17.2.18

Sudoku de letras (19)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  E  F  I  L  N  O  R

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: el nombre de una hermosa ciudad italiana.


13.2.18

El Solitario

Cuaderno de bitácora: hace ya varios años que un compañero matenavegante me explicó cómo se resolvía el juego llamado Solitario. Como en los camarotes de nuestro nuevo Barco Escuela hemos encontrado un ejemplar de este juego, no voy a perder la oportunidad de compartir la solución.

El Solitario es un puzle formado por 33 cuentas o bolitas, colocadas en una trama en forma de cruz, como se aprecia en la ilustración.

Figura 1. 

Para poder describir los movimientos, vamos a numerar las posiciones de las bolitas:

Figura 2.

El Solitario comienza quitando la bolita central, la número 17:

Figura 3.

A partir de este momento, los movimientos permitidos son los que consisten en tomar una bolita y trasladarla saltando por encima de otra bolita que esté junto a la primera en horizontal, vertical, izquierda o derecha, a la casilla vacía que haya inmediatamente detrás de esta segunda bolita, y la segunda bolita se retira del tablero.

El objetivo es conseguir, tras exactamente 31 movimientos, que sólo quede una bolita en todo el tablero.

En la figura 3, por ejemplo, las únicas bolitas que se pueden mover son las que están en las posiciones 5, 15, 19 ó 29. Si por ejemplo tomamos la bolita 5 y la trasladamos a la casilla 17, saltando por encima de la bolita 10, retiraríamos esta bolita y quedarían vacías las casillas 5 y 10.

Es muy difícil resolver el solitario sin más indicaciones que las que hemos dado. Lo habitual es que pasemos horas y horas dándole vueltas a las bolitas, y siempre nos queden al final varias bolas aisladas que ya no se pueden retirar del tablero. El Solitario tiene tantas combinaciones que puede llegar a ser exasperante.

A continuación vamos a describir los pasos necesarios para llegar a la solución. Aquél que quiera intentarlo por sí mismo, no debe seguir leyendo.

La estrategia general es: eliminar el centro de la formación, y luego ir eliminando los bloques rectangulares de los cuatro brazos de la cruz, en sentido circular. Veamos las secuencias concretas.

Comenzamos realizando tres movimientos, que nos van a dejar un hueco en el centro en forma de L. La llamaremos la primera L, o la L pequeña:

15 → 17
4 → 16
17 → 15

Figura 4.
Así queda la disposición en L pequeña, tras los tres primeros movimientos.

Seguimos con otros tres movimientos que nos dejarán un hueco en forma de L grande o segunda L:

28 → 16
25 → 23
16 → 28

Figura 5.
Después de los siguientes tres movimientos nos queda este hueco con forma de L grande.

Nos fijamos en que nos han quedado a la izquierda y abajo, dos rectángulos formados por seis bolitas cada uno. La siguiente secuencia de 12 movimientos tiene como objetivo eliminar estos dos rectángulos; aunque es una secuencia larga, no es difícil aprendérsela y encontrarle la lógica:

7 → 9
14 → 16
9 → 23
22 → 24 (¿se nos ha quedado una bolita aislada en 21?)
31 → 23
24 → 22 (regresamos a rescatarla)
21 → 23 (rescate conseguido, y el rectángulo de la izquierda ya está limpio)
32 → 24
23 → 25
26 → 24
33 → 25
24 → 26

Figura 6.
Tras 12 movimientos más, hemos dejado limpia la zona inferior izquierda.

Ahora viene una parte un poco difícil de recordar. Se trata de 6 movimientos con los que vamos a eliminar el rectángulo de seis bolitas del extremo de la derecha, dejando una formación en L invertida de 8 bolitas:

27 → 25
18 → 30 (parece que nos alejamos, pero no es así)
20 → 18
11 → 25 (vamos al rescate de la bolita alejada)
30 → 18 (completado el rescate)
13 → 11

Figura 7.
6 movimientos más y ya nos quedan sólo 8 bolitas formando otra L gruesa e invertida en la parte superior.

