[El Problema de la Semana] El tamaño de la pantalla

Este problema va de hacer cálculos sobre el tamaño de la pantalla de un televisor. Resolviéndolo podemos aprender la relación entre las pulgadas que mide, la proporción de sus lados o "relación de aspecto", y el tamaño real de los lados.

Nuestro televisor es de "40 pulgadas", esto quiere decir que la diagonal de la pantalla mide 40 pulgadas. Además es panorámico: la proporción entre sus lados o "relación de aspecto" es 16:9.

Intenta averiguar con estos datos la longitud de los lados en centímetros y el área de la pantalla en metros cuadrados.

No aparten sus ojos de la pantalla: la solución está más abajo.

SOLUCIÓN:

Lo primero que vamos a hacer es pasar las pulgadas a centímetros. Teniendo en cuenta que 1 pulgada = 2,54 cm, entonces:

40 pulgadas = 40 · 2,54 = 101,6 cm.

Si llamamos x e y al ancho y alto de la pantalla respectivamente, entonces podemos establecer dos relaciones.

Por un lado tenemos el teorema de Pitágoras: x e y son los catetos de un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es igual a 40 pulgadas o 101,6 centímetros:

x² + y² = 101,6²

Por otro lado la relación entre los lados es 16 : 9, esto quiere decir que se cumple la proporción:

x/y = 16/9, es decir, x = 16y/9

Sustituyendo en la ecuación del teorema de Pitágoras tenemos:

(16y/9)² + y² = 101,6²

hacemos operaciones, quitamos denominadores y tenemos:

256y² + 81y² = 101,6² · 81  

de donde:

337y² = 836127,36

despejamos la y:

y = 49,8 centímetros

calculamos la x:

x = 16y/9 = 88,6 centímetros.

Teniendo en cuenta que el ancho de la pantalla es de 88,6 cm = 0,886 m, y el alto es de 49,8 cm = 0,498 m, entonces el área de la pantalla es:

Área = 0,886 · 0,498 = 0,4412 m².

Sudoku de letras (25)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto

A   B   C   D   E   G   I   M   R

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá el nombre de una conocida ciudad de Inglaterra que alberga una famosa universidad.

 

 

[El Problema de la Semana] Los compañeros del primo

Hoy tenemos lo siguiente:

Probar que si un número es primo, exceptuando el 2 y el 3, entonces el anterior o el siguiente es un múltiplo de 6.

El razonamiento completo, después de la imagen ilustrativa.

En esta ilustración, obtenida de la web UM Científica, podemos ver una representación de la Espiral de Ulam. Se trata de colocar los números naturales, empezando por el 1, en forma espiral, y luego se van señalando los números primos. En la imagen, la bola clara a la derecha del centro representa al 1, luego encima de ella, otra bola clara que representa el 2, luego la espiral sigue hacia la izquierda con el 3 (bola clara), el 4 (bola roja), luego hacia abajo el 5 (bola clara) y así sucesivamente. Los números primos están señalados con bolas claras, los compuestos con bolas rojas. (El número 1 se considera no primo, sin embargo aquí se ha señalado como primo). Al colocar de esta manera los números, se aprecia inmediatamente que aparecen diagonales muy saturadas de números primos, e incluso algunas horizontales y verticales. Este extraño patrón es una de las muchas propiedades de los números primos que hasta hoy permanecen inexplicadas.

SOLUCIÓN:

Si consideramos un número múltiplo de 6, podemos expresarlo como 6 · n, ó 6n para abreviar y no tener que escribir un signo de multiplicación innecesario. Entonces él y los siguientes son:

6n

6n + 1

6n + 2

6n + 3

6n + 4

6n + 5

6n + 6

Debemos darnos cuenta que 6n y 6n + 6 son múltiplos de 6 consecutivos, y por tanto no pueden ser números primos.

6n + 2 es un número par, lo mismo que 6n + 4, luego ninguno de estos dos números puede ser primo. 6n + 3 es múltiplo de 3, y tampoco puede ser primo. (Recordemos que en el enunciado se habían excluido expresamente el 2 y el 3, los únicos primos par y múltiplo de 3 respectivamente)

Entonces los únicos primos de este grupo pueden ser el 6n + 1 ó el 6n + 5, y ambos están al lado de múltiplos de 6.

Si el número es 6n + 1 entonces el anterior a él es múltiplo de 6.

