Espacios Vectoriales

Junto al libro Problemas de Concurso, encontré otro que en ese momento me pareció interesante. Su título era Álgebra Lineal y Teoría de Matrices, y había sido escrito por las profesoras Rosa Barbolla y Paloma Sanz.

Se dieron varias circunstancias para que me decidiera a comprarlo: su edición, hecha por Prentice Hall, tenía muy buena calidad. Su estado de conservación era óptimo, o por decirlo de otra manera, el libro estaba nuevo. El tema que trataba me interesó, pues el Álgebra Lineal siempre se me ha dado muy bien; además, era un tratado extenso que abarcaba hasta las Formas Canónicas de Jordan, una parte intrincada de la Teoría de Matrices que me interesaba recordar. Y el precio me pareció muy interesante: tan sólo cinco euros.

El libro está dirigido a los estudiantes de económicas y empresariales, pero en su interior es matemática pura. Estoy empezando a leerlo, repasando los polvorientos conceptos que yacen semiocultos en mi memoria, y una de las primeras cosas que me encuentro es una encantadora definición:

Es habitual representar un vector por una "flecha", que queda determinada por su dirección y longitud... Por tanto, intuitivamente, un vector puede identificarse en general con un segmento de recta orientado.

Esta frase tuvo el mágico poder de trasladarme instantáneamente al pasado, hace veintitrés o veinticuatro años, cuando empecé a estudiar los vectores. Mucho antes de saber qué eran los Espacios Vectoriales, mucho antes de explorar mundos incomprensibles del Álgebra más abstracta, en un libro de texto de 7º de E.G.B. sobre Física, con pequeñas fotos explicativas donde se veían muelles tensos, conocí el concepto de vector. ¡Cuántos recuerdos!...

Ahora observo nuestro barco, sus obenques estirados, sus velas hinchadas por el viento, la estela que deja tras la popa, y me veo rodeado de vectores, surcando inmensos espacios, espacios abiertos salpicados de espuma de mar, azules espacios vectoriales...

Problemas de Concurso 2

El libro del que estuve hablando ayer tiene una introducción muy interesante escrita por los editores L. Bers y J. H. Hlavaty, de la que a continuación voy a hacer un extracto:

Los problemas matemáticos son más antiguos que las matemáticas; enunciados como rompecabezas se encuentran en los registros escritos más arcaicos, como los papiros egipcios de hace 4000 años. En la India, por ejemplo, los problemas eran registrados en lenguaje poético. La gloria de elevar las matemáticas del plano de resolver problemas a la ciencia que es hoy, se le debe a los griegos; pero a pesar de esto los matemáticos griegos no despreciaron el arte de resolver problemas. Tres de sus grandes problemas geométricos fueron un desafío para los matemáticos hasta el siglo XIX: la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo, empleando solamente regla y compás. A pesar de los fracasos durante siglos para hallarle solución a estos problemas, los esfuerzos continuaron hasta que se logró demostrarlos con la ayuda de teoremas algebraicos y se concluyó que, en cada caso, la construcción era imposible con los citados instrumentos.

Tales problemas han estimulado el desarrollo de las matemáticas y han conducido a los matemáticos a inventar nuevos métodos y a crear nuevos conceptos. A un nivel más modesto, pero igualmente importante, dichos problemas han constituido un excelente campo de entrenamiento para los matemáticos jóvenes.

La resolución de problemas nunca fue un campo del dominio exclusivo de los matemáticos. En todos los tiempos han sido un estímulo intelectual y de diversión para muchos profesionales de otros campos. Durante el Renacimiento, en Italia la solución de problemas se convirtió en un deporte de competencias y entre los matemáticos no era raro hacerlas públicas. Algunas veces este espíritu los condujo a excesos. Por ejemplo, en el siglo XVI, Tartaglia, ganador de una de esas competencias, tuvo que escapar de un pueblo para no ser víctima de la violencia de los entusiastas del campeón local.

