13.1.20

[El Problema de la Semana] Extraños divisores

Veamos:

Elige un número cualquiera de tres cifras y escríbelo dos veces seguidas para obtener un número de seis dígitos (por ejemplo 327, que se convierte en 327327). Puedes comprobar que el número que resulta es divisible por 7. Haz la división y comprueba que el cociente es divisible por 11. Haz de nuevo la división y comprueba que el cociente es divisible por 13.

¿Puedes explicar por qué ocurre esto con cualquier número que elijas? 

La solución, más abajo.

No se sabe quién fue el autor que compiló el libro de Las Mil y Una Noches y que tuvo la feliz idea de darle este sugerente título. El número 1001 parece querer significar "más de mil". Teniendo en cuenta que en la antigüedad se usaban números grandes redondos para expresar que la cantidad era enorme, mil y una noches nos sugieren "más de muchísimas", o "muchísimas y una más". Con esta ilustración estamos haciendo un spoiler de la solución, pues esta involucra al número 1001.


SOLUCIÓN:

Tomar un número de tres cifras cualquiera y escribirlo dos veces seguidas equivale a multiplicarlo por 1001, veámoslo con el ejemplo:

327327 = 327000 + 327 = 327 · 1000 + 327 = 327 · (1000 + 1) = 327 · 1001

Resulta que si descomponemos 1001 en factores primos, nos sale precisamente 7 · 11 · 13. Por consiguiente, 1001 se puede dividir por 7, por 11 o por 13, y por tanto, cualquier múltiplo de 1001, como el 327327, es divisible por 7, por 11 o por 13.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.

26.1.19

[El Problema de la Semana] La pócima mágica

Ayudemos esta vez a cierto vendedor astuto:

Un vendedor de feria está promocionando una "pócima mágica" que, según él, sirve para todo: crecepelo, antiarrugas, cortauñas... Actualmente tiene 150 litros de pócima, de los cuales el 7 por ciento es un producto químico que le cuesta dinero, y el resto es agua. Decide añadir más agua al producto para obtener más cantidad de pócima y así obtener más beneficios con la venta. Piensa: "Si disminuyo la concentración al 5 por ciento ganaré una pasta extra".

¿Cuánta agua tiene que añadir a sus existencias?

Si alguien se puede creer que una pócima sirve también de cortauñas...

Veamos la solución al problema debajo de las ilustraciones.

Figura 1. Hemos encontrado esta foto en Google de dos modelos 3D de botellas de Klein. No podemos evitar compararlas con la forma que tienen los churros. Véase la siguiente ilustración.

Figura 2. ¿Churros con aspiraciones a convertirse en botellas de Klein?

Solución:

Actualmente, nuestro vendedor charlatán tiene 150 litros de pócima, de los cuales:

El 7 por ciento es un producto químico caro: 150 · 7% = 150 · 0,07 = 10,5 litros de producto.

El resto es agua: 150 − 10,5 = 139,5 litros de agua (pero este cálculo no es necesario).

Si queremos disminuir la concentración al 5 por ciento, entonces la cantidad correspondiente x de pócima será:

x · 5% = 10,5; luego x = 10,5 / 5% = 10,5 / 0,05 = 210 litros de pócima.

Si ahora tenemos 150 litros, basta añadir 210 − 150 = 60 litros de agua.

Nota: Este problema ha sido adaptado del libro Problemas a mí 1, de Fernando Corbalán y José María Gairín.

5.1.19

Sudoku de letras (23)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto

A   C   E   M   N   O   P   R   S

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: igualar o neutralizar el efecto de una cosa con el de otra.


30.12.18

[El Problema de la Semana] La compra compartida

Atención:

Cuatro compañeros van hacia clase. Cada uno de ellos tiene que comprar una cosa: una goma de 15 céntimos, un lápiz de 75 céntimos, un cuaderno de 3.75 euros y un libro de 18.75 euros. Después de comprar lo que hace falta, a Paula le sobra 1 céntimo, a Juan 2 céntimos, a Luis 3 céntimos y a Ana 4 céntimos. Si pasamos todo a céntimos, multiplicamos lo que se ha gastado cada uno por lo que ha sobrado y sumamos los productos, se obtiene 5490.

¿Qué objeto ha comprado cada uno de los cuatro?

Veamos la solución más abajo.

Present and Correct es una tienda online de artículos de papelería, unos son antiguos y recopilados de muchas partes de Europa y otros son de diseño original. Entre sus artículos están estos sellos para estampar poliedros y cuerpos de revolución. Parecen muy útiles cuando se enseña geometría tridimensional, pues los grumetes suelen tener dificultades para dibujar las figuras por sí solos.

Solución:

Se trata de encontrar la combinación adecuada:

15 · a + 75 · b + 375 · c + 1875 · d = 5490

Donde a, b, c, y d son los números 1, 2, 3 y 4 pero no en ese orden, sino en el orden adecuado para que salga correcta la operación.

Es evidente que d no puede ser ni 3 ni 4, pues en estos casos 1875 · d superaría la cifra pedida, 5490.

Tampoco d puede ser 1, pues en ese caso la suma de 15 · a + 75 · b + 375 · c debería llegar a 3615, y esto no es posible, ya que la suma máxima posible es 15 · 2 + 75 · 3 + 375 · 4 = 1755.

Luego d = 2, y entonces 15 · a + 75 · b + 375 · c = 5490 − 1875 · 2 = 1740.

