trata de una forma de plegar un folio para que luego, aunque parece tener dos caras, podemos hacer aparecer hasta cuatro, desdoblándolo por el centro de las caras de manera sorprendente e inesperada.

Primero tomamos un folio normal blanco tamaño A4 (en realidad el tamaño y el color del folio importan poco). Preparamos el folio, dividiéndolo en 3 filas por 4 columnas por delante y por detrás, y dibujamos en cada uno de los cuadrados que nos han salido un número del 1 al 4 tal y como se indica en los gráficos adjuntos. También se subraya en la "cara delantera" tres segmentos por los que hay que cortar con unas tijeras o un cúter para hacer una "ventana".

Esta es la "cara delantera" del folio. Al centro observamos tres segmentos por los que hay que cortar, que abrirán una especie de ventana lateral. Más abajo veremos cómo se pliega esa ventana.

Esta es la "cara trasera" del folio.

A continuación vamos a ver una secuencia de fotografías de cómo preparar el folio y de cómo cortarlo y plegarlo.

Se dobla el folio por la mitad

Se vuelve a doblar por la mitad, así vamos a obtener las cuatro columnas necesarias.

Sin desplegar todavía, se dobla por dos dobleces de forma que nos queden tres partes de igual longitud.

Desplegamos el folio, y si lo hemos hecho bien, ahora los dobleces marcados nos dividen el folio en tres filas por cuatro columnas, cada espacio aproximadamente cuadrado.

Dibujamos en la "cara delantera" los números y señalamos las líneas de corte (en azul).
Recordamos que estas líneas son tres segmentos, uno arriba, otro abajo, y uno a la izquierda. En la derecha no hay segmento.

Le damos la vuelta al folio y en la "cara trasera" dibujamos el otro grupo de números.

Procedemos al corte por los segmentos señalados. Para hacerlo de forma fácil, doblamos el folio por la mitad y hacemos dos cortes, uno arriba...

... y otro abajo.

Desdoblamos el folio y terminamos el último corte, el del segmento de la izquierda.

Se obtiene una ventana central.

Doblamos la ventana central hacia la derecha, como indica la foto.

El extremo de la ventana (el que tiene el número 1) lo doblamos hacia atrás, rodeando el folio.

Ahora doblamos la columna de la izquierda, "enrollándola" hacia la derecha.

Volvemos a doblar la columna de la izquierda, "enrollándola", y terminando los dobleces.
Si lo hemos hecho bien, nos debe quedar como en la imagen, todo lleno del número 2.

Le damos la vuelta al folio, por la parte de atrás debe quedar como en la imagen.
El 1 central de la izquierda lo vamos a unir con celofán adhesivo al 1 de la derecha.

Colocamos celofán adhesivo entre los dos 1 centrales, uniéndolos.
Es importante que el celofán no se pegue a otras partes que haya debajo de los 1, ni que sobrepase la anchura del centro.
Nuestro Folio de Cuatro Caras ya está listo.
En la imagen vemos la Cara 1.

Si le damos la vuelta tenemos la Cara 2, pero ¿dónde están las caras que faltan?

Doblamos la Cara 2 por la mitad y hacia atrás, y abrimos por el centro de la Cara 2.

¡Con sorpresa veremos que se puede abrir y que aparece la Cara 3!

Ahora seguimos doblando la Cara 3 por la mitad y hacia atrás, y buscamos abrirla por el centro.

¡Y aquí está la Cara 4!

El Folio de Cuatro Caras es una actividad simpática y fácil, y se puede presentar como si fuera un truco de magia.

También es una actividad que podemos ampliar: hemos empleado números para dibujar en los cuadrados, pero los números se pueden sustituir por letras o por dibujos.

Además, con los cuatro números repetidos no se puede apreciar, pero si hacemos dibujos diferentes por columnas veremos que la configuración no aparece igual en la Cara 2 y en la Cara 3 según las abramos. Si vamos de la Cara 1 a la Cara 2, la Cara 2 aparece de una forma; si vamos de la Cara 3 a la Cara 2, la Cara 2 aparece con las columnas intercambiadas respecto a la forma anterior. Lo mismo ocurre con la Cara 3, no es lo mismo ir de la Cara 2 a la 3 que ir de la 4 a la 3, la Cara 3 aparece con las columnas en orden diferente según el camino por el que llegamos a ella. Repetimos: esto no se aprecia cuando estamos dibujando todos los números iguales.

