25.2.15

Si usted encarga menos, nosotros le cobramos más


Cuaderno de bitácora: el otro día fuimos a encargar unas fotos y nos volvió a suceder una experiencia sencilla pero económicamente desconcertante, al comprobar que en ciertos casos, por menos fotos hay que pagar más dinero.

La tienda de fotos tenía una serie de tarifas para las copias. No recuerdo exactamente los precios, pero para hacernos una idea, aunque no coincidan con la realidad, vamos a suponer que los precios son los siguientes:

- de 1 a 9 fotos, 35 céntimos cada foto
- de 10 a 99 fotos, 28 céntimos cada foto
- más de 100, 26 céntimos cada foto.

Este tipo de ofertas es bastante corriente, y cuando uno de nosotros las aprovecha, hay que tener en cuenta los "saltos" que se dan entre un tramo de precios y el siguiente.

Así, por ejemplo, si revelamos 9 fotos, tendremos que pagar 9 · 0,35 = 3,15 euros, y si son 8 fotos, entonces tenemos que pagar 8 · 0,35 = 2,80 euros. Pero si revelamos 10 fotos, entonces serán 10 · 0,28 = 2,80 euros, porque ya estamos en otro tramo de precios, luego encargar 8 ó 9 fotos no merece la pena: o encargamos 7 o directamente pasamos ya a 10, porque nos va a costar lo mismo o incluso más barato.

Lo mismo ocurre con el siguiente tramo: si encargamos 99 fotos, entonces 99 · 0,28 = 27,72 euros, mientras que 100 fotos nos cuestan 100 · 0,26 = 26 euros. Realmente basta comparar 26/0,28 = 92,8571429 y nos damos cuenta que a partir de 93 fotos, al multiplicar por 0,28 nos sale ya superior a 26 euros, luego podemos encargar 92 fotos, pero si queremos más ya nos interesa pedir 100 directamente y nos saldrá más barato que encargar 93, 94, etc.

En relación a esto, recientemente salió publicado un artículo en el periódico Ideal con una recopilación de ofertas y rebajas extrañas, de cantidades mínimas, algunas con rebajas del 0% o incluso otras en las que la oferta es directamente más cara que el producto normal. Abajo incluimos algunas de las fotos.







21.2.15

[El Problema de la Semana] Un reloj digital completo

El problema de esta semana va de fechas, calendarios y relojes, un tema muy interesante que da mucho juego.

Observa el reloj digital formado por los 10 dígitos que dan las horas, los minutos, el día, el mes y el año. El día 26 de abril de 1995, a las 17 horas y 38 minutos, el reloj marcaba la fecha y la hora usando exactamente los diez primeros números naturales (0-9), ninguno de ellos repetido, como muestra el siguiente esquema:

17 : 38     26 – 04 – 95

¿Cuándo se produjo o se producirá por primera vez esta situación en el siglo XXI?


La solución, como siempre, después de la imagen insertada.


[En la ilustración vemos dos clepsidras griegas. La clepsidra es un reloj de agua utilizado en la antigüedad. Los dos relojes de la foto se encuentran en el Museo del Ágora de Atenas, el de abajo parece ser una réplica moderna del de arriba. Las clepsidras se usaban principalmente de noche, o en general cuando no se podía emplear un reloj de sol. Consistían en un recipiente que se iba llenando con un flujo regulado de agua, y que en ocasiones tenía marcas a intervalos concretos; cuando el agua llegaba a esas marcas se iba controlando el tiempo que pasaba. En la antigua Grecia, las clepsidras se usaban para limitar el tiempo de intervención asignado a los oradores, y en Roma servían para señalar los relevos de las guardias nocturnas en las campañas militares]

SOLUCIÓN:

El problema tiene un enunciado sencillo, pero encontrar la respuesta correcta requiere mucho razonamiento. Recomendamos que el lector trate de pensar el problema haciéndose un esquema en un papel y descartando posibilidades.

En primer lugar hay que tener en cuenta las limitaciones de las horas, los minutos, los días y los meses.

