17.3.17

Ramas matemáticas

Aunque las Matemáticas parecen ser, para el lego en la materia, una sola cosa que trata de números y sus operaciones, en realidad es una ciencia con diversas ramas. De hecho la misma palabra "Matemáticas" está en plural, indicando que es algo múltiple y no unívoco.

Durante los estudios básicos, la Secundaria y el Bachillerato, la asignatura de Matemáticas se da en un bloque único; el profesor puede mencionar algunas de sus partes, como la aritmética, el álgebra o la geometría, pero no es hasta que uno ingresa en la Universidad cuando esas ramas se separan en disciplinas distintas, con nombres propios.

Cuando en mis años de preparación para matenavegante ingresé en la Facultad de Matemáticas, me sorprendió bastante tener solo cuatro asignaturas en el primer curso: Geometría, Álgebra, Análisis Matemático y Topología. La organización de las clases era bastante sencilla, cuatro horas cada mañana, con cada una de estas cuatro materias, y un recreo de media hora en medio. Entrábamos a las 9 de la mañana y salíamos a las 13:30.

Recordando aquellos años mozos ya pasados, vamos a citar las principales ramas de las Matemáticas:

En primer lugar, tenemos la Aritmética (del griego arithmos = número), la ciencia que trata sobre los números y las operaciones entre ellos. Todo lo que sean números naturales, y aprender a sumar, restar, multiplicar y dividir, entra dentro de la Aritmética. También entran en ella los números enteros, las fracciones, y se cuelan también los números irracionales, como pi, así como las potencias y las raíces. Cuando vamos teniendo claro qué es un múltiplo, un divisor y un número primo, nos vamos a acercando a las cimas de la Aritmética, que se alcanzan con el Teorema Fundamental de la Aritmética: "Todo número natural mayor de uno se puede factorizar de forma única como producto de números primos".

[esta imagen tan simpática, realizada con las fichas "quesitos" del Trivial Pursuit, la hemos encontrado en esta web de fotografía matemática]

Luego tenemos la Geometría (que significa medida de la tierra). La Aritmética y la Geometría son las disciplinas más antiguas de las Matemáticas, y son las que se estudian en primer lugar durante la educación básica. Puntos, segmentos, rectas, ángulos, polígonos, círculos y figuras tridimensionales, son su campo de acción principal. El Teorema de Tales: "Si dos rectas que se cortan en un vértice son a su vez cortadas por otras dos rectas paralelas, los segmentos determinados entre el vértice y las dos rectas paralelas son proporcionales dos a dos" y el de Pitágoras: "En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos", son de los teoremas más conocidos por todos. La Geometría va de los conceptos más simples a las situaciones más complejas. La Geometría que manejamos en la vida diaria es la Euclídea, sin embargo existen otras concepciones muy útiles, como la Geometría Proyectiva, o las geometrías no euclídeas que se desarrollaron en el siglo XIX: la Hiperbólica y la Elíptica.
[En la imagen vemos una representación gráfica del paraboloide hiperbólico, figura clave en la Geometría Hiperbólica, una de las geometrías no euclídeas. La imagen la hemos tomado de Galileo's Pendulum]

A continuación podemos mencionar el Álgebra. Es una disciplina con raíces muy antiguas, casi tanto como la Aritmética y la Geometría, aunque no empezó a definirse por sí misma hasta hace cinco o seis siglos. Su nombre viene del título de un libro escrito por el matemático árabe Al-Juarismi. En principio trata sobre las expresiones algebraicas: polinomios y ecuaciones principalmente, aunque luego se extiende con el estudio de estructuras como los grupos, los anillos y los cuerpos. Una de las ramas es el Álgebra Lineal, que estudia los sistemas de ecuaciones lineales, los cuales dan lugar a las matrices y los determinantes. Hay muchos teoremas importantes en el Álgebra, pero ahora se me vienen dos a la cabeza, el primero de ellos muy antiguo, el Teorema Chino del Resto, que da una fórmula explícita para resolver un sistema de ecuaciones en congruencias, y el otro el Teorema Fundamental del Álgebra, demostrado por Gauss: "Todo polinomio de grado n con coeficientes complejos tiene exactamente n raíces complejas, contando sus multiplicidades".
[Esta imagen está sacada de esta web, y ha sido confeccionada con las raíces de todos los polinomios de grado menor o igual que 5 y de coeficientes enteros entre -4 y 4. Teniendo en cuenta que cada uno de los coeficientes puede tener 9 valores diferentes, y que cada polinomio de grado menor o igual que cinco tiene seis coeficientes, el número total de polinomios diferentes es 9 elevado a 6, es decir, 531.441]


