29.1.10

[El Problema de la Semana] Mentirosos y veraces

Esta semana hemos propuesto un problema de lógica:

Un antropólogo llegó a la isla de los mentirosos y de los veraces, en la que viven dos clases de habitantes: los que siempre mienten (mentirosos) y los que siempre dicen la verdad (veraces).
Se encontró con tres nativos, Abel, Beto y Carlos. Se dirigió a Abel y le preguntó: "¿Son Beto y Carlos ambos veraces?". Abel respondió que sí.
Entonces le volvió a preguntar: "¿Beto es veraz?". ¡Para su sorpresa, Abel respondió que no!
¿Se puede determinar quién es veraz y quién es mentiroso?

Dejamos un espacio en blanco para que quepa la siguiente ilustración y luego solucionamos el problema.

[Encuentro, grabado de M. C. Escher]

Solución: Abel, al responder de forma contradictoria, tiene que ser mentiroso. Si es mentiroso, siempre miente, y si ha afirmado que Beto no es veraz, entonces sí lo es. Como Beto es veraz, Carlos no puede serlo, porque si lo fuera, entonces la primera respuesta de Abel sería verdad, pero Abel miente. Por tanto, Carlos también es mentiroso.
Resumiendo, Abel es mentiroso, Beto es veraz y Carlos es mentiroso.

Notas: este problema ha sido extraído del libro El Mentor de Matemáticas, editorial Océano.

22.1.10

[El Problema de la Semana] Criptosuma

Éste es el problema que los grumetes han tenido que resolver esta semana:

Las criptosumas son sumas en clave. Cada cifra ha sido reemplazada por una letra diferente: a igual letra corresponde la misma cifra. Nunca un número comienza por cero. ¿Qué suma se oculta en la siguiente criptosuma?



La solución un poco más abajo de la foto.


[En la foto podemos contemplar un modelo de la máquina Enigma, que los nazis usaron durante la Segunda Guerra Mundial para encriptar los mensajes y que los aliados no pudieran conocer sus movimientos. Muchos matemáticos, entre ellos el polaco Marian Rejewski y el británico Alan Turing trabajaron durante varios años hasta descifrar el sistema de la máquina. Se dice que conseguir la clave para desencriptar los mensajes alemanes fue uno de los factores más importantes para la victoria del bando aliado en la Segunda Guerra Mundial, y permitió que la guerra terminara al menos dos años antes que de no haberse descifrado]

Solución: cada letra debe ser sustituida por un dígito. Empezamos por la S, y vemos en la columna de la derecha que si sumamos S + S + S da algo que termina en S. Entonces la S puede ser el 0, o bien el 5, ya que 0 + 0 + 0 = 0, 5 + 5 + 5 = 15, y los demás números no son candidatos, porque ninguno de ellos sumados tres veces da algo que termine en lo mismo (compruébese). S no puede ser 0, porque entonces el número simbolizado por SEIS empezaría por cero y eso no está permitido; por tanto S = 5.
Si S = 5 y nos fijamos en la columna de la izquierda, donde sumamos T + T, deducimos fácilmente que T = 2, y que nos llevaríamos 1 de la columna R + R (luego R debe ser un número mayor que cinco).
Lo más laborioso es encontrar a qué equivale E, y esto sólo se consigue probando uno a uno con todos los números que nos quedan libres, 0, 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9. Razonando sobre si el número es par o impar, y teniendo en cuenta que el 2 y el 5 ya están usados, podemos ir descartando posibilidades; por ejemplo, si E = 0, entonces I = 1, pero R + R daría algo terminado en 0, y por tanto R = 0 ó 5, y esto no es posible ya que ambos números ya estarían asignados a E y a S respectivamente. Si E = 1, entonces I = 3 y al sumar las E no me da un número mayor de diez, luego al sumar R + R daría un número par, pero E es impar, lo cual es contradictorio, etc.
Probando de esta manera uno por uno, podemos comprobar que el único número que no entra en contradicción con lo obtenido anteriormente es E = 3, y de aquí deducimos que I = 0, y que R = 6.
La criptosuma oculta es la siguiente:


Notas: este problema ha sido extraído del libro El Mentor de Matemáticas, editorial Océano.

