[El Problema de la Semana] Primos gemelos

Éste es el nuevo problema de la semana planteado: 

Algunas parejas de números primos se diferencian en 2 unidades. Diremos entonces que estos números son primos gemelos.

El número que hay entre los 2 números de cada pareja de primos gemelos tiene una curiosa propiedad: es un múltiplo de 6 (exceptuando la primera pareja de primos gemelos: 3 y 5).

Trate de dar una explicación convincente de esta propiedad.

A continuación, ponemos una ilustración, y debajo de ella... ¡cuidado, que viene la solución al problema!
 

[en la imagen, los gemelos Fred y George Weasley, personajes de los libros de Harry Potter]

Solución:

Se trata de demostrar lógica y matemáticamente la propiedad enunciada arriba. Veamos: todos los números primos salvo el 2 son impares. Si una pareja de números primos, a y b, son gemelos, es decir, se diferencian en dos unidades, entonces ambos primos son impares, (porque el 2 no tiene ningún gemelo, ya que ni el 0 ni el 4 son primos). Entonces el número que hay entre ellos, llamémosle x, es par, y por tanto múltiplo de 2.

Si exceptuamos la primera pareja de primos gemelos, 3 y 5, todos los demás primos gemelos, no pueden ser múltiplos de 3. Tenemos tres números consecutivos, a, x, b, y se puede comprobar fácilmente que dados tres números consecutivos, uno de ellos es forzosamente múltiplo de tres (y los otros dos no). Ni a ni b son múltiplos de 3, por ser primos, luego tiene que serlo a la fuerza x.

Conclusión: x, el número que está entre los dos primos gemelos, es múltiplo de 2 y de 3, por tanto debe ser múltiplo de 2 · 3 = 6.

Nota: es curioso eso de llamarle a estos dos números "primos gemelos", teniendo en cuenta que en español, la palabra "primo" aparte de referirse a los números, se refiere al parentesco que hay entre dos personas en las que uno de los padres de una es hermano o hermana de uno de los padres de la otra. (En inglés, por ejemplo, no hay esa relación entre las palabras, ya que se usan términos distintos, prime para número primo, cousin, para la relación de parentesco).

He estado pensando sobre la posibilidad de que dos personas fueran primos y a la vez gemelos, y se me ocurre el caso de un hombre que se case con su hermana, por ejemplo, y tuvieran dos hijos que fueran gemelos. Estos niños, además de ser hermanos, serían primos, pues sus padres son hermanos.

Actualmente, que dos hermanos se casen es considerado incesto, pero antiguamente existieron culturas en las que esos matrimonios eran permitidos, especialmente entre la realeza.

Ampliación: uno de los grumetes me entregó el problema resuelto de la siguiente manera: "los números primos pertenecen a las sucesiones 6n+1 y 6n−1, por lo que los números anteriores y posteriores a los múltiplos de 6 son posibles candidatos a ser números primos". A continuación el grumete indica ejemplos de números de las sucesiones mencionadas que sí son primos.

A primera vista no acepté dicho argumento, porque me pareció que afirmar que todos los números primos pertenecían a dichas sucesiones era incorrecto, y que habría números primos que no pertenecieran a dichas sucesiones. Sin embargo consideré interesante la presentación de las dos sucesiones, porque implícitamente indicaba que entre dos primos consecutivos que se diferenciaran en dos unidades (dos primos gemelos, como les estamos llamando aquí) se podía incluir otro número que necesariamente pertenecería a la sucesión 6n y por tanto sería múltiplo de 6.

Por un lado, la idea que yo tuve de que no todos los números primos eran del tipo 6n+1 ó 6n-1 es correcta. Ni el 2 ni el 3 son de este tipo, y sin embargo son primos. Pero por otro lado, estos son los únicos que no cumplen esa propiedad.

En efecto, si tenemos un número primo que no sea ni 2 ni 3, entonces lo dividimos por 6, dará un cociente n, y un resto, y el resto puede ser 0, 1, 2, 3, 4 ó 5, luego el número puede ser 6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4 ó 6n+5. Si el número es primo, entonces tenemos que descartar 6n, (por ser múltiplo de 6), 6n+2 y 6n+4 (porque son pares, y el único primo par es el 2) y 6n+3 (que es múltiplo de 3). Luego nuestro número primo, al dividirlo por 6 sólo puede dar resto 1 ó resto 5, y por tanto puede ser de la forma 6n+1, o bien 6n+5 (con lo que le faltaría solo una unidad para llegar a ser múltiplo de 6, y por consiguiente es equivalente a decir que es de la forma 6n−1)

Según esto, no es difícil demostrar, con un poco de práctica para las demostraciones matemáticas, lo que pide nuestro problema. Sean dos primos gemelos, distintos de la pareja 3 y 5, llamémosle a al primero y b al segundo. Si a es de la forma 6n−1, entonces el número entre a y b es 6n, y por tanto múltiplo de 6. Si b es de la forma 6n+1, entonces el número entre a y b también es 6n. No es posible, sin embargo, que a sea de la forma 6n+1, y b de la forma 6n−1, porque entonces el anterior de a sería múltiplo de 6 y el posterior de b sería también múltiplo de 6, pero el anterior de a y el posterior de b se diferencian en sólo 4 unidades, y eso nos lleva a una contradicción, ya que los múltiplos de 6 se diferencian al menos en 6 unidades. Sea como sea, la única posibilidad es que efectivamente el número comprendido entre los primos gemelos a y b sea múltiplo de 6.

El argumento de nuestro grumete, aunque incompleto, señalaba a una demostración correcta del problema de los primos gemelos.

Nota: Este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.