La plaza de toros más grande del mundo

Cuaderno de bitácora: estuve hojeando un libro que hemos obtenido en una de nuestras llegadas a puerto, El Mentor de Matemáticas, de la editorial Océano, y me encontré con un problema cuyo enunciado reza así:

Una plaza de toros circular tiene un contorno de 628 metros. El toro se encuentra en el centro del ruedo y se dirige en línea recta hacia un torero, que se encuentra en una de las barreras del coso. ¿Cuántos metros recorrerá el toro antes de alcanzar al torero?

Como puede apreciarse, el problema te da la longitud de una circunferencia, que en este caso es el contorno de una plaza de toros, y te pregunta el radio de esa circunferencia, que es el recorrido que hace el toro hasta alcanzar al torero.

La fórmula de la longitud de una circunferencia es L=2·pi·r. Pero hace tiempo que me independicé de esta fórmula, y regresé a la definición del número pi. Prefiero recordar que la longitud de una circunferencia es igual a pi por el diámetro. El número pi es aproximadamente 3'14, luego la longitud de una circunferencia es unas tres veces y pico mayor que el diámetro. El díámetro está contenido en la circunferencia tres veces y un poco más.

Los grumetes saben la fórmula de la longitud de una circunferencia, pero cuando les pregunto que me calculen mentalmente una longitud sencilla, no saben hacerlo, necesitan escribir la fórmula en el cuaderno y usar la calculadora.

En Sevilla, mi ciudad natal, y en gran parte de Andalucía, es tradicional que en la salita de las casas haya una mesa circular, llamada mesa camilla, al centro de la cual se coloca en invierno un brasero para que caliente a las personas que se sientan a ella. Antiguamente, hasta hace unos veinticinco o treinta años, el brasero era una bandeja de bronce que se llenaba de cisco o picón, una especie de carbón vegetal. Luego fue sustituido por el brasero eléctrico o por una pequeña bombona de gas con un quemador. Para mantener el calor debajo de la mesa, se cubre con una ropa o enagüilla, hecha de tela gruesa, terciopelo o similar que llega hasta el suelo.

A los grumetes les suelo poner el ejemplo siguiente: tenemos una mesa camilla de 1 metro de diámetro, y queremos hacerle una enagüilla para cubrirla. ¿Cuántos metros de enagüilla necesitamos para rodear la mesa?

Los grumetes tardan mucho en llegar a la respuesta, a pesar de lo evidente que es: si el diámetro es de 1 metro, la circunferencia mide aproximadamente 3'14 metros, con lo que comprando 3 metros y medio de tela sobra para rodear la mesa.

Regresando al problema de la plaza de toros, cuando vi que el contorno era de 628 metros gracias a un razonamiento similar al de la mesa camilla, me vino inmediatamente la longitud del diámetro: 200 metros, y por tanto el radio era de 100 metros.

Y entonces pensé ¿200 metros de diámetro? La plaza de toros es gigantesca. Un campo de fútbol mide entre 100 y 110 metros de largo, por tanto en dicha plaza de toros cabe un campo de fútbol con holgura, de hecho es tan larga como casi dos campos de fútbol, y la distancia del toro al torero es tal como si el toro estuviera en una de las porterías y el torero estuviera en la otra. Dudo incluso que a esa distancia el toro pueda darse cuenta de la presencia del torero o de importarle siquiera.

Picado por la curiosidad consulté las medidas reales de las plazas de toros. Al parecer, la que tiene el ruedo más grande del mundo es la Plaza de las Ventas, en Madrid, con 60 metros de diámetro, lo cual se queda bastante lejos de los 200 del problema. La Plaza de toros de México es la que tiene un mayor aforo del mundo, con más de 46.000 localidades, pero su ruedo tiene 43 metros de diámetro.

Este problema es uno de los muchos cuyo enunciado no tiene nada que ver con la realidad. Los autores de los libros de matemáticas y los profesores, nos dejamos llevar por una intención práctica y tenemos a menudo la mala costumbre de plantear problemas que no tienen sentido real. Personalmente creo que es un grave error, porque el problema conduce solamente a una operación aritmética hueca. Si planteamos un enunciado, ¿no sería mejor ilustrarlo con algo que existe realmente?