15.1.10

[El Problema de la Semana] División en cuatro trozos

El problema de hoy es de esos que tienen una solución ingeniosa, de las que son producto de la inspiración del momento, más que de un razonamiento estándar.

Nos han dado una plancha de madera con la forma que tiene la figura (un rectángulo al que le falta la cuarta parte). Debemos partirla en cuatro trozos exactamente iguales. ¿Cómo podemos hacerlo?

Como siempre, dejamos un espacio con una imagen, y más abajo la solución al problema.


[el motivo de que incluyamos esta ilustración con el número pi está indicado al final de esta entrada, en las notas]


Solución: la forma correcta de cortar la plancha sería la del siguiente gráfico:

Así obtenemos cuatro trozos iguales, aunque no tienen la misma orientación. Estamos suponiendo que las dos caras de la plancha de madera son iguales, y por tanto, a los trozos con distinta orientación se les podría dar la vuelta para estuvieran todos igualmente orientados. Es curioso que los trozos resultantes son semejantes a la forma de la plancha original, aunque en pequeño.

Ampliación: cuando propuse este problema a los grumetes hace años, casi todos me contestaron de otra forma, que en principio di por buena. La partición que ellos hicieron fue ésta:


Esta partición puede ser válida porque en el gráfico original, la altura de la figura parece coincidir con la mitad de la longitud total, con lo que da la sensación de que si cortamos la mitad derecha, a la izquierda nos queda un cuadrado. Pero si lo medimos con exactitud, veremos que no es exactamente cuadrado, ni se pretendía que lo fuese. De hecho, si el gráfico hubiera estado un poco más achatado o comprimido, como por ejemplo:

En este caso la primera partición seguiría dando trozos iguales:

 
Sin embargo la segunda partición no daría trozos iguales (basta fijarse que el trozo que está más a la izquierda es diferente en proporciones a los otros tres):


Notas: no parece haber una regla definida para encontrar particiones de figuras geométricas que nos dividan cualquier figura dada en un número determinado de trozos iguales. Cada caso puede tener o no tener solución, y ha de estudiarse de forma particular. Matenavegando, nos podemos encontrar con  muchos problemas curiosos de particiones cuyas soluciones son, a menudo, sorprendentes.

El motivo de elegir una imagen del número pi para ilustrar esta entrada en el blog, es porque recientemente el récord en número de decimales calculados del número pi ha sido batido de nuevo. El nuevo récord ha sido conseguido por Fabrice Bellard, y lo más sorprendente es que lo ha logrado con la ayuda de un simple ordenador doméstico. La noticia completa se puede leer en este artículo del periódico El País.

Si pinchamos en la imagen del número pi incluida más arriba, nos saldrá muy aumentada. El fondo de la imagen está también formado por el número pi, con más de 73.000 decimales (los he contado por encima, puedo haberme equivocado).

Un cálculo masivo de los decimales del número pi ha sido posible con la llegada de los ordenadores. El cálculo de decimales de pi, sin ayuda de los ordenadores, lo consiguió en 1947 D. F. Ferguson, que logró 808 decimales con la ayuda de una calculadora mecánica. En 1949, ENIAC, el primer ordenador, pulverizó este récord, consiguiendo 2037 cifras decimales en tan sólo 72 horas, y a partir de ahí, los récords se han ido batiendo sucesivamente conforme se desarrollaban ordenadores más potentes y rápidos. La última marca ha quedado establecida en nada menos que 2.7 billones de decimales.

10.1.10

Trivial Matemático (4) y Donald en el País de las Matemáticas

Después de varios meses sin Trivial, hoy planteamos otras diez preguntas para comprobar la agilidad de cálculo y la cultura matemática. Es importante contestar rápidamente, sobre todo en las cuentas, ¡y nada de calculadoras!

1. ¿Cuánto vale el mínimo común múltiplo de 9 y 4?
2. Di rápidamente cuánto es el 25% de 300
3. ¿Quién fue el autor de la frase “Las matemáticas son el alfabeto con el que Dios ha escrito el Universo”?
4. ¿Quién demostró finalmente el teorema de Fermat en el año 1994?
5. ¿Qué matemático famoso fue el autor de Alicia en el País de las Maravillas?
6. ¿Cómo murió el joven matemático Evariste Galois?
7. ¿Dónde apuntó Fermat su famoso teorema que dejó sin demostrar?
8. El Cálculo Infinitesimal fue desarrollado durante el siglo XVII por dos matemáticos. ¿Quiénes eran?
9. Si simplificamos la fracción 5/10 queda la fracción…
10. Di rápidamente cuánto es el 50% de 700

Las soluciones, debajo de la ilustración.