Las horas van de 00 a 23, luego la cifra de la decena sólo puede ser 0, 1 ó 2, y en el caso de que la decena sea 2, las unidades sólo pueden ser 0, 1, 2 ó 3.

Los minutos van de 00 a 59, luego la cifra de la decena sólo puede ser de 0 a 5.

Los días van de 01 a 31 (algunos meses de 01 a 30, y en febrero de 01 a 28 ó a 29 si el año es bisiesto). La cifra de la decena es de 0 a 3, salvo en febrero que es de 0 a 2. En el caso de que la decena sea 3, las unidades sólo pueden ser 0 ó 1.

Los meses van de 01 a 12, luego la cifra de la decena sólo puede ser 0 ó 1. En el caso de que la decena sea 1, las unidades sólo pueden ser 0, 1 ó 2.

Como se pregunta cuándo se producirá por primera vez dicha situación, tenemos que empezar probando con los primeros años. De cada año sólo tomamos las últimas dos cifras. Todos los años con las últimas dos cifras iguales los podemos descartar, como el año 2000, el 2011, el 2022, etc. En la decena del mes siempre hay un 0 ó un 1, luego el año 2001 y el 2010 también los podemos descartar. El 2012 también lo podemos descartar, porque al usar el 1 y el 2, queda el 0 para la decena del mes, y recordemos que las horas sólo tienen en la decena un 0, un 1 o un 2. También podemos descartar el 2002, porque el mes sólo podría ser 11 y se repetiría el dígito 1.

Si el año corresponde al intervalo 2003 - 2009, entonces el mes sólo puede ser 12, y ya no nos quedan horas posibles.

Veamos el 2013, e intentamos que el mes sea el menor posible. El mes no puede ser 02, por la misma razón de la limitación de las horas. Tampoco puede ser 03. Si el mes es 04, entonces el día puede ser veintitantos (no puede ser 30 ó 31 porque el 0 y el 1 están ya cogidos) y volvemos a encontrarnos con el problema de las horas, que si recordamos tienen de primera cifra 0, 1 ó 2. Cualquier mes que tenga la decena 0 obliga a que el día sea veintitantos y entra en conflicto con las horas. Los meses de decena 1 no pueden ser porque el 1 ya lo hemos usado.

Igual razonamiento tenemos para todos los años 2014 - 2019, ya está cogido el 1, en el mes usamos el 0, y en los días usamos el 2, y ya no hay horas posibles.

Si el año está en la década 2020 - 2029, entonces ya hemos usado el 2, en el mes usaremos el cero o el uno en la cifra de la decena, y en los días usaremos el uno o el cero (respectivamente) en la cifra de la decena, o bien el 3, pero en este caso aparecerá el uno o el cero en las unidades, y volvemos a entrar en conflicto con las horas.

Entremos en la década 2030 - 2039. Por razones similares a las situaciones anteriores, podemos descartar 2030, 2031, 2032, 2033. Veamos 2034: procuramos ir escogiendo la fecha más baja y evitar la incompatibilidad con las horas. tomamos el mes 05, el día 16. Hemos dejado el 2 para la decena de las horas, pero entonces la hora puede ser 20, 21, 22, 23, y las cifras de las unidades las hemos usado todas. Además hay que tener cuidado ya con los minutos: su decena solo va del 0 al 5.

Tendremos que escoger los días como veintitantos, pero en las horas la decena tiene que ser 1, y entonces ya hemos agotado todos los números del 0 al 5 para los minutos.

Tomamos el mes 06, el día 27, y ya parece que todo empieza a marchar. La hora puede ser 18, y los minutos 59.

Si no nos hemos equivocado, ya hemos encontrado la fecha y hora más cercana al principio del año 2000 en la que se usan todos los dígitos sin repetirse:

18 : 59   27 - 06 - 34

Es decir, el 27 de junio de 2034, a las 18:59.

[Este problema ha sido extraído del libro El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1, de Miquel Capó Dolz, editorial El rompecabezas]

16.2.15

Guerras de letras, partículas, antipartículas y números enteros.