El objetivo de esta competencia particular era la solución de las ecuaciones cúbicas y al prepararse para ellas, Tartaglia descubrió las importantes fórmulas para su solución. Aún hoy, los matemáticos compiten en la resolución de problemas en forma menos pública, con menos agresividad, pero quizás con la misma intensidad.

Niccolò Fontana (Tartaglia)

El final del siglo XIX vio el comienzo de la organización de competiciones entre los estudiantes de las escuelas secundarias. En Hungría, las llamadas competiciones de Eötvös (iniciadas en 1894) son muy famosas; probablemente han jugado un papel básico en la formación de tantos matemáticos y físicos eminentes de este pequeño país. En la Unión Soviética los estudiantes de la Escuela Secundaria toman parte en un sistema de "olimpiadas" patrocinadas por la universidad.

En los Estados Unidos, la tradición de competiciones periódicas entre los estudiantes de matemáticas tiene aproximadamente 50 años.

Téngase en cuenta que el texto anterior fue escrito en 1960, para ubicar la fecha cuando dice que la tradición en Estados Unidos tiene 50 años. Por eso mismo se alude a la Unión Soviética .

Nota: el Diccionario de la Real Academia admite olimpiada y olimpíada, pero esta última forma, con acento, no me suena bien, aunque algunos se empeñen en escribirla así.

Problemas de Concurso

La semana pasada tocamos puerto y pudimos pasar algún tiempo en tierra firme. Aprovechamos para visitar un mercado de libros antiguos, y encontré un par de ejemplares interesantes a muy buen precio. Hoy me gustaría hablar sobre el más antiguo de los dos, una pequeña joya que tan sólo me costó 2.70 euros.

Su título, como puede apreciarse en la imagen es PROBLEMAS DE CONCURSO, y debajo aparece un subtítulo: Problemas de los Concursos Anuales para Estudiantes de Secundaria presentados por la Asociación Americana de Matemáticas. Los problemas están compilados y con las soluciones explicadas por Charles T. Salkind, y traducido por Álvaro Pinzón E., Matemático de la Universidad Nacional de Colombia. La edición original es responsabilidad de Random House, Nueva York y esta edición en español es de la Editorial Norma en Colombia.

La portada está amarillenta y tiene motivos para ello. El libro fue publicado en 1961, antes de que se llegara a la Luna. Estamos hablando, pues, de un título que ha cumplido 45 años. Recopila los problemas de los Concursos Anuales desde el año 1950 hasta el 1960, ambos inclusive. Estos Concursos son una especie de Olimpiada Matemática para los estudiantes de Secundaria que se empezaron a realizar en Estados Unidos precisamente en el año 1950, organizados por la Mathematical Association of America, MAA, de la que se puede visitar la página web.

Me llama mucho la atención este libro; es un volumen pequeño, fino, poco valorado, pero su antigüedad, su rareza, su viaje a través del tiempo y del espacio, su puerta hacia otro mundo desconocido dentro de la Matenavegación, le dan mucho valor para mí. Los problemas que trata son de diversos tipos: proporciones, ecuaciones de primer y segundo grado, porcentajes, raíces, geometría, progresiones... Hay un ejercicio en una de sus primeras páginas que me resultó sorprendente por lo corto de su enunciado y lo sencillo que parece:

Si el radio de un círculo se aumenta en 100%, el área se aumenta en: a) 100%; b) 200%; c) 300%; d) 400%; e) ninguna de estas respuestas.

Aunque a primera vista pueda parecer extraño, la respuesta correcta es la c). Es sencillo dar una explicación. (Ver la solución en los comentarios).