Si el número es 6n + 5 entonces el posterior a él es múltiplo de 6.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.

Sudoku de letras (24)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto

A   E   G   I   N   O   R   S   T

 

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: dirigir y administrar un negocio o una empresa.

[El Problema de la Semana] El duende de Fermat

Hoy nos encontramos con una discusión:

A cierto profesor de matemáticas se le apareció un duende travieso que le dijo: “estoy muy contento, porque a pesar de lo que dice el Teorema de Fermat, he encontrado un número n, mayor que 2, que cumple que

72ⁿ + 91ⁿ = 121ⁿ

Te reto a que adivines el número”.

“Eres un duende travieso y mentiroso” le contestó el profesor, “no puede existir ese número por una razón bastante sencilla”.

¿Eres capaz de encontrar una razón por la que, en este caso concreto, nunca se puede cumplir la igualdad para ningún n? 

Veamos la solución al dilema más abajo.

Aquí vemos una increíble ilustración, realizada por el artista Daniel Castro Maia, y titulada Un Puente Más Allá del Último Teorema de Fermat. Esta ilustración aparece en la revista Quanta Magazine, en un artículo que expone una breve historia del último teorema de Fermat, cómo establece un puente entre dos campos separados de las matemáticas, y los descubrimientos que ha permitido desde entonces.

SOLUCIÓN:

Si nos fijamos en las potencias implicadas, 91ⁿ siempre va a dar de resultado un número que acaba en 1:

91¹ = 91

91² = 8281

91³ = 753571, etc.

Lo mismo pasa con 121ⁿ, todas sus potencias también acaban en 1: 

121¹ = 121

121² = 14641

121³ = 1771561, etc.

Sin embargo, todas las potencias de 72ⁿ acaban en un número par que no es cero:

72¹ = 72

72² = 5184

72³ = 373248

72⁴ = 26873856

72⁵ = 1934917632, etc.

Es decir, las potencias de 72ⁿ van acabando en una sucesión de números pares: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6... que se repite periódicamente, sin que aparezca ningún cero.

Si sumamos un número que acaba en 2, 4, 8, ó 6 con un número que acaba en 1, el resultado dará un número que acaba en 3, 5, 9 ó 7, pero nunca acabará en 1. Luego no se puede cumplir la igualdad para ningún n, debido a esta sencilla explicación.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.

[El Problema de la Semana] Las diagonales del pentágono

Este problema va de ángulos y geometría:

Tenemos un pentágono regular y desde un vértice cualquiera trazamos las dos diagonales que parten de él. Estas dos diagonales, con los dos lados que se juntan en el vértice, forman tres ángulos.

¿Son iguales estos tres ángulos? ¿Cuál es su medida?

La solución, como siempre, más abajo.

Hablando de pentágonos, se nos ha ocurrido inmediatamente incluir una foto del archiconocido edificio del Pentágono, en Washington, sede del Departamento de Defensa de los Estados Unidos. Hasta el día de hoy es el edificio de oficinas más grande del mundo, y en él trabajan unos 23000 empleados, civiles y militares. Cada uno de sus lados mide aproximadamente 281 metros y su altura sobre el suelo alcanza 22 metros.

SOLUCIÓN:

Si trazamos las dos diagonales que parten de un vértice cualquiera de un pentágono regular, el pentágono nos queda dividido en tres triángulos. Por la simetría y regularidad del pentágono, se puede apreciar que los triángulos son isósceles; dos de ellos tienen el lado desigual más largo que los otros dos lados iguales, y el triángulo central tiene el lado desigual más corto que los otros dos lados.

Por la misma división en tres triángulos, y recordando que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo vale 180º, deducimos que la suma de los ángulos interiores del pentágono vale

180º · 3 = 540º

y por tanto cada ángulo interior vale

540º : 5 = 108º

De aquí se deduce fácilmente que en los dos triángulos isósceles de base más ancha los ángulos miden respectivamente 108º el opuesto a la base, y 72º la suma de los otros dos ángulos que al ser iguales miden 36º cada uno.

También es fácil darse cuenta, mirando en el dibujo del pentágono, que los ángulos que faltan por conocer en el triángulo central de base corta son: 108º - 36º = 72º cada uno de los ángulos iguales de la base, y el ángulo desigual 108º - 36º - 36º = 36º.

Como conclusión, los tres ángulos que nos pregunta el problema miden 36º cada uno y por tanto son iguales.

