31.8.09

Buscando la Combinación del Candado

Cuaderno de bitácora: el otro día me vino a la memoria aquella vez de tantas que regresé al mando de mi nave al renombrado puerto de Hispalis y pasé un buen rato en la cantina charlando con viejos exploradores conocidos mientras degustábamos viandas de tierra adentro. En aquella ocasión de la que hablo, uno de estos exploradores, amigo mío de hace muchos años, del que sé que ya se afincó en el otro hemisferio tras haber dejado varios océanos atrás, me enseñó un objeto que había encontrado en uno de sus viajes y me pidió ayuda para poder darle uso.
El objeto en principio no tenía nada de especial. Era un sencillo candado metálico de combinación, con tres rueditas de números, que se puede abrir girando las rueditas hasta colocar la combinación correcta de dígitos. Nuestro explorador, que había aprendido hacía años a ahorrar hasta el último doblón, quería aprovechar el hallado objeto para asegurar el cierre de una de sus muchas maletas, pero ignoraba la combinación y no imaginaba cómo proceder.
Resultaba indudable que para él, intentar averiguar la combinación quedaba fuera de sus capacidades; aquella tarea se le antojaba casi imposible, digna de un experto ladrón de cajas fuertes, de esos que con un estetoscopio de médico y manos enguantadas se cuelan en las mansiones de los ricos durante las horas de la madrugada y logran abrir las puertas blindadas de las cajas prestando atención al clic-clic de las ruedas de la cerradura. Quizás con ese pensamiento fue que me comentó lo del candado, enseñándomelo, pero cuando lo vi, le dije con seguridad que yo podía encontrar la combinación.

En efecto, así fue. ¿Cómo lo hice? Sentado tranquilamente a la mesa y dejando con indiferencia que mi jarra de zumo de uva se calentara, procedí a colocar las rueditas en el 000, y pulsé para abrir el candado, pero no se abrió, luego las puse en el 001 y volví a pulsar, luego en el 002, y así sucesivamente fui probando, 003, 004, 005 ...
Cuando mi amigo el viejo explorador me vio intentando abrir el candado número a número, me preguntó si aquello no me iba a llevar demasiado tiempo, y su pregunta sonó como una afirmación, porque él estaba convencido de que lo que yo estaba haciendo era del todo inútil, y que me cansaría antes de llegar ni siquiera a acercarme a la solución.
Sin embargo le dije que no se preocupase, y seguí con mi tarea. Para su sorpresa, al cabo de no más de un cuarto de hora, la combinación estaba averiguada (recuerdo que el número era ciento y pico, cerca de doscientos), y el candado, abierto.
Como matenavegante, yo jugaba con ventaja. Sabía que una combinación de tres números no se tarda mucho en averiguar probando cada posibilidad una a una. Si contamos el tiempo, aunque no lo he vuelto a intentar, supongo que se pueden ir probando hasta veinte números por minuto, con lo que en una hora da tiempo de sobra para sacar la combinación, sea la que sea, y probablemente en mucho menos de una hora, como me pasó a mí.
Pero claro, estamos hablando de un candado de tres rueditas. Diferente es si empezamos a probar con candados de cuatro, cinco o más rueditas. Para el de cuatro, la tarea puede alargarse durante horas enteras, y para el de cinco es posible que se tarden días, y así sucesivamente. El candado de sólo tres ruedas es ciertamente asequible.
Como consecuencia, este tipo de candados de tres ruedas deben servir, por tanto, para asegurar objetos que podamos controlar en casi todo momento y de los que no nos separaremos salvo por periodos muy cortos de tiempo (minutos apenas). No resulta inteligente utilizar uno de estos candados para objetos que van a estar solos durante un rato prolongado, al alcance de otras personas que puedan, sin vigilancia, trastear con ellos hasta encontrar la combinación. No son seguros para estos casos, y se debería optar por candados con más ruedas.
Cuando le devolví solucionado el problema, mi viejo amigo explorador me lo agradeció bastante. Ignoro si todavía conserva el candado. La última vez que lo vi fue no hace mucho, en una de las principales ciudades costeras del Extremo Oriente, y en esta ocasión charlamos sobre muchas cosas, pero no nos acordamos de esta anécdota. No sé si leerá esta entrada del blog allá al otro lado del charco, pero cuando nos volvamos a encontrar se la mencionaré por si quiere añadir algún comentario.