Se podría plantear el problema con el ejemplo auténtico de la Plaza de las Ventas: el contorno mide unos 188'4 metros, o 188 metros aproximadamente. Se podría hablar de dicha plaza y comentar que es la que tiene el mayor ruedo del mundo. Se podría especificar los componentes de una plaza de toros. Se podría también comparar sus dimensiones con el tamaño de un estadio de fútbol, o con el de un polideportivo. Los grumetes adquirirían un poco más de cultura y tendrían más nociones para poder comparar dimensiones, longitudes, áreas, etc.; se harían una idea de qué es más grande, qué es más pequeño, y en cuánta cantidad. Hoy, con ayuda de toda la información de Internet es posible conseguir los datos necesarios casi inmediatamente.

Un último comentario, esta vez positivo: lo que sí está correcto es que el problema especifica que la plaza de toros sea circular, y hace bien especificándolo, porque no todas las plazas lo son. Por ejemplo, la famosa Plaza de la Maestranza de Sevilla tiene un ruedo un poco irregular, pareciendo un círculo u óvalo achatado en uno de los lados, como se puede apreciar si se observa desde el aire.

3 - 4 - 5

Cuaderno de bitácora: una vez más me encuentro con los números 3, 4 y 5. Quizás los legos en la matenavegación no imaginan qué tienen de particular estos tres números. Supongo que se pueden encontrar muchas características especiales de los tres, pero para mi, la que se me viene a la mente de inmediato, es que forman una terna pitagórica, la más sencilla y más conocida de todas.

Los números 3, 4 y 5 tienen la propiedad de que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero: 9 + 16 = 25. Son tres números enteros que cumplen el famoso teorema de Pitágoras. Si construimos un triángulo rectángulo cuyos catetos midan respectivamente 3 y 4 unidades, entonces la hipotenusa mide 5 unidades exactamente.

Esto es un descubrimiento que puede parecer interesante, pero no es nuevo, desde luego. Se conoce desde la más remota antigüedad. Aparece en papiros egipcios antiguos que tratan sobre matemáticas, y en tablillas babilónicas. Aparece también en las matemáticas de la antigua China, en Grecia, etc.

Los números 3, 4 y 5 no son los únicos que cumplen esta propiedad. Hay infinitas ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras. Tenemos por ejemplo 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 12-35-37, 20-99-101, 20-21-29, 24-143-145, 28-45-53, 33-56-65, 48-55-73, 65-72-97, 119-120-169, 123-164-205, 261-380-461, ...

También podemos contar, por supuesto, todas las ternas que son múltiplos de las mencionadas. Así, de 3-4-5, con sólo multiplicar por 2 sacamos 6-8-10, que también cumple la propiedad de que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero: 36+64=100. Si multiplicamos por 3, tenemos la terna 9-12-15, si multiplicamos por 4, la terna 12-16-20, etc. Todas estas ternas de números cumplen el teorema de Pitágoras.

Se dice que en el antiguo Egipto se utilizó esta propiedad para construir de forma sencilla ángulos rectos. Los agrimensores, por ejemplo, necesitaban trazar ángulos rectos en el terreno para reconstruir y medir la superficie de los campos de cultivo inundados por las crecidas del Nilo. Los arquitectos y constructores trazaban ángulos rectos con los que levantaban las impresionantes y monumentales construcciones que todavía nos asombran: pirámides, templos, obeliscos, etc.

Si se necesita construir un ángulo recto en el suelo, se puede emplear un método muy sencillo usando nuestra terna protagonista: se toma una cuerda suficientemente larga; como tenemos que 3+4+5=12, se van señalando en la cuerda 12 tramos de igual longitud, por ejemplo con la ayuda de nudos (se necesitarán 13 nudos). Se une el primer nudo con el último y se estira la cuerda por los nudos correspondientes para que se forme un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5. Este triángulo es rectángulo. El ángulo recto es el que está entre los lados que miden 3 y 4. La exactitud de dicho ángulo recto depende exclusivamente de la exactitud con la que se hayan medido los doce tramos sobre la cuerda.