Cuaderno de bitácora: hay personas que para entretenerse hacen garabatos. Tanto en clase como en reuniones, conferencias, y en todo momento en que se tiene a mano un lápiz o bolígrafo y un papel, documento, cuaderno o periódico, es normal ponerse a dibujar, rayar, hacer figuras geométricas, rellenar espacios, cualquier cosa para relajar la mente y hacer que pase el tiempo.

En mi infancia, una de las cosas que se me ocurrió, como a muchos otros, fue entretenerme rellenando con un bolígrafo los huecos de las letras. Hay letras que tienen "huecos que rellenar", y son las siguientes: a, b, d, e, g, o, p, q. El resto de letras "no tienen huecos", son líneas que no rodean superficie, y son: c, f, h, i, j, k, l, m, n, ñ, r, s, t, u, v, w, x, y, z.

Si usamos letras mayúsculas, la situación puede cambiar, así las letras mayúsculas con huecos son: A, B, D, O, P, Q, R, mientras que las que no tienen huecos son: C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, S, T, U, V, W, X, Y, Z. La E y la G han pasado de tener hueco en minúscula a perderlo en mayúscula, y la R, que no tenía hueco en minúscula, ahora le ha salido uno en mayúscula.

Conforme iba rellenando huecos, se me ocurrió también que aquellas letras con huecos eran enemigas de las letras sin huecos, y que podía ir compensando unas con otras. Así, dejé de rellenar los huecos y lo que me entretenía era en tachar letras: por cada letra con hueco, tachaba otra sin hueco. Así comenzó una guerra, la guerra de las letras, en la que me puse del lado de las letras con huecos, y las usaba de munición para destruir las letras sin hueco, una a una.

Si me aparecía, por ejemplo, una frase como "la rosa es hermosa, fragante y olorosa", estaba todo casi equilibrado, pues si nos fijamos hay 15 letras con hueco y 16 sin hueco, y ganan las letras sin hueco solo por una letra de diferencia. Si tengo la frase "el pendiente de Ágata parece dorado", ganan las letras con hueco por doce. En la frase "la lluvia en Sevilla es fina y moja mucho" ganan las letras sin hueco por trece.

Conforme iba avanzando en los párrafos, me daba cuenta que las letras sin hueco aparecían con más frecuencia, y así se me iban quedando unas cuantas sin poder eliminar. Este desequilibrio no me gustaba, y empecé a "cambiar de bando" algunas de las letras. La primera fue la y, que aunque no tiene hueco la puse del bando de las letras con hueco. También añadí la ñ; la ll la consideré como si fuera una sola letra, lo mismo que la ch y la rr, etc., siempre intentando encontrar el equilibrio, entre ambos bandos.

Encontrar el equilibrio exacto resulta interesante. Cada párrafo puede tener una situación diferente, pero a la larga, todo depende de la frecuencia con la que aparecen las letras. En la wikipedia hay una página donde están recogidas las frecuencias de aparición de las diferentes letras en español. Considerando las frecuencias de las letras con hueco:

a = 12,53%
b = 1,42%
d = 5,86%
e = 13,68%
g = 1,01%
o = 8,68%
p = 2,51%
q = 0,88%

Si sumamos todas las cantidades: 12,53 + 1,42 + 5,86 + 13,68 + 1,01 + 8,68 + 2,51 + 0,88 =  46,57%. El resultado es un poco menos del 50% y por tanto las letras con hueco están en desventaja en su particular guerra contra las letras sin hueco. Cambiar de bando la y (0,90%) y la ñ (0,31%) no es suficiente ya que nos deja el porcentaje en 47,78%. Si por ejemplo a las letras con hueco, 46,57% les añadimos la m (3,15%) y la ñ (0,31%) entonces llegaríamos a 50,03%. Si hubiera empleado esta estrategia, habría obtenido un combate muy igualado, y a la larga ligeramente favorable a mis letras preferidas.

