El Túnel de los Polígonos

Cuaderno de bitácora: investigando en el libro Mathematics and the Imagination, escrito por Edward Kasner y James Newman, hemos descubierto una construcción a la que podríamos llamar "el túnel de los polígonos".

La construcción es muy sencilla de entender: se comienza trazando un círculo, a continuación se traza un triángulo equilátero inscrito dentro de él, luego se inscribe otro círculo dentro del triángulo, después se inscribe un cuadrado dentro de este segundo círculo, a continuación se inscribe un pentágono regular dentro del tercer círculo... Y así sucesivamente, inscribiendo sucesivamente un círculo y dentro un polígono regular, de forma que en cada paso el polígono tiene un lado más que el polígono anterior.

Es evidente que esta construcción es infinita, ya que podemos continuarla con tantos polígonos como números naturales existen. Conforme avanzamos en la construcción, el "túnel" se va cerrando, los círculos se van empequeñeciendo, y puede parecer que en el infinito los círculos terminen por cerrarse en el centro. Sorprendentemente, esto no ocurre así, el "túnel" permanece abierto, y los círculos tienden a un círculo límite, de forma que el radio no tiende a cero, sino a una cantidad aproximadamente igual a 1/12 del radio del círculo inicial.

En la siguiente figura se dibujan los primeros pasos de la construcción y la circunferencia límite aproximada en el centro, trazada en línea discontinua.

Esta construcción se puede hacer en sentido inverso, es decir, hacia afuera: partimos de un círculo de radio definido y trazamos un triángulo equilátero, pero esta vez exterior, circunscrito al círculo inicial. Proseguimos trazando figuras exteriores o circunscritas: otro círculo, un cuadrado, un tercer círculo, un pentágono regular, un cuarto círculo, un hexágono regular, etc. La construcción va aumentando en tamaño, y podría parecer que los círculos trazados son cada vez más grandes con su radio tendiendo a infinito, pero no es así, aunque aumentan, sus radios tienden a un límite, que es aproximadamente igual a 12 veces el radio del círculo inicial.

A continuación vemos la figura de los primeros pasos de la construcción y en el exterior el círculo límite que no llega a superarse.

En el libro de Kasner y Newman no viene la demostración de este resultado, y supongo que debe ser una demostración difícil. Pero eso ya lo dejamos, como se suele decir, para los muy cafeteros...

Nota: los gráficos han sido trazados con el programa Geogebra.

Espiral de triángulos rectángulos

Hoy vamos a presentar una construcción geométrica que ha surgido cuando explicábamos a los grumetes la semejanza entre triángulos y más concretamente la de los triángulos rectángulos.

Empecemos trazando un triángulo rectángulo, por ejemplo uno de los más conocidos, el que tiene como medidas de los catetos y la hipotenusa 3, 4 y 5 unidades respectivamente, en la figura es el triángulo AOB. Recordemos que 3, 4, 5, es una terna pitagórica, pues son números enteros que cumplen que 3² + 4² = 5².

A continuación dibujamos otro triángulo rectángulo que va a ser semejante al primero. Para ello tomamos una perpendicular a la hipotenusa AB, y extendemos hasta cortar a la recta AO en el punto C.

El segundo triángulo BOC es semejante al primero, ya que el ángulo OBC es igual al ángulo OAB. Recordemos que para que dos triángulos rectángulos sean semejantes basta comprobar la igualdad de los ángulos agudos de ambos triángulos.

Como el segundo triángulo es semejante al primero, los lados correspondientes son proporcionales. La razón de proporción en este caso es muy fácil de calcular, comparando los catetos pequeños de ambos triángulos: 4/3. De aquí, las medidas, en el segundo triángulo rectángulo, de los catetos y la hipotenusa son 4, 16/3, 20/3, respectivamente.

Podemos continuar con el proceso y trazar un tercer triángulo rectángulo, semejante a los dos primeros. Para ello tomamos una perpendicular a BC y cortamos con la recta BO en el punto D. La razón de semejanza del tercer triángulo respecto al segundo sigue siendo 4/3, y los catetos y la hipotenusa de este tercer triángulo son, respectivamente, 16/3, 64/9 y 80/9.

Para completar nuestro ejemplo, vamos a dibujar un cuarto triángulo siguiendo el mismo proceso en espiral, tomando una perpendicular a CD que corte a OA en E, y construyendo el triángulo DOE. La razón de semejanza con el tercer triángulo vuelve a ser 4/3, y los catetos y la hipotenusa son, respectivamente 64/9, 256/27 y 320/27.

