13.3.08

Potencias de dos

Cuaderno de bitácora: la semana pasada rescatamos a un náufrago que iba a la deriva aferrado a los restos de un tablón de madera. Cuando lo subimos a bordo se encontraba muy mal de salud. Deliraba y tenía mucha fiebre. Tuvimos que ponerlo en un camarote bajo constante supervisión médica, y se fuerecuperando poco a poco durante estos días. Ayer ya pude conversar con él por primera vez.

Al parecer se ha pasado varios días en el mar, resistiendo el embate de las olas, la luz del sol, el frío y la humedad, y al final ha tenido suerte, porque cuando le encontramos ya estaba al límite de sus fuerzas. Probablemente habría muerto sólo horas después si no llegamos a subirle a bordo.


Sin embargo, como suele suceder cuando una persona es sometida a unas condiciones tan duras, su cordura ha quedado afectada. No da muestras, de momento, de razonar ni comportarse como un ser humano normal. Se ha obsesionado con los números y más concretamente con el número dos, y no hace más que pensar en dicho número, en sus potencias y en las propiedades, interesantes o estúpidas, que va encontrando entre ellas.

-Durante estos días que estuve a la deriva -me decía ayer-, he logrado aprenderme de memoria más de cien potencias de 2.

-¡Vaya cosa! -le respondí- ¿Y por qué lo hizo?

-Para olvidarme de mi situación desesperada. Y lo he conseguido. Me he salvado. Al 2 le debo la vida. Sin él habría dejado de luchar contra el mar mucho tiempo antes y me habría ahogado.

-Increíble.

-Sí, puede parecerlo. Pero el 2 es un número especial. ¿Sabía usted, por ejemplo, que es el número primo más pequeño?

-Sí, ya lo sabía.

-¿Y que es el único número primo que es par? Todos los demás primos son impares...

-Sí, eso también lo sabía.

-Además es el único número que su cuadrado coincide con su doble.

-No es el único. Esa propiedad también la cumple el cero.

-Pero, ¿qué es el cero sino la nada? El dos, sin embargo, es algo, no es cero, ni es uno, que al multiplicarse por si mismo se queda invariable. Es el primer número que tiene algo de carácter. Es el padre de todos los números pares. Pero no me interesan los números pares en general. Como le digo, me interesan las potencias de dos. Por ejemplo, la primera en la que me fijé fue 2 elevado a 10.

-Sí, 1024, la cifra que se usa en informática para pasar de Kas a Megas, de Megas a Gigas y de Gigas a Teras.

-Exactamente. Es una potencia de 2 que se parece mucho a una potencia de 10, concretamente a 1000. Luego hay otras potencias de 2 que también se parecen a potencias de 10.

-Supongo que se refiere usted a 2 elevado a 20, 2 elevado a 30 y así sucesivamente.

-Sí, pero también a otras curiosas. Veamos: 2 elevado a 20 es igual a 1.048.576, se parece a un millón, pero se diferencia de un millón en más de un 4'8%. Por otra parte, 2 elevado a 30 es 1.073.741.824, se parece a mil millones, pero ya se aparta en más de un 7'3%.

-Bueno, así va ocurriendo con las potencias más altas, supongo.

-Si continúa con 2 elevado a 40, a 50, a 60, etc., es así, pero fíjese en una potencia inesperada: 2 elevado a 103.

-Eso no sé cuánto vale.

-Pero yo sí -y tomó un papel y escribió rápidamente un número muy largo: 10.141.204.801.825.835.211.973.625.643.008-. Como puede observar, se parece mucho a diez quintillones, y sólo se diferencia de él en apenas un 1'4%.

-Ya -dije, un poco aburrido-. Supongo que si continúa haciendo potencias encontrará alguna que se parezca todavía más a una potencia de 10 correspondiente.

Me miró y creí percibir una pequeña molestia en su expresión.

-Bueno, deje que le cuente otras curiosidades. Si vamos escribiendo las potencias de 2, observará que cada una es un número con digitos que no se repiten. ¿Sabe cuál es la primera potencia de dos en la que hay dígitos repetidos?

-No.