Esta guerra de letras recuerda en física cuántica a las partículas y antipartículas. Todos sabemos que la materia está compuesta por átomos, y los átomos a su vez están constituidos por un núcleo de protones y neutrones, y una órbita de electrones. Los protones tienen carga eléctrica positiva, los electrones carga negativa y los neutrones no tienen carga eléctrica. Pero estas no son las únicas partículas que existen. También tenemos otros tipos, como neutrinos, bosones, quarks... Uno de esos tipos son las llamadas antipartículas, que forman lo que se conoce por antimateria. Son partículas contrarias al protón y al electrón, con la misma masa, pero carga eléctrica contraria. Tenemos por ejemplo el positrón, que tiene la misma masa que el electrón, pero carga positiva.

Cuando una partícula se encuentra con una antipartícula, ambas se destruyen, y la masa que tienen se aniquila totalmente y se transforma en energía en forma de fotones. En la guerra de letras, las letras con hueco se comportan como partículas y las letras sin hueco como sus antipartículas. Unas se aniquilan con las otras.


[En la imagen se representa la aniquilación de un electrón con un positrón, generando dos rayos gamma que parten en direcciones opuestas. La ilustración la hemos obtenido de esta página.]

En las letras, no hay simetría entre letras con hueco y letras sin hueco. Ya hemos visto que las letras con hueco están en minoría, solo son un 46,57% de todas las letras (estamos hablando de letras minúsculas escritas con una fuente de grafía estándar, como la que estamos utilizando en esta entrada del blog). En el universo siempre se ha pensado que las partículas y antipartículas deben estar distribuidas equilibradamente, y lo que es cierto para las partículas debe también ser cierto para las antipartículas.

Sin embargo, sorprendentemente no es así. Según lo que se observa de nuestro universo, las partículas están en una proporción mucho mayor que las antipartículas. La mayor parte de la materia parece estar compuesta por partículas normales, mientras que las antipartículas son escasas y encuentran una rápida aniquilación al cruzarse con las partículas. Este es uno de los misterios no resueltos de la cosmología.

Relacionado con todo este tema, también podemos llevarlo al campo de las matemáticas y de la aritmética de los números enteros. Algunos grumetes encuentran difícil entender las sumas y restas de números enteros. Pero podemos pensar que cada número representa una cantidad de partículas o antipartículas, o de letras con hueco y letras sin hueco. Si el número es positivo, podemos imaginar que representa partículas, y si es negativo antipartículas.

Así, si tenemos la operación -7 + 8, podemos pensar que -7 representa a 7 antipartículas, y 8 representa a 8 partículas. Las 7 antipartículas eliminarán a 7 partículas y entonces todas las antipartículas habrán desaparecido, quedando sólo 1 partícula sin eliminar. De ahí el sentido de la cuenta:

-7 + 8 = 1

Cuando la cuenta es más larga, el proceso es el mismo, vamos imaginando que las partículas (números positivos) se anulan con las antipartículas (números negativos). También imaginamos que cuando hay dos números positivos (ambos partículas) obtenemos un número positivo mayor, y para los números negativos sucede lo mismo: dos números o más representan todos antipartículas, y juntándolas obtenemos un número negativo mayor:

6 - 8 + 9 - 5 = 2

8 + 10 = 18

-5 - 6 - 3 = -14

En matemáticas sí tenemos el equilibrio natural entre números positivos y números negativos. Por cada número positivo hay un número opuesto, el negativo correspondiente. Es lógico pensar que si hubiera una guerra entre números enteros el resultado final sería 0.

Pero este pensamiento puede tener sus trampas. Los números enteros son infinitos. ¿Podemos hacer una guerra entre todos los números? Si intentamos hacer una guerra total siguiendo el método que hemos utilizado con las guerras de letras de ir anulando unas con otras, nos podemos encontrar con paradojas muy simples:

Supongamos que vamos tomando todos los números enteros sin repetirse, y los sumamos de la forma ordenada:

0 + 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + 4 - 4 + 5 ...

El resultado va siendo 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0,... Podemos comprobar que los negativos van anulando a los positivos, y la suma regresa siempre a 0; la guerra de números siempre se equilibra.

Pero si disponemos los números enteros de otra forma:

0 + 1 + 2 - 1 + 3 + 4 - 2 + 5 + 6 - 3 + 7 + 8 - 9 ...

