30.4.10

[El Problema de la Semana] Mensaje secreto

Esta semana nos toca descifrar cierto mensaje.

Este es el mensaje que Hugo ha mandado a Mario. Para que nadie se entere de lo que pone, lo ha cifrado usando un alfabeto desplazado, es decir, cada letra ha sido sustituida por otra desplazando el alfabeto un número concreto de lugares. De este modo ha creado un criptograma: WHPJR ÑD FRPWUDVHQD SDUD HPWUDU HP HÑ RUGHPDGRU GH MXDP
El problema es que Hugo ha olvidado dar a Mario el número que indica los lugares que ha desplazado las letras del abecedario. ¿Eres capaz de descifrar el mensaje?

¿Cómo dice? ¿Que si hemos puesto la solución? ¿Todavía se atreve a dudarlo? Búsquela más abajo.

[En esta imagen podemos ver una de las páginas del enigmático manuscrito Voynich, un misterioso libro, escrito y dibujado a mano por un autor anónimo hace unos 500 años, con un lenguaje totalmente incomprensible en un alfabeto desconocido. El libro está, además, lleno de inexplicables ilustraciones que parecen aludir a conocimientos científicos imposibles para la época en la que fue escrito. Debido a la incapacidad para descifrar el texto, algunos han creído que el manuscrito Voynich se trata de un elaborado engaño. Sin embargo, el lenguaje utilizado en él sigue la ley de Zipf, que cumplen todas las lenguas naturales: la longitud de las palabras usadas es inversamente proporcional a la frecuencia de aparición de las mismas. Eso indica que el voynichés, el indescifrable idioma usado en el manuscrito, no se trata de una lengua artificial e inventada como el élfico de Tolkien o el klingon de Star Trek, sino que está basado en una lengua natural. Es imposible que hace 500 años el autor del manuscrito conociera la ley de Zipf, descubierta en el siglo XX, y la tuviera en cuenta, adrede, inventando un lenguaje que la pudiera cumplir.]

Solución:
Basta que tomemos una hoja de papel y escribamos en ella el alfabeto español: A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P Q R S T U V W X Y Z (veintisiete letras), y luego lo volvemos a escribir debajo el alfabeto, y hacemos un desplazamiento de letras: si por ejemplo el desplazamiento es de tres lugares, la A la podemos unir con una línea con la D, la B con la E, la C con la F, etc.
También nos podemos construir de papel o cartulina un par de discos como los de la imagen:
Uno de los discos ha de contener el alfabeto de afuera, y el otro el de dentro, los unimos por el centro con una chincheta de forma que puedan rotar independientemente, así es sencillo cambiar cada letra por otra desplazada. En la imagen hay un desplazamiento de siete letras. Téngase en cuenta que el alfabeto de la imagen es un alfabeto inglés de veintiséis letras al que le falta la Ñ.
Hay que probar con diferentes desplazamientos hasta que empiecen a salir palabras con sentido. En nuestro caso, las letras han sido desplazadas precisamente tres letras. Así, para descifrar el texto, sustituimos cada letra por la que está tres lugares delante: la W por la T, la H por la E, la P por la N, etc.
Una vez hecho esto, obtenemos el siguiente mensaje: TENGO LA CONTRASEÑA PARA ENTRAR EN EL ORDENADOR DE JUAN.


Notas: para saber más sobre mensajes cifrados, recomiendo leer mis dos entradas en este blog: Mensajes cifrados (1), y Mensajes cifrados (2): la clave URODINELAS.
El problema de esta semana ha sido extraído del libro de texto de la editorial SM.

23.4.10

[El Problema de la Semana] Potencias elevadas

Esta semana se les propuso a los grumetes el siguiente problema:

A Felipe y Margarita les gusta competir con sus calculadoras. Al igual que muchas otras potencias, 759 no cabe en la pantalla, pero Felipe afirma que el resultado acaba en 1, mientras que Margarita piensa que acaba en 43. ¿Cuál de los dos tiene razón?

La solución aquí mismo, en esta misma pantalla, pero un poco más abajo.

[Aquí tenemos una foto de una de las primeras calculadoras mecánicas, la pascalina, que fue inventada por Pascal, de ahí el nombre, en 1645. La pascalina sólo era capaz de sumar y restar números de hasta seis cifras, y Pascal la construyó pensando en ayudar a su padre, contador de la Hacienda francesa, y facilitarle el trabajo con los cálculos aritméticos comerciales.]

Solución:
Los problemas en los que nos dan potencias altas y nos piden en qué cifra terminan se resuelven todos probando con las primeras potencias y encontrando la secuencia de terminaciones.
Para las potencias de 7 es fácil encontrar la secuencia:
70 = 1
71 = 7
72 = 49
73 = 343
74 = 2.401
75 = 16.807
76 = 117.649
77 = 823.543
78 = 5.764.801
etc.
Como se puede comprobar, la cifra de las unidades sigue la secuencia 1, 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, ... de forma que las potencias múltiplos de 4 acaban todas en 1.
La potencia que estamos buscando es la 59, la múltiplo de 4 anterior más próxima es la 56, 756 termina en 1, 757 termina en 7, 758 termina en 9 y 759 termina en 3. Felipe, por tanto, no tiene razón.
Pero más que en 3, Margarita afirma que termina en 43 exactamente. ¿Es eso cierto? Si observamos la sucesión de potencias, veremos que también la cifra de las decenas va siguiendo un patrón concreto: 01, 07, 49, 43, 01, 07, 49, 43, luego podemos asegurar que Margarita sí tiene razón.
De hecho, con ayuda de una calculadora que pueda mostrar todos los números, por ejemplo la web2.0calc, obtenemos la potencia completa que estamos buscando: 
759 = 72.574.551.534.231.909.331.741.171.093.173.785.967.490.646.405.143

Nota: este problema ha sido extraído del libro de texto de 4º ESO de la editorial SM.