[en la imagen, el sonriente gato de Cheshire, en la película de Walt Disney Alicia en el País de las Maravillas (1951)]

1. 36 2. 75 3. Galileo Galilei 4. Andrew Wiles 5. Lewis Carroll 6. en un duelo a pistola 7. en el margen de un libro 8. Newton y Leibnitz 9. 1/2 10. 350

Aprovechando que este año se estrena una nueva versión de Alicia en el País de las Maravillas, no conviene olvidar que el autor de los relatos de Alicia fue un matemático inglés, Lewis Carroll. Alguien, no recuerdo quien, comentó en alguna ocasión que Carroll era un excepcional ejemplo de matemático que además sabía escribir buena literatura. Según todos los indicios, parece difícil conjugar la creación literaria con la investigación matemática, y sin embargo, la propia Sofia Kovalévskaya afirmó que "Es imposible ser matemático sin tener alma de poeta".
La pregunta tercera es una cita de Galileo Galilei. Aparece al final del corto animado Donald en el País de las Matemáticas, que también se ha traducido por Donald en el País de las Matemágicas, un corto de Walt Disney, muy bonito e interesante, que hemos visto con los grumetes en años anteriores. Evidentemente, el corto está inspirado en el relato de Lewis Carroll, y en él aparecen muchas alusiones a la película, incluso el propio Pato Donald se viste en un momento dado con el vestido de Alicia, concretamente cuando aprende las relaciones matemáticas en el ajedrez.
Sobre la cita de Galileo, hay una anécdota graciosa. Cierta grumete, al pedirle que me hiciera una redacción sobre el corto de Donald, escribió la cita de memoria, pero se ve que no la entendió demasiado bien, porque lo que puso en la redacción fue "Las matemáticas son el analfabeto de todo y el centro de la vida".
En la desaparecida página doDK incluí en su momento (allá por el año 2005) un artículo sobre el corto de Donald, y le añadí los comentarios que los grumetes me hicieron sobre el mismo:

Nos encontramos ante un corto producido por Walt Disney en 1959, de una factura impecable, que nos enseña de forma muy amena algunos aspectos simples de la utilidad de las matemáticas.
Donald se introduce como un intrépido explorador en el país de las Matemágicas, en el que contempla sorprendido árboles con las raíces cuadradas, un río de números, un extraño animal con cuerpo de lápiz que lo reta a una partida de tres en raya, tres figuras geométricas (círculo, rectángulo y triángulo) que se juntan para formar un rostro, y ese rostro empieza a recitar los dígitos del número pi...

Después, guiado por el narrador, el pato Donald viaja a la antigua Grecia para conocer a los Pitagóricos, creadores de la escala musical, y aprende las proporciones que se encuentran en la estrella de cinco puntas, proporciones que conducen al número áureo y al rectángulo perfecto. Más adelante se nos muestra cómo tanto el pentagrama o estrella de cinco puntas como la proporción áurea se encuentra en muchos lugares de la naturaleza y ha sido empleado por artistas, arquitectos, escultores y pintores, en sus obras más famosas.



El pato Donald también descubre el empleo de la lógica matemática en el ajedrez, y la presencia de las matemáticas y de la geometría en los juegos y deportes. Así descubre el billar, en su modalidad de carambola a tres bandas, y el narrador le enseña cómo calcular el modo de obtener carambolas sencillas usando las marcas que aparecen en los bordes de la mesa de billar y sumando y restando números y fracciones simples.

Por último el corto nos enseña a utilizar la imaginación, ese poder de nuestra mente mediante el cual podemos ver las figuras geométricas, la esfera, el cono, el paraboloide, el cilindro... que luego tendrán aplicación en la óptica, ingeniería, mecánica, astronomía... Esa misma imaginación nos ayudará a ir abriendo las infinitas puertas del conocimiento que todavía nos quedan por abrir.