Por otro lado, el diseño de este Folio no está limitado a las Cuatro Caras. Se puede hacer un Folio de Seis Caras, de Ocho Caras, etc., siempre en número par. Por ejemplo, para el Folio de Seis Caras, tenemos que dividir el folio en tres filas y 6 columnas, y colocar en la "cara delantera" los números:

6  6  5  4  3  2
2  3  4  5  6  6
6  6  5  4  3  2

También hay que dibujar una ventana central, similar a la que hemos hecho con el Folio de Cuatro Caras y que abarque el grupo central de números: 3  4  5  6. Por la "cara trasera" dibujaremos los números:

1  1  2  3  4  5
5  4  3  2  1  1
1  1  2  3  4  5

El sistema de corte y de plegado del Folio de Seis Caras es completamente similar al del Folio de Cuatro Caras, y dejamos al lector que experimente por sí mismo. Observando cómo es la distribución de los números en Cuatro Caras y Seis Caras, no es difícil imaginarse cuál es la distribución para un Folio de Ocho Caras. Igualmente, se pueden construir Folios más elaborados, que en lugar de tener una sola ventana tengan dos. Para ello basta con dividir el folio en cinco filas, en lugar de en tres, repitiendo alternadamente las filas. Y de dos ventanas podemos pasar a tres, a cuatro o las que se quieran.

Espero que esta construcción sea un entretenimiento exitoso.

19.11.17

Kolam (2) : Aspectos Aritméticos

Una vez que hemos aprendido a realizar las formas básicas del kolam, nos gustaría comentar en esta sencilla entrada algunos aspectos aritméticos bastante interesantes, en los que interviene el máximo común divisor de dos números.

En nuestro ejemplo de kolam básico 3×3 eran necesarias 3 curvas para completar el kolam. ¿Será una coincidencia lo del 3? No, como ya veremos: en un kolam cuadrado o rectangular se puede calcular de antemano el número de curvas que van a salir.

Cuando la trama es 3×3 pivotes, necesitamos 3 curvas cerradas diferentes para completar el kolam.

También pusimos un ejemplo de kolam 2×3, en él bastaba una curva para recorrer todo el kolam.

En esta trama 2×3 sólo ha sido necesaria 1 curva que, haciendo todas los giros y rebotes, ha completado el kolam.

Probemos ahora con un rectángulo 3×4. Se puede comprobar que el kolam también se completa con una sola curva.

Para el kolam de 3×4 empezamos en cualquier punto x y vamos recorriendo las diagonales.

Comprobaremos que todas las diagonales van siendo repasadas en un solo trazo.


Finalmente la curva se cierra sobre sí misma. Sólo ha sido necesaria una curva para recorrer todas las diagonales.

Si probamos ahora con un rectángulo 4×6 veremos que necesitamos 2 curvas distintas.

Esta es una de las 2 curvas del kolam 4×6.

Aquí tenemos el kolam 4×6 completo, con sus dos curvas, la primera en azul y la segunda en verde.

En general, si el rectángulo de pivotes es m×n, para completar el kolam necesitamos un número de curvas igual al máximo común divisor de m y n. Veamos más ejemplos.

Tenemos el rectángulo 6×9, sabemos que el máximo común divisor de 6 y 9 es 3, por lo tanto es de esperar que sean tres las curvas cerradas que componen el kolam.

Esta es la primera curva. 

La segunda curva del kolam 6×9 es una versión agrandada de la curva 2×3 (véase el gráfico de más arriba). Proponemos al lector que investigue las condiciones para que curvas pequeñas se repitan en tamaño mayor.

La tercera curva.

El kolam 6×9 completo, con sus tres curvas.
También podemos comprobar que en el rectángulo 6×8 está compuesto por 2 curvas, ya que su máximo común divisor es 2. Se puede observar que dividiendo este kolam por la mitad obtenemos dos kolam 4×6.



El rectángulo 6×8 completo con sus dos curvas.

Y un último ejemplo, el rectángulo 4×8, con 4 curvas, correspondientes al máximo común divisor de 4 y 8. Se puede observar, igual que en el anterior, que si dividimos este kolam por la mitad obtenemos dos kolam 4×4.





El kolam completo 4×8, que en realidad es un kolam 4×4 duplicado.

Como se puede comprobar, ya con números pequeños empiezan a salirnos kolam interesantes y con bastantes volutas. ¿Qué será dibujar un kolam 18×24, compuesto de 6 curvas? ¿Y dibujar un kolam 35×49, compuesto de 7 curvas? La tarea se agranda con rapidez conforme nos imaginamos parejas de números cada vez más grandes con máximos comunes divisores también mayores.

En la siguiente entrada sobre el Kolam, veremos cómo se pueden ampliar los tipos de dibujos, cambiando la distribución de las tramas de pivotes, dejando huecos dentro de las tramas, e introduciendo entre los pivotes muros que excluyen del dibujo a ciertos puntos x para impedir que las curvas pasen por ellos. Todos los kolam se pueden dibujar siguiendo las reglas básicas de identificar los puntos x que contiene la trama, y trazar diagonales que pasen por dichos puntos x, usando los pivotes para girar la línea hasta encontrar el punto x más próximo y la siguiente diagonal.

