Cuaderno de bitácora: he estado leyendo recientemente el libro Tradiciones y Leyendas Sevillanas, de José María de Mena, publicado por Plaza y Janés en los años 80 del siglo pasado, y me he encontrado con una versión alternativa de la leyenda sobre el tablero de ajedrez. Esta versión se centra en el siglo XI, y los protagonistas son el moro Abenamar, poeta, visir y amigo del rey Almotamid, y el rey castellano Alfonso VI.
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| Figura 1 |
Transcribimos a continuación la leyenda, tal y como la narra José María de Mena:
De cómo Abenamar salvó a Sevilla
El poderoso rey Alfonso VI de Castilla, en su juventud, siendo príncipe, perseguido por su hermano usurpador del reino, hubo de refugiarse en la corte árabe de Toledo, en la que dedicado a forzosa ociosidad, se entretuvo en aprender el noble juego del ajedrez.
Muerto el usurpador, y exaltado al trono don Alfonso tras la jura de Santa Gadea, en Burgos, se propuso ensanchar el reino castellano, a cuyo efecto conquistó Toledo, y cruzando después la línea del Tajo hizo incursiones en dirección a Andalucía, sembrando el temor entre los reyes de taifas andaluces.
Almotamid, rey de Sevilla, al saber que Alfonso VI se acercaba, tuvo la idea de enviarle, no un ejército, sino solamente una embajada que habría de pactar con el castellano.
Designó Almotamid para realizar tan difícil misión, a su amigo el poeta Abenamar, que ocupaba el cargo de visir, quien con acompañamiento de un lucido séquito llevando valiosos presentes, salió de Sevilla y encontró junto a Sierra Morena al rey Don Alfonso.
Plantó Abenamar una lujosa tienda de campaña, de rica seda, y convidó al rey de Castilla a que viniera, para ofrecerle un agasajo.
Durante la comida, condimentada con especias y perfumes, según la usanza mora, Abenamar se esforzó en sonsacar a Don Alfonso sus gustos e inclinaciones para saber cómo podría mejor captarse su voluntad. Y habiéndose enterado de que al rey le agradaba mucho el ajedrez, le dijo:
—Si os place, de sobremesa podríamos jugar una partida. Precisamente traigo un lindo tablero de nácar y ébano, y figurillas labradas en marfil, que no las hay mejores en España.
Mucho agradó a Don Alfonso la proposición, pues se tenía por gran jugador, y para demostrarlo, propuso:
—Habremos de jugar apostando algún dinero, pues no es razón que juguemos como las mujeres o los chiquillos.
—Muy puesta en razón es vuestra sugerencia; sin embargo me temo que yo, simple embajador, no tendré dineros para apostarlos en cantidad suficiente para jugar nada menos que contra un rey. Sin embargo os propongo una apuesta más sencilla. Si os gano me daréis dos granos de trigo por el primer cuadro del tablero, cuatro granos por el segundo, dieciséis por el tercero, y así multiplicando el número por sí mismo a cada escaque. Si yo pierdo os daré igual.
Hízole gracia a Don Alfonso la forma de jugar, y más cuando Abenamar le indicó que tenía un pequeño terreno, y que con el trigo que pensaba ganarle podría sembrar su parcela cuando llegase el otoño.
Sin embargo Abenamar estaba preparándole un ingenioso ardid a Don Alfonso VI con el propósito de salvar a Sevilla.
Jugaron, pues, la partida, y perdió Don Alfonso. Sonriendo, dijo:
—Bien, Abenamar, me habéis ganado. Os pagaré lo que apostamos. En cuanto llegue a Castilla daré orden de que os envíen unos cuantos sacos de trigo, y podréis sembrar vuestro campito con buen trigo castellano.
—¿Cómo unos cuantos sacos? Bromeáis, señor. Hagamos la cuenta, pues no quiero recibir ni un solo grano de más, pero tampoco de menos.
Alfonso, de buena gana, y todavía riendo, tomó papel y pluma y empezó a hacer la cuenta. Dos granos por el primer escaque del tablero, cuatro por el segundo, dieciséis por el tercero.
Pero a medida que iban siendo más escaques, la cifra, siempre multiplicada por sí misma, iba alcanzando unas cantidades que escapaban a todo lo imaginable. La progresión era tal, que cuando llegaban a menos de la mitad del tablero, ya no había posibilidad de operar, y para completar el tablero no habría trigo en todos los graneros de Castilla, al que cada año pagaba un impuesto o parias, a cambio había empeñado su palabra de rey, y le era imposible el cumplirla.
En tal situación, abatido y confuso el rey castellano, Abenamar le propuso:
—Señor, pues que la pérdida es tan grande y no podéis pagarla, yo me daría por satisfecho de condonaros la deuda a cambio de que retiraseis vuestro ejército fuera de las fronteras de mi señor el rey Almotamid de Sevilla. Y si queréis hacer guerras, dirigir más bien vuestros afanes hacia Badajoz, o hacia Murcia o Granada, cuyos reyes no son vasallos del de Sevilla.
No satisfizo mucho al castellano la solución, pero como no podía tomar otra, hubo de aceptarla, y así, despidiéndose de Abenamar, ordenó la retirada de su ejército hasta la línea fronteriza, tal como el poeta le había pedido.
Así fue cómo gracias a su ingenio, a su habilidad en el juego del ajedrez, y a su conocimiento de las matemáticas, pudo Abenamar salvar a Sevilla.
En un
artículo del Diario ABC, se recoge la misma historia, y se sitúa la leyenda en el año 1078.
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| Figura 2 |
Además del exquisito ambiente romántico y caballeresco que tiene esta leyenda, nos ha llamado mucho la atención su contenido matemático, que vamos a estudiar a continuación.