Veamos ahora LO QUE HAN OPINADO algunos estudiantes del I.E.S. Carmen Pantión después de ver el corto:
Creo que rompe con lo que la mayoría de la gente cree, que las matemáticas son muy aburridas. (María Aguilera González, 4º ESO)
Son muy necesarias, para todo necesitamos las matemáticas, e incluso para fabricar un violín hacen falta. (Ana Aguilera Torres, 4º ESO)
También para los juegos como el juego del billar a tres bandas, para hacer bien ese juego debes tener una fórmula matemática. (Agustín Ariza Cobo, 4º ESO)
Las matemáticas son la base de la ciencia y gracias a ello en el futuro se abrirán nuevas puertas que nos desvelarán nuevas tecnologías. (Javier Barea López, 4º ESO)
Nos propone que pensemos y lleguemos a hacer formas infinitas, las cuales no se pueden plasmar en un papel, solo se pueden crear utilizando la imaginación. (Ana Belén Burgos Mérida, 3º ESO)
El video nos muestra cosas que las vemos todos los días y no nos damos cuenta, como por ejemplo la relación que existe entre la forma de las flores y la estrella de Pitágoras... Lo del arpa yo personalmente no tenía conocimiento de ello, cómo partiendo un trozo de cuerda en segmentos, cada uno sonaba de una manera. (Nuria Cáliz Hinojosa, 4º ESO)
Cosas para nuestro disfrute, como puede ser la música tocada por instrumentos de cuerda, no solo entra en acción el arte, sino también las matemáticas. (Juan Jesús Campaña Gallardo, 2º ESO)
También me parece interesante que en las estructuras de los monumentos haya formas de las matemáticas y cómo de una figura geométrica puede salir otra. (Sandra Campaña Serrano, 4º ESO)
En este corto Donald hace un viaje, por las matemáticas que están presentes en la música, en la naturaleza, en el arte, en el billar, en el ajedrez, en el béisbol... Vaya, que está presente en todas las cosas. (Juan Carlos Cano Burgos, 3º ESO)
Las personas piensan lo mismo que el pato Donald antes de que le hablaran sobre ellas, que las matemáticas son una tontería y que prácticamente no sirven para nada. (Macarena Díaz Delgado, 3º ESO)
Yo, personalmente no pensaba que fuesen para empollones, pero al ver ese vídeo ha hecho que me dé cuenta de que las matemáticas están presentes en casi todas partes de nuestra vida cotidiana. (Alba García Palomar, 4º ESO)
Muestra como un hombre, viendo cómo está dividida la superficie del billar, golpeando en sitios puede conseguir golpear bolas que parecían imposibles. (Luis Alfonso Gómez Pareja, 3º ESO)
Aunque el pato intentaba jugar al billar con las matemáticas no sabía, pero al fin lo pudo lograr y darse cuenta de la importancia de las matemáticas. (Francisco Javier Gómez Sánchez, 3º ESO)
Cuenta el origen de las matemáticas, cómo Pitágoras relacionó la música con las matemáticas y así se inventó las notas de la música, do, re, mi, fa, sol, la, si, do. (Verónica González Cáliz, 3º ESO)
Para jugar a muchos juegos también debemos saber matemáticas. (Rocío González Reina, 3º ESO)
Otro ejemplo que me ha gustado mucho es la forma de las flores, y me ha sorprendido que hasta en la naturaleza existan las matemáticas. (Aida María Hermosilla Larrea, 4º ESO)
Si no fuese por las matemáticas no habría música, ni juegos de lógica y de más objetos. (Manuel Higueras Alcalá-Bejarano, 3º ESO)
Las matemáticas son esenciales para todo y a partir de ellas se creó la música, y el primero que lo descubrió fue Pitágoras. (Vanessa Jiménez Pulido, 3º ESO)
En el billar, haciendo unas sencillas operaciones puedes hacer todos los golpeos que quieras dando una fuerza intermedia. (Antonio Manuel Jiménez Sánchez, 3º ESO)