Con los cálculos que hemos hecho se puede ver claramente que para obtener esta cifra, a debe valer 1, b debe valer 3 y c debe valer 4.

Si a = 1 céntimo, entonces a corresponde a Paula, luego Paula ha comprado la goma de 15 céntimos.

Si b = 3 céntimos, entonces b corresponde a Luis, luego Luis ha comprado el lápiz de 75 céntimos.

Si c = 4 céntimos, entonces c corresponde a Ana, luego Ana ha comprado el cuaderno de 3.75 euros.

Si d = 2 céntimos, entonces d corresponde a Juan, luego Juan ha comprado el libro de 18.75 euros.

Nota: Este problema ha sido adaptado del libro Problemas a mí 1, de Fernando Corbalán y José María Gairín.

29.12.18

[El Problema de la Semana] Celebración con langostinos

Un problema muy apropiado para las comidas de estas fechas:

Dos amigos, que han acabado con éxito los exámenes, deciden celebrarlo comiendo langostinos. Para ello, uno compra 2 kg y el otro 3 kg. Cuando van a comérselos aparece un tercer amigo que también quiere celebrar el fin de curso, y los otros dos acceden a que los acompañe con la condición de que pague su parte correspondiente, que asciende a 50 euros.

¿Cómo se repartirán esos 50 euros entre los dos primeros para que todos estén contribuyendo de forma equivalente?

Es recomendable reflexionar bien la situación del problema, y no contestar lo primero que se nos ocurra. La solución viene más abajo.

En esta foto podemos ver The Big Prawn (El Gran Langostino), en West Ballina - Australia. Su altura alcanza los 9 metros, y pesa casi 40 toneladas. Se trata de una estatua construida en 1989 como símbolo de la industria local de langostinos. En 2009 fue acordada su demolición, pero la comunidad de West Ballina se movilizó para salvar "el Langostino Artificial Más Grande del Mundo". Gracias a ello, en 2013 se restauró y se le añadió una cola, de la que antes carecía por estar ubicada sobre un centro comercial. Más información en esta página de Atlas Obscura. La imagen original sale en la cuenta de Math Bowden en Twitter.

Solución:

Lo primero que se le ocurre a cualquiera que lee el problema es hacer una proporción o regla de tres, y repartir proporcionalmente los 50 euros en 20 euros para el que aportó los 2 kg y 30 euros para el que aportó los 3 kg. ¡Pero está mal!

Si observamos que el tercero paga su parte correspondiente, que es de 50 euros, esto quiere decir que a cada uno le correspondería poner 50 euros, y que por tanto el coste total de los langostinos ha ascendido a 150 euros. Pero el primero compró 2 kg y el segundo 3 kg, luego se han comprado 5 kg de langostinos en total, y por tanto el precio del kg de langostinos es de 150/5 = 30 euros.

El primero puso 2 kg de langostinos, y gastó 2 · 30 = 60 euros.
Luego ha puesto 60 − 50 = 10 euros más de lo que le correspondía.

El segundo puso 3 kg de langostinos, y gastó 3 · 30 = 90 euros.
Luego ha puesto 90 − 50 = 40 euros más de lo que le correspondía.

Por tanto, para que todos contribuyan de forma equivalente, los 50 euros del tercero se han de repartir en 10 euros para el primero de los amigos y 40 euros para el segundo.

Nota: Este problema ha sido adaptado del libro Problemas a mí 1, de Fernando Corbalán y José María Gairín.

27.12.18

Sudoku de letras (22)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto

A   C   D   E   F   I   L   O   R

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: cuando llega la primavera, la planta de mi maceta está...


26.12.18

[El Problema de la Semana] El cociente misterioso

A ver qué tal se nos da resolver el siguiente problema:

Un matemático tenía la costumbre de contestar a las preguntas poniendo problemas. Un día le plantearon una división con más de cien cifras, y le preguntaron cuál era el cociente. Después de un rato contestó: "Si en esta división sumamos 6 al divisor y 72 al dividendo, no varían ni el cociente ni el resto".

¿Cuánto vale el cociente?

La solución más abajo.

Esta imagen ha sido extraída y adaptada de una página de David M. Russinoff. En ella podemos ver una igualdad matemática que significa que N es un número desconocido que al dividirse por 25 da de resto 6. La ilustración nos muestra a los soldados del antiguo ejército chino, tal como aparecen en las figuras de terracota de la tumba del primer emperador, distribuidos en cuadros de 5✕5 = 25 soldados. No sabemos cuántos soldados hay en todo el ejército, pero 6 han quedado sueltos, son el resto de la división entre 25.

Solución:

Se trata de una división en la que no conocemos ni el dividendo D, ni el divisor d, ni el cociente c ni el resto r.

Por la regla de la división, "dividendo es igual a divisor por cociente más resto":

D = d · c + r    (igualdad 1)

Pero si sumamos 6 al divisor y 72 al dividendo, el cociente y el resto no varían, por tanto:

D + 72 = (d + 6) · c + r    (igualdad 2)

Hacemos cuentas aplicando la propiedad distributiva:

D + 72 = d · c + 6c + r
 
Usando la igualdad 1 y simplificando:

72 = 6c

Y por tanto:

c = 72/6 = 12

El cociente es 12.

Obsérvese que de la igualdad 1 y de la igualdad 2 sólo podemos averiguar el valor del cociente, que es el que nos pregunta el problema. El dividendo, el divisor y el resto quedan sin poderse resolver.

Nota: Este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí 1, de Fernando Corbalán y José María Gairín.