Podemos continuar la espiral indefinidamente, trazando triángulos rectángulos cada vez más grandes (porque la razón de semejanza, 4/3, es mayor que la unidad) y obteniendo dos progresiones geométricas, la de los catetos y la de las hipotenusas, ambas de razón 4/3:

Progresión geométrica de los catetos: 3, 4, 16/3, 64/9, 256/27, 1024/81, ...

Progresión geométrica de las hipotenusas: 5, 20/3, 80/9, 320/27, 1280/81, ...

Es evidente que esta construcción se puede realizar con cualquier triángulo rectángulo. A continuación hacemos el proceso comenzando con el triángulo rectángulo de lados 1, 2, y √5.

En este caso, la razón de proporcionalidad es 2, las progresiones geométricas crecen más rápidamente y la espiral es más abierta que la del primer ejemplo.

 

Si comenzamos con un triángulo rectángulo en el que el segundo cateto sea menor que el primero, entonces la razón de proporcionalidad es menor que la unidad y por tanto los triángulos que van apareciendo son menores y la espiral se enrolla hacia el interior. Así sucede, por ejemplo, con el triángulo de catetos 6, 5, √61, con razón de proporcionalidad 5/6.

Si comenzamos con un triángulo rectángulo isósceles, como el que tiene de lados 1, 1, √2, entonces la razón de proporcionalidad vale 1, los triángulos sucesivos salen iguales, y la espiral no se ensancha ni se estrecha, sino que regresa a su punto de partida, cerrándose y formando un cuadrado.

AMPLIACIONES:

-Se pueden hacer espirales de triángulos semejantes no rectángulos. Si por ejemplo tomamos el ángulo que apunta al centro de la espiral con una medida de 72º, y luego vamos haciendo que los ángulos de brazos de la espiral siempre midan 108º, obtenemos una espiral que va siguiendo las particiones de un pentágono.

En la imagen partimos de un triángulo en el que los dos lados que flanquean al ángulo de 72º valen, respectivamente 3 y 4. El tercer lado ya sale decimal, 4'19. Los ángulos del triángulo son 72º, 65'1º y 42'9º. Los triángulos semejantes que se obtienen siguen la razón de semejanza 4/3.

Igualmente se pueden hacer espirales de triángulos semejantes partiendo de cualquier triángulo que tenga los ángulos que se quiera, aunque la estética del dibujo obtenido puede ser discutible.

-Interesante es el caso de las ternas pitagóricas, los triángulos rectángulos en los que los catetos y la hipotenusa son números enteros. Como hemos visto en el ejemplo 3, 4, 5, el primer triángulo de la sucesión si tiene una terna pitagórica, pero a partir del segundo triángulo van apareciendo números fraccionarios. Esto es así porque la razón de semejanza, 4/3 en el ejemplo, es un número fraccionario. Se puede comprobar que esto es una regla general: si comenzamos con una terna pitagórica, la razón de proporcionalidad siempre es una fracción, y viceversa, si la razón de proporcionalidad es un número entero, entonces el triángulo rectángulo de partida no presenta una terna pitagórica.

Nota: todos los gráficos se han hecho con Geogebra.

[El Problema de la Semana] La servilleta y el bizcocho

En esta ocasión traemos un problema apetitoso:

Hemos cocinado un bizcocho rectangular, y sus medidas son de 30cm de largo por 10cm de ancho. Lo queremos cubrir con una servilleta cuadrada de papel que tiene 30 cm de diagonal, con lo cual quedan unos triángulos de bizcocho sin cubrir, como se ve en la figura. ¿Cuánto mide el área total de lo que queda sin cubrir? ¿Cuánto mide el área cubierta?

La solución después de la ilustración.

[En la ilustración vemos un conocido fractal tridimensional: la esponja de Menger, el cual se forma partiendo de un cubo, dividiéndolo en 3·3·3 = 27 cubos más pequeños, como el cubo de Rubik, y quitando el cubo central y los cubos que están al centro de cada cara, 7 cubos en total. Luego, con los 20 cubos restantes, se vuelve a repetir la operación, y así hasta el infinito.]

 

SOLUCIÓN:

A primera vista el problema puede parecer complicado, incluso para aplicar el teorema de Pitágoras. Sin embargo, cuando examinamos bien las superficies a calcular, nos damos cuenta que son cuatro pequeños triángulos rectángulos, en cada uno de los cuales el área se calcula de forma muy sencilla.

Área de uno de los triángulos = (base · altura) / 2 = (5 · 5) / 2 = 12.5 cm².

Área total sin cubrir (4 triángulos) = 12.5 · 4 = 50 cm².

También es muy fácil calcular el área cubierta por la servilleta:

Área total del bizcocho: base · altura = 30 · 10 = 300 cm²

Área cubierta: 300 - 50 = 250 cm².

