10.11.09

Sobre Gauss


Recuperamos otro de los restos del naufragio de doDK, una biografía sobre uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos.

Gauss, un genio sobrehumano
Hay quien afirma que Carl Friedrich Gauss ha sido el más grande de los matemáticos y quizás el genio más dotado de cuantos se tiene noticia. En él se dieron cita tantas cualidades que resulta una figura enigmática para el mundo científico, una figura que se sale del ámbito de lo humano y entra en lo sobrehumano. Tenía intuición, originalidad, potencia y capacidad por encima del resto de científicos, y una persistente tenacidad, y sus descubrimientos fueron extraordinariamente diversos y profundos.
Nació en 1777 en Brunswick, al norte de Alemania. Desde pequeño mostró una extraordinaria capacidad para los números. Se dice, por ejemplo, que Gauss fue un niño prodigio al estilo de Goethe o Mozart, cada uno en su campo. Goethe, cuando tenía seis años, escribía y dirigía pequeñas obras para un teatro de marionetas; Mozart, con cinco años, ya componía y daba conciertos para la aristocracia y la realeza europea; Gauss corrigió un error en las cuentas salariales de su padre a la edad de tres años.
Suya es la siguiente anécdota, bastante conocida. Ocurrió en la escuela de Brunswick, cierto día de 1786, cuando Gauss contaba nueve años. El maestro encargó a sus alumnos que hiciesen como ejercicio de adición la suma de todos los números enteros desde el 1 hasta el 100, ambos inclusive. Se trataba de sumar la sucesión 1, 2, 3, 4, ... , 99, 100. Los alumnos, con una sola excepción, empezaron sumando 1 + 2; al resultado de esta suma, 3, le añadieron el 3, lo cual les dio 6, luego 4, obteniendo 10 y así sucesivamente.