Con el Análisis Matemático, también llamado Cálculus o Cálculo Infinitesimal, podemos decir que las Matemáticas alcanzan históricamente su edad adulta. El inicio del Análisis se localiza en los trabajos de Newton y Leibniz, los cuales, cada uno por su cuenta, desarrollaron al mismo tiempo el Cálculo Diferencial. El Análisis Matemático se apoya principalmente en los números reales y en el estudio de las funciones, y en ellas estudia los conceptos de límites, continuidad, derivadas e integrales. Un paso más allá lo da el Análisis Complejo, ubicado en el conjunto de los números complejos o imaginarios. Uno de los teoremas más importantes en esta rama es el Teorema Fundamental del Cálculo, que conecta a las integrales con las derivadas, demostrando que un proceso es el inverso del otro.

[Mostramos unas páginas del libro Cálculo Diferencial e Integral, de N. Piskunov, editado por Mir en 1966. Algo tienen las integrales que son de mis partes preferidas de las matemáticas, y supongo que también serán las preferidas de muchos matenavegantes.]

De las ramas más nuevas de las Matemáticas, podemos mencionar la Topología, que nació de ciertos lugares de la Geometría en los que no importaban tanto las distancias y los ángulos, sino la forma global de los objetos, y si se podían deformar para convertirse en otros, si tenían agujeros, o nudos, o caminos diferentes para llegar de un punto a otro, etc. En sus orígenes está el famoso problema de los puentes de Konitzberg, el problema de los cuatro colores y el problema de las casas y los pozos.
[Presentamos uno de los ejemplos introductorios de la Topología: una taza de café y un donut son topológicamente la misma cosa, porque se pueden deformar continuamente uno en el otro, sin cortar ni pegar. Este gif animado está tomado de la página Galileo's Pendulum.]

Otra rama bastante nueva históricamente hablando es la Estadística y Probabilidad, quizás una de las ramas que tienen mayor aplicación en el mundo actual. Hoy en día, según mi opinión, dicha aplicación está sobredimensionada y sobrevalorada. La Estadística, cuyo nombre viene de la palabra estado, se limita a organizar informaciones procedentes de poblaciones y a calcular parámetros y gráficas que nos ayuden en la mejor comprensión de dichas informaciones. La Probabilidad es la que le da la fuerza a la Estadística. Se centra en el estudio de los sucesos y de ellos construye las variables aleatorias y la función probabilidad. Algunos de sus principales resultados son la Ley de los Grandes Números y el Teorema Central del Límite, que describen el comportamiento de las muestras de una población cuando el número de muestras aumenta. En la descripción de dicho comportamiento la campana de Gauss tiene un papel fundamental.

[Cosas de matemáticos: diseñar campanitas de Navidad con la forma de la campana de Gauss para colgar en el árbol. Además los extremos de la campana, que corresponden al 5% de la distribución normal, están confeccionados en una tela diferente. La imagen está tomada de esta web.]

Existen otras ramas de las matemáticas, como el Análisis Numérico, la Teoría de la Medida, las Ecuaciones Diferenciales o la Teoría de Números, que no describiremos para no extendernos más.

A pesar de que son ramas diferentes, todas están conectadas entre sí. Los matemáticos se han sorprendido muy a menudo cuando al investigar una de las ramas se han encontrado conceptos relacionados con otras ramas que no se esperaban. Por eso todas las ramas forman parte de un sólo árbol, como todas las olas forman parte de un mismo océano: las Matemáticas. 

9.3.17

Construcción del rectángulo áureo

Cuaderno de bitácora: recientemente hemos tenido la oportunidad de leer el magnífico libro El Código Secreto, de Priya Hemenway. Se trata de un libro sencillo en su contenido, ilustrado con una gran cantidad de imágenes, y a un precio muy asequible, dada la calidad de su impresión.