Esta experiencia la hemos realizado hace algunos días con los grumetes. sobre el suelo del Barco Escuela. Hemos tomado una cuerda, hemos medido en ella doce segmentos de un metro de longitud cada uno, hemos construido el triángulo 3-4-5 y hemos trazado con tiza su silueta sobre el suelo. El ángulo recto nos salió bastante exacto.

No conformes con dibujar un triángulo, repetimos el dibujo hasta obtener la siguiente figura:

Cuando teníamos terminado el dibujo, estuvimos comentando sobre la superficie dibujada en el suelo: así, por ejemplo, el cuadrado central, al tener de lado 5 metros, medía 25 metros cuadrados, y el cuadrado exterior, de lado 7 metros, tenía 49 metros cuadrados. Es la superficie de un apartamento pequeño, y también, aproximadamente, la superficie de una de las aulas del Barco Escuela.

Para terminar, varias cosas: hay una página muy curiosa donde se guardan imágenes de gran cantidad de sellos de correos sobre matemáticos.

Por otro lado, en el cuarto párrafo hemos mencionado unas cuantas ternas pitagóricas, todas ellas formadas por números naturales primos entre sí, es decir, las ternas no se pueden simplificar a ternas más sencillas, excepto una, que se puede simplificar a la terna protagonista de este artículo, ¿cuál es?

Por último, el tema de los triángulos 3-4-5 me lleva a conectar con las proporciones que tienen las pantallas de los televisores, de lo que hablaré en una próxima entrada del blog.

El plato de las tartas

Cuaderno de bitácora: esta mañana, surcando los Matemares, encontré en una isla desierta, semienterrado en la arena de lo incógnito, el Plato de las Tartas.

Allí estaba yo, solo, explorando nuevos territorios por los que apenas han pasado matenavegantes, sosteniendo entre mis manos el precioso objeto, precioso no tanto por su valor material sino por su rareza. Abrumado durante unos momentos por el asombro, no hacía más que preguntarme cómo una cosa tan simple no era más conocida y extendida por todo el orbe matemático...

Por mi mente empezaron a desfilar todos aquellos momentos durante los que me afané en explicar a los grumetes el significado de las fracciones, utilizando como símil una tarta que se parte en trozos iguales... Si tan sólo hubiera conocido este maravilloso Plato...

En la foto se puede apreciar que a lo largo de la circunferencia del plato hay una serie de marcas, señaladas con números. En algunas marcas hay sólo un número, y en otras hay grupos de varios números.

Este plato sirve de ayuda a la hora de cortar una tarta en porciones iguales. La tarta se coloca en el plato, bien centrada, y según el número de trozos en que queremos dividirla así tenemos que fijarnos en las marcas.

Por ejemplo, supongamos que queremos dividir la tarta en 6 porciones. Entonces cortaremos con el cuchillo desde el centro de la tarta hasta cada una de las marcas donde aparezca el número 6. Si nos fijamos, hay seis marcas con el número 6, y todas ellas están a la misma distancia.

Lo mismo ocurre con los demás números. El plato de las tartas es una guía para cortar en trozos iguales, en 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ó 9 trozos.

En la vida corriente, como no se dispone de un plato como el de la foto, las tartas se cortan a ojo, o bien en un número geométricamente sencillo de partes, como el 8. Es raro que a alguien se le ocurra cortar una tarta en 5 partes, o en 9 partes, o en 7 partes, pero con el plato de las tartas es posible hacerlo, y además de forma equitativa.

Esta foto fue encontrada en un libro inglés, Maths Challenge, escrito por Tony Gardiner y editado por Oxford.

El Hombre que Calculaba

Durante este curso RBA editores ha publicado una colección de libros: la Biblioteca de Desafíos Matemáticos, que recopila títulos diversos de matemática recreativa. En el Barco Escuela estamos suscritos a la colección, y de vez en cuando hojeo alguno de los que mandan. Decidí leer El Hombre que Calculaba, escrito por Malba Tahan, porque me pareció muy ameno; es una especie de cuento largo como los de Las Mil y Una Noches, en el que un hombre excepcionalmente hábil con los cálculos aritméticos y la resolución de problemas, llamado Beremiz Samir, viaja a Bagdad en la época de los Califas, y resuelve todos los problemas matemáticos que le van proponiendo, dejando asombrados a todos sus oyentes con su erudición y perspicacia.