Es decir, sumamos dos positivos y luego un negativo, y los siguientes dos positivos y el siguiente negativo, etc. Entonces vamos obteniendo 0, 1, 3, 2, 5, 9, 7, 12, 18, 15, 22,... A pesar de que todos los números enteros se van incluyendo en la suma, los negativos llegan tarde, y la suma de positivos va creciendo sin límite, es decir, los positivos ganan la guerra sin remedio.

¿Cómo es posible, si hay tantos números positivos como negativos? El núcleo de la cuestión es que estamos haciendo una suma infinita, y con el infinito surgen este tipo de paradojas. (Para los matenavegantes experimentados esto es un ejemplo sencillo de una serie no convergente a la que podemos reordenar para que se comporte de la forma que queramos).

Para terminar, podemos pensar en un ejemplo de guerra de números sencillo pero del que no tengo conocimiento si se ha llegado a estudiar todavía y si se tiene alguna conclusión. Tomemos un número irracional (decimal infinito no periódico), como el número pi = 3,14159265358979323846... Consideremos la sucesión de sus decimales, y hagamos una guerra entre ellos, poniéndoles alternativamente un signo más o un signo menos y haciendo la suma:

+ 1- 4 + 1 - 5 + 9 - 2 + 6 - 5 + 3 - 5 + 8 - 9 + 7 - 9 + 3 - 2 + 3 - 8 + 4 - 6…

La pregunta puede ser: ¿La suma se mantendrá equilibrada? Y si no se mantiene equilibrada, ¿irán ganando los positivos o los negativos? Es decir, ¿tienen más peso los decimales en lugar impar o en lugar par? ¿Y qué sucederá con otros números irracionales como el número e, el número fi, o la raíz cuadrada de dos?

Aunque desconozco si a alguien se le ha ocurrido hacer estas guerras, puedo suponer que sí, porque al número pi se le han dado muchas vueltas a lo largo de los siglos...


Nota: garabato, en inglés, se dice doodle. Esta palabra se está haciendo famosa en el ciberespacio porque se está aplicando a las ilustraciones que diseña Google para conmemorar diariamente hechos notorios. Hay una página que recopila todas estas ilustraciones.

14.2.15

[El Problema de la Semana] El peso de la botella

Esta semana tenemos un sencillo problema de recipientes.

Un recipiente lleno de agua pesa 35 kilos. Cuando sólo está lleno hasta la mitad, pesa 19 kilos. ¿Cuánto pesa el recipiente vacío?

Para que el lector tenga oportunidad de pensarlo y no le salga la solución en la misma pantalla, insertamos a continuación una imagen y después ya viene el problema resuelto.
[Uno de los muchos objetos fascinantes de las matemáticas modernas es la Botella de Klein, que ya hemos mencionado en una entrada anterior. Esta foto está sacada de la página Bottle Design Brain Melter, de Core 77. Las botellas las fabrica la compañía de Clifford Stoll, Acme Klein Bottle. El propio Stoll confiesa en la publicidad de sus botellas que son difíciles de llenar, difíciles de vaciar, y muy complicadas de limpiar, especialmente porque la humedad del interior no se seca. Esto es bastante paradójico, porque la botella de Klein, como objeto matemático no tiene interior ni exterior, aunque sea una superficie cerrada]

SOLUCIÓN:

El problema es muy sencillo. Si lleno son 35 kilos, y hasta la mitad son 19 kilos, entonces 35 - 19 = 16 kilos es lo que pesa la mitad de lo que contiene. Luego el total de lo que contiene es 16 · 2 = 32 kilos, y el peso del recipiente será 35 - 32 = 3 kilos.

[Este problema ha sido extraído del libro El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1, de Miquel Capó Dolz, editorial El rompecabezas.]

7.2.15

[El Problema de la Semana] ¿Dónde está el oro?

Reanudamos una vez más el estudio de los Problemas de la Semana que se le proponen a los grumetes.

Tenemos tres cajas etiquetadas con frases que hacen referencia a su contenido. La primera caja tiene una etiqueta que dice “el oro está aquí”. La frase de la segunda caja es “el oro no está aquí”. En la tercera caja pone “el oro está en la primera caja”. Sólo una de las tres frases es verdadera, las otras dos son falsas. ¿Puedes averiguar dónde está el oro?