Todo lo que nos rodea ha sido conseguido por las matemáticas, por ejemplo los juegos, la música, los edificios... (Anabela Luque González, 4º ESO)
Casi todo el mundo puede aprender, no solo los estudiantes, esto lo demuestra el pato Donald, que también aprende, y que a ninguna persona se le pueden cerrar las puertas de aprender las matemáticas, sus símbolos y significados. (Silvia Mérida Jiménez, 4º ESO)
La película lo que te hace es abrirte como a mí me hizo a un mundo nuevo, de no ver solo las matemáticas como números y números. (José Antonio Mérida Palomar, 3º ESO)
Otra cosa que yo también opino es que si las matemáticas se diesen así de esta manera y no con tantas cuentas la gente se aficionaría más a la materia e incluso se comprendería mejor. (Elena José Molina Reina, 3º ESO)
Me interesó especialmente la parte en la que se mostraban ejemplos de la proporción áurea en la naturaleza y el arte. Es fascinante el que las matemáticas estén presentes en juegos tan comunes como el billar y no nos demos cuenta de ello. (Inmaculada Molina Aguilera, 4º ESO)
Lo que más me ha impresionado ha sido cómo en la historia los grandes matemáticos fueron descubriendo poco a poco las matemáticas. Me ha gustado mucho la forma picaresca de enseñar algo más de la infinidad de cosas que son las matemáticas. (María Dolores Montes García, 3º ESO)
Con todo lo que se sabe de matemáticas hoy en día todo ha ido avanzando y durante años se irán descubriendo miles de cosas más, puesto que todo son matemáticas, y estas son infinitas. (Rosa María Padilla Poyato, 4º ESO)
Yo pienso que si compagináramos las clases teóricas con este tipo de cortos habitualmente, un corto por tema, se tomaría muchísimo más interés por la materia que el que se tiene.(Maribel Pérez Aguilera, 3º ESO)
Si nos ponemos a mirar atentamente podremos encontrar montones de cuadrados o rectángulos perfectos... Me impresionó mucho lo de las técnicas del billar, porque yo no sabía que con unos cálculos podías hacer lo que querías. (Ana Belén Pérez Mérida, 3º ESO)
Al principio creí que iba a ser aburrido... Me ha gustado la actividad de romper con la rutina de las clases normales. (Isabel Pérez Zamora, 4º ESO)
Me ha gustado, porque son unos dibujos muy entretenidos con un personaje de Disney muy aclamado y encima nos enseña matemáticas. (Rocío Rodríguez Pulido, 4º ESO)
Lo que más me gustó y no tenía idea de nada era del juego del billar, ya que no sabía esos cálculos tan divertidos sólo para que dé tres golpes en las paredes y luego le dé a la bola. Yo no podría haber imaginado eso en la vida... Me gustó mucho y que pongas muchas películas más. Pero más largas. (María del Carmen Ruiz-Ruano Campaña, 4º ESO)
Hemos visto cómo multitud de objetos que nos rodean tienen una forma matemática como flores, árboles, y también elementos que se construyeron en la antigüedad como columnas, templos, etc... (María del Carmen Sánchez Romero, 4º ESO)
Al principio cuando Donald se entera que está en el país de Matemagilandia quiere irse, al igual que la mayoría de niños o adolescentes cuando le hablan de matemáticas. (Rosa Sevilla Rodríguez, 3º ESO)
A la mayoría de nosotros no se nos ocurriría relacionar este tipo de cosas con algo como son para la mayoría las aburridas matemáticas... Otra cosa que me resultó curiosísima y muy interesante fue lo de la escala musical. (Sandra Soberá Montes, 4º ESO)
Con la maravillosa ayuda de Youtube, podemos contemplar el corto en los siguientes videos:












