30.9.09

El Nurikabe

Cuaderno de bitácora: estamos empezando un nuevo periplo en el Barco Escuela, y este año a los grumetes les hemos propuesto como pasatiempo que aprendan a resolver nurikabes.
Descubrí el Nurikabe en una librería, en la sección de los libros dedicados a juegos y pasatiempos. Entre los libros de sudokus y kakuros estaba El libro del Nurikabe, escrito por Sam Griffith-Jones y publicado por Valor Editions.
Dice Sam Griffiths-Jones en su Introducción al Nurikabe:
En el folklore japonés, el Nurikabe es una pared invisible que impide al viajero proseguir su camino. El Nurikabe toma la forma de una tabla en la cual están colocados una serie de números. El objetivo es usar esos números para decidir qué casillas en la tabla deberían estar ennegrecidas (el Nurikabe, o pared), y cuales deberían quedarse en blanco, basándose en una serie de normas sencillas. El Nurikabe también es conocido bajo el nombre de "islas en una corriente", donde las casillas negras son la corriente y las casillas blancas las islas. Cada puzzle tiene una sola solución, y siempre se puede llegar a esa solución por deducción lógica. No es menester hacer adivinanzas.
Según la wikipedia, el Nurikabe es un pasatiempo desarrollado por un tal Reenin en el número 33 de la revista Nikoli, publicado en marzo de 1991. Pronto se convirtió en un éxito dentro de la revista, que ha seguido incluyéndolos en todas sus ediciones.
El Nurikabe ha seguido la estela del extraordinario éxito del Sudoku. Después de que el Sudoku se popularizase en 2004, otros pasatiempos de origen japonés han ido apareciendo en todo el mundo. El Kakuro y el Nurikabe son dos de ellos.
En la página web Nurikabe @ Daily Sudoku se explican las reglas, hay un tutorial y una gran colección de nurikabes para imprimir y resolver. Como quiera que la página está en inglés, a continuación incluyo una traducción de las reglas y el tutorial.

Reglas:
-Cada celda o casilla debe ser blanca o negra.
-Cada grupo de casillas blancas (islas) debe contener uno y solo un número.
-El número de casillas blancas en un grupo debe ser igual a ese número.
-Todas las casillas negras deben estar unidas formando un bloque continuo (el muro o corriente).
-Los bloques 2x2 de casillas negras no están permitidos.

Ejemplo resuelto:

Primer paso: casillas con un 1
Fijémonos en el número 1 cerca del centro de la cuadrícula. Cada isla debe contener un número. El número 1 representa una isla con solo un cuadrado blanco, así que podemos sombrear las casillas adyacentes. Esto mismo es cierto para el 1 de la esquina superior derecha.

Paso dos: sombreando entre las islas
Ningún grupo de celdas blancas debe contener más de un número. Esto significa que los números deben estar separados por cuadrados negros. Cuando tenemos dos números con un solo cuadrado entre ellos, este cuadrado debe ser ennegrecido. Por ejemplo, el 5 y el 2 de la esquina superior izquierda deben separarse por una casilla negra.

Paso tres: extendiendo el muro
Si nos concentramos en la esquina inferior izquierda de la cuadrícula, cada cuadrado negro debe estar conectado para formar el muro. La casilla negra de la esquina inferior izquierda no debe quedarse aislada. Sólo tiene un cuadrado vecino posible, el cual, por tanto debe ser negro. Donde haya una única posibilidad, debemos extender el muro.

Paso cuatro: extendiendo las islas
Fijémonos en el número 2 en la esquina inferior izquierda. Esta isla no está completa todavía, necesita un segundo cuadrado blanco. El número tiene sólo una casilla vecina posible, y por tanto debe ser blanca. Podemos poner un punto en esa casilla para mostrar que es blanca. Ahora la isla "2" está completa, y por tanto la podemos rodear de cuadrados negros.