 

AMPLIACIÓN:

Para los que se quedaron con las ganas de aplicar el teorema de Pitágoras, ahí va la siguiente pregunta: Con los mismos datos, si ponemos la servilleta con los lados paralelos a los lados del bizcocho, ¿qué área del bizcocho quedará sin cubrir? ¿Qué área quedará cubierta?

Otra propiedad del folio A4

Cuaderno de bitácora: un día de esos de matenavegación se nos ocurrió una idea que ha tenido un resultado interesante y que nos ha permitido descubrir otra propiedad que tienen las proporciones de un folio A4. La idea surge del siguiente problema:

Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 1. Queremos inscribir un rectángulo dentro del cuadrado, de forma que el eje mayor del rectángulo (pasa por el centro y es paralelo a los lados más largos) coincida con una de las diagonales del cuadrado, y los cuatro vértices del rectángulo estén sobre los lados del cuadrado. Si el lado mayor del rectángulo también mide 1, ¿cuánto mide el lado menor?

La situación es como se ve en el gráfico.

 

El cuadrado es ABCD, de lado 1, el rectángulo IJKH está inscrito en el cuadrado, su eje mayor LM coincide con la diagonal del cuadrado AC. Si el lado mayor del rectángulo, HK, mide también 1, ¿cuánto mide el lado menor IH?

El lector puede intentar resolver el problema, que no es difícil. Nosotros lo resolvemos a continuación.

 

Primero nos fijamos en el triángulo HBK. Se trata de un triángulo isósceles rectángulo, cuya hipotenusa mide 1. Es muy sencillo calcular la longitud de los catetos HB y BK, pues ambos son iguales. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

 

 

De aquí se deduce que

Como AIH es un triángulo rectángulo isósceles, AH = AI, entonces nuevamente aplicando el teorema de Pitágoras, en este caso podemos calcular la hipotenusa, IH = x.

 

 

Ya tenemos el valor de la x. Pues bien, si nos fijamos, resulta que juntos el cuadrado de lado 1 y el rectángulo de lados 1 y raíz de 2 menos 1 coinciden en las proporciones de un folio A4. (Véase La raíz cuadrada de 2 en un folio A4)

Proporciones en un folio A4 y en el formato DIN.

 

En conclusión, si tomamos un folio A4, y lo dividimos en un cuadrado y un rectángulo, este último se puede inscribir diagonalmente en el cuadrado. Sugiero al lector que tome un folio y haga la comprobación. A continuación incluimos algunas fotos con el proceso.

Tomamos un folio A4; recordemos que sus lados están en proporción √2:1.

Doblamos en diagonal, haciendo coincidir el lado menor sobre el lado mayor.

Cortamos o separamos el rectángulo sobrante.

Desdoblamos el cuadrado y doblamos el rectángulo por su eje mayor.

Si hacemos coincidir el eje mayor del rectángulo sobre la diagonal del cuadrado veremos que las esquinas del rectángulo coinciden perfectamente sobre los lados del cuadrado, sin quedarse cortas ni sobresalir. Esto solo ocurre cuando partimos de un rectángulo que, como el folio A4, tenga unas proporciones √2:1.

También se puede consultar esta misma construcción en el vídeo: https://youtu.be/x-HMCKHOIVs

[El Problema de la Semana] Más Triángulos de un Solo Trazo

Continuando con el trazado de grafos sin levantar el lápiz del papel, proponemos al lector el siguiente:

¿Sería capaz el lector de dibujar de un solo trazo el siguiente grafo lleno de triángulos?

Más abajo encontrará la solución.

Esta fotografía está tomada en el Centro de Conferencias KAFD en Riyadh, Arabia Saudita. El autor del diseño es Daniel Buren, un artista conceptual francés. La imagen está sacada de este sitio.

SOLUCIÓN:

El recorrido se puede hacer de muchas formas. A continuación exponemos una de las posibles soluciones, la cual me fue sugerida por un grumete del Barco Escuela:

A-E-F-J-K-N-O-Q-R-O-K-F-A-B-F-G-K-L-O-P-L-G-B-C-G-H-L-M-H-C-D-H-I-D

También exponemos otra solución, con un recorrido un poco más complejo:

A-E-F-G-H-I-D-H-L-O-Q-R-O-K-F-A-B-C-G-K-N-O-P-L-G-B-F-J-K-L-M-H-C-D

 

AMPLIACIÓN:

Como se ha explicado en el problema de la semana anterior, Triángulos de un Solo Trazo, Euler demostró que un grafo era resoluble mediante un solo trazo siempre que el número de vértices impares fuera cero o dos, pero no es resoluble si el número de vértices impares es cuatro o más.

En nuestro ejemplo de hoy tenemos que todos los vértices son pares, salvo el A y el D. Luego este grafo es resoluble, siempre que tomemos A y D como puntos de inicio y final.