8.1.10

[El Problema de la Semana] La casa encantada

En este nuevo problema, hay que tener cuidado al resolverlo. ¡Las apariencias engañan!


En una casa encantada hay un fantasma bastante especial: aparece en cuanto el reloj comienza a dar la medianoche y desaparece con la última campanada. El reloj tarda seis segundos en dar seis campanadas. ¿Cuánto dura la aparición del fantasma?

Debajo de la ilustración, atención: un renglón y la solución.


[ésta es una foto real de un fantasma, tomada en 1991 con una película infrarroja en el cementerio de Bachelor's Grove, por la Ghost Research Society. Ninguna persona estaba a la vista cuando se hizo la foto. Bachelor's Grove es un cementerio abandonado de Chicago, con fama de ser uno de los lugares más encantados del mundo entero]

La solución a este problema no es tan sencilla como aparenta. Debemos tener en cuenta que entre dos campanadas pasa un periodo de tiempo, entre tres campanadas pasan dos periodos de tiempo, entre cuatro campanadas tres periodos... Así, entre seis campanadas transcurren cinco periodos de tiempo, y si el reloj tarda 6 segundos en dar seis campanadas, invierte 6 : 5 = 1.2 segundos en cada periodo entre campanada y campanada.
Si el fantasma aparece en la primera campanada y se esfuma con la duodécima, han transcurrido 11 periodos de tiempo, lo que hacen un total de 13.2 segundos.

Nota: precisamente hace una semana tuvimos la oportunidad de estrenar este nuevo año 2010. En la retransmisión de las campanadas desde la Puerta del Sol de Madrid se indicó que entre campanada y campanada transcurrían tres segundos. Si nos hemos hecho la idea preconcebida de que cada campanada va con cada segundo, estamos equivocados; eso depende de cada reloj, en principio a relojes diferentes las campanadas son dadas a ritmos diferentes.

5.1.10

La Gran Pirámide de Keops: pi por la raíz de fi es casi cuatro

Cuaderno de bitácora: publicamos hoy otro de los artículos que en su día aparecieron en doDK. Este artículo fue escrito hace más de seis años. En él explico un descubrimiento que hice por mí mismo, una extraordinaria coincidencia que se da en las proporciones de la Pirámide de Keops y que implica, necesariamente, una no menos extraordinaria coincidencia entre dos de los números más conocidos de las matemáticas.


[Vista de las tres grandes pirámides de la planicie de Giza o Gizeh. No hay que confundirse: la pirámide de Keops, la Gran Pirámide, es la que está más a la derecha, más atrás en la foto. La del medio es la de Kefrén, la segunda en altura, aunque en la foto parece más alta por estar más cerca, y la tercera la de más a la izquierda, la de Micerinos. La pirámide de Kefrén es muy fácil de reconocer porque conserva en su parte superior algo del revestimiento original. Es muy frecuente que se hable de la Gran Pirámide de Keops y sin embargo en las imágenes, erróneamente, aparezca la pirámide de Kefrén, la más fotogénica de las tres]

La gran pirámide de la planicie de Gizeh, la conocida como pirámide de Keops, siempre ha sido una fuente de misterios, y la mayoría están aún por resolver. Sus medidas han sido estudiadas exhaustivamente por todos los inquietos de los enigmas antiguos, y con los datos obtenidos podemos afirmar que los Egipcios no construyeron la pirámide dándole unas medidas al azar, sino que sus proporciones mantienen unas relaciones matemáticas muy interesantes entre sí.
La gran pirámide medía originalmente 147 metros de altura, y el lado de la base tenía una longitud de 230 metros, aproximadamente. Hoy en día la pirámide es un poco más baja, porque a lo largo de los siglos y sobre todo en la Edad Media ha sido utilizada de cantera artificial. Las piedras de las que estaba compuesta se han ido partiendo y tallando en ladrillos más pequeños para servir de material a algunos monumentos levantados en el pasado en la ciudad de El Cairo. Así la pirámide, que en su origen tenía una superficie pulida y blanca y estaba rematada por una punta de oro, se puede contemplar hoy como cuando contemplamos una casa vieja y a punto de derrumbarse, en la que se ven los ladrillos porque la capa de yeso que recubría la pared se ha caído con el tiempo.
Hace ya muchos años descubrí en cierto libro que las proporciones de la pirámide guardaban una importante relación: cuatro veces el lado de la base dividido por dos veces la altura daba el número pi. Esto es lo mismo que decir que si tomamos la altura de la pirámide como radio de una circunferencia, la longitud de la circunferencia coincide con el perímetro de la base.