Sueños Delirantes

Cuaderno de bitácora: uno de nuestros matemarineros cayó enfermo hace seis días y está sufriendo de fiebres muy altas. Durante la noche y por la mañana parece dormir plácidamente, pero en la tarde entra en delirios y se queja y se revuelve en su cama. Más tarde, y tras la continua aplicación de paños húmedos y fríos sobre la frente, se despierta y recupera el sentido, y ha tenido a bien contarme los sueños que tiene para así liberarse de ellos.

El que más se le repite, una y otra vez, durante las últimas horas, es una ensoñación en la que se ve trepando por el palo mayor, desplegando las velas para que el viento sople con fuerza sobre ellas. No me extraña que sus delirios giren en torno a las velas del palo mayor, pues ha sido su responsabilidad en los dos últimos meses. El muchacho trepa y recoge la Vela Mayor, después sigue trepando y recoge la siguiente, la Gavia, luego el Juanete Mayor, pero encima hay más velas, un Sobrejuanete, un Sosobrejuanete, un Sososobrejuanete, y así continúan y continúan. Cuando mira hacia arriba para ver donde terminan, puede contemplar una nube oscura y baja en la que se pierde el Palo Mayor y que no le permite vislumbrar el extremo.

Ante la angustia de estos sueños, el matemarinero me ha preguntado si será capaz de llegar al final del Palo. Está seguro que hay un número infinito de Sososo...sobrejuanetes, cada uno más pequeño que el anterior, pero no sabe si la longitud del mástil es finita o infinita. Yo le he contestado que trate de medir las velas, comparándolas entre sí, la próxima vez que tenga el delirio, y que intentaré darle una respuesta.

Después del acceso de fiebre de la última tarde, me ha explicado que la Vela Mayor mide lo mismo que la nuestra, que la Gavia mide la mitad de la Mayor, el Juanete mide un tercio de la Mayor, el Sobrejuanete un cuarto de la Mayor, el Sosobrejuanete un quinto de la Mayor, y así sucesivamente. Al escuchar esto no he podido menos que decirle, con gran disgusto, que si las velas siguen esa progresión entonces el Palo Mayor de sus delirios no tiene límite, se extiende hacia el cielo de forma infinita. El muchacho ha puesto una expresión de desesperación y no ha querido escuchar el argumento que demuestra que la sucesión se hace infinita (ver la solución más abajo).

Después de esta conversación, y a pesar de todo, la fiebre le ha disminuido un tanto. Ha pasado una noche más tranquila, y se ha despertado con mejor aspecto en su rostro. Me ha contado que ha vuelto a tener el mismo sueño, pero ahora la Gavia medía tres cuartos de la Vela Mayor, el Juanete medía tres cuartos de la Gavia, el Sobrejuanete tres cuartos del Juanete y así sucesivamente. Yo le he confirmado, con una sonrisa, que está mejorando de su postración, y que ahora la sucesión sí termina, y el Palo Mayor, aunque siga oculto entre las nubes, tiene un final, e incluso es sencillo calcular su longitud. Pero tampoco ha querido oír la demostración (que viene más abajo). Con un suspiro de alivio se ha envuelto entre las sábanas y ha seguido durmiendo.

SOLUCIONES:

En el primero de los delirios, la solución está en ver si se puede sumar o no la siguiente sucesión:

 (1)

Esta suma es lo que se llama en matemáticas serie armónica. Se puede comprobar fácilmente que esta suma va creciendo sin ningún límite (tiende a infinito). Basta fijarse en la suma siguiente:

 (2)

Esta suma es menor que la (1), ya que estamos sustituyendo algunas fracciones por otras más pequeñas. Sin embargo, agrupando términos, obtenemos:

 (3)

En la serie (3) estamos sumando infinitas veces 1/2, luego el resultado no puede ser otro que infinito.

Como la serie (1) es mayor que la (2), y la (2) tiende a infinito, la (1) también tiende a infinito.