Paso cinco: aislamiento
Echemos un vistazo a los cuadrados marcados con (a). Estos cuadrados están rodeados, y por tanto no pueden ser parte de ninguna isla. Se deben sombrear.
Como estamos ahí, debemos extender el muro de la esquina superior derecha. Podemos buscar otros lugares donde el muro debe extenderse también.

Paso seis: otra vez las islas
Miremos el 5 en la esquina superior izquierda. Necesitamos extender la isla. Usemos puntos para señalar los cuadrados que deben ser blancos.
¿Qué otras islas se pueden extender?

Paso siete: bloques 2x2
La última regla dice que no se permiten bloques 2x2. Los dos cuadrados marcados con (a) en la parte central izquierda de la cuadrícula deben ser blancos, porque si los sombreamos violamos dicha regla. Marquémoslos con puntos.


Paso ocho: sombreando entre las islas II
En el paso dos, rellenamos los cuadrados que separaban dos números. Esto lo podemos extender de manera lógica y rellenar los cuadrados que separan las islas que van creciendo. Observemos los cuadrados marcados (a). ¿Se comprende por qué deben ser sombreados?


Paso 9: muro e islas
El error más corriente es concentrarse sólo en el muro, o sólo en las islas. Necesitamos ir cambiando la atención del muro a las islas y de las islas al muro. Busquemos si se pueden extender partes del muro para evitar que se queden aisladas, y extender islas y sombrear las casillas que las rodean cuando están llenas.


Paso 10: ya casi está
¡Casi lo hemos conseguido! Nótese que en la cuadrícula mostrada arriba, debemos rellenar los cuadrados marcados (a) para que no se queden aislados trozos enteros de muro.


Paso 11: últimos cuadrados
Las islas restantes se pueden extender en una sola dirección. El último cuadrado oscuro une dos grandes secciones de muro en una unidad continua.


Paso 12: solución
¡Bien hecho! Obsérvese la distribución de las islas y la línea continua de muro.

En la misma web Nurikabe @ Daily Sudoku hay una página con muchos nurikabes para imprimir.

Notas:
Las reglas del Nurikabe no son tan intuitivas ni tan simples como las de los sudokus. De hecho hay variantes. Así tenemos, que en El libro del Nurikabe, Sam Griffiths-Jones incluye una regla específica, no incluida aquí, que dice que el muro no puede tener ciclos, es decir, el muro no puede contener circuitos cerrados de casillas; otra forma de definir esta misma regla es exigir que dadas dos casillas negras del muro, debe haber un solo camino posible que las une. Además no están permitidos los bloques 2x2 de casillas negras ni tampoco los bloques 2x2 de casillas blancas. Sin embargo, en la página web Nurikabe @ Daily Sudoku no se incluyen estas dos reglas, aunque el ejemplo que trae sí las sigue implícitamente.
Hay otras páginas de Nurikabes en las que los ciclos sí están permitidos explícitamente. Véase, por ejemplo, el siguiente Nurikabe resuelto, que aparece en la página de su.doku.es:

En este Nurikabe hay un ciclo en torno a la isla "1" del centro. Si quisiéramos ir por el muro de una casilla negra que esté junto al 3, a la casilla negra que está junto al 6, habría dos caminos posibles, al poder rodear al 1 central por dos lados distintos.
Hay otras muchas webs en las que aparecen Nurikabes para resolver online. La página de la revista japonesa Nikoli tiene también tutoriales flash (en inglés) para aprender de forma sencilla e interactiva a solucionarlos.

Si yo tuviera un gúgol de euros...

Cuaderno de bitácora: en uno de nuestros viajes por los puertos ingleses, descubrimos un libro con muy buen precio, The Story of Mathematics, escrito por Anne Rooney. Su contenido es ameno y fácil de leer (para los que saben inglés), y durante el nuevo periplo del Barco Escuela estamos seleccionando algunos textos para trabajar con los grumetes.



