31.3.10

[El Problema de la Semana] Cuadrado al cuadrado y algo más

Otro de los antiguos problemas publicados en doDK, del cual, como es habitual, he perdido la fuente y no puedo decir ahora de donde lo extraje.

He tomado un determinado número y hallado su cuadrado. Después, he elevado este cuadrado al cuadrado y multiplicado el resultado por el número original. Al final de mis cálculos, hallo como resultado un número de 7 cifras acabado en 7. ¿Cuál es el número original?

La solución no se hará esperar, en cuanto la imagen dejéis pasar.

[Esta imagen está tomada de la web Grand Illusions. Consiste en un sencillo juguete formado por seis cuadrados hechos de plástico transparente de tres colores, y unidos por una esquina mediante una pieza de goma que se puede pegar a una ventana, por ejemplo. Con la luz que entre por la ventana, los niños pueden jugar  a darle vueltas a los cuadrados y descubrir las diferentes tonalidades de colores que se van formando al combinar los cuadrados entre sí. Recomiendo visitar la página grand-illusions.com, porque está llena de todo tipo de objetos y juguetes mágicos, ilusiones ópticas, y artículos y vídeos de muchos de ellos]

Solución:

Si elevamos al cuadrado, luego otra vez al cuadrado y luego multiplicamos por el número original, estamos elevando a la quinta:

(x2)2 · x = x5

Tenemos que encontrar a un número que elevado a la quinta dé un resultado de siete cifras que termine en 7. Esto se puede hacer a tanteo, aunque basta probar con los números que terminan en 7, porque son los únicos que pueden dar de última cifra 7 cuando se elevan a la quinta potencia (los que terminan en 3 también pueden dar 7 en la última cifra, pero no cuando se elevan a la quinta potencia).

Tras un breve tanteo se comprueba que 175 = 1419857, es decir, 17 es el único número que lo cumple.

29.3.10

El barco fantasma

Cuaderno de bitácora: esta mañana, a través de la densa niebla, he avistado la forma de un navío de aspecto conocido, y con intrépido ánimo le he pedido al timonel que pusiera rumbo hacia el extraño barco. No ha sido difícil surcar el piélago que nos separaba, y cuando nos hemos aproximado hacia el barco nos hemos encontrado para nuestro asombro con la presencia inquietante y fantasmal de doDK, que suponíamos naufragado desde hace varios meses.


A pesar de nuestras voces y señales no hemos recibido contestación, ni hemos podido ver ningún tripulante a bordo; el barco parece abandonado a su suerte. Tanto mi persona como el resto de los matemarineros, dominados por sentimientos supersticiosos, hemos evitado abordar el extraño navío y después de acompañarlo durante un buen rato en su rumbo a la deriva nos hemos separado lentamente de él. Finalmente la niebla se lo ha vuelto a tragar, y dudo que lo vayamos a encontrar de nuevo en nuestro periplo.

Ignoro si sus bodegas conservarán intacto aquello que una vez contuvieron, yo por mi parte no pienso averiguarlo. ¡Adiós doDK! ¡Sigue surcando el ancho espacio de los matemares en tu recorrido aleatorio! ¡Conviértete en una de esas leyendas y misterios que pueblan las inmensidades mateoceánicas! ¡Que las tormentas te respeten, el agua no pudra tus fuertes cuadernas y los peces se asombren al verte pasar brillando al sol de cielos limpios!

26.3.10

[El Problema de la Semana] Sumas de impares

Hoy, otro de los antiguos problemas de doDK:

Nos han encargado que sumemos todos los números impares desde el 1 al 101 ambos inclusive. Después de un buen rato hemos finalizado la cuenta, pero luego nos han encargado la suma del 1 al 201, y cansados de sumar, queremos encontrar una fórmula fácil que nos dé el resultado.

Encuentra la fórmula, y como aplicación calcula la suma de los impares desde el 1 al 101, del 1 al 201 y del 1 al 343.

¿Dónde estará
la solución?
Justo pasando
la ilustración.
Girad la rueda
en el ratón;
la encontraréis
sin dilación.