Si tomamos como datos los que hemos mencionado anteriormente, h = 147 metros, y b = 230 metros. Haciendo la cuenta, 4·b = 920, 2·h = 294, y dividiendo ambas cantidades obtenemos 3'1292517..., es decir, aproximadamente 3'13. Teniendo en cuenta que tanto la altura de la pirámide como el lado de la base se han tomado de forma aproximada, es normal esperar que el resultado no coincida exactamente con el número pi.
Si tomamos en cuenta unas medidas más exactas, como las que aparecen en el libro De las mentiras de la Egiptología a las Verdades de la Gran Pirámide, de Luis García Gallo, la altura sería de 146'7 metros y el lado de la base de 230'4 metros (aproximadamente). Volviendo a hacer los cálculos con estas dos nuevas aproximaciones tenemos que 4·b/(2·h) = 3'14110429... y aquí ya nos vamos aproximando más al número pi. De hecho el error es del orden de 0’016%.
El error es mínimo y totalmente admisible ya que en arquitectura, lo mismo que en todas las demás ciencias aplicadas, las medidas tienen un límite de precisión. De hecho, los cuatro lados de la base de la pirámide no miden exactamente lo mismo, sino que se diferencian en algunos centímetros. De la misma forma las desaparecidas Torres Gemelas no eran exactamente igual de altas, sino que una era un poco más alta (creo que como medio metro) que la otra. A todo esto hay que añadir los estragos del tiempo sobre los monumentos. Las medidas obtenidas son aproximadas sobre una estimación de lo que la pirámide medía cuando la construyeron, hace casi cinco mil años, porque ahora las medidas son muy distintas...
La relación entre b y h se puede expresar así:

Es decir, la proporción entre b y h es como la de pi a 2.
Consultando la página de matemáticas Epsilones descubrí algo nuevo para mí. Según el historiador Heródoto, los Egipcios construyeron la gran pirámide de tal forma que el área de cada una de las caras triangulares laterales coincidiera con el área de un cuadrado de lado igual a la altura.

Teniendo en cuenta lo que acabamos de decir, nos encontramos con las siguientes fórmulas:

Vamos a buscar la proporción entre a, b y h:

Dividimos por b cuadrado y consideramos a/b como una incógnita:

Hemos suprimido la solución negativa porque tanto a como b son números positivos (estamos tratando con longitudes de la pirámide).
De repente nos ha aparecido el número áureo, fi), un número no tan conocido como pi, pero muy importante en la historia de las matemáticas:

De aquí tenemos la relación entre a y b, y por ende entre b y h:

Con esto tenemos que la proporción entre a y b es como la de fi a 2, y la proporción entre b y h es como la de 2 a la raíz cuadrada de fi.
Resumiendo, si los Egipcios construyeron la pirámide con las proporciones mencionadas por el historiador Heródoto, entonces la pirámide de Gizeh es proporcional a una que tenga como altura de una de las caras laterales a fi y como lado de la base a 2:

Entonces surge la cuestión de si ambas propiedades de la pirámide son consistentes, la de pi y la de fi. ¿Cuál de las dos propiedades es la que guió a los constructores de la pirámide? ¿O los constructores quisieron incluir adrede ambas características en su diseño?
Supongamos que somos los constructores, y el faraón nos ordena que levantemos una pirámide en la que el perímetro de la base dividido entre dos veces la altura dé el número pi. Como ya conocemos el número pi, sólo tenemos que preguntarle al faraón la altura que quiere que tenga, y tras unos cálculos sencillos, obtenemos todas las dimensiones, el lado de la base, la longitud de las aristas, etc. Pero el faraón nos dice poco después que además quiere que el área de una de las caras laterales sea igual al área de un cuadrado de lado igual a la altura.
¿Pueden ser posibles ambas cosas? Nosotros ya hemos hecho los cálculos de todas las dimensiones y ya casi nos hemos puesto manos a la obra... Sólo podemos esperar que la suerte nos acompañe y que efectivamente y casi por casualidad se cumpla la segunda condición que nos pide nuestro rey.
¡Y la suerte está de nuestro lado!
Para que se cumpla la condición de pi, b y h tienen que estar en proporción de pi a 2. Para que se cumpla la condición de fi, b y h tienen que estar en proporción de 2 a raíz de fi. Si queremos que se cumplan las dos condiciones, ambas proporciones han de ser iguales:

Bueno, esto no es cierto exactamente, pero sí aproximadamente:

De hecho el error que se comete es menor al 0'1%. Eso quiere decir que con un error del 0'1% podemos construir una pirámide que cumpla las dos condiciones, guardando dentro de sus proporciones al número pi y al número fi. Y la pirámide de Keops es un ejemplo de ello.
Maravilloso, ¿verdad? Y todo porque pi por la raíz de fi es casi cuatro.