29.8.09

Más sobre Calendarios: Dividiendo el Año

Los años de 365 días tienen un día central: el 2 de Agosto. ¿Qué significa esto? Simplemente que hay exactamente 182 días anteriores al 2 de Agosto y 182 días posteriores.

¿Por qué existe un día central? porque el número de días es impar. Si el número de días fuera par, entonces no habría ningún día en el centro del año.

Ése es el caso de los años bisiestos. Con 366 días, el centro matemático temporal del año bisiesto se encuentra entre el 1 de Agosto y el 2 de Agosto, es decir, en el cambio de uno a otro día, exactamente a las doce de la noche. En un año bisiesto, desde el 1 de Enero hasta el 1 de Agosto inclusive hay 183 días, y desde el 2 de Agosto hasta el 31 de Diciembre hay otros 183.

El número 365 no parece un número demasiado interesante a la hora de factorizarlo:

365 = 5 · 73

Resulta ser cinco veces el número 73 (número primo), con lo que un año se puede dividir en cinco partes iguales, cada una de ellas de 73 días completos: del 1 de Enero al 14 de Marzo, del 15 de Marzo al 26 de Mayo, del 27 de Mayo al 7 de Agosto, del 8 de Agosto al 19 de Octubre, del 20 de Octubre al 31 de Diciembre.

Si quitamos un día y lo dejamos aparte, entonces 364 es divisible por 4:

364 = 4 · 91 = 2 · 2 · 7 · 13

El número 364 tiene mucho más juego para ser factorizado. La división por 4 fue aprovechada y representada en la pirámide de Chichén Itzá por el pueblo maya: cada lado de la pirámide tiene 91 escalones, y si le sumamos el templete de arriba del todo resulta 365. (Ver la entrada del blog Los Triángulos Isósceles del Sol para más información sobre Chichén Itzá)

Además, al dividir el año en 4 partes cada una de ellas puede representar una de las estaciones: primavera, verano, otoño, invierno. Cada una de las estaciones debe durar 91 días y un cuarto de día: 91 días y 6 horas. Esto no es exacto, porque las estaciones dependen de la posición de la Tierra respecto al Sol y la vuelta completa alrededor del Sol dura un poco más de 365 días.

También es interesante darse cuenta que 364 es divisible por 7, resultando 52. Todo el mundo sabe que el año tiene 52 semanas, más un día suelto, y éste día es la causa de que para los años normales las fechas avancen un día de la semana: si por ejemplo el 29 de Agosto es sábado, al año siguiente el 29 de Agosto será domingo. Cuando el año es bisiesto hay que avanzar dos días.

Si quitamos 4 días a 365, obtenemos 361, que es un cuadrado perfecto:

361 = 19 · 19

361 son los puntos o intersecciones del tablero normal de go, que resultan del cruce de 19 líneas horizontales con otras 19 verticales.

El go se juega con fichas llamadas piedras, blancas y negras, y el número de piedras con las que cuenta cada jugador al principio de la partida es indeterminado: cada uno puede disponer de cuantas quiera. Habitualmente, para un tablero de 19 por 19 se suelen vender cajas de 181 piedras negras y 180 piedras blancas, pero en las partidas entre jugadores que tengan un poco de conocimiento no se suelen gastar todas; si se rompen o se pierden unas cuantas piedras no importa, porque no se van a echar en falta en el transcurso del juego. Cuando se enfrentan dos jugadores principiantes, sin embargo, tienden a capturarse muchas piedras el uno al otro, y se les van acabando las piedras propias; esto se soluciona fácilmente, basta con intercambiar las piedras capturadas.

