3 - 4 - 5

Cuaderno de bitácora: una vez más me encuentro con los números 3, 4 y 5. Quizás los legos en la matenavegación no imaginan qué tienen de particular estos tres números. Supongo que se pueden encontrar muchas características especiales de los tres, pero para mi, la que se me viene a la mente de inmediato, es que forman una terna pitagórica, la más sencilla y más conocida de todas.

Los números 3, 4 y 5 tienen la propiedad de que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero: 9 + 16 = 25. Son tres números enteros que cumplen el famoso teorema de Pitágoras. Si construimos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan respectivamente 3 y 4 unidades, entonces la hipotenusa mide 5 unidades exactamente.

Figura 1.
Aquí tenemos un sello griego dedicado al teorema de Pitágoras (Pythagoreion Theorema). En la página de Matemáticas Digitales podemos encontrar toda una entrada dedicada a los Sellos Matemáticos.

Esto es un descubrimiento que puede parecer interesante, pero no es nuevo, desde luego. Se conoce desde la más remota antigüedad. Aparece en papiros egipcios antiguos que tratan sobre matemáticas, y en tablillas babilónicas. Aparece también en las matemáticas de la antigua China, en Grecia, etc.

Los números 3, 4 y 5 no son los únicos que cumplen esta propiedad. Hay infinitas ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras. Además de 3-4-5, tenemos por ejemplo:

5 - 12 - 13 

7 - 24 - 25

8 - 15 - 17

12 - 35 - 37

20 - 99 - 101

20 - 21 - 29

24 - 143 - 145

28 - 45 - 53

33 - 56 - 65

48 - 55 - 73

65 - 72 - 97

119 - 120 - 169

123 - 164 - 205

261 - 380 - 461 etc...

También podemos contar, por supuesto, todas las ternas que son múltiplos de las mencionadas. Así, de 3-4-5, con sólo multiplicar por 2 sacamos 6-8-10, que también cumple la propiedad de que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero: 36+64=100. Si multiplicamos por 3, tenemos la terna 9-12-15, si multiplicamos por 4, la terna 12-16-20, etc. Todas estas ternas de números cumplen el teorema de Pitágoras.

Se dice que en el antiguo Egipto se utilizó esta propiedad para construir de forma sencilla ángulos rectos. Los agrimensores, por ejemplo, necesitaban trazar ángulos rectos en el terreno para reconstruir y medir la superficie de los campos de cultivo inundados por las crecidas del Nilo. Los arquitectos y constructores trazaban ángulos rectos con los que levantaban las impresionantes y monumentales construcciones que todavía nos asombran: pirámides, templos, obeliscos, etc.

Si se necesita construir un ángulo recto en el suelo, se puede emplear un método muy sencillo usando nuestra terna protagonista: se toma una cuerda suficientemente larga; como tenemos que 3+4+5=12, se van señalando en la cuerda 12 tramos de igual longitud, por ejemplo con la ayuda de nudos (se necesitarán 13 nudos). Se une el primer nudo con el último y se estira la cuerda por los nudos correspondientes para que se forme un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5. Este triángulo es rectángulo. El ángulo recto es el que está entre los lados que miden 3 y 4. La exactitud de dicho ángulo recto depende exclusivamente de la exactitud con la que se hayan medido los doce tramos sobre la cuerda.

Esta experiencia la hemos realizado hace algunos días con los grumetes. sobre el suelo del Barco Escuela. Hemos tomado una cuerda, hemos medido en ella doce segmentos de un metro de longitud cada uno, hemos construido el triángulo 3-4-5 y hemos trazado con tiza su silueta sobre el suelo. El ángulo recto nos salió bastante exacto.

No conformes con dibujar un triángulo, repetimos el dibujo hasta obtener la siguiente figura:

Figura 2.

Cuando teníamos terminado el dibujo, estuvimos comentando sobre la superficie dibujada en el suelo: así, por ejemplo, el cuadrado central, al tener de lado 5 metros, medía 25 metros cuadrados, y el cuadrado exterior, de lado 7 metros, tenía 49 metros cuadrados. Es la superficie de un apartamento pequeño, y también, aproximadamente, la superficie de una de las aulas del Barco Escuela.

Para terminar, varias cosas: además de la mencionada en la figura 1, hay otra página muy curiosa y muy extensa donde se guardan imágenes de gran cantidad de sellos de correos sobre matemáticos.

Por otro lado, en el cuarto párrafo hemos recogido unas cuantas ternas pitagóricas, todas ellas formadas por números naturales primos entre sí, es decir, las ternas no se pueden simplificar a ternas más sencillas, excepto una, que se puede simplificar a la terna protagonista de este artículo, ¿cuál es?

Por último, el tema de los triángulos 3-4-5 me lleva a conectar con las proporciones que tienen las pantallas de los televisores, de lo que hablaré en una próxima entrada del blog.