Nota: este problema está inspirado en uno de los capítulos del libro Mathematics and the Imagination, de Edward Kasner y James Newman.

[El Problema de la Semana] Triángulos de un Solo Trazo

Presentamos hoy uno de los típicos problemas o pasatiempos en los que hay que conseguir trazar una figura de un solo trazo, es decir, en una sola línea, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por un mismo camino ya dibujado:

¿Es usted capaz de dibujar, de un solo trazo, la siguiente figura triangulada?

La solución, unos cuantos triángulos más abajo.

 

Buscando triángulos hemos encontrado esta caja de porciones de queso. Anuncia que lleva dentro "16 cheese triangles", (16 triángulos de queso), aunque estrictamente hablando, las porciones no son triangulares, porque uno de sus lados es curvo. Pero claro, anunciar que dentro de la caja hay "16 cheese circular sectors", (16 sectores circulares de queso), sería no solo confuso, sino matemáticamente pedante.

SOLUCIÓN:

En este grafo en particular podemos empezar a trazar por cualquiera de los puntos, y si hacemos el recorrido de forma inteligente lograremos nuestro objetivo.

Así, por ejemplo, podemos empezar por el vértice A, y luego hacer el siguiente recorrido:

A - C - D - B - G - I - J - H - E - C - F - I - H - F - D - G - F - E - A

Pasando en este orden por los diferentes vértices habremos resuelto el problema. Hay muchas otras soluciones que el lector puede ir probando.

AMPLIACIÓN:

Históricamente, el problema de dibujar grafos pasando por todas las aristas sin levantar el lápiz del papel tiene su origen en el Problema de los Puentes de Königsberg. Este problema fue resuelto por Leonhard Euler, y dio origen a una nueva rama de las matemáticas, la Topología, también llamada originalmente Analisis Situs.

La solución de Euler es muy sencilla de entender y se basa en clasificar los vértices del grafo en vértices pares o impares, según el número de aristas que convergen en cada vértice:

-Si un grafo solo tiene vértices pares, entonces se puede dibujar de un solo trazo, empezando por cualquier vértice.

-Si un grafo tiene dos vértices impares y el resto son pares, también se puede dibujar, pero esta vez hay que empezar el trazo en uno de los vértices impares, mientras que el otro vértice impar será el punto en el que finaliza el trazo.

-Si un grafo tiene cuatro o más vértices impares, entonces no se puede dibujar de un solo trazo.

En el grafo que hemos puesto en el problema de hoy, podemos ver que todos los vértices son pares: en A, B y J convergen 2 aristas, en C, D, E, G, H e I convergen 4 aristas, y en F convergen 6. Por tanto, se puede dibujar de un solo trazo, empezando por cualquier punto.

Nota: este problema está inspirado en un capítulo del libro Mathematics and the Imagination, de Edward Kasner y James Newman.

The Platonic solids - Los sólidos platónicos

The Platonic solids

Plato (427-347 BC) identified five polyhedral solids with all faces the same. He associated these with the basic elements which he believed made up the physical world. These Platonic solids are the triangular pyramid (tetrahedron), cube (hexahedron), octahedron, dodecahedron and icosahedron. Plato claimed that earth was made of cubic particles, fire of pyramids, air of octahedrons and water of icosahedrons. He claimed, '… the gods used the dodecahedron for arranging the constellations on the whole heaven'.

In his Elements, Euclid gives a thorough account of the Platonic solids and repeats Plato's assertion that there are only five regular solids.

Los sólidos platónicos

Platón (427-347 a.C.) identificó cinco sólidos poliédricos con todas las caras iguales. Los asoció con los elementos básicos que creía que formaban el mundo físico. Estos sólidos platónicos son la pirámide triangular (tetraedro), el cubo (hexaedro), el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro. Platón afirmaba que la tierra estaba hecha de partículas cúbicas, el fuego de pirámides, el aire de octaedros y el agua de icosaedros. Él aseguraba que "... los dioses usaron el dodecaedro para ordenar las constelaciones en todo el cielo".

En sus Elementos, Euclides da una detallada descripción de los sólidos platónicos y repite la afirmación de Platón de que solo hay cinco sólidos regulares.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro: The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

The Nine Chapters - Los Nueve Capítulos

The Nine Chapters

The earliest Chinese mathematical text, The Nine Chapters on the Mathematical Art, was first produced in the 1st century BC. Many commentaries were written over the ensuing centuries, the best of which was by Liu Hui in AD 263. The text demonstrates Pythagoras’ theorem (derived independently) and shows how to calculate such distances as the height of a tower seen from a hill, the breadth of an estuary, the height or a pagoda and the depth or a ravine. It also deals with finding areas and volumes of figures such as trapezoids, circles, segments of circles, cylinders, pyramids and spheres.