La suma de los cien sumandos por este procedimiento había de tener ocupados a los estudiantes por un buen rato. Sin embargo, cuentan las crónicas que, al poco tiempo de propuesta la tarea, cierto alumno, Gauss, se presentó a su maestro con el resultado correcto: 5050. El maestro, perplejo, le preguntó al pequeño cómo se las había arreglado para hacer la tarea tan pronto. Gauss le explicó que los números que se iban a sumar se podían agrupar en parejas: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etc. cada una de las parejas sumando 101. Como se formaban 50 parejas, bastaba hacer 101 · 50 = 5050. Gauss acababa de descubrir el método para sumar las progresiones aritméticas, método ya conocido desde la antigüedad, pero resultaba extraordinario que un niño de nueve años, por sí solo, sin ayuda de nadie, pudiera deducirlo instantáneamente de forma tan clara y sencilla. [En la biografía que aparece en la Wikipedia, se comenta esta anécdota con más detalle]
El Duque de Brunswick conoció a Gauss cuando era un muchacho y decidió pagar su educación al quedarse impresionado por sus capacidades. Gauss estudió en el Colegio Carolina de Brunswick y más tarde en la Universidad de Göttingen. Cuando tenía catorce o quince años, descubrió el teorema de los números primos, que no sería demostrado hasta 1896 después de ímprobos esfuerzos de numerosos matemáticos; inventó el método de los mínimos cuadrados y concibió la ley gaussiana o normal de la distribución de probabilidades.
En la universidad se sintió atraído por la filología y desilusionado con las matemáticas, por lo que durante un tiempo la dirección de su futuro fue incierta, pero tras el descubrimiento a los dieciocho años de un bello teorema geométrico, se decidió en favor de las ciencias exactas. El teorema que Gauss descubrió se refería a la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de n lados: desde épocas antiguas se conocía la construcción con regla y compás de los polígonos regulares de 3, 4, 5 y 15 lados, además de todos los que se obtienen al biseccionar los anteriores, como los de 6, 8, 10 lados, etc. Gauss demostró que un polígono regular se podía construir con regla y compás si y sólo si su número de lados n era igual a una potencia de dos multiplicada por uno o varios números primos de la forma 2k + 1, con k = 2n [estos primos son los llamados Números Primos de Fermat]. Algunos números primos son de esta forma, como el 3, el 5, el 17 o el 257. En la época de Gauss fue muy sorprendente encontrar, por ejemplo, la forma de construir un polígono regular de 17 lados con regla y compás, pero el joven Gauss, con tan solo diecinueve años, la encontró [ver nota al final del artículo].
Durante esos años de su juventud Gauss se vio abrumado por el torrente de ideas que afluían a su mente. Inició un diario científico donde anotaba brevemente sus ideas y descubrimientos, que eran demasiado numerosos para profundizarlos en aquella época.
En el año 1799 Gauss presentó su tesis doctoral, uno de los hitos de la historia de las matemáticas. En ella se ofrecía por primera vez una demostración del teorema fundamental del álgebra: todo polinomio no constante con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o compleja. Con dicha demostración Gauss inauguraba la era de las demostraciones de existencia en matemática pura.
En el año 1801 publicó su famoso tratado Disquisitiones Arithmeticae, una obra completamente original que marca el comienzo de lo que se conoce en matemáticas avanzadas como teoría de números. En ella Gauss creó asimismo el enfoque riguroso de la matemática moderna, en contraposición al enfoque relajado y las demostraciones vagas de sus predecesores.
Sin embargo, su estilo era tan pulido, tan terso, tan desprovisto de motivación, tan acabado, que en algunas ocasiones resultaba prácticamente ininteligible, lo que restaba difusión a sus ideas. En una carta a un amigo afirmaba el propio Gauss: "Sabe que escribo lentamente. Esto se debe sobre todo a que no quedo satisfecho hasta que no consigo decir todo cuanto me sea posible en unas pocas palabras, y escribir de modo conciso lleva mucho más tiempo que hacerlo con extensión".
Gauss se dedicó en los años posteriores a la matemática aplicada. En los inicios del siglo XIX tuvo la oportunidad de hacerse famoso gracias a la astronomía. En las últimas décadas del siglo anterior, muchos astrónomos buscaron un nuevo planeta entre las órbitas de Marte y Júpiter, donde la ley de Bode predecía que debía localizarse. En realidad, entre dichas órbitas no hay ningún planeta, sino los restos de lo que pudo haber sido uno: un gigantesco cinturón de asteroides, entre los que destaca el más grande de todos ellos, bautizado como Ceres. Los astrónomos acertaron a descubrirlo en 1801, pero el pequeño cuerpo era difícil de observar y pronto se le perdió la pista conforme el sol se fue colocando delante. De las observaciones de Ceres se tenían pocos datos, y se planteó el problema de calcular su órbita con suficiente precisión para poder recuperar su posición una vez que el sol se hubiera alejado. Los astrónomos europeos intentaron localizarlo durante meses sin conseguirlo, hasta que Gauss, con la ayuda de su método de los mínimos cuadrados y su increíble capacidad para el cálculo determinó la órbita, indicó a los astrónomos dónde debían apuntar sus telescopios, y estos pudieron comprobar que, efectivamente, allí estaba Ceres.
El Duque de Brunswick, ante el éxito de Gauss, le aumentó la pensión y le nombró, en 1807, profesor y primer director del nuevo observatorio de Göttingen. Aunque le desagradaban las tareas administrativas y no sentía entusiasmo por la docencia, cumplió seriamente con sus responsabilidades e impartió excelentes clases.
Gauss se casó dos veces y tuvo seis hijos, y a pesar de las ofertas para trabajar en otros lugares decidió permanecer en Göttingen toda su vida, viviendo de forma sencilla y tranquila. Además de la ciencia, se interesaba por la historia, la literatura, la política internacional y las finanzas públicas. Este último interés por las finanzas le enriqueció, permitiéndole, al morir, legar un capital equivalente a cien veces sus ingresos anuales medios.