 

Aquí tenemos la ilustración de lo que acabamos de explicar, realizada con el programa GeoGebra.

 

Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.

[El Problema de la Semana] El jardín para pasear

Un problema para relajarse:

En un jardín rectangular de 74 m de largo y 53 de ancho, hay dos paseos de cemento, perpendiculares y de 2 m de ancho.

¿Cuánto mide la superficie cultivable del jardín?

Veamos una bucólica ilustración y luego encontremos la solución.

En la página tredhunter.com hemos encontrado esta caseta de jardín. Por lo que se puede observar en la foto, su forma es la de un poliedro con cinco caras cuadradas (incluyendo la base o suelo de la caseta) y ocho triangulares, seis triángulos equiláteros y dos rectángulos isósceles. Las ventanas son también triángulos equiláteros en su mayoría, aunque hay alguna ventana cuadrada (pero puesta en forma de rombo). Tiene una hechura abombada que debe dar una sensación de amplitud, una vez se entra en ella.

SOLUCIÓN:

El enunciado del problema deja abiertas varias preguntas. Nosotros haremos suposiciones lógicas sin las cuales el problema no tendría sentido.

La primera cosa que hay que completar en el enunciado es que los paseos son rectilíneos y atraviesan todo el jardín. Que son rectilíneos nos lo indica el afirmar que son perpendiculares, y si no atravesaran todo el jardín, entonces no sabríamos qué longitud tienen, pues habría infinitas posibilidades.

Una vez hechas estas dos primeras suposiciones, podemos entender también que los paseos son respectivamente paralelos a los lados del rectángulo. Sin embargo esto no tiene por qué ser cierto, y de hecho, si los paseos son paralelos a los lados del rectángulo, el problema es muy sencillo de resolver, pero si no lo son, entonces la situación se complica sobremanera.

Resumiendo: tenemos un jardín rectangular de 74 por 53 metros, cruzado por dos paseos rectilíneos perpendiculares de cemento, de 2 metros de ancho cada uno y paralelos respectivamente a los lados del rectángulo.

La superficie de todo el jardín es: 74 · 53 = 3922 metros cuadrados.

La superficie de cemento del paseo largo es 74 · 2 = 148 metros cuadrados.

La superficie de cemento del paseo corto es 53 · 2 = 106 metros cuadrados.

Al jardín hay que quitarle las superficies de cemento de los dos paseos. Sin embargo el cuadradito de 2 por 2 = 4 metros cuadrados donde se cruzan las dos superficies no hay que quitarlo dos veces. La operación correcta sería:

3922 - 148 - 106 + 4 = 3672 metros cuadrados de superficie cultivable.

Ampliación: Uno podría pensar que aunque los paseos no sean paralelos a los lados de los rectángulos el resultado es el mismo, pero no es así. Hay que tener en cuenta que si los paseos no son paralelos a los lados, sino oblicuos, la distancia que cruzan sobre el jardín es más larga, y por tanto hay más superficie de cemento y menos superficie cultivable. Los resultados van a depender de lo oblicuos que sean los paseos, y de dónde se sitúe el cruce de los mismos, pero parece claro que cuando los paseos son paralelos a los lados del jardín, y no oblicuos, tienen una longitud mínima, y por tanto ocupan menos superficie. Por consiguiente el área cultivable de 3672 metros cuadrados es la máxima posible. Es posible calcular una cota para los resultados cuando los paseos son oblicuos, y probablemente esa cota se alcance cuando los paseos formen un ángulo de 45º con los lados del jardín. Hemos hecho los cálculos y esta cota sería de 3626.19 metros cuadrados aproximadamente.

Si hacemos una representación de la situación con el programa Geogebra, podemos comprobar cómo varía cuantitativamente la solución cambiando la orientación de los paseos respecto al jardín.

 

Hemos dibujado con el programa GeoGebra el jardín con sus medidas exactas y colocado los dos paseos de cemento, que nos dividen el jardín en cuatro rectángulos. Si sumamos las áreas de los cuatro rectángulos obtenemos 3672 metros cuadrados.

En este gráfico se muestra un ejemplo de cómo quedaría el jardín con paseos no paralelos a los lados del rectángulo. En este caso concreto son paseos formando ángulos de 45º con los lados del jardín. Se comprueba empíricamente, sumando las áreas cultivables, que la superficie del jardín ha disminuido, concretamente la suma da 3626.19 metros cuadrados.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.