El libro está centrado en el estudio de la proporción áurea, en su origen y descubrimiento, su relación con la sucesión de Fibonacci, y su aparición en la naturaleza, el arte, el pensamiento y la mística.

La proporción áurea es aquella que se establece en un conjunto al que se divide en dos partes, de forma que la relación o razón entre el tamaño del conjunto y el de la parte mayor coincide con la razón entre la parte mayor y la menor.

Si esto lo visualizamos en un segmento limitado por dos puntos AB, la cuestión es determinar un tercer punto C en el interior del segmento tal que se dé la siguiente proporción entre las longitudes: AB/AC = AC/BC.


Si suponemos que AC = 1, AB = x y BC = x − 1, entonces la proporción se escribe:


De aquí se deduce una ecuación de segundo grado, cuya resolución sería como sigue:


Lo que nos daría dos soluciones:



Se ve claramente que la segunda solución, al dar un resultado negativo, no es válida para el contexto en el que hemos resuelto la ecuación de segundo grado. A la primera de las soluciones, (la única solución válida de la ecuación) se le llama con la letra griega fi, que se puede escribir en mayúscula Φ o minúscula φ:


Acabamos de ver el método algebraico, mediante una ecuación de segundo grado, para calcular fi. Veamos ahora el método geométrico: dibujamos un cuadrado ABCD de lado 1:


A continuación encontramos el punto medio E del lado base del cuadrado y trazamos el segmento que une E con C, un vértice opuesto:



Teniendo en cuenta que el triángulo EBC es rectángulo, y sabemos las longitudes de los catetos, BC = 1 y EB = 1/2, podemos calcular con el teorema de Pitágoras la longitud de la hipotenusa, EC, que nos sale exactamente raíz cuadrada de 5 partido por 2:


Luego con un compás trazamos el arco de centro E y radio EC y lo cortamos con la prolongación de la recta AB, obteniendo el punto F:


Es muy sencillo comprobar que la longitud de AF es exactamente el número fi:


Si levantamos un rectángulo AFGD, éste es un perfecto rectángulo áureo.


A partir de esta construcción es fácil trazar un pentágono y una estrella de cinco puntas, pero eso se contará en otra ocasión.

[Los dibujos están realizados con la aplicación Geogebra].

24.2.17

La fórmula sin apotemas

Cuaderno de bitácora: hace ya bastante tiempo publicamos un artículo titulado Apotemas Falsas, en el que se explicaba que la conocida fórmula para calcular el área de un polígono regular, perímetro por apotema partido por dos, era una fórmula tramposa.

Debemos tener en cuenta que si sabemos el perímetro de un polígono regular, y por tanto conocemos la longitud del lado, entonces la apotema está determinada unívocamente por ese lado, es decir, no podemos "inventarnos" la longitud de la apotema una vez que tenemos el perímetro, pues si lo hacemos así lo más probable es que no pueda existir ningún polígono regular que cumpla con las dos medidas. Por tanto, debemos tener una fórmula en la que sólo intervenga el lado del polígono.

A continuación vamos a calcular esa fórmula explícita que sólo depende del lado para hacer el cálculo del área. Para ello necesitamos echar mano de la trigonometría.

Supongamos que tenemos un pentágono regular como en el dibujo:
Para calcular el área de este pentágono, lo mismo que cualquier otro polígono regular, el procedimiento es dividirlo en triángulos iguales. Se toma el centro del polígono, O, se trazan los radios que van del centro a cada uno de los vértices. El polígono queda dividido en n triángulos iguales, siendo n el número de lados, y las apotemas son las alturas de esos triángulos. El área de cada triángulo es base por altura partido por dos, pero la base es el lado x del polígono, y la altura es la apotema. Sumando las áreas de todos los triángulos llegamos a la conocida fórmula de perímetro por apotema partido por dos.