[Esta imagen está tomada de una actividad realizada por George Hart en la Universidad de Albion (Albion College), en el verano de 2008. Muestra el vestíbulo de dicha Universidad, en la que Hart dirigió a varios grupos de personas para montar las estructuras geométricas que luego fueron izadas y colgadas a diferentes alturas, como se ve en la foto. En total hay nueve formas geométricas, aunque en la imagen sólo se ven ocho, y están colocadas de forma que su sucesión inspira el vuelo de un asteroide o cometa espacial. Es sorprendente que, a pesar de que las estructuras son perfectamente regulares, Hart ha conseguido una forma intrincada que junto a los colores elegidos sugieren la forma irregular y rugosa de una roca incandescente entrando a la atmósfera de la Tierra. Ver nota al final de esta entrada para más detalles sobre George Hart]

Solución:
Basta ir probando con las primeras sumas de impares y darse cuenta de lo que pasa:

1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32 ...

Las sumas de números impares consecutivos siempre da el cuadrado de un número, concretamente el número que es media aritmética de los impares que estamos utilizando. Si queremos sumar todos los impares desde el 1 al 101 va a salir el cuadrado del número que es media aritmética entre 1 y 101:

(1 + 101) : 2 = 51; luego

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 + 101 = 512 = 2601

Y de la misma forma:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199 + 201 = 1012 = 10201
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 341 + 343 = 1722 = 29584

Aclaración: evidentemente, para los matenavegantes un poco curtidos, este problema trata en realidad de la suma de progresiones aritméticas, y se pueden utilizar las fórmulas apropiadas para calcular dichas sumas, pero en este caso particular, sumando números impares, nos hemos encontrado con el atajo que se ha explicado antes y las fórmulas no son necesarias, tan solo un poco de atención e ingenio.

Nota: la página de George Hart es uno de los últimos descubrimientos en nuestro periplo de matenavegación. Recomendamos a todos los oficiales de los Barcos Escuela que la visiten, porque está llena de sorprendentes actividades. Una de ellas, concretamente la que Hart realizó en la Universidad de Sevilla en octubre de 2008, la hemos repetido en nuestro propio Barco, y en este enlace se pueden contemplar los resultados.

23.3.10

Ludolph van Ceulen y la extraña redacción (o en qué se parece una furgoneta a los 35 primeros decimales del número pi)