-Es 2 elevado a 16: 65.536. Aparecen repetidos el 6 y el 5. ¿No le parece interesante que haya que elevar 2 a una potencia de 2? Porque 16 también es una potencia de 2, es 2 elevado a 4.

-Vaya.

-Sí. Lo curioso es que a partir de 2 elevado a 16, todas las siguientes potencias tienen dígitos repetidos, salvo dos casos. Así llegamos, por ejemplo, una muy bonita, 2 elevado a 25, que es 33.554.432. Resulta curioso la sucesión de parejas, de 3, de 5, de 4, para acabar con 32, otra potencia de 2, 2 elevado a 5. Otra muy curiosa es 2 elevado a 23, que da 8.388.608, en la que el 8 (otra potencia de 2) aparece repetido cuatro veces.

-Oh.

-Los dos casos que no repiten dígitos a partir de la potencia 16 son 2 elevado a 20, que ya lo mencionamos antes, y el mejor de todos, el que más me gusta, 2 elevado a 29, 536.870.912, en el que aparecen todos los dígitos salvo el 4 (de nuevo otra potencia de 2).

-Ah.

-Pero la potencia de 2 que más me gusta es ésta: 18.446.744.073.709.551.615.

-¡Eh, un momento! -exclamé-. Ese número no es una potencia de dos, porque ni siquiera es un número par.

El náufrago me sonrió de forma astuta.

-Veo que no está tan distraído como empezaba a temer. En efecto. No es una potencia de dos. En realidad la potencia de dos es 2 elevado a 64, 18.446.744.073.709.551.616, una unidad mayor. La cifra que mencioné antes es la cantidad de granos de trigo que pidió el inventor del ajedrez como recompensa. Es la que se obtiene al colocar un grano de trigo en la primera casilla del tablero de ajedrez, 2 en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta, y así las potencias sucesivas de 2 hasta completar las 64 casillas. Cuando sumamos todos los granos de trigo, se obtiene esa cifra...

En ese momento, el náufrago entró otra vez en delirio, y ya no pudo continuar la conversación de forma normal. El médico le administró un sedante, y hoy sigue descansando. Cuando se despierte hablaré de nuevo con él, y espero que vaya recuperando su cordura.

9.3.08

El Crimen del Miércoles

Cuaderno de bitácora: revisando mis viejos papeles he encontrado un problema que me pasó mi compañero oficial del Barco Escuela, Alfonso Sánchez Rodríguez, El Crimen del Miércoles. En su día ese problema se lo propuse a los grumetes, y la mayoría supo resolverlo. El problema viene con una gran viñeta simpática donde aparecen los personajes protagonistas dibujados.
El problema dice así:
Un miércoles noche en el living del señor Yani Puf. En verdad, de living ya no le iba a servir más, pues esa misma mañana había sido limpiamente asesinado. Con tal motivo, el gran investigador Tom Bola había reunido a los seis sospechosos. Cada uno de ellos solía visitar al señor Puf un día distinto y fijo de la semana. Únicamente el domingo Yani Puf no recibía visitas.
Esto es lo que declararon cada uno de los sospechosos cuando Tom Bola los interrogó:
El deshollinador: "yo venía a limpiarle la chimenea dos días después del pintor".
El tenista: "yo lo visitaba dos días después que el violinista".
La secretaria: "yo lo venía a ver dos días después que el tenista".
El pintor: "yo venía a pintarlo dos días después que ella".
El violinista no dijo nada.
El jinete: "yo venía a visitarlo dos días después que el deshollinador".
El gran investigador Tom Bola comprobó que todos habían dicho la verdad. Según esto, ¿cuál de los sospechosos visitaba a Yani Puf los miércoles, y por tanto era el asesino?
El guión del problema es de J. Poniachik, y los dibujos de P. Colazo.
Ignoro de dónde sacó Alfonso Sánchez la fotocopia, pero debe ser de una revista o periódico de hace bastantes años.
Quien quiera conocer la respuesta basta con que pulse aquí.

Monerías para contar en un viaje

Cuaderno de bitácora: la navegación por los Matemares está llena de momentos en los que no se puede hacer nada sino esperar, y entretener el tiempo conversando. Algunas veces el tema de conversación se encuentra con facilidad. Otras veces a uno no se le ocurre nada que decir y llega un silencio embarazoso.