En el segundo de los delirios, tenemos que comprobar si se puede sumar la siguiente sucesión:

 (4)

Esta es una serie geométrica, de razón igual a 3/4. Como la razón es menor que 1, entonces la suma de los términos tiene un límite finito, y se puede calcular con la fórmula:

 (5)

Donde a₁ es el primer término de la sucesión y r es la razón. Hacemos la cuenta y obtenemos el resultado:

 (6)

Como conclusión a los delirios: en el primero, el Palo Mayor tiene longitud infinita; en el segundo, el Palo Mayor tiene una longitud igual a 4 veces la medida de la Vela Mayor.

Mesas de Piratas

Conversando sobre cuestiones de cómo sentarse a la mesa, uno de mis compañeros matenavegantes me contó una pequeña anécdota sobre los piratas y sus manías.

En la isla de la Tortuga era frecuente que se reunieran los piratas después de cometer sus fechorías, para beber ron y contarse sus aventuras. En verano, sobre todo en los meses de agosto y septiembre, las salidas de los piratas decrecía, debido a la presencia de huracanes en el Caribe que impedían la navegación. Aprovechando la inactividad, nueve capitanes piratas decidieron juntarse cada 18 de septiembre en la taberna La Pata Coja para cenar juntos. Por alguna razón misteriosa, aquellos capitanes deseaban cenar de una forma civilizada, tratarse con educación y sentirse por una noche personas normales.

El primer 18 de septiembre que se reunieron las condiciones eran idóneas. En el piso de arriba de la taberna había un reservado, y en él una mesa circular. Para evitar problemas y contradecir el nombre del local, la mesa sólo tenía tres patas. Cuando los piratas llegaron y se fueron acomodando alrededor de la mesa todo prometía que aquella iba a ser una velada inolvidable. Pero por mucho que lo intentaban, los piratas no podían dejar de lado sus malas inclinaciones, y antes de que se sentaran todos, el capitán Barba Cobriza empezó a quejarse del sitio que le había tocado en la mesa, si le llegaba más o menos luz procedente del candil, si sus compañeros inmediatos eran comensales agradables o no, si la tabernera le serviría a él antes que a los demás, etc. La discusión se extendió rápidamente entre todos los capitanes, y pronto las palabras dieron paso a los gritos y a los insultos, y varios empezaron a echar mano de los sables y las pistolas. Sonó un disparo que hizo retumbar toda la casa con un terrible estruendo, y una nube de humo se extendió por la habitación.

Cuando el humo se disipó, todos vieron que el que había disparado era Flan Haragán, el pirata más duro y más experimentado de todos ellos. En realidad había apuntado al techo, pues su intención era parar la discusión y obtener unos momentos de silencio, y evidentemente lo había conseguido. Se guardó la pistola en su faja, miró a todos con expresión adusta y dijo:

−¡Ya está bien! Sentémonos tal como estamos ahora y, para que nadie se queje, cada 18 de septiembre iremos cambiando de lugar hasta agotar todas las combinaciones posibles.

Se oyeron leves murmullos y gruñidos, pero todos los piratas se sentaron y pudieron cenar en paz.

¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar los nueve capitanes en las nueve sillas?

SOLUCIÓN:

Veamos la situación planteada. Evidentemente, si Flan Haragán quisiera agotar todas las combinaciones posibles, tendría que probar las maneras de ir permutando los piratas entre todos los asientos. Las permutaciones de 9 elementos, que se escribe 9! (léase nueve factorial) dan un total de: 9!=9·8·7·6·5·4·3·2·1=362880 posibilidades diferentes. Si los piratas cenaran juntos todos los días y no sólo el 18 de septiembre, se necesitarían cerca de mil años en cubrir tantas permutaciones.

Otra posibilidad diferente es que se hubiera propuesto "que cada uno se siente en un sitio distinto cada vez". En ese caso bastan 9 cenas para conseguirlo, pues a partir de la cena número 10 cada uno tiene que repetir sitio inevitablemente.

Nota: Este relato está inspirado en el problema número 96 de 100 Problemas Matemáticos, de Germán Bernabeu Soria.