Ya hemos llegado a la secuencia final de 7 movimientos. El movimiento final nos permite elegir entre dejar la última bola al centro del tablero, o bien dejarla en medio del extremo superior:

10 → 12
3 → 11
18 → 6
(ahora la bolita en 1 va a saltar consecutivamente sobre dos bolitas, como en las damas)
1 → 3
3 → 11
12 → 10
(nos quedan dos bolas sólo, llega el movimiento final)
5 → 17
(también podemos hacer 10 → 2 y acabar en 2).

Figura 8.
El Solitario solucionado, con la última bola al centro.

En este artículo hemos tratado una de las soluciones del Solitario estándar. Existen otras secuencias distintas de movimientos que también llegan a la solución.

El Solitario también se llama Senku, Uno Solo o Peg Solitaire en inglés. En la página de la wikipedia se puede encontrar mucha información.

Hay Solitarios con diferentes formas y otros números de bolitas. También se pueden tomar grupos de bolitas y disponerlos en formaciones más simples de resolver. Estas formaciones más sencillas son un buen punto de partida para aprender a realizar el Solitario completo, además ayudan a comprender la lógica de las secuencias de movimientos.

Por último, quiero agradecer al compañero matenavegante Pablo Viedma, que me enseñó a resolver el Solitario y me ayudó a apreciar un pasatiempo al que hasta ese momento no había prestado demasiado interés.

10.2.18

Sudoku de letras (18)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  E  H  I  O  P  S  T

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: muchas personas las están pagando durante muuuchos años.


7.2.18

[El Problema de la Semana] Caminando por el ecuador

Aquí tenemos un nuevo (pequeño) desafío:

Si pudiéramos recorrer la Tierra siguiendo el ecuador, la coronilla de nuestra cabeza describiría una línea más larga que la planta de los pies. ¿Qué magnitud tendría la diferencia entre estas longitudes?

Ilustremos la entrada y después escribamos la solución.

Aprovechamos para recordar cómo se definió originalmente el metro en 1795: como la diezmillonésima parte de la distancia que separa el ecuador terrestre de los polos. Posteriormente se actualizó la definición de metro, primero en 1889, mediante un patrón de platino e iridio conservado en los sótanos de la Oficina de Pesos y Medidas de París, y luego en 1960, como 1650763,73 veces la longitud de onda en el vacío de la radiación naranja del átomo del criptón 86. La información y la imágen están tomadas de la wikipedia.

SOLUCIÓN:

Llamamos R a la longitud del radio terrestre. Podemos suponer que nuestros pies caminan a lo largo de una circunferencia (perfecta) de radio R. La distancia que tienen que recorrer nuestros pies se calcula mediante la fórmula de la longitud de una circunferencia:

L = 2πR

Llamamos a nuestra estatura personal. Nuestra coronilla también traza una circunferencia, pero de radio R+e. Usando la misma fórmula de la circunferencia, podemos calcular la longitud que recorre nuestra coronilla.

L' = 2π(R + e) = 2πR + e

Gráfico del problema.

Restando ambas longitudes:

L' − L = 2πR + − R = e

Si nos fijamos, nos puede parecer sorprendente que lo que mide el radio de la Tierra se simplifica en la resta y no influye en el resultado. La diferencia de magnitudes sólo depende de nuestra estatura: e; si por ejemplo medimos 1,70 metros de estatura, la diferencia entre ambas líneas sería aproximadamente de 2·3,14·1,70 ≅ 10,7 metros, es decir, habría entre 10 y 11 metros de diferencia entre lo que recorren nuestros pies y lo que recorre nuestra coronilla.

Concretamente, la solución 2πe es la longitud de una circunferencia de radio nuestra estatura.

3.2.18

Sudoku de letras (17)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  E  I  N  O  P  S  T

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: es lo mismo que los exponentes.


31.1.18

El Triángulo de Sierpinski en pop-up

Cuaderno de bitácora: Hace años, cuando nuestro periplo nos llevaba por los matemares de Priego de Córdoba, aprendimos una construcción con papel y tijeras que queremos presentar aquí, para deleite de nuestros "numerosos" seguidores: el pop-up del Triángulo de Sierpinski.