En mis últimos viajes he recopilado algunas monerías para ir contando y entretener el tiempo de forma amena. Unas me las han contado, otras las he leído en algún libro o revista. A continuación he seleccionado varias. El oyente ha de dar respuesta sencilla y lógica a cada enigma o pregunta.


1. Sherlock Holmes entró en la habitación. Se encontró los cadáveres de Luke y Valerie en el suelo, sobre un charco de agua. Había cristales rotos esparcidos alrededor. El gato se encontraba sobre la mesa con el pelo del lomo erizado. Tras un rápido examen comprobó que Luke y Valerie habían muerto asfixiados. Holmes no lo dudó ni un momento y dijo: "el culpable ha sido el gato".
¿Qué ha sucedido?

2. Una persona se encuentra en una calle de casas rojas. Avanza hasta otra calle, se para delante de un hotel verde y exclama: "¡Oh, estoy arruinado!".

¿Qué significa todo esto?

3. Un hombre vive en un décimo piso. Todas las mañanas toma el ascensor, baja hasta la calle, se va a trabajar. Cuando regresa del trabajo toma el ascensor, pulsa el botón del séptimo y aunque detesta caminar, sube los tres restantes pisos andando.

¿Por qué lo hace?

4. Si tomamos los nombres de todos los números y hacemos una lista en orden alfabético, ¿qué número sería el primero de la lista?

5. ¿Cuántas letras tiene la respuesta a esta pregunta?

Algunas de las monerías se pueden encontrar en los siguientes libros: Matemática, ¿estás ahí? de Adrián Paenza, y ¿Cómo se llama este libro? de Raymond Smullyan.

Las soluciones a las preguntas vienen a continuación. Léanse al revés para entenderlas.

1. seroloc ed secep sod nos eirelaV y ekuL.

2. yloponoM la odnaguj átse anosrep asE.

3. omicéd led nótob la agell on y otijab yum se erbmoh lE.

4. ecrotaC.

5. ocniC.

8.3.08

El Primer Examen de Oposiciones

Muchos de mis compañeros oficiales del Barco Escuela tienen que presentarse a las próximas oposiciones. Se celebrarán este año, como viene siendo habitual, a finales de junio. En las oposiciones tendrán que hacer un primer examen escrito, que han de aprobar. En él se les preguntará un tema elegido al azar entre el temario oficial de cada materia.

Por ejemplo, si uno se quiere presentar a las Oposiciones a Profesor de Inglés, el temario tiene 69 temas. En esta convocatoria, aunque todavía no ha sido publicada, se comenta que para el primer examen se sortearán 5 de esos temas, y cada persona que se presente elegirá uno de esos cinco temas y lo desarrollará. El problema es saberse al menos uno de esos cinco temas.

Para la mayoría de los que se presentan, el tiempo de estudio del temario es muy escaso, y no suele bastar para estudiarse todos los temas. El problema está entonces en que si, por ejemplo, de esos 69 temas nos estudiamos 20, 30 ó 40, ¿qué probabilidad hay de que en el sorteo caiga uno de los temas que nos hemos estudiado?
Vamos con un ejemplo concreto: supongamos que son 69 temas, y que te has estudiado 40 y te has dejado 29 temas sin estudiar.
Si sólo se sorteara un tema, la probabilidad de que te toque uno de los temas que te has estudiado es:
suceso A = "que te toque uno de los temas que te has estudiado"
p(A) = 40/69 = 0.5797, es decir, un 57.97%
Este caso es muy sencillo. Pero supongamos que son 2 temas los que se sortean. Nos interesa que al menos uno de ellos sea de los que nos hemos estudiado, pero aquí hay varias situaciones: que el primer tema de los sorteados sea el que nos sabemos, que sea el segundo, o que tanto el primero como el segundo sean temas de los que nos hemos estudiado.
Para calcular la probabilidad de una forma más sencilla, hay que razonar con lo contrario: ¿cuál es la probabilidad de que al sortear dos temas ninguno de los que salgan sea de los que nos hemos estudiado? Hay que calcular entonces la probabilidad de que el primer tema sorteado no sea de los estudiados y de que el segundo tampoco. Necesitamos usar las fórmulas de la probabilidad de una intersección.
En matemáticas, la probabilidad de la intersección de dos sucesos es igual a la probabilidad del primero multiplicada por la probabilidad del segundo condicionado al primero:

p(A y B) = p(A) · p(B/A)
En el caso ejemplo que estamos viendo, un temario de 69 temas, nos sabemos 40 y nos faltan 29 por saber, el cálculo sería:

suceso A = "que el primer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"
suceso B = "que el segundo tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

p(A y B) = p(A) · p(B/A) = 29/69 · 28/68 = 0.1731, es decir, un 17.31%
Hay un 17.31% de probabilidades de que no sepamos ninguno de los temas.

Luego la probabilidad de que sí te toque alguno de los que te has estudiado es de 82.69% (lo que falta hasta el 100%)
Esta fórmula se puede extender a la intersección de varios sucesos, todos los que se quiera. En el caso de cinco sucesos, la fórmula adquiere un aspecto impresionante, pero no es difícil de comprender una vez que se analiza con detalle:

p(A y B y C y D y E) = p(A) · p(B/A) · p(C/A y B) · p(D/A y B y C) · p(E/A y B y C y D)

Veamos ahora el caso que nos ocupa: sortean 5 temas a elegir uno. Nuestro temario se compone de 69 temas. Nos sabemos 40 y no nos sabemos los 29 restantes. Entonces el cálculo es más largo pero no muy difícil:

suceso A = "que el primer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"
suceso B = "que el segundo tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"
suceso C = "que el tercer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"
suceso D = "que el cuarto tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"
suceso E = "que el quinto tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"
p(A y B y C y D y E) = p(A) · p(B/A) · p(C/A y B) · p(D/A y B y C) · p(E/A y B y C y D)
= 29/69 · 28/68 · 27/67 · 26/66 · 25/65 = 0.0106, es decir, un 1.06%
Hay un 1.06% de probabilidades de que no te salga ninguno de los temas estudiados.
Luego la probabilidad de que al menos uno de los temas sí sea de los que te has estudiado es de 98.94%

Una probabilidad bastante alta, ¿no?

He elaborado una tabla con las probabilidades de que caiga algún tema de los estudiados, según el número de temas que tiene el temario y el número de temas que uno se estudia. He abarcado un rango de temarios de 40 hasta 80 temas, tomados de cinco en cinco. Las probabilidades están expresadas en tanto por ciento y redondeadas a dos cifras decimales. En la fila de arriba están los temas de los que consta un temario, y en la columna de la izquierda los temas estudiados. Ejemplo: si uno tiene un temario de 75 temas y se estudia 25, entonces la probabilidad de saberse al menos uno de entre los cinco temas elegidos al azar es de 87.72% (compruébese buscando en la tabla). Para valores intermedios, es sencillo hacer una interpolación aproximada.


40
45
50
55
60
65
70
75
80
5
50,66
46,14
42,34
39,09
36,30
33,88
31,75
29,88
28,21
10
78,34
73,43
68,94
64,88
61,21
57,88
54,87
52,14
49,65
15
91,93
88,34
84,68
81,08
77,63
74,35
71,26
68,36
65,64
20
97,64
95,65
93,27
90,67
87,95
85,21
82,49
79,84
77,28
25
99,54
98,73
97,49
95,90
94,06
92,03
89,91
87,72
85,53
30
99,96
99,75
99,27
98,47
97,39
96,07
94,56
92,92
91,19
35
100,00
99,98
99,86
99,55
99,03
98,27
97,32
96,19
94,92
40
100,00
100,00
99,99
99,91
99,72
99,36
98,82
98,12
97,26
45

100,00
100,00
99,99
99,95
99,81
99,56
99,17
98,65
50


100,00
100,00
100,00
99,96
99,87
99,69
99,41
55



100,00
100,00
100,00
99,98
99,91
99,78
60




100,00
100,00
100,00
99,98
99,94
65





100,00
100,00
100,00
99,99
70






100,00
100,00
100,00
75







100,00
100,00
80








100,00

¡Suerte a todos!