Los Nueve Capítulos

El texto matemático chino más antiguo, Los Nueve Capítulos del Arte Matemático, apareció por primera vez en el siglo I a.C. Se escribieron muchos comentarios a lo largo de los siglos siguientes, el mejor de los cuales fue de Liu Hui en 263 d.C. El texto demuestra el teorema de Pitágoras (deducido de forma independiente) y enseña como calcular distancias tales como la altura de una torre vista desde una colina, la anchura de un estuario, la altura de una pagoda y la profundidad de un barranco. También trata del cálculo de áreas y volúmenes de figuras como trapezoides, círculos, segmentos de círculos, cilindros, pirámides y esferas.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

Einstein, Riemann and the Space-Time Continuum - Einstein, Riemann y el Continuo Espacio-Tiempo

Einstein, Riemann and the Space-Time Continuum

The general theory of relativity postulated by Albert Einstein (1879-1955) uses the concepts of Riemann geometry and an extra dimension, making a four-dimensional space called space-time. In general relativity, space-time is curved, with the degree of curvature increasing close to massive bodies. Curvature is produced by the interaction of mass-energy and momentum producing the phenomenon we know as gravity. Thus Einstein’s theory replaces the force of gravity familiar from Newtonian mechanics with multi-dimensional, non Euclidean geometry.

Einstein, Riemann y el continuo espacio-tiempo

La teoría general de la relatividad propuesta por Albert Einstein (1879-1955) utiliza los conceptos de la geometría de Riemann y una dimensión extra, construyendo un espacio cuatridimensional llamado espacio-tiempo. En la relatividad general, el espacio-tiempo es curvo, con el grado de curvatura incrementándose cerca de los cuerpos masivos. La curvatura se produce por la interacción de la masa-energía y la cantidad de movimiento, produciendo el fenómeno que conocemos como gravedad. Por tanto, la teoría de Einstein sustituye la fuerza de gravedad conocida de la mecánica newtoniana con geometría no euclídea tridimensional.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

Ptolemy and the Americas - Ptolomeo y las Américas

Ptolemy and the Americas

Though Ptolemy's most famous work was The Almagest, he also wrote a Geography which remained influential for over a thousand years. He developed two projections and introduced lines of latitude and longitude, though the inaccuracy of measurements led to considerable errors in his longitudes. He also overestimated the extent of the Earth's surface covered by the Hellenic lands and consequently his calculated size of the Earth was smaller than the real thing.

The earliest surviving European maps from the Middle Ages are heavily reliant on Ptolemy's Geography. When explorers planned to sail to India by heading west they would have expected the journey to be much shorter than it actually was. Perhaps if Columbus had realized the true nature of the undertaking he would not have attempted the voyage that led him to the Americas.

Ptolomeo y las Américas

Aunque el trabajo más famoso de Ptolomeo fue El Almagesto, también escribió una Geografía que mantuvo su influencia durante más de mil años. Ptolomeo desarrolló dos proyecciones e introdujo líneas de latitud y longitud, aunque la inexactitud de las medidas causaron errores considerables en sus longitudes. También estimó por exceso la extensión de la superficie de la Tierra cubierta por las tierras helénicas y en consecuencia el tamaño de la Tierra que calculó resultó más pequeño que el real.

Los mapas europeos más antiguos que todavía sobreviven desde la Edad Media se apoyan considerablemente en la Geografía de Ptolomeo. Cuando los exploradores planearon navegar a la India por el oeste, debían haber esperado que el viaje fuera mucho más corto de lo que fue en realidad. Quizás si Colón se hubiera dado cuenta de la verdadera naturaleza de la empresa, no habría intentado el viaje que lo llevó a las Américas.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

[El Problema de la Semana] El rebote afortunado

Juguemos a la pelota... sin romper nada:

 

Un chico debe lanzar con fuerza una pelota en línea recta para que, después de rebotar en el suelo, siga en línea recta hasta colarse por una pequeña ventana. Si la altura del chico es de 1'50 m, la altura de la ventana es de 2'50 m y la distancia entre el chico y la pared donde se encuentra la ventana es de 8 metros:

 

¿En qué punto del suelo debe hacer rebotar la pelota?

Para encontrar la solución, lance la página y rebote debajo de la imagen.

A través de una esfera de cristal vemos la imagen invertida del paisaje. La ilustración ha sido tomada de este sitio.

SOLUCIÓN:

En primer lugar debemos comentar que en este problema estamos haciendo una licencia física: cuando alguien lanza una pelota por el aire en una dirección que no sea perpendicular al suelo, la trayectoria que sigue la pelota nunca será perfectamente recta debido a la gravedad terrestre. Siempre se asemejará a un tramo de parábola.