Cuaderno de bitácora: entre los muchos papeles viejos que aparecieron el pasado verano cuando nos pusimos a hacer una limpieza a fondo de los camarotes, quiero subir a este blog uno de ellos que me trae la imagen de una simpática grumete de hace tres o cuatro años, la cual, un día de aquellos, y a propuesta mía, presentó una redacción sobre Ludolph van Ceulen.
La curiosa vida de van Ceulen la encontré por primera vez dentro de un libro de texto, en un pequeño artículo de una sección de curiosidades incluidas al final de cierto tema. Ludolph van Ceulen fue un matemático alemán del siglo XVI y principios del XVII, que emigró a Holanda por motivos religiosos y fue nombrado profesor de la Universidad de Leiden en 1600, cuando contaba con 60 años. Lo más curioso, y el motivo de que se le recuerde, es que se pasó los último veinte años de su vida calculando cifras decimales al número pi, π, y cuando murió había logrado determinar π con la friolera de... 35 cifras decimales:
3,14159265358979323846264338327950288.
Como recordatorio de su gesta, el número π con sus treinta y cinco primeros decimales fue grabado en la lápida de su tumba, y en parte de Europa al número π se le ha llamado durante mucho tiempo número ludolphino (pronúnciese la ph como una efe: "ludolfino").
El número π es quizás el más famoso de las matemáticas, y conocer su historia es descubrir un largo camino lleno de hitos importantes, mediante los cuales nos podemos hacer una idea de lo que han sido muchos aspectos de la aritmética, de la geometría, del álgebra, del cálculo y del análisis, y de cómo han ido evolucionando a través de los tiempos. No es una historia para conocer ni comprender por completo en un rato, sino que requiere paciencia y progresiva profundización.
La historia de π está llena de anécdotas y hechos curiosos. Podemos hacer un mínimo resumen de ella, y empezar diciendo que π era conocido desde la más remota antigüedad en su definición, "la razón o proporción entre la longitud de una circunferencia y su diámetro"; pero una cosa es definirlo y otra muy distinta es calcularlo.
Diferentes civilizaciones han dado distintas aproximaciones del número π, algunas más alejadas de su valor real, otras más ajustadas, más exactas. En la Biblia, en el Libro de los Reyes, se dan una serie de instrucciones para construir un caldero, y en esas instrucciones se asume implícitamente que π es igual a 3. Los egipcios dieron un valor a π de 3'1666... y los griegos un valor de 3'125. Los chinos se aproximaron mucho, dando un valor a π de 355/113. Si hacemos la división veremos que coincide con π en las seis primeras cifras decimales (consultar la página de la wikipedia para más detalles).
Se dice que Arquímedes fue el primero que propuso un método o algoritmo geométrico que se usó durante siglos para aproximarse al valor de π. El método es muy sencillo: se trata de tomar una circunferencia, de un diámetro determinado, y calcular su longitud aproximándola mediante el perímetro de polígonos regulares. Tomamos polígonos regulares inscritos (polígonos interiores cuyos vértices están en la circunferencia) y polígonos regulares circunscritos (polígonos exteriores cuyos lados son tangentes a la circunferencia). Conforme vamos aumentando el número de lados de esos polígonos, se van pareciendo cada vez más a la circunferencia, y los perímetros se van aproximando cada vez más a la longitud real de la circunferencia, que al dividirla entre la longitud del diámetro, nos va acercando al número pi con la precisión que queramos.
Éste método, como hemos dicho antes, estuvo en uso durante muchos siglos. Pero el problema son los cálculos aritméticos. Sin ayuda de calculadoras, sin ni siquiera el apoyo de los logaritmos, que no se inventarían hasta principios del siglo XVII, los matemáticos de aquellos tiempos se tenían que enfrentar a tediosos cálculos a mano que, para obtener unas cuantas cifras decimales de π, requerían horas y horas de trabajo. El método de Arquímedes, a pesar de la simplicidad de su planteamiento, es un método lento, se necesitan ir tomando polígonos de muchos lados (miles, millones, billones de lados) para avanzar significativamente en el cálculo de las cifras decimales de π. Se dice, por ejemplo, que para obtener las 35 cifras de π, Ludolph van Ceulen necesitó manejar polígonos regulares de 2 elevado a 62 lados (unos cuatro trillones y medio de lados; un trillón = un uno seguido de dieciocho ceros, 1.000.000.000.000.000.000 = 1018).
A partir del siglo XVII, XVIII, con el avance del cálculo infinitesimal y del análisis matemático, empezaron a desarrollarse métodos mucho más eficientes para el cálculo de las cifras decimales del número π. Newton, Leibniz, Wallis, Euler fueron algunos de los matemáticos que, a través del estudio de las series numéricas, encontraron dichos métodos de cálculo.
Sería en pleno siglo XX cuando la llegada de los ordenadores permitiría dar un salto de gigante en el cálculo de esas cifras. Ferguson, en 1947, con la ayuda de una calculadora mecánica, llegó a calcular 808 decimales de π, pero apenas dos años más tarde, ENIAC, el primer ordenador, logró calcular 2037 decimales de π en tan solo setenta horas. Después de este acontecimiento y hasta nuestros días, se han utilizado ordenadores cada vez más rápidos y potentes, y el número de cifras decimales calculadas ha ido aumentando de forma exponencial. La última marca la estableció Fabrice Bellard el 31 de diciembre de 2009, día en que anunció que había conseguido un total de 2.7 billones de cifras decimales. En este artículo de El País se cuentan los detalles.
Regresando a la redacción que me presentó la grumete hace varios años, conservo la fotocopia de la misma y he podido releerla. Esta redacción ya ha quedado como un paradigma de la desconexión total que a veces se produce entre los grumetes y las tareas que tienen que hacer. Cuando en el Barco Escuela los oficiales matenavegantes les mandamos una tarea, lo importante para ellos es presentar algo, lo que sea, aunque no tenga el mínimo sentido. Y eso es lo que me presentó la grumete, un papel escrito a mano, con buena letra, y decorado con el típico método de ir chamuscando y quemando ligeramente los bordes del papel para que parezca un viejo pergamino, pero su contenido no tenía ni pies ni cabeza. A continuación lo reproduzco; el lector debe tener en cuenta que la intención es escribir sobre van Ceulen y las cifras decimales del número pi:
Al 1500s España fue encontrada a un "limpiamiento espiritual" conocido también como la "inquisición". A los no Católicos, esto significó el encarcelamiento, la tortura generalmente, y/o ejecución. Mientras que el español comenzó a conquistar Europa occidental, forzaron muchos a huir a la seguridad de los estados holandeses.
Tal es el caso de Colonia, que cayó a España en 1559. Como muestra de identificación, las clases ricas de Colonia unieron a menudo, furgoneta Keulen de van Ceulen ("akal del subfijo") a sus nombres, que significa literalmente "de Colonia".
Eventual, los nombres de la "furgoneta" se reconocieron mientras que los apellidos, y así, la familia de la furgoneta Keulen/van Ceulen fueron creados.
¿Inquisición española? ¿Colonia? ¿furgoneta Keulen? ¿reconocimiento de apellidos?