En el relato hemos resaltado en negrita la propuesta de Abenamar, que volvemos a reproducir aquí: "Si os gano me daréis
dos granos de trigo por el primer cuadro del
tablero, cuatro granos por el segundo, dieciséis por el tercero, y así
multiplicando el número por sí mismo a cada escaque". Se trata de una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando por sí mismo el anterior:
En el primer escaque: 2
En el segundo escaque: 2 · 2 = 4
En el tercer escaque: 4 · 4 = 16
Si continuamos la sucesión iremos obteniendo:
En el cuarto escaque: 16 · 16 = 256
En el quinto escaque: 256 · 256 = 65536
En el sexto escaque: 65536 · 65536 = 4294967296
En el séptimo escaque: 4294967296 · 4294967296 = 18446744073709551616, etc.
Si conocemos la
leyenda del inventor del ajedrez, que se puede leer en una entrada de este blog, nos daremos cuenta rápidamente que aunque las leyendas son parecidas, las sucesiones de granos sobre los escaques del tablero son muy diferentes.
En la leyenda del inventor del ajedrez, la sucesión de granos era:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
En nuestra leyenda de hoy entre Abenamar y Alfonso VI, la sucesión de granos sobre los escaques es:
2, 4, 16, 256, 65536, 4294967296, 18446744073709551616, ...
Una cosa que salta a la vista comparando ambas sucesiones es que
en la sucesión de Abenamar aparecen de forma inmediata números ENORMES. En efecto, la primera sucesión crece de forma mucho más suave y lenta que la segunda, y esta última tiene un crecimiento brutalmente acelerado.
De hecho, podemos comprobar que
esta segunda sucesión está formada por las potencias de 2 con exponente igual a los términos de la primera sucesión:
2
1 = 2
2
2 = 4
2
4 =16
2
8 = 256
2
16 = 65536
2
32 = 4294967296
2
64 = 18446744073709551616, etc.
Si seguimos avanzando en los escaques, podemos comprobar que en el
último escaque el número de granos de trigo sería:
2
9223372036854775808 =
?
¿Cuánto puede ser esta cantidad? No es un trabajo fácil hacerse una idea de este número. Si por ejemplo tratamos de calcularlo con la calculadora científica que aparece en la página
Web2.0calc, la respuesta que nos sale es directamente "infinity".
Con la ayuda de los logaritmos, podemos hacer una
aproximación en potencias de 10 o notación científica:
2
9223372036854775808 ≈ 1.38 · 10
2776511644261678566 (*)
Como se puede ver, se trata de una cifra del orden de un 1 seguido de más de dos trillones de ceros. Este número es grande, pero ¿cuánto de grande? Recordemos que
un gúgol es 10 elevado a 100, es decir, un 1 seguido de 100 ceros. Un gúgol es un número enorme; los astrofísicos han calculado que el número de partículas subatómicas que existen en nuestro universo visible no va mucho más allá de 10 elevado a 80. Pero el número que hay en la última casilla del tablero de Abenamar es MUCHO, pero MUCHÍSIMO más grande, es 10 elevado a 2.7 trillones.
Si queremos verlo desde otro punto de vista, regresemos a los primeros escaques del tablero. En el séptimo escaque, el número de granos se dispara a los 18 trillones (que es casi exactamente el número de granos TOTALES que cabían en el tablero completo de ajedrez de la primera leyenda). Si calculamos el octavo, el noveno y el décimo escaque:
2
128 ≈ 3.4 · 10
38
2
256 ≈ 1.15 · 10
77
2
512 ≈ 1.34 · 10
154
Es decir, en el décimo escaque habría que poner una cantidad en granos de trigo superior a un 1 seguido de 154 ceros.
Si cada partícula del universo visible se transformara en grano de trigo, no habría suficiente trigo en todo el universo para llenar el décimo escaque. Y todavía faltarían por rellenar el undécimo escaque, el duodécimo, etc., hasta el número 64.
Y eso no es todo. Además habría que sumar todos los granos de los 64 escaques. Sin embargo, en este caso no tiene demasiada importancia. Cuando el número de granos crece, hay tanta diferencia entre un escaque y el siguiente que la suma total de granos es muy poco mayor que la cantidad de granos que hay en el último escaque, el número que hay en (*).
Para terminar quisiéramos hacer un último comentario: por lo que se cuenta en la leyenda, creemos que el narrador no tiene una idea ni siquiera aproximada de las cifras que aparecen en la sucesión de Abenamar. En la leyenda se dice literalmente que "
... A medida que iban siendo más escaques, la cifra, siempre
multiplicada por sí misma, iba alcanzando unas cantidades que escapaban a
todo lo imaginable. La progresión era tal, que cuando llegaban a menos
de la mitad del tablero, ya no había posibilidad de operar..."
Si tenemos en cuenta que en aquella época había que hacer las cuentas a mano, y que en Europa todavía se seguían utilizando los números romanos, es muy improbable que el rey Alfonso VI pasara de la séptima casilla, que ya alcanza los cuatro mil millones, y que ya implica una multiplicación de dos números de cinco cifras. Intentar calcular la octava casilla es ya una tarea muy larga y complicada a mano, incluso con nuestro sistema decimal, y las demás casillas se tornan prácticamente imposibles. No sólo no podemos llegar a la mitad del tablero (32 casillas), sino que nos quedamos muy lejos de dicha mitad, como mucho sólo es calculable a mano la primera de las filas.
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Créditos de las imágenes: la Figura 1 es un retoque de una imagen tomada de la página web
Mercado Libre Argentina, y la Figura 2 ha sido tomada del
artículo periodístico publicado en ABC.]