De hecho, si quisiéramos que la trayectoria fuera perfectamente recta deberíamos lanzarla en un ambiente sin gravedad, como el que puede haber en una estación espacial.

Pero mejor dejemos de complicarnos la vida. Supongamos que el chico del problema lanza la pelota con la suficiente fuerza para que ésta siga una línea prácticamente recta, y despreciemos los detalles.

Cuando la pelota rebota en el suelo sucede un hecho importante: el ángulo con el que la pelota alcanza el suelo es igual al ángulo de rebote. Siendo así, podemos hacer un esquema geométrico de la situación:

En el esquema vemos que el chico está representado por el segmento AB, y la pared con la ventana por el segmento CD. El punto de rebote es R, y en ese punto el primer tramo de la trayectoria de la pelota, BR, forma un ángulo de incidencia α con la horizontal, mientras que el segundo tramo de la trayectoria, RD, forma el ángulo de rebote β. Los ángulos de incidencia y rebote son iguales: α = β.

Como estos dos ángulos son iguales, y los triángulos ABR y CDR son rectángulos, entonces estos dos triángulos son semejantes. Por tanto los lados correspondientes son proporcionales, y concretamente con los catetos podemos hacer la igualdad de proporciones:

AB/CD = AR/CR

es decir:

1.5/2.5 = m/n

pero:

n = 8 − m

y por tanto:

1.5/2.5 = m/(8−m)

Multiplicamos en cruz y desarrollamos la ecuación:

1.5(8 − m) = 2.5m

12 − 1.5m = 2.5m

4m = 12

m = 3

La respuesta sería: el chico debe hacer rebotar la pelota en el punto R que se encuentra a 3 metros de él y 5 metros de la pared.

AMPLIACIÓN:

Hemos hecho los cálculos con una proporción que ha dado como resultado una ecuación de primer grado. También podemos solucionar el problema de forma estrictamente geométrica, haciendo la simetría de la ventana con el suelo y prolongando la trayectoria de la pelota en línea recta, como si golpeara contra el reflejo de la ventana en el suelo, tal y como se ve en el esquema:

Según esto, primero calculamos el punto E, simétrico del D respecto a la recta AC, y el punto de rebote R sería el punto de corte de la recta BE con la recta AC.

 
Nota: este problema ha sido adaptado del libro: Matemágicas, de Ignacio Soret Los Santos.

Obtención geométrica de la raíz cuadrada

Cuaderno de bitácora: recientemente hemos descubierto, gracias al libro Mathematics and the Imagination de Edward Kasner y James Newman, un sencillo hecho que vamos a compartir a continuación.

Nos dan un número cualquiera, x. ¿Sabríamos calcular con regla y compás su raíz cuadrada?

Primero debemos representar gráficamente el número x como un segmento cuya longitud es precisamente x. Vamos a suponer, por ejemplo, que el número es x = 5, y lo representamos gráficamente.

A dicho segmento le añadimos una extensión de longitud 1.

Tomamos ahora el centro del segmento AC y trazamos un semicírculo que pase por A y por C.

Levantamos una perpendicular desde el punto B, y la cortamos con el semicírculo. Obtenemos un segmento, AD. La longitud de este segmento es la raíz cuadrada de x. En este caso la raíz cuadrada de 5, que si la aproximamos con decimales sale 2.236067977...

¿Esto funciona siempre así? ¿Cuál es su justificación?

Sí, funciona con cualquier número. Su justificación está en el llamado TEOREMA DE LA ALTURA.

Construimos un triángulo rectángulo. Para ello tomamos como base el lado AC, que va a ser la hipotenusa, y trazamos un semicírculo que pase por A y por C. Elegimos un punto del semicírculo, D, y lo unimos con A y C. Se puede demostrar que el triángulo ACD es rectángulo necesariamente, con el ángulo recto en D y catetos AD y CD.

Desde D trazamos la altura, que corta perpendicularmente a AC en el punto B.

La altura BD corta al triángulo rectángulo original en dos triángulos rectángulos más pequeños, ABD y BCD. Es fácil razonar que los tres triángulos, el grande ACD y los pequeños ABD y BCD son semejantes, ya que sus ángulos son iguales. Por ejemplo, el ángulo A forma parte tanto del triángulo ACD como del ABD, luego estos dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el A y el ángulo recto, y por tanto también tienen igual el tercer ángulo, por tanto ACD y ABD son semejantes. Igual razonamiento podemos hacer con el ángulo C, el triángulo ACD y el BCD, y de aquí ACD y BCD también son triángulos semejantes. Como consecuencia, BCD y ABD son semejantes entre sí por ser semejantes ambos al triángulo grande ACD.