Como muestra, transcribo el problema de "las perlas del rajá":

"Un rajá dejó a sus hijas cierto número de perlas y determinó que la división se hiciera del siguiente modo: la hija mayor se quedaría con una perla y un séptimo de lo que quedara. La segunda hija recibiría dos perlas y un séptimo de lo restante, la tercera joven recibiría tres perlas y un séptimo de lo que quedara. Y así sucesivamente.

Las hijas más pequeñas presentaron un reclamo ante el juez alegando que por ese complicado sistema de división resultaban fatalmente perjudicadas.

El juez, que según cuenta la tradición, era hábil en la resolución de problemas, respondió que las reclamantes estaban equivocadas y que la división propuesta por el viejo rajá era justa y perfecta.

Y estaba en lo cierto. Hecha la división, cada una de las hermanas recibió el mismo número de perlas".

¿Cuántas perlas había? ¿Cuántas eran las hijas del rajá?

Existe una edición electrónica del libro en la dirección http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/index.html.

Para encontrar la solución al problema de las perlas del rajá, basta consultar el capítulo 23 del libro.

Potencias de dos

Cuaderno de bitácora: la semana pasada rescatamos a un náufrago que iba a la deriva aferrado a los restos de un tablón de madera. Cuando lo subimos a bordo se encontraba muy mal de salud. Deliraba y tenía mucha fiebre. Tuvimos que ponerlo en un camarote bajo constante supervisión médica, y se fuerecuperando poco a poco durante estos días. Ayer ya pude conversar con él por primera vez.

Al parecer se ha pasado varios días en el mar, resistiendo el embate de las olas, la luz del sol, el frío y la humedad, y al final ha tenido suerte, porque cuando le encontramos ya estaba al límite de sus fuerzas. Probablemente habría muerto sólo horas después si no llegamos a subirle a bordo.

Sin embargo, como suele suceder cuando una persona es sometida a unas condiciones tan duras, su cordura ha quedado afectada. No da muestras, de momento, de razonar ni comportarse como un ser humano normal. Se ha obsesionado con los números y más concretamente con el número dos, y no hace más que pensar en dicho número, en sus potencias y en las propiedades, interesantes o estúpidas, que va encontrando entre ellas.

-Durante estos días que estuve a la deriva -me decía ayer-, he logrado aprenderme de memoria más de cien potencias de 2.

-¡Vaya cosa! -le respondí- ¿Y por qué lo hizo?

-Para olvidarme de mi situación desesperada. Y lo he conseguido. Me he salvado. Al 2 le debo la vida. Sin él habría dejado de luchar contra el mar mucho tiempo antes y me habría ahogado.

-Increíble.

-Sí, puede parecerlo. Pero el 2 es un número especial. ¿Sabía usted, por ejemplo, que es el número primo más pequeño?

-Sí, ya lo sabía.

-¿Y que es el único número primo que es par? Todos los demás primos son impares...

-Sí, eso también lo sabía.

-Además es el único número que su cuadrado coincide con su doble.

-No es el único. Esa propiedad también la cumple el cero.

-Pero, ¿qué es el cero sino la nada? El dos, sin embargo, es algo, no es cero, ni es uno, que al multiplicarse por si mismo se queda invariable. Es el primer número que tiene algo de carácter. Es el padre de todos los números pares. Pero no me interesan los números pares en general. Como le digo, me interesan las potencias de dos. Por ejemplo, la primera en la que me fijé fue 2 elevado a 10.

-Sí, 1024, la cifra que se usa en informática para pasar de Kas a Megas, de Megas a Gigas y de Gigas a Teras.

-Exactamente. Es una potencia de 2 que se parece mucho a una potencia de 10, concretamente a 1000. Luego hay otras potencias de 2 que también se parecen a potencias de 10.