18.11.17

Sudoku de letras (6)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  E  I  M  N  O  P  S

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: el que vive y trabaja en el campo.


14.11.17

[El Problema de la Semana] Noche fría

Este es un problema muy adecuado para las temperaturas que estamos empezando a sufrir.

-¿Recuerdas aquella noche fría del año pasado, la primera verdadera nevada en muchos años? -preguntó Tony-. Tú querías que condujera hasta el centro.
-No lo hiciste, y por eso nos perdimos una buena fiesta -replicó Nina-. No lo olvido. ¿Qué temperatura hacía?
-Una temperatura bastante curiosa -respondió su marido después de pensarlo-. El número de grados Fahrenheit y el de grados Celsius terminaban ambos en 5.

¿Qué valores son esos?

La solución, tiritando, más abajo.

Este diseño ha sido tomado de Vexels. Es un ejemplo de la colección "copo de nieve". Sin embargo no coinciden con la forma de los copos reales. Los copos de nieve reales tienen una forma hexagonal (seis puntas) y en este diseño, todos los "copos" tienen una forma octogonal (ocho puntas). Aunque los dibujos son parecidos a los copos de nieve de verdad, matemáticamente sería como dibujar un perro con seis patas, o un pájaro con cuatro alas.

Solución:

Debemos buscar la manera de convertir grados Celsius en Fahrenheit o al revés. Hay un par de fórmulas que relacionan un tipo de grados con otros. Por ejemplo tenemos la fórmula:

F = 1.8 · C + 32

Donde C es la cantidad en grados Celsius o centígrados y F el resultado en grados Fahrenheit. Ahora basta ir probando con cantidades en Celsius que terminen en 5, sin olvidarse de los números negativos.

Para 5º C, su temperatura equivalente es 41º F.
Para 15º C, su temperatura equivalente es 59 º F.
Para 25º C, su temperatura equivalente es 77º F.
Para 35º C, su temperatura equivalente es 95º F. ¿Hemos encontrado la respuesta? ¡No! ¡El problema nos dice que la noche es fría, no calurosa! Hay que buscar temperaturas más bajas.

Para -5º C, su temperatura equivalente es 23º F.
Para -15º C, su temperatura equivalente es 5º F. ¡Eureka! ¡Ésta es la temperatura!

La solución por tanto es -15º C, o lo que es lo mismo, 5º F.

Ampliación: la fórmula que relaciona los grados Celsius con los Fahrenheit es un ejemplo de función lineal. La variable independiente es C, y la dependiente es F. Resolver este problema de la semana equivale a darle valores enteros terminados en 5 a la variable dependiente C hasta encontrar en F un valor correspondiente también entero y terminado en 5.

La función se puede representar gráficamente. Su gráfica es una línea recta, de pendiente 1.8.

Gráfica de la función que relaciona grados Celsius con Fahrenheit. Está señalado el punto solución del problema.
La gráfica está hecha con el programa Geogebra.

Nota: este problema ha sido extraído del libro de Jaime Poniachik: Situaciones problemáticas.

13.11.17

Kolam (1) : Iniciación

Cuaderno de bitácora: en nuestros viajes por los matemares, hemos hallado otra de esas joyas que se encuentran entre las matemáticas, el arte y el folklore de los pueblos: el Kolam. Esta joya también la hemos obtenido de ese cofre-libro titulado Bricológica (ver la entrada sobre Papirolas).

Si nos vamos acercando al Kolam desde un punto de vista matemático, descubriremos que sus inicios son muy simples. En nuestros ratos aburridos es normal que a veces dibujemos garabatos en un papel de nuestro cuaderno, de un periódico, o del margen de un libro. Algunos garabatos pueden ser simples curvas cerradas. Esas curvas se pueden enredar sobre sí mismas, cortándose, haciendo nudos. Para que esos nudos se dispongan de una forma geométrica regular, nos ayudamos de puntos que harán de pivotes de giro.

Si queremos empezar desde lo más sencillo, podemos empezar de cero: la curva cerrada más simple es un círculo o un óvalo (un cero) que gira alrededor de un centro o pivote. La siguiente curva en orden de sencillez es un 8, o el símbolo del infinito, que se retuerce con ayuda de dos pivotes. A partir de ahí, podemos ir añadiendo pivotes y volutas y construir curvas cada vez más complejas.

El Kolam empieza desde lo más simple: una curva que rodea un punto (un cero) o que rodea dos puntos (el infinito) o que rodea a tres puntos...

También podemos combinar varias curvas cerradas y hacer que sus cruces se combinen con las volutas de las propias curvas.