Uno de esos textos habla sobre el gúgol y el gúgolplex (googol y googolplex en inglés). Los matenavegantes suelen conocer estos dos números, ya que han ido adquiriendo cierta fama a lo largo del tiempo.

Un gúgol es un número: un 1 seguido de cien ceros. En potencias de diez, diríamos que es diez elevado a cien, 10100. Es, por tanto, un número muy grande, enorme.

Un millón es un 1 seguido de seis ceros, un billón (en España) es un 1 seguido de 12 ceros. Un trillón, un 1 seguido de dieciocho ceros. Éstos ya son números muy grandes. El gúgol es mucho, mucho, pero mucho más grande que cualquiera de los mencionados. En la definición de gúgol de la Wikipedia, que recomendamos leer porque trae unas cuantas curiosidades sobre el gúgol, se comenta, por ejemplo, que siguiendo la misma tónica de potencias de diez: trillón, cuatrillón, quintillón, sextillón, septillón, octillón, etc., el gúgol equivaldría a diez mil hexadecillones.

Un gúgol, como hemos dicho, es enorme, pero mucho peor es el gúgolplex. El gúgolplex es otro número: un 1 seguido de un gúgol de ceros, o en potencias de diez, diríamos diez elevado a un gúgol.

La ocurrencia de ponerle nombres propios a estos dos números la tuvo Milton Sirotta, el sobrino de nueve años del matemático americano Edward Kasner. En el libro Matemáticas e Imaginación, de Edward Kasner y James Newman, se dice, por ejemplo, que
Palabras de sabiduría pronuncian los niños, por lo menos tan a menudo como los hombres de ciencia. El nombre "gúgol" fue inventado por un niño (sobrino del doctor Kasner, de nueve años de edad), a quien se le pidió que propusiera un nombre para un número muy grande, a saber: un 1 seguido de cien ceros. Estaba muy seguro de que este número no era infinito y, por lo tanto, igualmente en lo cierto de que tenía que tener un nombre. Al mismo tiempo que indicó la palabra "gúgol", sugirió el nombre para otro número aún mayor: "gúgolplex". Un gúgolplex es mucho mayor que un gúgol, pero continúa siendo finito, como se apresuró a señalar el inventor de su nombre. Primero se sugirió que un gúgolplex sería un 1 seguido de tantos ceros que uno se cansase de escribirlos. Esto es una descripción de lo que sucedería si uno tratara realmente de escribir un gúgolplex, pero distintas personas se cansan en tiempos diferentes y no consideraríamos a Carnera [un boxeador de la época] mejor matemático que al doctor Einstein, sencillamente porque tuviera más resistencia. El gúgolplex es, pues, un número finito determinado, formado por tantos ceros después de la unidad, que el número de ceros sea igual a un gúgol.
En otro pasaje del mismo libro, se dice también que
Desgraciadamente, tan pronto como la gente habla de números grandes, pierde la chaveta. Parecen hallarse bajo la impresión de que, ya que cero es igual a nada, pueden agregar a un número tantos ceros como les plazca sin que ello traiga consecuencias serias. Tendremos que ser un poco más cuidadosos, pues, al hablar de números grandes.
En efecto, corroborando lo que dice el libro, una vez que explicamos a los grumetes lo que significa un gúgol, ellos no parecen captar la idea. No les culpamos, porque es muy raro que alguien pueda captar la idea al principio. Les decimos, por ejemplo, que se ha calculado el número de partículas subatómicas del universo (protones, neutrones, electrones, fundamentalmente) y que ese número es menor que un gúgol, está en torno a diez elevado a ochenta, o un 1 seguido de ochenta ceros. Les decimos también que si quisiéramos escribir un gúgolplex, no habría en el universo espacio suficiente para escribir todos los ceros. Parece que con estas comparaciones es suficiente para que capten el concepto, pero no es así.

Porque de repente, siempre surge la misma ocurrencia: ¿y tener tanto dinero como un gúgol?