Me puedo imaginar con facilidad un calendario de 361 días: sería un cuadrado similar a un tablero de go, con 19 meses de 19 días cada uno. El juego que se popularizó en Occidente como go, se llamó originalmente wei chi, proviene de China y se inventó hace más de 4000 años. Se dice que el tablero de go fue en un principio una especie de calendario-ábaco en el que se medía el tiempo, se hacían predicciones astrológicas y se realizaban cálculos aritméticos.

Si quitamos 5 días al año nos encontramos con 360. Este número tiene la particularidad de que se factoriza muy bien:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

Al tener tantos factores, tiene muchos divisores posibles. Se puede dividir, por ejemplo, por 2, por 3, por 4, por 5, por 6, por 8, por 9, por 10, por 12...

Los antiguos pueblos de Mesopotamia, sumerios, asirios, babilónicos, persas, basaron su sistema numérico en el 60, y al desarrollar la ciencia de la astronomía dividieron el cielo en 360 grados, y cada grado en 60 minutos, y cada minuto en 60 segundos. De ellos hemos heredado nuestro sistema de medir ángulos y nuestro modo de contar el tiempo en horas minutos y segundos.

Los mayas también usaban el 360 en sus cuentas: tenían un sistema vigesimal (contaban de 20 en 20), y por tanto tenían meses de 20 días. En su calendario llamado Haab cada año era dividido en 19 meses: 18 meses normales de 20 días cada uno, lo que hacen un total de 360 días, y luego un mes extra, de 5 días, para completar el año (en la imagen aparecen representados los 19 meses mayas). Sin embargo, los mayas manejaban varios tipos de calendarios y cuentas. En otra de esas cuentas, se olvidaban de los 5 días y contaban simplemente de 360 en 360, obteniendo así días-kines, meses-uinales, años-tunes, y luego agrupando los años en katunes y baktunes. (Ver la entrada de mi blog Primer Día en el Barco Escuela para más detalles).



En nuestro calendario occidental, hemos aprovechado que 360 es divisible por 12 para obtener meses de 30 días cada uno. Los cinco días restantes hasta completar 365 se pueden repartir para dar lugar a los meses de 31 días. Pero por razones históricas que se remontan a la época del Imperio Romano, había no cinco, sino siete meses con 31 días, con lo que Febrero, el último en llegar al reparto, se quedó con solo 28.

Se me ocurre una última división: si quitamos dos días al año, tenemos 363 días, que es divisible por 3, obteniendo 121, un cuadrado perfecto:

363 = 3 · 121 = 3 · 11 · 11

Aprovechando esta peculiaridad el año se podría dividir de forma ligeramente extravagante: 121 días, un día suelto, otros 121 días, otro día suelto, y los últimos 121 días.

Así tenemos, del 1 de Enero al 1 de Mayo, ambos inclusive, luego el 2 de Mayo suelto, del 3 de Mayo al 31 de Agosto, el 1 de Septiembre suelto, y del 2 de Septiembre al 31 de Diciembre.

Cada periodo de 121 días se puede distribuir en once paquetes de once días, podríamos llamarlo once oncenas. Cada once oncenas sería más o menos lo que llamamos un cuatrimestre.

No sé de ningún calendario que haya dividido el año en tres partes de once oncenas cada una. Pero me puedo imaginar los almanaques que se imprimirían para ese tipo de calendario: si descartamos los dos días intermedios, los almanaques sólo tendrían tres hojas, cada una de ellas cuadrada, con una cuadrícula perfecta de once filas por once columnas. Sobre la cuadrícula podríamos colorear los días festivos, y nos sentiríamos felices cuando llegaran a formar un bello mosaico simétrico.