Aquí tenemos ejemplos de varios kolams simples sobre tramas de pivotes cada vez más amplias. Cada curva cerrada ha sido dibujada de un color diferente

El Kolam en su forma básica, consiste precisamente en esto: curvas cerradas combinadas que se curvan en torno a pivotes, que se cruzan y se cortan a sí mismas y unas a otras, formando motivos geométricos.

Para construir el Kolam nos guiamos por una cuadrícula básica. En dicha cuadrícula vamos a señalar los puntos que nos van a servir de pivotes, separados entre sí dos cuadritos en cada dirección.

Aquí tenemos una sencilla trama de pivotes de tamaño 4×4.
Obsérvese que los pivotes están separados dos cuadritos en cada dirección.

Tomando como referencia los pivotes básicos, que delimitan una trama cuadrada de 2×2 cuadritos, hay otros dos tipos de puntos:

Por un lado tenemos los puntos que se encuentran al centro de cada grupo de cuatro pivotes; a estos puntos los vamos a llamar puntos vacíos, pues por ellos no va a pasar ninguna curva, tan solo serán huecos en el dibujo.

En el centro de cada cuadrado de cuatro pivotes hay un punto vacío, que aquí representamos en color azul.
Por ellos no pasan las curvas del kolam.

Por otro lado tenemos los puntos que están entre cada dos pivotes, a la misma distancia de cada pivote; a estos puntos los llamamos puntos de diagonal o puntos x, pues por ellos van a pasar las curvas del kolam en diagonal, cruzándose y formando una x.

Hemos señalados los puntos x en rojo. Las líneas del kolam siguen las diagonales de puntos x.

Este es el kolam terminado.

Es muy importante tener claro cuál es el papel de cada punto, y aquí lo resumimos: los puntos pivote por ellos no pasan las curvas, pero sí son rodeados por las curvas; los puntos vacíos por ellos no pasan las curvas, permanecen al margen de todos los movimientos; los puntos x son por los que sí pasan las curvas, y en todos hay un cruce en forma de x, salvo en aquellos que expresamente han sido excluidos del paso de las curvas.

Una vez que tenemos claro los tipos de puntos que hay en la cuadrícula, el siguiente paso es definir el grupo de pivotes sobre el que se trazará el kolam, aclarando cuáles serán los límites del dibujo.

Para empezar podemos dibujar una trama de puntos pivote cuadrada o rectangular: empecemos por un cuadrado de 3×3:



Dibujamos la primera curva, empezando en uno de los puntos x entre dos pivotes, y siguiendo la diagonal para pasar por los demás puntos x. El recorrido de la línea debe ser recto y no debe torcerse hasta alcanzar el final de la trama. En ese momento en que nos salimos de la trama giramos alrededor del pivote correspondiente más cercano, buscando el siguiente punto x. El giro puede ser de 90º, de 180º, de 270º o incluso de 360º, pero siempre debemos hacer el mínimo giro necesario.

La curva, después de un recorrido más o menos largo, regresará a su punto de partida y quedará cerrada.

La línea empieza en un punto x, siguiendo una diagonal sin desviarse, hasta que sale de la trama.
Entonces gira alrededor del pivote más próximo.
En este ejemplo ha tenido que dar un giro de 180º para regresar a la trama y continuar por otra diagonal.

Continuamos la línea por la diagonal, y cuando nos salimos de la trama hacemos los giros necesarios para regresar a ella.
Finalmente la línea vuelve a su punto de partida y la curva se cierra.

Si partimos de otro punto x, tenemos otra curva. En este ejemplo, la línea al salir de la trama "rebota" o regresa a la trama dando un giro de 90º 

Aquí tenemos la curva completada.

En el ejemplo de 3×3 esta es la curva que falta.


Y aquí la tenemos completada.

Kolam 3×3 completo con tres curvas.

Hay kolams que están formados por varias curvas cerradas como el de 3×3. Pero hay otros que una sola curva completa el kolam. Veamos el ejemplo del kolam 2×3:

Empezamos en cualquier punto x.

Continuamos el dibujo siguiendo las diagonales y girando en los pivotes de los extremos.

La línea regresa al punto de partida, pero por una diagonal diferente, por lo tanto prosigue su recorrido sin cerrarse. 

La línea completa su recorrido.

Como regla general, todos los pivotes deben quedar completamente rodeados por curvas. Cuando cerramos una curva debemos comprobar si todos los pivotes están rodeados y si hemos pasado por todos los puntos x posibles, cruzando dos curvas en cada punto x siguiendo las dos diagonales; si no fuera así elegimos un punto x por el que falte alguna curva y comenzamos un nuevo trazo.

En próximas entradas continuaremos explicando más aspectos del kolam.