Fijémonos en el ángulo beta. Es la mitad del ángulo superior del triángulo que une O con los dos vértices. Como hay cinco triángulos en el pentágono, y cada ángulo superior mide dos betas, la medida de beta es:
Si este razonamiento lo repetimos para un polígono regular de n lados entonces el beta correspondiente vale:
Teniendo en cuenta el triángulo rectángulo que se forma con el radio del polígono, la apotema y la mitad del lado x, el ángulo alfa del pentágono vale:
Y en el caso del polígono de n lados, alfa vale:
Usando la tangente del ángulo alfa, tenemos la relación entre el lado x del polígono y la apotema a:
Despejamos la apotema:
Sustituimos el valor de a en la fórmula del área:
Simplificamos y ordenamos, y nos queda la fórmula que estamos buscando:
 [1]

Con esta fórmula sólo necesitamos saber la longitud del lado x y el número n de lados que tiene el polígono regular. Así, por ejemplo, podemos calcular la fórmula del área del pentágono regular:
Donde hemos aproximado la tangente de 54º y la hemos multiplicado por 5/4 obteniendo el coeficiente 1.7205.

También podemos tener, como ejemplos, el área del hexágono regular y el del heptágono regular (seis y siete lados respectivamente):
Aplicando sucesivamente la fórmula [1], podemos obtener expresiones sencillas para el área de los polígonos regulares, desde n = 3 en adelante. Lo único que varía es el coeficiente que aparece multiplicando a la x cuadrado.

Es interesante comprobar que cuando n = 4 ese coeficiente vale exactamente 1, y obtenemos la sencilla fórmula del área de un cuadrado.

[El dibujo del pentágono ha sido realizado con el programa Geogebra]

19.2.17

El Ojo de Horus

En la antigua mitología egipcia, Seth, la encarnación de la envidia y el mal, asesinó a su propio hermano Osiris, el dios bueno, y posteriormente Horus, el hijo de Osiris, le hizo la guerra a Seth. Durante uno de los enfrentamientos, Seth hirió a Horus en el ojo izquierdo y lo dividió en partes. Con la ayuda de Ra y Thoth, Horus recompuso el ojo y lo convirtió en un instrumento muy poderoso, el Udyat, que no solo le permitía ver, sino que tenía cualidades mágicas.

Los habitantes de Egipto consideraban el Udyat como uno de los amuletos más poderosos. Protegía de las maldiciones y de la magia negra, remediaba las enfermedades oculares y potenciaba la vista. Por alguna razón el símbolo del Udyat también fue empleado en las matemáticas. Los escribas egipcios emplearon cada una de sus seis partes para representar una fracción. Las fracciones representadas eran las potencias negativas de 2, desde 1/2 hasta 1/64.


Si querían representar 1/2, dibujaban la parte interior del ojo, 

para 1/4 era la pupila,

para 1/8 la ceja

para representar 1/16, la parte exterior del ojo,

para 1/32, la espiral

y finalmente para 1/64, la lágrima o bastón


El ojo completo parece referirse a la unidad. Sin embargo, si sumamos las partes, la suma de todas las fracciones 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 63/64, una fracción cercana a 1, pero no es igual a 1, le falta 1/64.

De hecho si continuáramos sumando las potencias negativas sucesivas de dos: 63/64 + 1/128 + 1/256 + ..., nunca llegamos a 1. Sólo llegamos a 1 si admitimos la suma infinita de todas las potencias negativas de 2.

¿Quisieron los antiguos escribas y matemáticos egipcios acercarse al concepto de serie geométrica infinita? ¿Tenía algún significado mitológico, como que cuando Thoth recuperó los trozos del ojo de Horus, no los recuperó todos, sino que faltaba una de las partes?

[Créditos de la imagen: De Benoît Stella alias BenduKiwi, CC BY-SA 3.0, Enlace]

31.12.15

Una moneda para un sorteo

Cuaderno de bitácora: en relación con la situación que se dio en cierto colegio de Granada, en la que se explica lo erróneo del método empleado por algunos Directores para realizar sorteos de plazas escolares, podemos reflexionar qué se puede necesitar para hacer un sorteo probabilísticamente justo con los mínimos elementos posibles.