-Supongo que se refiere usted a 2 elevado a 20, 2 elevado a 30 y así sucesivamente.

-Sí, pero también a otras curiosas. Veamos: 2 elevado a 20 es igual a 1.048.576, se parece a un millón, pero se diferencia de un millón en más de un 4'8%. Por otra parte, 2 elevado a 30 es 1.073.741.824, se parece a mil millones, pero ya se aparta en más de un 7'3%.

-Bueno, así va ocurriendo con las potencias más altas, supongo.

-Si continúa con 2 elevado a 40, a 50, a 60, etc., es así, pero fíjese en una potencia inesperada: 2 elevado a 103.

-Eso no sé cuánto vale.

-Pero yo sí -y tomó un papel y escribió rápidamente un número muy largo: 10.141.204.801.825.835.211.973.625.643.008-. Como puede observar, se parece mucho a diez quintillones, y sólo se diferencia de él en apenas un 1'4%.

-Ya -dije, un poco aburrido-. Supongo que si continúa haciendo potencias encontrará alguna que se parezca todavía más a una potencia de 10 correspondiente.

Me miró y creí percibir una pequeña molestia en su expresión.

-Bueno, deje que le cuente otras curiosidades. Si vamos escribiendo las potencias de 2, observará que cada una es un número con digitos que no se repiten. ¿Sabe cuál es la primera potencia de dos en la que hay dígitos repetidos?

-No.

-Es 2 elevado a 16: 65.536. Aparecen repetidos el 6 y el 5. ¿No le parece interesante que haya que elevar 2 a una potencia de 2? Porque 16 también es una potencia de 2, es 2 elevado a 4.

-Vaya.

-Sí. Lo curioso es que a partir de 2 elevado a 16, todas las siguientes potencias tienen dígitos repetidos, salvo dos casos. Así llegamos, por ejemplo, una muy bonita, 2 elevado a 25, que es 33.554.432. Resulta curioso la sucesión de parejas, de 3, de 5, de 4, para acabar con 32, otra potencia de 2, 2 elevado a 5. Otra muy curiosa es 2 elevado a 23, que da 8.388.608, en la que el 8 (otra potencia de 2) aparece repetido cuatro veces.

-Oh.

-Los dos casos que no repiten dígitos a partir de la potencia 16 son 2 elevado a 20, que ya lo mencionamos antes, y el mejor de todos, el que más me gusta, 2 elevado a 29, 536.870.912, en el que aparecen todos los dígitos salvo el 4 (de nuevo otra potencia de 2).

-Ah.

-Pero la potencia de 2 que más me gusta es ésta: 18.446.744.073.709.551.615.

-¡Eh, un momento! -exclamé-. Ese número no es una potencia de dos, porque ni siquiera es un número par.

El náufrago me sonrió de forma astuta.

-Veo que no está tan distraído como empezaba a temer. En efecto. No es una potencia de dos. En realidad la potencia de dos es 2 elevado a 64, 18.446.744.073.709.551.616, una unidad mayor. La cifra que mencioné antes es la cantidad de granos de trigo que pidió el inventor del ajedrez como recompensa. Es la que se obtiene al colocar un grano de trigo en la primera casilla del tablero de ajedrez, 2 en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta, y así las potencias sucesivas de 2 hasta completar las 64 casillas. Cuando sumamos todos los granos de trigo, se obtiene esa cifra...

En ese momento, el náufrago entró otra vez en delirio, y ya no pudo continuar la conversación de forma normal. El médico le administró un sedante, y hoy sigue descansando. Cuando se despierte hablaré de nuevo con él, y espero que vaya recuperando su cordura.

El Crimen del Miércoles

Cuaderno de bitácora: revisando mis viejos papeles he encontrado un problema que me pasó mi compañero oficial del Barco Escuela, Alfonso Sánchez Rodríguez, El Crimen del Miércoles. En su día ese problema se lo propuse a los grumetes, y la mayoría supo resolverlo. El problema viene con una gran viñeta simpática donde aparecen los personajes protagonistas dibujados.