(Entiéndase la palabra numerosos en sentido estricto matemático: hay un número de seguidores de nuestro blog, no importa si ese número es grande o pequeño, y menos importa en matemáticas, donde un número tan grande como un gúgol está tan cerca del infinito como el número uno.)

Recordamos en las siguientes imágenes qué es el triángulo de Sierpinski:

Tomamos un triángulo (en negro) y lo "agujereamos" quitando el triángulo central que conecta los puntos medios de los lados, obtenemos tres triángulos (negros) semejantes al primero, ahora volvemos a agujerear esos tres triángulos, y obtenemos nueve triángulos, volvemos a agujerearlos y así vamos iterando el proceso hasta el infinito.

El resultado es un fractal llamado Triángulo de Sierpinski.
[Imagen realizada por Beojan Stanislaus.]

Bien, si ya estamos provistos de un folio A4 y de unas tijeras, podemos empezar a construir nuestro pop-up o relieve en papel. También son muy útiles una regla, un lápiz y una goma. Sigamos la secuencia de fotografías para saber cómo se debe proceder.

Figura 1.
Se dobla el folio por la mitad. El rectángulo formado vamos a llamarlo escalera de 1 peldaño. Cortamos desde la mitad del doblez hasta la mitad del peldaño.
Figura 2.
Doblamos la parte de arriba, haciendo coincidir el borde del rectángulo pequeño con el borde izquierdo del folio.
Remarcamos el doblez.



Figura 3.
Desdoblamos e invertimos el doblez, introduciendo el rectángulo entre las dos caras del folio.
Con esto ya tenemos la escalera de 2 peldaños.

Figura 4.
Aquí tenemos una vista desde arriba de la escalera de 2 peldaños, formando ya una estructura tridimensional.

Figura 5.
Otra vista de la misma escalera, donde se aprecia el hueco formado por los dobleces interiores.
Figura 6.
En el siguiente paso cortamos cada uno de los dos peldaños por la mitad hasta el centro del rectángulo, tal como se indica en la imagen.

Figura 7.
Doblamos los rectángulos superiores a los cortes.

Figura 8.
Procedemos a invertir los dobleces, empujando los peldaños hacia el interior del papel, y obtenemos la escalera de 4 peldaños.

Figura 9.
Este es el resultado, en forma de pop-up tridimensional, de la escalera de 4 peldaños.
Figura 10.
Continuamos haciendo otra iteración o repetición del mismo proceso.

Figura 11.
Hacemos los dobleces formando los nuevos peldaños.

Figura 12.
Esta es la forma tridimensional en este tercer paso de la escalera de 8 peldaños
Figura 13.



Figura 14.
Conforme aumentan los peldaños, el número de dobleces también aumenta, de forma exponencial. Ya estamos en una escalera de 16 peldaños.

Figura 15.
La escalera de 16 peldaños. La forma tridimensional se va pareciendo cada vez más al triángulo de Sierpinski.
Figura 16.
Continuamos con la quinta iteración. 
Figura 17.
Hemos conseguido la escalera de 32 peldaños.
Invertir los dobleces de esta escalera es un trabajo meticuloso que lleva un buen rato de esfuerzo y paciencia.



Figura 18.
El resultado final.

Con un folio A4, el máximo objetivo es la escalera de 32 peldaños y el pop-up de la figura 18. Llegar hasta este paso requiere bastante paciencia. Suponemos que es posible hacer una escalera de 64 peldaños, pero imaginamos que ya es un trabajo para especialistas en miniaturas, en busca de batir récords, y no digamos de 128 peldaños. También se puede empezar por hojas más grandes, de tamaño A3, A2 o incluso más grandes.

Hay que tener en cuenta que el número de dobleces interiores que tenemos que realizar, se multiplica por 3 en cada paso. Para la primera escalera tuvimos que invertir 1 doblez, para la segunda 3, para la tercera 9, para la cuarta 27 y para la quinta 81. Si quisiéramos conseguir la escalera de 64 peldaños nos esperan nada más y nada menos que 243 inversiones de dobleces más.

27.1.18

Sudoku de letras (16)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  G  I  L  N  O  R  T  U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: una figura geométrica que también es una zona misteriosa en las Bermudas.