Cuando se estudia probabilidad, ¿cuál es el ejemplo más simple que se pone de experimento aleatorio? Suele ser el lanzamiento de una moneda. Cuando echamos una moneda al aire, al caer puede quedar expuesta una de sus dos caras (cara o cruz), tenemos, por tanto, dos sucesos elementales posibles C = cara, X = cruz.

Pero repitiendo el lanzamiento, obtenemos combinaciones de sucesos elementales que nos pueden ayudar, por ejemplo, a realizar un sorteo justo con la ayuda de tan solo una moneda.

Tomemos el ejemplo que tratábamos en el caso del sorteo de las plazas escolares. Se trata de elegir aleatoriamente un número entre 111 posibilidades. ¿Se puede hacer con la exclusiva ayuda de una moneda?

La idea es ir tomando el conjunto de números, y dividirlo en dos partes iguales, asignar C a una de las partes y X a la otra, y luego lanzar la moneda para quedarnos con una de las mitades. A esta mitad la dividimos a su vez en dos partes y volvemos a asignar C a una parte, y X a la otra, y así sucesivamente, hasta que nos quedemos solamente con un número, que será el número elegido.

Pero 111 no se puede dividir en dos conjuntos iguales, porque es un número impar, y luego debemos seguir dividiendo por dos varias veces.

Necesitamos utilizar potencias de dos; las potencias de dos con exponente un número entero positivo son: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, etc.

Para el ejemplo que tenemos nos basta tomar 128. Cogemos pues 128 números. Como en realidad los alumnos son 111, del 112 al 128 los números corresponden a alumnos ficticios, o por decirlo de otra manera, si al final del sorteo tenemos la mala suerte de que es elegido uno de estos alumnos ficticios, el sorteo queda anulado y se vuelve a repetir desde el principio.

Tomamos estos 128 números, los dividimos en dos partes iguales de 64 cada una, del 1 al 64 y del 65 al 128. Si sale C, nos quedaremos con la primera mitad, si sale X con la segunda.

Lanzamos la moneda, nos sale, por ejemplo, X, y nos quedamos con los números del 65 al 128 (son 64 números en total). Volvemos a dividir el grupo en dos partes iguales, de 32 números; si sale C nos quedamos con los números del 65 al 96, si sale X, con los números del 97 al 128.

Lanzamos la moneda y nos sale en este segundo intento X otra vez, nos quedamos con los números del 97 al 128.

Así podemos seguir: dividimos el grupo en dos mitades, del 97 al 112, del 113 al 128; lanzamos la moneda y nos sale C, nos quedamos con la primera mitad.

Dividimos otra vez: del 97 al 104, del 105 al 112; lanzamos y sale C, nos quedamos con la primera mitad.

Dividimos: del 97 al 100, del 101 al 104; lanzamos y sale X.

Dividimos: del 101 al 102, del 103 al 104; lanzamos y sale C.

Ahora nos quedan solo dos números, el 101 y el 102; lanzamos y sale C. Nuestro número elegido es el 101.

La sucesión XXCCXCC nos ha llevado al número 101.

Cualquier matenavegante un poco curtido está observando que este método se relaciona íntimamente con los números binarios. En efecto, la sucesión XXCCXCC se puede trasladar de forma natural a número binario con sólo sustituir las X por 1 y las C por 0.

XXCCXCC → 1100100

Sin embargo, si convertimos nuestro número binario en número decimal, parece que las cuentas no coinciden:

1100100 = 1 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 64 + 32 + 4 = 100.

Sin embargo el número elegido no es 100, sino 101, ¿por qué esta discrepancia?

Si nosotros tomamos los números binarios de siete cifras desde 0000000 a 1111111, en sistema decimal estos números representan del 0 al 127. En nuestro sorteo hemos considerado los números del 1 al 128. Es decir, es como si tomáramos la lista de números binarios de siete cifras y la desplazáramos un lugar, por lo tanto la conversión en caras y cruces a números binarios debe hacerse sumando una unidad al resultado:

XXCCXCC = 1100100 + 1 = 100 + 1 = 101

Con este ejemplo podemos ver que se puede realizar un sorteo justo aunque no se disponga más que de una moneda. Siempre que la moneda no esté trucada.