Choque de Copas

Cuaderno de bitácora: el otro día estuvimos comiendo todos los oficiales en nuestro camarote de reuniones, y al final realizamos un brindis celebrando el comienzo del nuevo periplo. La mesa a la que nos sentamos era redonda y me recordó aquella mesa mítica de las épocas del Rey Arturo.

Escena de la película Master and Commander.

Sería muy largo enumerar aquí todos los símbolos que se le asocian al círculo en general y a la Tabla Redonda en particular, pero comentaré lo que se me viene a la mente en estos momentos.

Algunos Matenavegantes distinguimos entre circunferencia, que es la línea, y el círculo, que se refiere a la línea y al área de dentro. Para el caso que nos ocupa hablaremos de círculo para referirnos a la línea exclusivamente.

El círculo está definido por la propiedad de que todos sus puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. Por ello en el círculo no hay ningún punto destacado de los otros, el punto destacado, el centro, no pertenece al círculo. Se decía en las antiguas leyendas de la Edad Media que los Caballeros de la Tabla Redonda por igual se sentaban y por igual servidos estaban. Cuando se da un banquete y los comensales se acomodan en mesas redondas, da igual por dónde empiecen a servir los camareros, cualquier invitado puede ser el primero en ser servido, pues no hay un lugar que se pueda considerar el primero ni el último. (Este tema está ampliado en otra entrada del blog sobre La Tabla Redonda y otras curiosidades matemáticas de la Inglaterra antigua.)

Hay muchos fenómenos naturales en donde encontramos el círculo. El movimiento circular aparece continuamente en el Universo. Los planetas alrededor del Sol tienen órbitas que se asemejan, unas en mayor y otras en menor medida, a un círculo. También es el movimiento aparente que tiene el Sol y las estrellas en nuestro firmamento. Concretamente, el Sol va desplazándose con el paso de los días por una línea que cruza diferentes constelaciones, llamadas zodiacales porque se corresponden con los signos del zodiaco. Dichas constelaciones presiden el firmamento formando una especie de consejo estelar. También los Caballeros de la Tabla Redonda quisieron colocar ese símbolo a su hermandad, un símbolo cósmico, como si su Fraternidad fuera un reflejo en la Tierra de lo que sucede en el Cielo.

Todas estas cosas me vienen a la memoria, pero también recuerdo el momento de los brindis. Como es natural, todos los siete oficiales nos levantamos de nuestros asientos y fuimos chocando las copas mutuamente, deseándonos salud y buena fortuna. En ese momento, y antes de que terminaran de chocarse todas las copas, me puse a calcular el número total de choques que se darían, y no me fue difícil dar con la solución.

Puede el lector pensarlo durante unos momentos. Si no sabe calcularlo, sólo tiene que mirar en los comentarios.

Libros que son un Lastre

Nos reunimos hace unos días todo el cuadro de mando en el camarote del Capitán, para decidir sobre el destino de un montón de libros que atestaba nuestras estanterías y que son un lastre para la Navegación. Yo era partidario de arrojarlos casi todos a los tiburones, pero el resto de oficiales se opusieron a decisión tan drástica, y por tanto, después de discutir durante un buen rato, les salvaron la vida a casi todos.

Sin embargo, estoy determinado a deshacerme de algunos cuando no me vean, en horas nocturnas y cuando la mar esté tranquila.

La mayoría son textos pasados de fecha, que nosotros no hemos comprado, sino que nos han regalado por intereses comerciales.

A los amantes de los libros nos duele deshacernos de ellos, pero hemos de reconocer que cuando el espacio falta y los libros no son útiles, y nunca lo van a ser, lo mejor es reciclar el papel y ganar espacio.