Hasta ahora no me había dado cuenta que una de las mejores maneras para hacerse una idea de los números grandes es hablar en términos de dinero. Ahí los grumetes, y cualquier persona, en general, tiene muchas referencias, y además interesantes, porque es fácil suponer que tenemos grandes cantidades de dinero y dejar volar la imaginación con todo lo que podríamos hacer con ellas.

Si hablamos de mil euros, por ejemplo, estamos hablando del sueldo mensual, un poco bajo, de una persona (últimamente se ha acuñado el término mileurista para designar en España a los trabajadores que tienen un sueldo en torno a mil euros al mes, cantidad que es escasa a la hora de hacer frente a la hipoteca de un piso, el mantenimiento de una familia, etc.) Si hablamos de diez mil euros, entonces ya entramos en lo que vale, por ejemplo, un automóvil sencillo. Si fueran cien mil euros, es el valor de un piso pequeño en una ciudad donde los precios de los pisos sean bajos.

Cuando llegamos a un millón de euros, entonces ya nos podemos imaginar una casa grande con jardín, piscina, bien amueblada, y si son diez millones de euros, empezamos a movernos en las cifras que ganan algunos deportistas al año. Cien millones de euros es un poco más de lo que costó el traspaso de Cristiano Ronaldo al Real Madrid, y puede ser el presupuesto de una superproducción de Hollywood protagonizada por actores famosos. Miles de millones de euros se pueden usar para contabilizar la fortuna de algunos multimillonarios. Aquí ya se empieza a perder la perspectiva.

Un billón de euros, (un millón de millones), es una cifra que se usa en la economía global de los países. El Producto Interior Bruto (PIB) en España, la suma de todos los bienes y servicios finales producidos en un año, fue en 2008 alrededor de un billón de euros, mientras que el PIB mundial, es decir, la suma de todos los países, no llegó a cincuenta billones de euros.

Un mil billones de euros, por tanto, es más de lo que se ha producido en todo el mundo durante los veinte últimos años.

Si ahora subimos a un trillón de euros (un 1 seguido de dieciocho ceros), resulta que es más de mil veces el dinero que se ha movido en todo el mundo en veinte años, ¿qué se le puede decir a un grumete cuando con ingenua e inconciente ocurrencia pregunta por un gúgol de euros?

En ese momento clave intento contestarle de forma contundente, y mi propia imaginación me traiciona. Lo primero que digo es que ese dinero no existe, que no hay tanto dinero en el mundo, y el grumete me pregunta: ¿por qué?

Luego se me ocurre decirle que con ese dinero se podría comprar el mundo entero, qué digo el mundo, el sistema solar entero, y esto último ya me parece bastante fuerte.

Pero poco a poco lo realmente enorme de tal cantidad se va abriendo paso en mi mente: un gúgol de euros...

No hay un gúgol de partículas subatómicas en el universo, luego si se me ocurriera pagar un euro por cada átomo del universo, podría comprar el universo entero, y me sobraría mucho dinero...
Pagar un euro por cada átomo es un precio CARÍSIMO. ¡Para comprar un SIMPLE vaso de agua no habría suficiente dinero en el mundo!.

Si yo tuviera un gúgol de euros, podría pagar un euro por cada átomo y comprar este universo entero.
Si yo tuviera un gúgol de euros, podría pagar un euro por cada partícula subatómica y comprar un trillón de universos como éste...

Si yo tuviera un gúgol de euros...

29.9.09

El Sudoku X

Cuaderno de bitácora: hace un par de meses, con el barco atracado en puerto, nos pusimos a ordenar los camarotes, y entre la montaña de viejos papeles que sacamos de los polvorientos armarios, apareció una doble página del Diario Córdoba, con fecha del 30 de diciembre de 2005, llena de sudokus para resolver durante las vacaciones de Navidad de aquel año.

Creo recordar que fue Antonio, un compañero oficial matenavegante, el que tras las fiestas navideñas, al reencontrarnos en el Barco Escuela, me tendió la doble página con la amable frase: "mira, el periódico traía estas páginas, me he acordado de tí que sé que te gustan los sudokus, aquí las tienes..."