28.8.09

Sobre la Ecuación de Drake

Cuaderno de bitácora: uno de mis grumetes me ha mencionado la ecuación de Drake, y esto me da oportunidad para recordar aquí en el blog unas cuantas cosas. Pero empecemos por el principio: ¿qué es la Ecuación de Drake?
Como matenavegante, lo primero que me viene a la mente es que en español la traducción del inglés Drake equation no debería ser "ecuación de Drake", sino más bien "igualdad de Drake" o "fórmula de Drake". Hay que tener en cuenta que en inglés la palabra equation se refiere a cualquier tipo de igualdad, mientras que en matemáticas españolas, ecuación suele implicar una igualdad en la que hay una o varias incógnitas que deben ser averiguadas.
Para los que hemos estudiado las matemáticas tradicionales, la Drake equation no es más que una fórmula, como puede ser la de la gravitación universal de Newton o la de la equivalencia entre masa y energía de Einstein. La ecuación de Drake es una fórmula compuesta básicamente por una multiplicación de siete factores que dan un resultado:
N = R* · fp · ne · fl · fi  · fc · L
¿Qué se busca con esta fórmula? Obtener N, el número de civilizaciones que existirían actualmente en nuestra galaxia y con las que seríamos capaces de comunicarnos.


La ecuación de Drake se hizo popular con la emisión de la serie Cosmos, de Carl Sagan, y la posterior publicación del libro sobre la serie. En el capítulo doce, el penúltimo de la serie, titulado Enciclopedia Galáctica, Sagan discute sobre la posibilidad de contactar con otras civilizaciones de otros planetas. Para ello comienza estableciendo un paralelismo con el reencuentro con la civilización egipcia, que se dio en el siglo XIX gracias al descubrimiento de la piedra de Rosetta, y luego argumenta sobre los obstáculos para comunicarse con otras civilizaciones, los avances tecnológicos necesarios, y lo más importante de todo: cuántas civilizaciones extraterrestres pueden existir en nuestra Vía Láctea. Ese número es N.
Frank Drake tuvo el mérito, en 1960, de descomponer N en un producto de factores, cada uno de ellos siendo una cantidad que representa alguna característica necesaria para el desarrollo y la estabilidad de una civilización en cualquier planeta de nuestra galaxia:
R* representa el ritmo anual de estrellas adecuadas que se forman por año en nuestra galaxia. Una estimación de 1961 afirmaba unas 10 por año.
fp es la fracción de estrellas dentro de la Vía Láctea que tienen planetas a su alrededor. Podría ser, por ejemplo el 50%, o lo que es lo mismo, 0.5.
ne es el número de planetas que suelen tener las estrellas y que son aptos para el desarrollo de la vida. Puede ser, por ejemplo 2.
fl es el porcentaje o fracción que de hecho desarrollan vida. Puede ser el 100%, es decir, 1.
fi es la fracción de esos planetas donde se desarrolla vida inteligente. La estimación de 1961 fue de 1%, es decir, 0.01.
fc es el porcentaje de esas culturas de vida inteligente que llegan realmente a poder comunicarse a través del espacio. Se dio una estimación de un 1%, 0.01.
L es el número de años que esa civilización puede estar comunicándose antes de perder esa capacidad, ya sea por autodestrucción o por decadencia tecnológica. Se estimó una cifra de unos 10.000 años.
Según estas estimaciones de 1961, N resultaba ser de 10: en cualquier momento podía haber hasta 10 civilizaciones en la Vía Láctea con capacidad de comunicarse con nosotros.
Posteriormente, estas estimaciones se han retocado muy a la baja. No es mi objetivo discutir aquí sobre los cálculos pasados y presentes de cada uno de los factores, pues eso pertenece ya a otros terrenos de las ciencias: astrofísica, química orgánica, biología evolutiva, historia, sociología y hasta política. Carl Sagan discute con detalle en su libro Cosmos los diversos factores y el por qué de su cálculo.
Sin embargo me gustaría señalar que resulta evidente que algunos factores sean más asequibles de conocer que otros; el primero de todos, R*, es medible con estimaciones astronómicas avanzadas, y el segundo, fp, se está estudiando de forma cada vez más sólida con el descubrimiento de los planetas extrasolares. Pero para los demás factores sólo se cuenta, de momento, con teorías basadas en lo que sabemos de nuestro propio sistema solar, de nuestro planeta y de nuestra civilización, y generalizar al resto de la Vía Láctea es muy arriesgado, aunque siempre interesante.
Frank Drake, por su parte, es un astrónomo y astrofísico estadounidense, nacido en 1930 en Chicago, que ha dedicado su vida al conocido proyecto SETI [Search for extraterrestrial intelligence = "búsqueda de inteligencia extraterrestre], y que sigue esperando, como todos los que participan en dicho proyecto, que algún día sea detectada con la ayuda de los radiotelecopios una civilización de otro planeta, cercano o lejano en la Vía Láctea.

