El Cofre de los Tesoros Matemáticos: Caleidoscopios

Cuaderno de bitácora: supongo que todos los que ven por primera vez un caleidoscopio quedan fascinados por él. A mi me enseñaron uno cuando era pequeño, y me pareció algo precioso, y ya de mayor he podido comprar un par de ellos que en su día encontré en algunos mercados portuarios de cierto país costero.

El funcionamiento de un caleidoscopio es muy sencillo. El corazón del aparato, lo que le da vida, son dos espejos alargados rectangulares unidos por uno de sus lados mayores, formando un ángulo determinado. Esos dos espejos se colocan dentro de un tubo, uno de cuyos extremos se utilizará como abertura para ver la imagen, y el otro se cierra habitualmente con un cristal o plástico transparente y sobre él un papel o plástico translúcido. Entre el cristal transparente y el plástico translúcido, se suelen colocar pedacitos sueltos de cristal o plástico de colores, para que al mover el caleidoscopio o agitarlo vayan adquiriendo nuevas posiciones, formando patrones cambiantes y siempre nuevos. Éste sistema de los pedacitos de colores colocados entre un cristal transparente y uno translúcido es el más corriente, pero se han desarrollado muchas variantes, como se puede contemplar en esta página sobre caleidoscopios: tubos llenos de aceite por los que circulan los pedacitos de colores, imágenes fijas translúcidas que se pueden cambiar o desplazar, etc.

Una de las variantes del caleidoscopio es lo que se ha denominado teleidoscopio o tomoscopio: el final del tubo del caleidoscopio se completa con una semiesfera de cristal en lugar de los pedacitos de colores; así la imagen del lugar donde nos encontramos se filtra por la esfera de cristal, miniaturizándose, y lo que se ve por el tomoscopio es la multiplicación simétrica de esa imagen, y podemos jugar, por tanto, con la imagen real de nuestro entorno, en lugar de los motivos geométricos más sencillos habituales.

Si el corazón del caleidoscopio son sus dos espejos, el alma del caleidoscopio es el ángulo que forman los dos espejos y el consiguiente efecto de simetría múltiple que provoca este ángulo. Según la apertura del ángulo, la imagen se repetirá en los espejos formando hermosos rosetones. Para que la simetría sea perfecta, el ángulo de los espejos ha de ser coincidente con una partición exacta del círculo. Si el ángulo es, por ejemplo, de 90º (la cuarta parte del círculo), entonces la imagen se verá multiplicada por cuatro; si el ángulo es de 72º tendremos un rosetón de exactamente cinco figuras simétricas; si el ángulo es de 60º, obtendremos seis figuras, etc.

Precisamente, uno de los ángulos más utilizados en los caleidoscopios es el de 60º, ya que si los espejos se disponen en esta abertura, podemos añadirles un tercer espejo de las mismas dimensiones, y así los tres formarán un triángulo equilátero, multiplicando el reflejo y consiguiendo un motivo simétrico mucho más amplio. Además, la estructura de los tres espejos en triángulo tiene mucha solidez y estabilidad a la hora de construir el caleidoscopio y colocar los espejos dentro del tubo.

No es necesario que el ángulo sea de 60º para añadir un tercer espejo, podemos cerrar con un tercer espejo la formación, sea el que sea el ángulo de partida, y buscando combinaciones diferentes se pueden conseguir muchos efectos. También se pueden colocar, por ejemplo, cuatro espejos en lugar de tres. Si ponemos cuatro espejos iguales formando ángulos de 90º, obtenemos un infinito reflejo simétrico cuadrado muy llamativo, que me recuerda a la siguiente ilustración del artista M.C.Escher:

En el artículo de la Wikipedia dedicado al caleidoscopio se afirma que este aparato fue inventado por David Brewster en 1816. Un colaborador de la Wikipedia ha completado el artículo afirmando poéticamente que "el caleidoscopio puede transportarte a un mundo, que por una extraña razón es el lugar mismo donde se fabrican los sueños y las canciones de cuna". Efectivamente, es extraña la razón de que las construcciones geométricas, las simetrías, los giros, sean capaces de crear mundos mágicos de misterio y ensueño.

No son pocas las películas que utilizan el tema de los espejos para crear escenas llenas de magia y evocación. En muchas se aprovecha dicho tema para ubicar en esas escenas los momentos álgidos del argumento, conflictos terribles, luchas épicas. Recordemos, por ejemplo, las escenas finales de La Dama de Shanghai, protagonizada por Orson Welles y Rita Hayworth, de las cuales incluimos un fotograma a continuación:

También tenemos la lucha final de Operación Dragón, la mítica película de Bruce Lee (véase la ilustración más abajo), y se me viene al recuerdo unas escenas de Conan el Destructor, protagonizada por Arnold Schwarzenegger, Grace Jones y el impresionante jugador de la NBA Wilt Chamberlain (que todavía conserva el récord de los 100 puntos en un solo partido, y otros 71 récords más).

En el Parque de las Ciencias de Granada, existe una Sala dedicada a la percepción, en la que entre otras experiencias se muestran varias actividades con espejos. Una de ellas, concretamente, es un espacio en forma de triángulo equilátero rodeado por tres espejos; la persona que se introduce en ese espacio ve su imagen multiplicada hasta el infinito entre los espejos, como si se encontrara en el interior de un caleidoscopio.

[imagen extraída de flickr]

Poder entrar y situarse entre los tres espejos, y contemplar el reflejo en ellos, es una experiencia inquietante, porque no sólo nos podemos ver de frente, sino que también vemos nuestro perfil y nuestra espalda, en vivo y en directo, lo cual suele parecernos extraño y es posible que hasta nos cause rechazo y cierto complejo. Hay que tener en cuenta que cada uno de nosotros tiene una imagen idealizada de sí mismos, que no coincide con la realidad, y cuando tenemos la oportunidad de contemplar por primera vez esa imagen real, nos suele parecer peor de lo que es, y surge un sentimiento de mucha vergüenza, porque nos damos cuenta de que esa imagen de nosotros que nos desagrada es la que ven continuamente las personas que nos rodean.

La geometría también es un instrumento particularmente evocador, por ejemplo, en tiempos como la Navidad. Los motivos geométricos navideños son abundantes: los copos de nieve, con su simetría hexagonal, la estrella de Belén, habitualmente de cinco puntas como el pentagrama pitagórico, los abetos en su forma triangular-cónica y ligeramente fractal, las piñas de los abetos, que esconden entre sus escamas espirales con números de Fibonacci, las bolas navideñas de colores, como esferas perfectas, etc... No es de extrañar que la Navidad sea un momento perfecto para regalar caleidoscopios y disfrutar de su contemplación mientras dejamos que vuele nuestra fantasía...

Para terminar, quiero comentar que existe una asociación, la Brewster Kaleidoscope Society, dedicada a los aficionados a los caleidoscopios y que lleva precisamente el nombre de Brewster en honor al inventor del caleidoscopio; en su página web se detalla una extensa biografía de aquel portentoso científico escocés que destacó en muy diversos campos, contribuyendo a la ciencia no sólo con la invención del caleidoscopio (con mucho su logro más popular), sino con el perfeccionamiento del estereoscopio, la invención de esas lentes cortadas en capas usadas en los faros, el estudio de las leyes de la polarización de la luz y de la reflexión de la luz sobre los metales, y otras muchas propiedades ópticas muy importantes y de uso corriente hoy en día.