Varias cajas de desgraciados ejemplares acabaron en la sentina, como futuro alimento de ratas o, en el mejor de los casos, criaderos de telarañas. Un oficial me comentó que ya llegará el día en que serán útiles, y yo le contesté que sí, cuando estemos atravesando los hielos Árticos o Antárticos, y nos falte madera para calentarnos caerán irremisiblemente en la fogata como les sucedió a aquellos compañeros de hace cuatrocientos años, de los cuales no tuvieron ninguna piedad ni el Cura, ni el Barbero ni el Ama.

A pesar de todo, al revisar los estantes encontramos algunos ejemplares y complementos que desconocíamos y que nos interesaron: cuadernos de ejercicios, pósters y un libro que me quedé, una guía de 3º ESO con la programación y el solucionario, de la editorial Santillana. El libro está editado con los colores del mar, blanco y azul, y en tamaño cuartilla con tapas duras. Tiene un paratexto extraordinario, como dirían los especialistas, y está lleno de ejercicios que les mandaré implacablemente a mis grumetes para que los resuelvan. (Je, je, je...)

Para finalizar, hagamos cálculos con algunas preguntas sobre libros:

(1) ¿Cuántos libros crees que te daría tiempo a leer en toda tu vida?

(2) Estima cuántas palabras contiene una página de un libro.¿Cuántas puede tener un libro en total?

(3) Haz lo mismo pero con las letras que hay en una página.

(4) Calcula la velocidad, en letras por segundo, a la que lees.

(5) Una pregunta sobre gustos personales: ¿prefieres los libros de texto con muchos colores, como los de ahora, o te gustarían con menos o con ningún color, como los antiguos?

Las preguntas anteriores son en realidad personales, y cada uno puede tener sus propias respuestas. Yo voy a dar las mías:

(1) Yo leo a un ritmo de uno o dos libros al mes. Supongamos que en un año leo veinte libros, y que dicho ritmo lo puedo mantener durante setenta años. Me daría tiempo a leer unos mil cuatrocientos o mil quinientos libros en toda mi vida. Una respuesta más amplia podría ser entre mil y dos mil libros.

(2) El número de palabras depende del tamaño de las letras y del espaciado de las líneas. Pero una estimación media podría ser de diez palabras por renglón, y treinta o cuarenta líneas. Es decir, unas trescientas a cuatrocientas palabras por página.

El número de palabras de un libro depende, evidentemente, del número de páginas. Un libro no muy largo, de doscientas páginas, puede contener unas sesenta mil o setenta mil palabras. Un libro más largo pasará de cien mil palabras. Los escritores suelen medir la longitud de su trabajo por palabras. Es habitual que el editor también le pida al escritor un libro de una medida determinada: "escríbeme una novela de cien mil palabras."

(3) Si calculamos una aproximación de unas cincuenta letras por renglón, entonces tenemos que en una página puede haber entre mil quinientas y dos mil letras.

(4) Yo no soy un lector rápido, y calculo que en leer una página sin prisas puedo tardar unos dos minutos, es decir, unos ciento veinte segundos. Eso significaría que mi velocidad podría ser de unas quince letras por segundo.

(5) Los libros de texto actuales los encuentro empachosos, con demasiados colores.

El Número Máximo

Hablando del infinito, uno de mis grumetes me preguntó si el infinito era un número.

Yo le contesté que no, que el infinito era solo una expresión, con la que queremos decir que algo se extiende sin terminar nunca, y que eso es lo que pasa con los números. Podemos imaginarnos los números colocados en una línea que se alarga hacia el horizonte, sobre el Océano de las Matemáticas, para siempre: eso es el infinito. Esa línea nunca termina; si tú me dices un número muy alto, yo te puedo decir otro más grande todavía, y si yo te digo el número más grande que se me ocurra, tú puedes decirme otro todavía más grande.