Supongo que la autoría de la redacción está compartida entre alguna página web en inglés sobre Colonia y un traductor automático particularmente extraño y desafortunado. A la grumete no pareció importarle el contenido. Simplemente lo copió, a mano (lo cual no deja de tener su mérito) y lo presentó. Posteriormente he estado buscando en la red la fuente de la redacción, pero no he sido capaz de encontrar tal combinación de despropósitos.
Lo que más me ha gustado, con diferencia, es la traducción de van Ceulen por furgoneta Keulen. Me recuerda lo bien que lo pasé leyendo un folleto de instrucciones para la instalación de la placa base de un ordenador; en dicho folleto, entre muchas otras barbaridades, el traductor de turno hablaba del abanico de la placa base, refiriéndose en realidad al ventilador, y lo único que me faltó es imaginarme a la placa base ataviada con peineta, mantón de manila, y una flor entre las conexiones de los chips.

19.3.10

[El Problema de la Semana] El cuadrado maya de la buena suerte

Este problema también apareció en doDK hace bastante tiempo.

En una pirámide maya hay un grabado como el que reproducimos. Debajo de él se puede leer: “Aquel que calcule la superficie del cuadrado interior, sabiendo que el exterior mide 100 centímetros cuadrados, recibirá del dios Itzamná suerte durante 50 años del calendario Tzolkin”. Si crees en la fuerza del destino, ponte a trabajar.
¿Hoy también ponemos la solución? ¿No? ¿Sí? ¿Tal vez? Pues miremos más abajo de la ilustración si queremos saberlo.


[Una de las actividades del pueblo maya era su famoso juego de pelota, en el que en una cancha con forma de H los jugadores mayas se disputaban una pelota maciza de caucho para intentar introducirla por uno de los dos aros de piedra verticales sujetos en las paredes centrales. La pelota se podía golpear con la cintura, y parece que también con los hombros, codos y rodillas, pero no con manos, pies ni cabeza. Los partidos podían durar un día y una noche, y no se disputaban como un entretenimiento, sino como un ritual, un oficio religioso que representaba la mitología maya de la creación]

Solución:
Es muy sencilla, basta con girar el cuadrado de dentro y colocarlo como se ve en el dibujo adjunto, y así nos daremos cuenta de que la superficie del cuadrado pequeño es la mitad de la del cuadrado grande.
Por tanto la solución es 50 centímetros cuadrados.
El que no se da cuenta de este astuto giro, lo puede resolver por el teorema de Pitágoras, llegando a la misma solución.