Si dos triángulos son semejantes, sus lados correspondientes son proporcionales. Si tomamos los catetos de los triángulos ABD y BCD, entonces se cumple la proporción:

AB/BD = BD/BC

Como en la figura hemos dado los nombres x = AB, y = BC, h = BD, entonces:

x/h = h/y

De aquí, multiplicando en cruz:

h² = x · y

Este es el teorema de la altura, que dice: "En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura trazada sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa".

En el caso que estamos estudiando en esta entrada, si y = 1, entonces tenemos que

h² = x ·1 = x

Y por tanto:

h = √x

Así se justifica la construcción que hemos hecho al principio, donde pusimos el ejemplo x = 5.

Flatland - Planilandia

Flatland

The novella Flatland: A Romance of Many Dimensions written and illustrated by Edwin Abbott Abbott in 1884 satirized the social hierarchy of Victorian Britain in a mathematical tale. The narrator, a square, occupies a two-dimensional world, Flatland. He dreams that he visits a one-dimensional world, Lineland, but cannot convince the ruler that life in two dimensions is possible. The square is visited by a sphere, but can't conceive of a three-dimensional world until he visits it. The square then tries to convince the sphere that more dimensions might exist, but he won't be persuaded. It becomes a criminal offence to suggest in Flatland that a three-dimensional world is possible.

Planilandia

La novela Planilandia: un romance de muchas dimensiones, escrita e ilustrada por Edwin Abbott Abbott en 1884, satirizaba la jerarquía social de la Inglaterra victoriana en un relato matemático. El narrador, un cuadrado, ocupa un mundo bidimensional, Planilandia. Sueña que visita un mundo unidimensional, Linealandia, pero no puede convencer al gobernador de que la vida en dos dimensiones es posible. El cuadrado es visitado por una esfera, pero no puede concebir un mundo tridimensional hasta que lo visita. El cuadrado trata de convencer entonces a la esfera de que podrían existir más dimensiones, pero la esfera no se deja persuadir. Sugerir en Planilandia que un mundo tridimensional es posible se convierte en una ofensa criminal.

Esta es una ilustración sacada de la novela Flatland. En ella se aprecia el plano de la casa del cuadrado protagonista. Sus hijos son pentágonos, y sus nietos son hexágonos. Los sirvientes y los policías son triángulos agudos. Las mujeres, como la esposa y la hija del cuadrado, son segmentos. En el libro, de forma satírica, se equipara la evolución de una persona en inteligencia y su posición social con el número de lados que tiene como polígono. Así, en la escala más baja de la sociedad se encuentran los triángulos, que mientras más agudos son, también son más inferiores. El protagonista es un cuadrado, que es una escala media-baja. Los hijos del protagonista ya están en un escalón superior al ser pentágonos, y los nietos en otro escalón más arriba, al ser hexágonos. Las mujeres se encuentran en el escalón más inferior de todos, y por eso no tienen ni derecho a ser polígonos y son representadas por segmentos.

 Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney.
 

Fractals - Fractales

Fractals

A fractal is a structure in which a pattern is repeated from the large scale to the small scale, so that looking more closely at the structure reveals the same or similar figures. There are many near fractals in nature, including snowflakes, trees, galaxies and blood-vessel networks. Fractals are too irregular to be described using standard Euclidean geometry and generally have a Haussdorff dimension which differs from their normal topological dimension.

The best known examples of fractals are the Koch snowflake, the Sierpinski triangle and the Mandelbrot set. This last one was described by the Polish mathematician Benoît Mandelbrot, and is the result of drawing a geometric figure of a set of quadratic equations that involve complex numbers.

En esta ilustración podemos ver el conjunto de Mandelbrot. La imagen está sacada del blog Mates con Federico.

Fractales

Un fractal es una estructura con un patrón que se repite desde la escala grande a la pequeña, de forma que al mirar más de cerca la estructura se revelan las mismas figuras o figuras semejantes. Existen muchos casi fractales en la naturaleza, incluyendo copos de nieve, árboles, galaxias y redes de capilares sanguíneos. Los fractales son demasiado irregulares para ser descritos usando la geometría euclídea estándar, y generalmente tienen una dimensión Haussdorff que difiere de su dimensión topológica normal.

Los ejemplos más conocidos de fractales son el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski y el conjunto de Mandelbrot. Este último fue descrito por el matemático polaco Benoît Mandelbrot, y es el resultado de dibujar una figura geométrica del conjunto de ecuaciones cuadráticas que involucran números complejos.