PD: En el libro de Cosmos la ecuación de Drake aparece ligeramente retocada:
N = N* · fp · ne · fl · fi  · fc · fL
El primer factor y el último son diferentes. N* representa el número total de estrellas que hay en la galaxia, y fL representa la fracción de una vida planetaria durante la cual se desarrolla una civilización técnica: de todos los años que dura un planeta, (en el caso de la Tierra, unos 4.500 millones de años) tenemos que averiguar qué porcentaje representa el tiempo en el que hay una civilización técnica activa sobre el planeta y que se pueda comunicar interestelarmente (en el caso de nuestra civilización, unos 50 años apenas, con lo cual, dividiendo este número entre el anterior, nos sale una cifra muy pequeña, del orden de 0.00000001, y si lo expresamos en porcentaje, 0.000001%). Aunque estos dos factores son distintos de los de la ecuación de arriba el producto final N sale el mismo con las dos fórmulas.

23.8.09

Cuatro Dados para un Calendario

Cuaderno de bitácora: en uno de nuestros viajes por Extremo Oriente me encontré en un bazar una serie de figuras de porcelana que representaban los signos del Zodiaco Chino. Recordemos que este zodiaco tiene doce signos, como el occidental, cada uno de ellos representado por un animal, y a diferencia de lo que estamos acostumbrados, cada signo rige un año chino completo, no un mes.
Los animales del zodiaco chino son: rata, búfalo, tigre, conejo, dragón, serpiente, caballo, cabra, mono, gallo, perro y cerdo. Desde el 26 de Enero de 2009 hasta el 13 de Febrero de 2010 estamos en el signo de búfalo. A partir del 14 de Febrero de 2010 entraremos en el de tigre. A cada uno de nosotros le corresponde un animal de la astrología china según su fecha de nacimiento. Hay numerosas páginas para conocer nuestro animal correspondiente; se puede consultar, por ejemplo, la tabla que aparece en el artículo sobre Astrología China en la Wikipedia.
Las figuras de porcelana del bazar que visité, no sólo representaban los animales, sino que además servían de calendario. Sobre cada animal había cuatro dados o pequeños cubos para ir poniendo la fecha de cada día.
El primer dado está dedicado al mes del año. Los dos siguientes al número del día, y el último al día de la semana. Los dados, pequeños hexaedros o cubos, tienen obviamente seis caras, y cada una de ellas se emplea para mostrar la información correspondiente.
Los que han diseñado los dados, lo han hecho de forma que sirvan para cualquier fecha del año. En el dado de los meses se han escrito dos meses por cada cara; es lógico, ya que hay seis caras y los meses son doce. Como se aprecia en la fotografía de la cabrita, en la cara donde aparece AUG (august-agosto), aparece también JUL (july-julio) al revés, luego esa misma cara del dado sirve tanto para julio como para agosto.
El dado de los días de la semana es sencillo; como hay siete días, cada día podrá estar en una cara distinta, salvo una pareja que tendrá que compartir una de las caras, en este caso son el SAT (saturday-sábado) con SUN (sunday-domingo).
Pero el punto interesante, el que me intrigó desde un principio, es cómo organizar los dados de los números. No es la primera vez que veo un calendario de este tipo, y siempre me pregunté cómo es posible, con dos dados, conseguir todos los números del 1 al 31.
No podemos poner los diez dígitos, del 0 al 9, en cada dado, porque sólo tienen seis caras. Tenemos, por tanto, que distribuir los dígitos entre los dos hexaedros. Dado un dígito, lo pondremos en uno de los dados, sólo en uno de ellos, pero hay cifras que necesitan invariablemente estar en los dos.