Si quiere conocer la solución, está debajo de la imagen.

 

[En la película Goldfinger (1964), James Bond, el agente secreto 007, tiene que detener los planes del malvado Auric Goldfinger, que pretende destruir el depósito de oro de Fort Knox explotando en su interior una bomba atómica. Fort Knox es una base militar estadounidense, situada en Kentucky, y allí se encuentra uno de los mayores depósitos de oro del mundo, controlado por el Departamento del Tesoro de los Estados Unidos. Actualmente se duda de la cantidad exacta de oro que se guarda en el depósito, porque el Departamento del Tesoro se niega a realizar una auditoría pública de su contenido real. De hecho, en la época en la que se rodó la película, ni siquiera se conocía cómo era el interior del edificio. Para rodar las escenas finales, se pidió permiso al Departamento del Tesoro para entrar en Fort Knox, pero fue denegado. Los productores de la película decidieron dejar el interior a la imaginación de los diseñadores, que optaron por construir lo que ellos mismos denominaron como "una catedral del oro", un hall enorme de varios niveles en el que el oro se puede contemplar enjaulado tras los barrotes de fuertes rejas, como se puede apreciar en la fotografía que hemos insertado. En años posteriores se permitió a la prensa entrar en el depósito de oro de Fort Knox, y se pudo comprobar que su interior no era tan imponente como el de la película, sino mucho más funcional: estrechos pasillos flanqueados por las enormes puertas de las cámaras acorazadas, nada de tener el oro a la vista ni disponer de espacios tan amplios como en la película. En la historia del cine hay muchísimos más ejemplos como este de discrepancias radicales entre la realidad y la ficción, aún en películas que están basadas en hechos y lugares reales, y esto siempre debemos tenerlo en cuenta.]

SOLUCIÓN:

Hacemos un gráfico de la situación:


Razonamos dónde puede estar el oro. Si el oro está en la caja A, la frase de A es verdadera, la de B es verdadera y la de C es verdadera. Tenemos tres frases verdaderas, y esto no puede ser, porque sólo una de las frases es verdadera.

Si el oro está en la caja B, la frase de A es falsa, la frase de B es falsa, y la frase de C es falsa. Tenemos tres frases falsas, y tampoco puede ser, pues una de las etiquetas es verdadera.

Si el oro está en C, la frase de A es falsa, la frase de B es verdadera y la frase de C es falsa. En esta situación tenemos dos frases falsas y una verdadera, luego esta es la situación compatible con el problema, y el oro se encuentra en C.

Ampliación: en ningún momento del problema se especifica que el oro se encuentre en una sola de las cajas o que incluso el oro exista. Realmente queda implícito en el lenguaje que se emplea, el cual nos da pie a suponer que hay una caja y sólo una con oro, porque al decir el oro, parece que nos estamos refiriendo a una cosa en singular, a un objeto que solo se puede encontrar en un sitio y no en varios sitios a la vez, y que realmente existe. Pero solo es una suposición.

Si diéramos opción a que varias cajas contuvieran oro, entonces la gama de posibilidades se amplía:

Si el oro estuviera en las tres cajas, entonces tendríamos dos frases verdaderas y una falsa, luego esta posibilidad no cuenta.

Si el oro estuviera en A y en B, entonces tendríamos de nuevo dos frases verdaderas y una falsa, luego esta posibilidad tampoco cuenta.

Si el oro estuviera en A y en C, tendríamos tres frases verdaderas, que tampoco vale.

Si el oro estuviera en B y en C, las tres frases serían falsas, y también la descartamos.

También podemos considerar que el oro no estuviera en ninguna de las tres y con esto quedan cubiertas todas las posibilidades. En este último caso dos frases serían falsas y una verdadera, luego esta posibilidad sí cumple las condiciones del problema.

Concluimos por tanto que las soluciones al problema es que el oro se encuentre en C o que no se encuentre en ninguna de las tres cajas.


[Este problema ha sido adaptado del libro El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1, de Miquel Capó Dolz, editorial El rompecabezas]