Notas: en su momento no apunté la fuente de muchos de los problemas que incluí en doDK, y de momento, debido a ciertos arreglos que se están realizando en nuestro Barco Escuela, no puedo buscar dichas fuentes, así que ahora me encuentro con que sé que este problema de hoy lo saqué de alguna parte, pero no puedo decir de dónde.
Los problemas de matemáticas son como los refranes, o como los chistes, es difícil rastrear al verdadero autor, pues muchos de los problemas se remontan a libros, pergaminos, papiros y estelas antiquísimos, y los profesores matenavegantes de todas las épocas los han ido transmitiendo con multitud de variaciones y adaptaciones a sus alumnos durante las clases de matemáticas. Si decimos que un problema lo hemos extraído de tal libro, lo más probable es que el autor de dicho libro lo haya tomado de otro libro anterior, o de alguien que se lo contó en su momento, y ese alguien lo recibió de otro alguien anterior, etc. Es muy difícil encontrar hoy en día problemas totalmente originales, salvo cuando ya son muy especializados en diversas ramas novedosas de las matemáticas.

12.3.10

[El Problema de la Semana] Una calculadora estropeada

Ahí va el nuevo problema:

Imagina que tu calculadora tiene estropeada la tecla del "cero". El juego consiste en conseguir que aparezcan en la pantalla estos números: 250, 205, 2050, 0'025.
¿Y cómo se podrían efectuar los siguientes cálculos? 0'025 · 205; 2050 : 250.
Recuerda que la tecla del "cero" sigue estropeada.

¡Santo cielo! ¿Dónde estará la solución? Que no cunda el pánico... Está más abajo, después de la imagen ilustrativa.

[Hablando de calculadoras, esta cosa extraña con el nombre de CURTA es en realidad una calculadora mecánica inventada durante la Segunda Guerra Mundial por un prisionero de un campo de concentración nazi, Curt Herzstark. Evidentemente, el nombre de Curta proviene del nombre su inventor, que sobrevivió al campo de concentración y perfeccionó el diseño de su calculadora, sacándola al mercado en 1948. Fueron consideradas las mejores calculadoras de mano hasta 1970, año en que empezaron a ser reemplazadas por las calculadoras electrónicas. Las Curtas pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y por su diseño fueron llamadas molinillos de pimienta. Se puede consultar la página de la wikipedia para más detalles, y también un simulador de cómo funciona]


Solución:
Es evidente que este problema admite múltiples soluciones. Por ejemplo, si queremos que aparezca en pantalla el 250 sin pulsar la tecla del "cero" podemos hacer cualquier cálculo que nos dé 250 como solución, y hay infinidad de cálculos en los que no necesitamos pulsar el "cero": 249 + 1, 251 − 1, 125 · 2, etc...
A continuación voy a escribir una de esas infinitas posibilidades, buscando pocas operaciones y una cierta "elegancia" en la elección de los números, usando principalmente productos y divisiones en lugar de sumas y restas:
250 = 125 · 2
205 = 41 · 5
2050 = 82 · 25
0'025 = 1 : (8 · 5)
Una vez que tenemos estas posibilidades, basta combinarlas para obtener las dos operaciones que nos pregunta el problema:
0'025 · 205 = [1 : (8 · 5)] · 41 · 5
2050 : 250 = (82 · 25) : (125 · 2)