Veamos, por ejemplo, el 5. Como en un mes no hay día 55, el 5 sólo necesita estar en uno de los dos dados, no en los dos. Pero diferente es el caso del 1 y el 2. El 1 sí tiene que estar en los dos, porque el 11 es uno de los días del mes, y lo mismo pasa con el 22.
Hay otro número que tiene que estar en los dos dados, el 0, ya que se tiene que combinar con todas las demás cifras para representar a los primeros días del mes: 01, 02, 03, 04, etc. Hay una posibilidad no muy elegante que es la de no poner el cero y quedarnos con un solo dado durante los primeros días de cada mes, pero se vería que falta un dado y quedaría un hueco en la cabrita. Así que por razones estéticas y de comodidad, para no estar quitando y poniendo el dado correspondiente, tenemos que poner el cero en ambos dados.
Tenemos entonces que en el primer dado están 0, 1, 2, y nos quedan tres caras sin asignar todavía. En el segundo dado estamos igual, también 0, 1, 2 y con otras tres caras sin asignar. en total hay seis caras sin asignar. Pero ahí llega el problema: en total tenemos seis caras, tres y tres, sin escribir, pero nos quedan siete cifras: 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ¡Alguien se va a quedar fuera de los dados!
Tomo los dados y los examino. ¿Qué ha hecho el fabricante? En el primer dado ha colocado 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En el segundo ha puesto 0, 1, 2, 6, 7 y 8. El 9 se ha quedado fuera. ¿Es que no podemos poner, por ejemplo, la fecha 19? Le empiezo a dar vueltas a los cubitos y entonces me doy cuenta del truco: el 9 se puede conseguir poniendo el 6 al revés.
La clave está entonces en esa sencilla propiedad de nuestras cifras arábigas: el 6 y el 9 son dos símbolos relacionados por un simple giro de 180º. Poniendo en una de las caras un 6 ya tenemos un 9 implícitamente. Si no fuera por esta propiedad, no sería posible representar con dos dados los treinta y un días de un mes. El que diseñó este tipo de calendarios tuvo un golpe de ingenio para conseguirlo.
Luego, pensando en esto de los dos dados y los números que se pueden obtener, me ha surgido la pregunta: ¿cuántos números más, aparte de los del mes del 01 al 31, se pueden conseguir con estos dos dados? Invito al lector a que responda a esta pregunta, y si no la sabe responder o quiere comprobar sus cálculos, puede consultar los comentarios a este artículo, donde próximamente pondré el resultado.
De esta pregunta resulta un problema de combinatoria que no es trivial, pues podríamos hacernos el mismo planteamiento tomando tres dados, cuatro, etc. Me pregunto, por ejemplo, si con tres dados es suficiente para representar del 001 al 365, para así numerar todos los días del año. Mi respuesta intuitiva es decir que no: no veo bastantes combinaciones para cubrir tantos días. Pero no me resulta un problema nada sencillo. Más bien parece un rompecabezas bastante duro.
PD: Con la propiedad del 6 y el 9 tenemos que los números, por ejemplo, 69 y 96 quedan invariables si los giramos 180º. No son los únicos, basta combinar los 6 y los 9 de forma apropiada y tenemos muchos más números con esa propiedad: 6699, 6969, 996966, etc.
Para los que les gusta la astrología, si tomamos 69 y lo giramos unos 90º obtenemos entonces el símbolo del signo Cáncer, ♋. Véase, por ejemplo, esta página para conocer todos los símbolos de los signos de nuestro zodiaco.