[Adaptado del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney]

Thales - Tales

Thales (c.624-548 BC)

is the first mathematician known to us by name. He was a wealthy Greek who travelled widely and worked on many subjects including mathematics, astronomy and philosophy. He appears to have been the first to produce theorems which were supported by logical reasoning rather than experiment. Among other things he showed how it was possible to work out the height of a pyramid from the length of its shadow – using a stick placed vertically in the ground, and a calculation based on shadow lengths and similar triangles.

 

 

Tales (aproximadamente 624-548 a. de C.)

 

es el primer matemático que conocemos de nombre. Fue un griego adinerado que viajó ampliamente y trabajó sobre muchas materias, incluyendo matemáticas, astronomía y filosofía. Parece haber sido el primero en elaborar teoremas que se apoyaban en razonamientos lógicos en lugar de experimentación. Entre otras cosas, mostró cómo era posible calcular la altura de una pirámide partiendo de la longitud de su sombra - utilizando un palo colocado verticalmente sobre el suelo, y un cálculo basado en las longitudes de las sombras y en triángulos semejantes.

[extraído del libro: Oxford Study Mathematics Dictionary]

El vuelo del Matenavegante

Cuaderno de bitácora: usando nuestros nuevos conocimientos de papiroflexia matemática, nos hemos embarcado en el diseño de un nuevo avión de papel. Hemos empleado en él la construcción del ángulo de 60 grados que nos permite obtener triángulos equiláteros y hexágonos. El desarrollo se ha visto pronto coronado con el éxito. El resultado ha sido un elegante avión planeador, al que hemos bautizado, como no podía ser menos, con el nombre de el Matenavegante.

Veamos los pasos de nuestra construcción:

Figura 1. Partimos de un folio A4 normal.

Figura 2. Lo doblamos por la mitad a lo largo.

Figura 3. Aquí viene el doblez clave: tomamos una de las esquinas superiores y la llevamos a la línea de la mitad del folio, señalada por el doblez, mientras procuramos que la diagonal formada parta exactamente desde la otra esquina superior.

Figura 4. Con la otra esquina hacemos el mismo doblez. Con estos dobleces conseguimos ángulos de 60º exactos.

Figura 5. Juntamos las dos esquinas superiores en el medio y al hacerloel papel se levanta de forma natural en el centro, formando un pico.

Figura 6. Aplastamos ese pico de forma que nos quede un pequeño triángulo equilátero en la parte superior, bien centrado respecto al medio del folio.

Figura 7. Damos la vuelta al papel y lo doblamos desde arriba en el centro, llevando un lado superior sobre la mitad del folio.

Figura 8. Con el otro lado hacemos lo mismo.

Figura 9. Le damos la vuelta otra vez al papel y doblamos la punta hasta que llegue a la base del pequeño triángulo superior (en la imagen no se ve que llegue a la base, pero es por la perspectiva).

Figura 10. Le damos la vuelta al doblez de la punta y lo ponemos hacia el otro lado. Este doblez es para que el avión tenga una punta sólida y con peso, que lo guíe en su vuelo.

Figura 11. Es el momento de definir las alas: doblamos el avión sobre sí mismo por la mitad.

Figura 12. Hacemos un doblez paralelo a la mitad del folio, a lo largo de un ala, de forma que nos encaje con el doblez de la punta del avión. Este doblez lo repetimos en el otro ala. Ya tenemos el cuerpo central.

Figura 13. Es el momento de completar el diseño con un par de alerones al final de cada ala. Como se ve en la imagen, el doblez no es paralelo al cuerpo del avión, sino que se cierra un poco en la parte trasera. Esto es para que el avión tienda a ir hacia arriba, en lugar de hacia abajo. Es cuestión de experimentar con el vuelo para encontrar el alerón ideal.

Figura 14. Aquí vemos el avión terminado.

Figura 15. Podemos levantar la zona delantera imitando a "la cabina del piloto". Sin embargo esta posición es más bien estética; parece tener un vuelo mucho más estable si se mantiene aplastada sobre las alas.

Figura 16. Una vista delantera del avión.

Figura 17. ¡El Matenavegante ya está terminado y listo para despegar!

Notas: el diseño que acabamos de compartir es propio, es decir, no lo hemos tomado de ningún libro ni de ninguna otra fuente, sino que lo hemos inventado nosotros. Ignoramos si alguien más ha llegado a él por su propia inventiva. Este caso no sería de extrañar, pues en matemáticas y en otras muchas disciplinas es bastante normal que las ideas aparezcan en varias mentes de forma independiente.

Como se puede apreciar al ir construyendo el avión, aparecen figuras geométricas interesantes, como triángulos equiláteros de varios tamaños y ángulos de 30º y 60º por doquier. El vuelo del avión es un planeo rápido y estable, para ello hay que ajustar bien los dobleces, los alerones y mantener "la cabina" baja, aplastada sobre el cuerpo del avión.