Ampliación:
Aprovechando que en nuestra solución hemos usado productos y cocientes, las dos últimas operaciones se pueden simplificar y obtener el mismo resultado con menos pasos.
0'025 · 205 = [1 : (8 · 5)] · 41 · 5, aquí podemos simplificar un 5 que multiplica con otro que divide, obteniendo el mismo resultado así: 0'025 · 205 = 41 : 8
2050 : 250 = (82 · 25) : (125 · 2), podemos simplificar el 25 con el 125 y el 82 con el 2, y se obtendría el mismo resultado así: 2050 : 250 = 41 : 5
Cuando los matenavegantes nos encontramos con un problema que tiene muchas formas de solucionarse, no nos conformamos con haber encontrado esas soluciones, sino que nos preguntamos cuál de las soluciones será la más corta, la más eficiente, etc. Sí, a los matenavegantes nos gusta complicarnos la vida. En nuestro caso podría ser interesante averiguar, para cada una de las operaciones, cuál es el mínimo número de teclas que tenemos que pulsar en nuestra calculadora para obtener el resultado.
Así, para 250, parece que necesitamos al menos pulsar cinco teclas más la del "igual", aunque eso también dependerá del modelo de calculadora que tenemos.
Si hacemos 250 = 125 · 2, son cinco teclas (más la del igual, pero de ahora en adelante no vamos a contarla), pero si hacemos 250 = 53 · 2, y nuestra calculadora tiene una tecla que eleva al cubo directamente, entonces sólo tenemos que pulsar cuatro teclas.
Análogamente, 205 = 199 + 6, aquí hay que pulsar cinco teclas, pero con la solución que hemos dado más arriba, 205 = 41 · 5, sólo hay que pulsar cuatro.
Invito a todos los lectores a que experimenten con sus propias calculadoras y traten de encontrar esos números mínimos de teclas que se necesitan para cada cálculo.

Notas: este problema ha sido extraído del libro de texto de la editorial SM.


5.3.10

[El Problema de la Semana] Llenas, medio llenas y vacías

El problema de la semana para los grumetes:

Tres hermanos recibieron 21 botellas cerradas iguales con diferentes cantidades de un refresco de naranja: 7 estaban llenas; otras 7, medio llenas, y las 7 restantes, vacías.
¿Cómo repartirse las 21 botellas de modo que cada uno reciba el mismo número de botellas y la misma cantidad de refresco sin destapar las botellas?

La solución, ¡cómo no!, debajo de la foto.

[En la fotografía se puede contemplar un modelo tridimensional de la botella de Klein, una superficie cerrada que no tiene interior ni exterior, y que es equivalente, en superficie cerrada, a la banda de Möbius. Nosotros, en nuestra realidad tridimensional, estamos acostumbrados a que las superficies cerradas, como un balón de fútbol, una botella cerrada, una caja cerrada, tengan interior y exterior, y no se pueda pasar de uno a otro sin romper o atravesar la superficie. En realidad, la botella de Klein no es un objeto tridimensional, sino tetradimensional (de la cuarta dimensión), una superficie que no se corta a sí misma, pero como se aprecia en la foto, para representarla en tres dimensiones se necesita que el "cuello" de la botella se meta dentro de la "barriga" para unirse con el fondo, atravesando la superficie, cosa que en cuatro dimensiones no pasaría. La foto me parece muy simpática: obsérvese la absurda escala de medida, en la que el volumen contenido es siempre cero, (en realidad, al no tener interior ni exterior, cualquier cosa que se "meta" dentro de la botella no se puede aislar del exterior, con lo cual esta botella no sirve para "guardar" nada); obsérvese también en la parte inferior la frase en inglés Imported from the 4th Dimension, "importada de la cuarta dimensión". La imagen se ha extraído de esta web]

Solución:
En primer lugar debemos darnos cuenta que en total son 21 botellas, y de refresco son 7 botellas enteras y 7 medias botellas, que hacen 10½ botellas, con lo que repartiendo entre los tres, cada uno debe tener 7 botellas, y de refresco 3½ botellas cada uno. Hay al menos dos soluciones diferentes, como cualquiera que piense un poco puede descubrir, y creo que son las dos únicas soluciones.
Una primera solución podría ser:
-el primer hermano, 3 botellas llenas, 1 botella medio llena, y 3 vacías.
-el segundo hermano, 3 botellas llenas, 1 botella medio llena, y 3 vacías.
-el tercer hermano, 1 botellas llena, 5 botellas medio llenas, y 1 vacía. 
Una segunda solución podría ser:
-el primer hermano, 2 botellas llenas, 3 botellas medio llenas, y 2 vacías.
-el segundo hermano, 2 botellas llenas, 3 botellas medio llenas, y 2 vacías.
-el tercer hermano, 3 botellas llenas, 1 botella medio llena, y 3 vacías.

Nota: este problema ha sido extraído del libro de texto para 3º ESO de editorial SM.