El problema dice así:

Un miércoles noche en el living del señor Yani Puf. En verdad, de living ya no le iba a servir más, pues esa misma mañana había sido limpiamente asesinado. Con tal motivo, el gran investigador Tom Bola había reunido a los seis sospechosos. Cada uno de ellos solía visitar al señor Puf un día distinto y fijo de la semana. Únicamente el domingo Yani Puf no recibía visitas.

Esto es lo que declararon cada uno de los sospechosos cuando Tom Bola los interrogó:

El deshollinador: "yo venía a limpiarle la chimenea dos días después del pintor".

El tenista: "yo lo visitaba dos días después que el violinista".

La secretaria: "yo lo venía a ver dos días después que el tenista".

El pintor: "yo venía a pintarlo dos días después que ella".

El violinista no dijo nada.

El jinete: "yo venía a visitarlo dos días después que el deshollinador".

El gran investigador Tom Bola comprobó que todos habían dicho la verdad. Según esto, ¿cuál de los sospechosos visitaba a Yani Puf los miércoles, y por tanto era el asesino?

El guión del problema es de J. Poniachik, y los dibujos de P. Colazo.

Ignoro de dónde sacó Alfonso Sánchez la fotocopia, pero debe ser de una revista o periódico de hace bastantes años.

Quien quiera conocer la respuesta basta con que pulse aquí.

Monerías para contar en un viaje

Cuaderno de bitácora: la navegación por los Matemares está llena de momentos en los que no se puede hacer nada sino esperar, y entretener el tiempo conversando. Algunas veces el tema de conversación se encuentra con facilidad. Otras veces a uno no se le ocurre nada que decir y llega un silencio embarazoso.

En mis últimos viajes he recopilado algunas monerías para ir contando y entretener el tiempo de forma amena. Unas me las han contado, otras las he leído en algún libro o revista. A continuación he seleccionado varias. El oyente ha de dar respuesta sencilla y lógica a cada enigma o pregunta.

1. Sherlock Holmes entró en la habitación. Se encontró los cadáveres de Luke y Valerie en el suelo, sobre un charco de agua. Había cristales rotos esparcidos alrededor. El gato se encontraba sobre la mesa con el pelo del lomo erizado. Tras un rápido examen comprobó que Luke y Valerie habían muerto asfixiados. Holmes no lo dudó ni un momento y dijo: "el culpable ha sido el gato".

¿Qué ha sucedido?

2. Una persona se encuentra en una calle de casas rojas. Avanza hasta otra calle, se para delante de un hotel verde y exclama: "¡Oh, estoy arruinado!".

¿Qué significa todo esto?

3. Un hombre vive en un décimo piso. Todas las mañanas toma el ascensor, baja hasta la calle, se va a trabajar. Cuando regresa del trabajo toma el ascensor, pulsa el botón del séptimo y aunque detesta caminar, sube los tres restantes pisos andando.

¿Por qué lo hace?

4. Si tomamos los nombres de todos los números y hacemos una lista en orden alfabético, ¿qué número sería el primero de la lista?

5. ¿Cuántas letras tiene la respuesta a esta pregunta?

Algunas de las monerías se pueden encontrar en los siguientes libros: Matemática, ¿estás ahí? de Adrián Paenza, y ¿Cómo se llama este libro? de Raymond Smullyan.

Las soluciones a las preguntas vienen a continuación. Léanse al revés para entenderlas.

1. seroloc ed secep sod nos eirelaV y ekuL.

2. yloponoM la odnaguj átse anosrep asE.

3. omicéd led nótob la agell on y otijab yum se erbmoh lE.

4. ecrotaC.

5. ocniC.

El Primer Examen de Oposiciones

Muchos de mis compañeros oficiales del Barco Escuela tienen que presentarse a las próximas oposiciones. Se celebrarán este año, como viene siendo habitual, a finales de junio. En las oposiciones tendrán que hacer un primer examen escrito, que han de aprobar. En él se les preguntará un tema elegido al azar entre el temario oficial de cada materia.