Durante las dos primeras décadas del siglo XIX se dedicó a trabajar sobre temas astronómicos, considerando la matemática solo como una diversión. En el año 1820 el gobierno de Hannover le pidió un estudio geodésico del reino, una labor que le ocuparía durante algunos años, una tarea tediosa y carente de interés, que sin embargo le inspiró una de las aportaciones más profundas y de mayor alcance de la matemática pura: la geometría diferencial intrínseca de superficies. Gracias a este trabajo pudo ser posible, por ejemplo, el desarrollo de la teoría de la relatividad de Einstein casi un siglo después.
Gauss publicó numerosas obras, pero dejó un número no menor de obras sin publicar que salieron a la luz después de su fallecimiento, cuando se pudo analizar con detalle sus cuadernos de anotaciones y su correspondencia científica. Muchos descubrimientos aportados por matemáticos posteriores pueden ser atribuidos a Gauss, que ya los esbozó y los conocía en sus notas, pero que no se molestó en publicarlos, tarea para la que hubiera necesitado varias vidas.
Una de las ideas de las que fue pionero fue la de la existencia de geometrías no euclídeas, pero no reveló sus conclusiones. Su silencio en este tema fue debido al clima intelectual de la época, dominado en Alemania por la filosofía de Kant. Uno de los supuestos básicos de dicha filosofía se apoyaba en que la geometría euclídea era la única posible, y Gauss se dio cuenta de que aquella idea era falsa, y que el sistema de Kant no tenía cimientos sólidos. Pero como no quería abandonar su vida tranquila para ponerse a discutir con filósofos decidió callar y guardarse lo que pensaba.
En la teoría de funciones elípticas se adelantó treinta años a los descubridores oficiales de esta rama de las matemáticas, Jacobi y Abel. Jacobi, atraído por un pasaje críptico de las Disquisitiones, visitó a Gauss en 1829, lleno de sospechas. Le contó sus más recientes descubrimientos, y en cada ocasión Gauss sacaba un manuscrito de treinta años antes en los que ya se hallaba lo que Jacobi acababa de mostrarle. Jacobi se sintió profundamente triste, pero Gauss, a su edad, ya era completamente indiferente a la fama y agradeció librarse de la preparación de un tratado sobre tales materias, dejando al joven Jacobi, de 26 años, la exclusiva de su publicación.
En 1830 Gauss trabajó sobre los residuos bicuadráticos, dando un enfoque nuevo a la teoría de números, y a partir de la década de 1830-40 se fue dedicando cada vez más a la física, enriqueciendo todas las ramas en las que tomó parte: la teoría de la tensión superficial, la óptica, el geomagnetismo y la teoría general de las fuerzas y del potencial.
Finalmente, Gauss falleció en 1855 a la edad de 77 años, superando de tal forma a los demás hombres de talento que a veces se tiene la impresión de que pertenecía a una especie superior.
Notas: El presente texto ha sido corregido y ampliado desde la última vez que apareció en doDK. Está extraído principalmente del libro de George F. Simmons, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas históricas, editorial McGraw-Hill, y la anécdota escolar sobre la suma de los cien primeros números, así como la ilustración que la acompaña se ha tomado de un artículo de Francisco M. Biosca, Aritmética y Álgebra, incluido en el tomo 6 de la Enciclopedia Labor, edición de 1976.
Para contemplar la sorprendente y compleja construcción del polígono de 17 lados con regla y compás, se puede ver el programa de la serie Universo Matemático, Gauss: de lo Real a lo Imaginario, de Antonio Pérez Sánz, o visitar esta página de José Manuel Arranz, que forma parte de una web dedicada a construcciones geométricas con el programa Cabri II.

4 comentarios:

Anónimo dijo...

Hola:
He estado ojeando esta articulo de gauss y nose por que se me ha venido a la cabeza el número "pi".
¿Sabria usted decirme quien fue el descubridor de este número? ya se que esto no tiene mucho que ver con el articulo al que comento pero es una curiosidad que tengo...gracias

Paulino Valderas dijo...

Hablar del número pi es un tema muy extenso y para contestar a su pregunta puedo hacerle un pequeño resumen.

Desde la antigüedad existió el interés de calcular la longitud de un círculo, y relacionarla con su diámetro. Se fue comprobando, por medidas directas como las que podemos hacer cualquiera de nosotros, que la longitud de la circunferencia era igual a tres veces el diámetro y un poco más. Ese tres y pico fue aproximado de diferentes maneras en las matemáticas egipcias, griegas, chinas, etc.

Los griegos, y especialmente Arquímedes, fueron los primeros que se dieron cuenta de que el valor de pi no coincidía exactamente con ninguna fracción conocida, y el propio Arquímedes dio un método para ir calculando el valor de pi con mayor exactitud.

A partir de entonces, a lo largo de los siglos, muchos matemáticos se han dedicado a calcular pi con precisión cada vez mayor, hasta la llegada de los ordenadores en la segunda mitad del siglo XX, que son capaces de obtener miles de millones de cifras decimales de pi.

Fue Euler en el siglo XVIII el que le dio el nombre con el que lo conocemos hoy en día. Johann Heinrich Lambert, en 1761, demostró que pi era irracional, y Ferdinand Lindemann, en 1882, demostró que además era trascendente.

Evidentemente, como pi es un número irracional, nunca se podrá escribir con todos sus decimales, porque son infinitos, y por tanto, para hablar de él con total exactitud, nos tenemos que conformar con su definición: "la razón de la longitud de la circunferencia a su diámetro".

En conclusión, nadie es directamente el descubridor de pi, sino que hubo muchos matemáticos que lentamente, a lo largo de la historia de las matemáticas, han ido avanzando en la comprensión de ese número. En realidad, cada uno de nosotros se convierte en un descubridor particular de pi cuando nos damos cuenta de todo lo que significa y lo vamos entendiendo, matemáticamente hablando.

Para más detalles consulte la definición de la wikipedia. Próximamente publicaré un artículo sobre Ludolph van Ceulen, uno de los matemáticos que se esforzó en calcular decimales del número pi, y en ese artículo contaré algunos detalles más.

Paulino Valderas dijo...

Por cierto, en relación a la anécdota de Gauss, sobre la suma de los cien primeros números, he comprobado en esta página de Epsilones, que existe una versión de la anécdota en la que la sucesión a sumar no es del 1 al 100, sino los números 81297, 81495, 81693,... hasta el 100899 (los números se van diferenciando en 198). Intentaré encontrar más información sobre el asunto.

Anónimo dijo...

Muchas gracias