Notas: no fui el primero en descubrir esta coincidencia entre los números pi y fi. En el libro de Martin Gardner, Los Mágicos Números del Doctor Matrix, en el capítulo de las pirámides, se habla sobre la curiosa relación entre el número pi y el número fi que posibilita que la Gran Pirámide de Keops cumpla dos propiedades matemáticas diferentes. Sin embargo, honestamente, no leí ese contenido del libro hasta este mismo año pasado, 2009, seis años después de escribir este artículo.
Por otro lado, han quedado plasmados mis esfuerzos para expresar la notación matemática en un artículo de la web. No soy muy experto todavía en esto, y la solución que encontré en su momento fue la de usar el editor matemático del Microsoft Word para escribir la expresión que quería, y luego guardar dicha expresión como archivo de imagen, para incluirlo en el artículo. Los gráficos de las pirámides los realicé con el sencillo programa Paint que viene incluido en Windows.
Para algunas otras curiosidades matemáticas de la pirámide de Keops, entre las muchas que tiene, recomiendo leer mi artículo en el blog Vientos de eternidad.

1.1.10

[El Problema de la Semana] Iván el perezoso y el diablo

Otro problema, éste con un poco más de literatura:

Según un antiguo cuento ruso, Iván el perezoso se hallaba un día holgazaneando a orillas de un río.
—Todo el mundo me dice que busque un trabajo o me vaya al diablo —suspiró—. No creo que ninguna de las dos cosas me ayude a hacerme rico.
Tan pronto como dijo esto, apareció el diablo en persona.
—¿Quieres ganar dinero, Iván? —le preguntó.
Iván asintió perezosamente con la cabeza.
—Muy bien —continuó el diablo—. ¿Ves ese puente? Pues todo lo que tienes que hacer es cruzarlo. Cada vez que lo hagas, se doblará el valor del dinero que llevas en el bolsillo.
Iván se dirigía ya hacia el puente, cuando el diablo le detuvo.
—Un momento —le dijo astutamente—. Puesto que me he mostrado tan generoso contigo, creo que me merezco una pequeña recompensa por mis esfuerzos. ¿Querrás darme ocho rublos cada vez que cruces el puente?
Iván el perezoso se apresuró a asentir. Cruzó el puente y metió la mano en el bolsillo. Su dinero se había doblado por arte de magia... Le lanzó los ocho rublos al diablo, que permanecía al otro lado del río y cruzó de nuevo. Otra vez se dobló su dinero. Le pagó otros ocho rublos al diablo y cruzó por tercera vez. Y el dinero se dobló también. Pero al contarlo, descubrió que no le quedaban más que ocho rublos en el bolsillo, que tuvo que entregar al diablo, con lo cual se quedó sin dinero que doblar.
El diablo soltó una carcajada y desapareció.
¿Cuánto dinero tenía Iván el perezoso en el bolsillo?


A continuación, una foto, y debajo de ella, la solución al problema.



[en la foto, el puente romano de Córdoba]

Solución:
El problema se puede resolver por tanteo o bien resolviendo una ecuación de primer grado. Llamamos x al número de rublos que tenía Iván originalmente. Cuando cruza el puente la primera vez, tiene 2x, y después de pagarle al diablo, 2x − 8; cruza el puente por segunda vez, 2·(2x − 8), le paga al diablo, 2·(2x − 8) − 8, cruza el puente por tercera vez, 2·(2·(2x − 8) − 8) y entonces descubre que sólo le quedan 8 rublos. La ecuación, por tanto, es la siguiente:
2 · (2 · (2x − 8) − 8) = 8
2 · (4− 16 − 8) = 8
2 · (4− 24) = 8
8− 48 = 8
8x = 8 + 48 = 56
x = 56 : 8 = 7
Iván el perezoso tenía en el bolsillo siete rublos, antes de hablar con el diablo.

Ah, por cierto, ¡FELIZ AÑO NUEVO!