Por ejemplo, si uno se quiere presentar a las Oposiciones a Profesor de Inglés, el temario tiene 69 temas. En esta convocatoria, aunque todavía no ha sido publicada, se comenta que para el primer examen se sortearán 5 de esos temas, y cada persona que se presente elegirá uno de esos cinco temas y lo desarrollará. El problema es saberse al menos uno de esos cinco temas.

Para la mayoría de los que se presentan, el tiempo de estudio del temario es muy escaso, y no suele bastar para estudiarse todos los temas. El problema está entonces en que si, por ejemplo, de esos 69 temas nos estudiamos 20, 30 ó 40, ¿qué probabilidad hay de que en el sorteo caiga uno de los temas que nos hemos estudiado?

Vamos con un ejemplo concreto: supongamos que son 69 temas, y que te has estudiado 40 y te has dejado 29 temas sin estudiar.

Si sólo se sorteara un tema, la probabilidad de que te toque uno de los temas que te has estudiado es:

suceso A = "que te toque uno de los temas que te has estudiado"

p(A) = 40/69 = 0.5797, es decir, un 57.97%

Este caso es muy sencillo. Pero supongamos que son 2 temas los que se sortean. Nos interesa que al menos uno de ellos sea de los que nos hemos estudiado, pero aquí hay varias situaciones: que el primer tema de los sorteados sea el que nos sabemos, que sea el segundo, o que tanto el primero como el segundo sean temas de los que nos hemos estudiado.

Para calcular la probabilidad de una forma más sencilla, hay que razonar con lo contrario: ¿cuál es la probabilidad de que al sortear dos temas ninguno de los que salgan sea de los que nos hemos estudiado? Hay que calcular entonces la probabilidad de que el primer tema sorteado no sea de los estudiados y de que el segundo tampoco. Necesitamos usar las fórmulas de la probabilidad de una intersección.

En matemáticas, la probabilidad de la intersección de dos sucesos es igual a la probabilidad del primero multiplicada por la probabilidad del segundo condicionado al primero:

p(A y B) = p(A) · p(B/A)

En el caso ejemplo que estamos viendo, un temario de 69 temas, nos sabemos 40 y nos faltan 29 por saber, el cálculo sería:

suceso A = "que el primer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"
suceso B = "que el segundo tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

p(A y B) = p(A) · p(B/A) = 29/69 · 28/68 = 0.1731, es decir, un 17.31%

Hay un 17.31% de probabilidades de que no sepamos ninguno de los temas.

Luego la probabilidad de que sí te toque alguno de los que te has estudiado es de 82.69% (lo que falta hasta el 100%)

Esta fórmula se puede extender a la intersección de varios sucesos, todos los que se quiera. En el caso de cinco sucesos, la fórmula adquiere un aspecto impresionante, pero no es difícil de comprender una vez que se analiza con detalle:

p(A y B y C y D y E) = p(A) · p(B/A) · p(C/A y B) · p(D/A y B y C) · p(E/A y B y C y D)

Veamos ahora el caso que nos ocupa: sortean 5 temas a elegir uno. Nuestro temario se compone de 69 temas. Nos sabemos 40 y no nos sabemos los 29 restantes. Entonces el cálculo es más largo pero no muy difícil:

suceso A = "que el primer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso B = "que el segundo tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso C = "que el tercer tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso D = "que el cuarto tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

suceso E = "que el quinto tema sorteado no sea uno de los que te has estudiado"

p(A y B y C y D y E) = p(A) · p(B/A) · p(C/A y B) · p(D/A y B y C) · p(E/A y B y C y D)

= 29/69 · 28/68 · 27/67 · 26/66 · 25/65 = 0.0106, es decir, un 1.06%

Hay un 1.06% de probabilidades de que no te salga ninguno de los temas estudiados.

Luego la probabilidad de que al menos uno de los temas sí sea de los que te has estudiado es de 98.94%

Una probabilidad bastante alta, ¿no?

He elaborado una tabla formato excel con las probabilidades de que caiga algún tema de los estudiados, según el número de temas que tiene el temario y el número de temas que uno se estudia. He abarcado un rango de temarios de 40 hasta 80 temas. Las probabilidades están expresadas en tanto por ciento y redondeadas a dos cifras decimales.

¡Suerte a todos!