16.4.10

[El Problema de la Semana] Los vecinos

Este es otro antiguo problema de la semana que incluí en la web doDK:

El abuelo de Dani, que es un simpático señor que ya cumplió los 70 pero al que aun le falta para llegar a los 80, y el padre de Laura, que es cuarentón, viven en la misma calle, en la acera de los pares y en casas contiguas. Laura observa que el producto de la edad de su padre por el número de la casa del portal en que vive es igual al producto de la edad del abuelo de Dani por el número de su portal. Calcula las edades de ambos y los números de sus casas.


Más abajo, como siempre, está la solución.


[La foto que hemos seleccionado hoy es la de la fachada del Museo de Sherlock Holmes, en Baker Street. El famoso detective de ficción siempre se destacó por resolver sus casos con su aguda percepción de los detalles y su irresistible capacidad lógica. Arthur Conan Doyle afirma que Sherlock Holmes vivía en el número 221B de Baker Street, pero ese número en realidad no existía, porque en la época en que Doyle escribió los relatos la numeración de la calle sólo llegaba a 100. Más tarde, en el siglo XX, la calle se amplió, uniéndose a la que antes se conocía como Upper Baker Street, y ocho números, entre los que se incluía el 221, fueron asignados a un edificio llamado Abbey House, que desde ese momento empezó a recibir una ingente correspondencia desde todas partes del mundo dirigida al famoso detective. Tantas cartas recibían, que la Abbey Road Building Society, la constructora del edificio, tuvo que designar un "secretario permanente de Sherlock Holmes" para que se hiciera cargo de aquella correspondencia. La imagen y toda la información se ha tomado de esta web.]

Solución:

Este es un problema de tanteo, pero en el que, al igual que hacía Sherlock Holmes, tenemos que emplear la lógica para descartar posibilidades y quedarnos con la única solución válida. Si llamamos D a la edad del abuelo de Dani, y d al número donde vive, L a la edad del padre de Laura y l al número donde vive, entonces:
D · d = L · l
Si pasamos a un lado las edades y a otro los números de los portales, entonces:
D / L = l / d
Lo que nos interesa de esta igualdad es que las edades forman la misma proporción o razón que los números de las casas. D es un número entre 70 y 79, y L es un número entre 40 y 49. Entonces la razón de las edades es como mínimo 70/49 = 1.42857, y como máximo 79/40 = 1.975.
Ambas personas viven en casas contiguas en la acera de los pares. Los números de los portales pueden ser 2 y 4, 4 y 6, 6 y 8, 8 y 10, etc. Pero las razones en cada pareja de números son: 4/2 = 2; 6/4 = 1.5; 8/6 = 1.3333; 10/8 = 1.25, etc. Rápidamente se llega a la conclusión de que los números de las casas han de ser 4 y 6, para estar en una proporción compatible con las edades, D y L, pues las demás parejas tienen una razón demasiado elevada (4/2 = 2), o demasiado pequeña (8/6, 10/8, etc.)
Una vez que tenemos esto, vamos probando parejas de edades que estén en la misma proporción que 4 a 6, y encontramos que los únicos números que cumplen este requisito son 48 y 72, 72/48 = 1.5, con lo que el abuelo de Dani tiene 72 años y el padre de Laura 48, y viven en el número 4 y el número 6 respectivamente.

9.4.10

[El Problema de la Semana] El profe de matemáticas

A continuación un sencillo problema recuperado entre los restos de doDK.

Tenemos un profesor de matemáticas que no pierde oportunidad de ponernos problemas. El otro día hicimos un examen y hoy, en la clase, le dijimos que si lo había corregido. Nos dijo que sí, pero que los había olvidado en su casa. Nos fastidió, así que le preguntamos si recordaba al menos el número de aprobados. Nos contestó que no recordaba el número exactamente, pero que le llamó la atención que al 95% de los alumnos y alumnas que habían aprobado les gustase mucho el baloncesto. Si en clase hay 35 alumnos/as, ¿cuántos aprobaron?

Si miran ustedes más abajo de la imagen, encontrarán la solución, como siempre.

[Ya que el problema de la semana habla de baloncesto, y yo siempre he sido muy aficionado a este deporte, incluyo una ilustración con las medidas de la cancha, del balón, la canasta, etc. Como todo el mundo sabe, tanto el baloncesto como los demás deportes se pueden ver desde un punto de vista matemático, por la geometría de la cancha y de los objetos usados, la estadística de los deportistas, las marcas de velocidad, tiempo y masa, las trayectorias del balón, la disposición dinámica de los jugadores, etc. La imagen está tomada de esta web.]

Solución:
Basta mirar aquellos números que al hacerle el 95 % da un resultado exacto. El único número menor de 35 cuyo 95% es exacto, es 20, luego aprobaron 20 alumnos y de ellos al 95%, es decir, a 19 alumnos, les encanta el baloncesto.
También se puede observar que 95% = 95/100 y si simplificamos la fracción nos queda 95/100 = 19/20.