22.8.09

Sobre la Curva de Agnesi

Cuaderno de bitácora: un par de circunstancias han modificado el rumbo de la matenavegación, llevándonos a visitar nuevas tierras desconocidas para nosotros hasta ahora, y dándonos la oportunidad de aprender sobre la vida de algunas mujeres matemáticas.
En la historia, a través de las culturas, civilizaciones y países, han sido pocos en general los que han dedicado su vida al estudio de las ciencias, especialmente de las abstractas, como las matemáticas con todas sus ramas. Nadie duda de la enorme aplicación práctica de las matemáticas en la vida cotidiana, aunque es pequeño el porcentaje de la población en el que hay cierto interés y motivación por conocer a fondo el intrincado mundo de los axiomas, teoremas, principios, algoritmos y demás realidades de las Ciencias Exactas. Sin embargo, hoy podemos constatar que este pequeño porcentaje tiene una distribución similar entre hombres y mujeres. Aunque no lo he comprobado con rigurosidad, creo que si hacemos una estadística sobre el número de mujeres y hombres que estudian actualmente la carrera de Matemáticas, los porcentajes estarían bastante equilibrados. Como corroboración de esto último, el año pasado apareció un artículo periodístico en el que se afirmaba que entre los matemáticos españoles un 60% eran mujeres.
Por lo que sé, no sucede así con las demás carreras: el resto de carreras de ciencias, en especial las ingenierías, arquitectura, física, suele tener una mayor proporción de hombres matriculados que de mujeres; otras carreras de letras, como las filologías, tienen una proporción muy alta de mujeres frente a hombres. La licenciatura de Filología Inglesa en la Universidad de Granada, por ejemplo, tiene una proporción de entre un ochenta y un noventa por ciento de mujeres entre los matriculados.
Las matemáticas puras interesan a pocos; sin embargo, interesan en la misma proporción a hombres que a mujeres. No obstante, en la historia de las matemáticas apenas se conocen mujeres que destacaran en sus estudios. Habitualmente son los hombres los que se mencionan como autores y descubridores de teorías, herramientas, proposiciones, etc.
Hoy en día se está tratando de hacer justicia a todas las mujeres matemáticas olvidadas por la historia, y así podemos descubrir grandes científicas que en su época, a pesar de las dificultades, supieron destacar en el campo de la investigación.
Uno de mis sobrinos, alumno de Primaria, aprendió hace unos meses la existencia de la llamada Curva de Agnesi. Cuando esto llegó a mis oídos, me di cuenta que jamás había oído hablar de dicha curva. Los temarios que se estudian en Primaria y Secundaria van cambiando con el paso de los años, y las matemáticas, aunque parecen tener una resistencia especial al paso del tiempo, ya que tratan de una ciencia eterna, no se ven exentas de sufrir cambios en el currículo de la asignatura. La Curva de Agnesi no formó parte de lo que aprendí en el Barco Escuela, ni en la EGB, ni en el BUP, ni en el COU, ni siquiera en la Universidad. Entonces, ¿por qué se está enseñando ahora?
Sólo puede haber un motivo: recuperar la memoria de una insigne matemática italiana, María Gaetana Agnesi, que vivió en Milán desde 1718 a 1799. Además de a las matemáticas, se dedicó también a la lingüística, a la filosofía y a la teología. En 1748, con treinta años, publicó Instituzioni analítiche ad uso della gioventú italiana, al que se le atribuye ser el primer libro de texto que trata conjuntamente el cálculo diferencial y el integral, y que sería prontamente traducido al francés y al inglés.
Diversos méritos tiene este libro, entre ellos la exposición, clara y sencilla, de conceptos muy novedosos para la época, en la que todavía persistía la separación entre las teorías de Newton y las de Leibnitz sobre el cálculo infinitesimal. El texto, además, está ilustrado con numerosos ejemplos, muy bien escogidos. Uno de esos ejemplos es precisamente, la Curva de Agnesi. Como suele suceder con otros conceptos en matemáticas, a pesar de que esta curva lleva el apellido de nuestra matemática María Gaetana, no fue ella la primera que la descubrió, sino que ya había sido estudiada por Fermat y Grandi en años anteriores.