1.11.15

[El Problema de la Semana] Negocios con trampa

Veamos el primer problema que se le plantea a los grumetes en este nuevo periplo:

Te ofrecen un par de negocios. En el primero vas a ganar 10 € el primer día, 20 € el segundo día, 30 € el tercer día, y así sucesivamente hasta llegar al día 15. En el segundo ganas 0.10 € el primer día, 0.20 € el segundo día, 0.40 € el tercer día, 0.80 € el cuarto día, y así sucesivamente hasta el día 15. Si te ofrecen escoger entre uno de los dos negocios, ¿con cuál te quedarías?

La solución, más abajo de la ilustración.


[La ilustración se ha tomado de Mathspace, en un artículo donde se pone un ejemplo de una progresión geométrica. El artículo está en inglés.]

SOLUCIÓN:

En el primer negocio tenemos una progresión aritmética. Se gana 10 € el primer día, 20 € el segundo, 30 € el tercero, etc. Entonces tenemos una sucesión de números que empieza en 10 y va aumentando, sumándole 10 cada día. Claramente si son quince días, el día quince se ganará 150 €. El problema está en sumar:
10 + 20 + 30 + ... + 150
No es una suma muy larga, se puede hacer directamente o emplear la fórmula de las progresiones aritméticas: (10 + 150) · 15 / 2 = 1200.
El resultado es 1200 euros ganamos con el primer negocio.

En el segundo negocio tenemos una progresión geométrica. Parece que empieza por muy poco dinero, ganando 0.10 € el primer día, 0.20 € el segundo, 0.40 € el tercero y así sucesivamente, multiplicando por dos en cada paso.
Las progresiones geométricas crecen rápidamente, y podemos calcular lo que se gana el día quince usando las potencias de dos.
El día quince ganamos: 0.10 · 214 = 0.10 · 16384 = 1638.40€
Para calcular el total de lo que se gana se puede hacer la suma:
0.10 + 0.20 + 0.40 + ... + 1638.40
Pero es más fácil aplicar la fórmula de la progresión geométrica:
(1638.40 · 2 0.10) / (2 1) = 3276.70
Con el segundo negocio ganamos 3276.70 euros. Por tanto, es más interesante el segundo negocio que el primero, a pesar de que las ganancias de los primeros días son más pequeñas.

Este problema es un ejemplo clásico del diferente comportamiento de una progresión aritmética y una progresión geométrica. En una progresión aritmética el crecimiento es constante, pero en la geométrica, el crecimiento va aumentando de forma muy rápida, por lo que, aunque empiece con desventaja, la progresión geométrica no tarda en superar a la aritmética y dejarla muy atrás.

Nota: Este problema ha sido adaptado del libro de Miquel Capó Dolz: El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1.

26.4.15

[El Problema de la Semana] Las zanahorias

El problema de hoy va de un conejo afortunado:

Un conejo tiene un número de zanahorias en su jaula. Cada día se come un cuarto de las zanahorias que le quedan. Después de cuatro días se ha comido 350 zanahorias. ¿Cuántas zanahorias había al comienzo?

La solución, bajo los pies del conejo.


SOLUCIÓN:
Este problema se puede resolver razonando con fracciones:
El primer día se come 1/4 de zanahorias, luego quedan 3/4.
El segundo día se come 1/4 de las que le quedan, que son 3/4. 1/4 de 3/4 es igual a 3/16, y le quedan 3/4 – 3/16 = 9/16.
El tercer día se come 1/4 de 9/16, que son 9/64, y le quedan 9/16 – 9/64 = 27/64.
El cuarto día se come 1/4 de 27/64, que son 27/256, y le quedan 27/64 – 27/256 = 81/256.
En los cuatro días se ha comido 1/4 + 3/16 + 9/64 + 27/256 = 175/256.
Las 350 zanahorias que se ha comido son los 175/256 del total, luego el total es 350 · 256 / 175 = 512.
En la jaula había un total de 512 zanahorias.

Este problema también se puede resolver con una ecuación, llamándole x a la cantidad inicial de zanahorias. Pero el planteamiento de la ecuación es muy similar al proceso que hemos hecho.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro The Riddles of the Sphinx, de David J. Bodycombe, Penguin Books.