No puedo negar que los sudokus me agradan mucho, aunque comparto su afición con los kakuros, nurikabes, puzzles japoneses y en general cualquier pasatiempo medianamente entretenido, incluyendo los clásicos crucigramas y autodefinidos. Aparte de la lectura, la escritura, las películas, etc., los pasatiempos me sirven para rellenar los numerosos ratos de ocio en las largas travesías por los mateocéanos.

Cuando Antonio me dio aquella doble página, hace ya casi cuatro años, escribí algunos números en algún que otro sudoku, sin terminar ninguno, y luego guardé el papel en cierto lugar del camarote, y allí se ha quedado, esperando pacientemente la ocasión de volver a salir a la luz, lo que ocurrió por fin cuando este verano me puse a ordenar y limpiar.

El espacio en la doble página se había aprovechado muy bien: en total venían en ella veinticinco sudokus, de los cuales, dieciocho eran sudokus normales, había tres sudokus más sencillos, uno de 4x4 y otros dos de 6x6, también un sudoku monstruo de 16x16, y tres sudokus irregulares (que en el diario se llamaban sudokus estrella, quizás aludiendo a los adornos navideños).

Los sudokus irregulares son como los normales, salvo que en lugar de estar organizados en cuadrados 3x3, están dividido en nueve zonas de nueve números cada una, pero las zonas no suelen ser cuadradas, sino que son figuras irregulares, de ahí el nombre.

En los largos días de verano, mecido suavemente por las olas que venían a descansar al puerto, aprovechando la ocasión de aquel hallazgo, me dediqué a resolver, uno por uno, todos los pasatiempos. Había sudokus más sencillos, otros de nivel medio, y otros más difíciles. El sudoku monstruo 16x16 fue especialmente laborioso, pues se debían tener en cuenta, además de los dígitos del 1 al 9 habituales, el 0 y las letras A, B, C, D, E, F. Dos de los sudokus irregulares salieron sin problemas. Pero el tercer sudoku irregular se resistió enormemente a ser solucionado.

Lo intenté en varias ocasiones, pero al principio, ante la imposibilidad de encontrar razonamientos que me condujeran a sacar los números, lo iba posponiendo, hasta que se me quedó en último lugar. Todos los demás sudokus estaban ya terminados y sólo éste permanecía invicto, desafiante. Le di muchas vueltas, y poco a poco, día tras día, empezó a ceder. Un día lograba poner un nuevo número. Al día siguiente, otro número, y así, casi a dígito por día, logré avanzar, como piloto que guía su navío con extrema lentitud y cuidado por un estrecho marino sembrado de escollos. Finalmente, se consiguió. El sudoku fue resuelto.

Siempre que logramos resolver un problema difícil, ocurre que nuestra mente encuentra nuevos razonamientos, nuevos senderos lógicos, nuevas tesis e implicaciones. Así ocurrió también en la solución de este sudoku. A pesar de haber resuelto muchos, hemos descubierto algunas elaboradas relaciones entre los números de la cuadrícula que no son evidentes a simple vista, sino que aparecen después de reflexionar un día tras otro sobre los mismos números, las mismas filas, las mismas columnas, las mismas zonas.

A continuación incluyo el sudoku protagonista de esta aventura. Invito a todos los matenavegantes a que intenten resolverlo, pero quedan advertidos de su dificultad. Es posible que alguno descubra un camino corto para solucionarlo, un atajo que se me haya pasado inadvertido, lo cual no dejaría de ser una sorpresa muy agradable.

Es curioso que las casillas sombreadas de este sudoku, formadas por cinco zonas, la central y las de las esquinas, tengan, precisamente, la forma de una X, la clásica incógnita matemática. Por eso hemos bautizado a este sudoku con el misterioso nombre de Sudoku X.

Esta es la Solución al Sudoku X