Existe una anécdota sobre la traducción al inglés de la curva. El término italiano que Agnesi utiliza para denominarla, versiera, que significa "cabo o cuerda que se utiliza para girar la vela en una embarcación", es confundido por el traductor John Colson con la palabra avversiera, "diablesa", y que este traductor convierte en witch, "bruja". Por eso es normal que los libros de texto se refieran a esta curva como la Bruja de Agnesi.
La definición de la Curva es sencilla: dado un parámetro, a, tómese una circunferencia de radio a/2 y centro (0, a/2). La circunferencia, por tanto, tiene centro en el eje OY y es tangente al eje OX en el (0, 0), y además corta al eje OY en el punto (0, a). En la figura se puede apreciar una circunferencia en la que el parámetro a=10.
Una vez dibujada la circunferencia, se toma la recta horizontal que pasa por el (0, a), llamémosle r, y se van trazando rectas que pasen por el origen de coordenadas. Estas rectas cortan a la circunferencia en el punto B, y a la recta r en el punto A. Se dibuja la horizontal que pasa por B y la vertical que pasa por A, y estas dos rectas se cortan en un punto P. Este punto P pertenece a la Curva de Agnesi. Variando las rectas que pasan por el (0, 0) se van obteniendo todos los puntos de la Curva, resultando un gráfico como el que tenemos: una curva que se eleva suavemente hasta alcanzar un máximo en el punto (0, a) y luego desciende a derecha e izquierda, acercándose de forma asintótica hacia el eje OX.
Es sencillo encontrar que la expresión algebraica de la curva en forma de ecuación implícita es
y a los matenavegantes avezados en travesías mateoceánicas les recordará inmediatamente a la función derivada del arcotangente.
La vida de Maria Gaetana Agnesi se sale de lo habitual y nos dice mucho de su carácter y su vocación. Hija de Pietro Agnesi, un rico hombre de negocios, fue la mayor de los 21 hijos que su padre tuvo con tres diferentes esposas. Siendo la mayor, le tocó ser la cuidadora de sus hermanos, y a la mayoría de ellos tendría la desgracia de verlos morir en la infancia. Su carácter era serio y retraído, y su padre le dio una esmerada educación a través de preceptores y profesores particulares. Su padre también se encargó de organizar tertulias en el salón familiar, a las que acudían los principales intelectuales de Milán, y en ellas presentaba a su hija, que destacaba precozmente en el dominio de varias lenguas, como el latín, el griego, el hebreo, el francés, el español y el alemán.
Conforme fue creciendo, logró irse apartando de estas tertulias que la incomodaban, y se dedicó al estudio de las matemáticas y la teología. Después de publicar el libro Instituciones Analíticas antes mencionado, el Papa Benedicto XIV la nombra en 1750 catedrática en la Universidad de Bolonia, cátedra que ocuparía hasta la muerte de su padre en 1752. Se dice que el título fue solo honorífico, pues María Gaetana no ejercería la enseñanza, manteniendo una vida de retiro. A la muerte de su padre se dedicó por completo a su vocación religiosa y a las obras de caridad, en las que gastó toda su fortuna, abandonando las matemáticas y las demás cuestiones mundanas. En 1771 fue nombrada directora del Hospicio Trivulzio de Milán, donde se concentró en el cuidado de los menesterosos y enfermos, especialmente de mujeres mayores. En este mismo hospicio moriría como una más de las acogidas el 9 de enero de 1799.
Resulta un contraste extraño que por un error de traducción la Curva de Agnesi haya sido recordada y mantenida como Bruja de Agnesi, siendo la propia Agnesi una mujer tan humilde, piadosa y caritativa. Como citan María Molero Aparicio y Adela Salvador Alcaide en su biografía sobre María Gaetana Agnesi publicada en Divulgamat, parece un chiste sin gracia o hecho con mala intención. No sería el primero ni el último en la historia de la humanidad, y muchos personajes famosos tienen que sufrir este tipo de equivocaciones y tergiversaciones que luego se perpetúan y son tan difíciles de borrar.