Ilustración tomada de la página de Tim Tomkinson

Con nuestro sistema decimal es sencillo escribir números muy grandes. Además disponemos de la notación científica, es decir, de las potencias de 10, para comprimir el aspecto de los números muy, muy, muy grandes, como el gúgol = 10¹⁰⁰, o como el gúgolplex = 10^gúgol. Incluso aunque alguien diga un número muy grande y nosotros no sepamos dar una expresión decimal de un número más grande todavía, podemos simplemente contestar con “el siguiente de ese número”. Un número más grande que el gúgolplex puede ser el siguiente del gúgolplex, o gúgolplex + 1, y luego otro más grande puede ser gúgolplex + 2, etc. (Para saber algo más sobre el gúgol y el gúgolplex, leer mi otra entrada Si yo tuviera un gúgol de euros)

El grumete me dijo que no debería ser así, que eso no le gustaba, que debería haber un número máximo en el que se acabara todo. Yo le comenté que si era así, ¿cuál podríamos elegir? Y entonces se me ocurrió imaginar a alguien que pusiera en su país un número máximo por ley y que no se pudiera pasar de ese número.

"Supongamos que en la isla de Cuba Imaginaria, un Fidel Castro Imaginario decide imponer una ley: el número máximo de todos los números será el 200, y no se podrá pasar de él."

En matemáticas se pueden definir las reglas de juego que uno quiera, luego, basándonos en esas reglas puede salir una teoría matemática interesante o no.

¿Qué puede suceder si el número máximo es el 200? ¿Cómo sorteamos las situaciones que aparecen como consecuencia de tal decisión? Cuando estamos contando cosas y algo supera a 200, ¿qué se hace con el resto?

Dicen que en algunas tribus primitivas que no sabían contar, las cantidades se resumían así: uno, dos, tres y muchos.

También dicen que cuando miramos un grupo de cosas, sólo podemos distinguir grupos de uno, dos, tres o cuatro cosas. Si son más de cuatro, nuestro cerebro no puede distinguir a simple vista la cantidad, necesitamos contarlas. Un conjunto que tenga siete u ocho elementos, si no los contamos, no somos capaces de decir cuántos había, salvo por encima, haciendo una estimación. Cuando el conjunto tiene cuatro o menos elementos, somos capaces de asegurar los elementos que tenía sin necesidad de contarlos, nos basta un golpe de vista. Si el conjunto tiene más nos vemos en la necesidad de contarlos uno a uno o subdividir el conjunto en subconjuntos de no más de cuatro elementos.

En nuestra imaginaria isla de Cuba, se ha logrado llegar hasta 200, pero ahí se han quedado. Un artículo que vale 300 dólares, en esta isla vale más de 200 dólares, y por tanto, muchos dólares, infinitos dólares, una cantidad inalcanzable, da igual que valga 300 ó 3.000, ó 30.000. A partir de 200 todo es lo mismo.

Igualmente pasaría si Fidel Castro Imaginario da un discurso frente a una multitud de personas: si pasan de 200 personas, la multitud es infinita, da lo mismo que hayan sido 201 ó 2.000 ó 10.000 ó 500.000. Son incontables. Lo cual, en este caso es beneficioso para la propaganda del régimen. Así podría decir la crónica de un periódico sin faltar a la verdad: “una multitud incontable [en realidad unas doscientas cincuenta personas] acudió al discurso de Fidel Castro Imaginario, y lo premió con infinitos aplausos [un aplauso por cada una de las trescientas frases del discurso]”.

De la misma manera, la producción industrial de nuestra isla serían innumerable, siempre que las cantidades de productos pasaran de 200, toda la historia de Cuba Imaginaria de hace más de 200 años quedaría en la prehistoria al no poder hacer una cronología más extensa, y si el régimen castrista imaginario pudiera perpetuarse por más de 200 años, entonces llevaría en el poder infinitos años. Bajo este punto de vista, tendría muchas ventajas para dicho régimen poder poner la barrera del infinito en el 200 y que éste fuera el último número.

Quiero comentar también que la respuesta que le di al grumete de que el infinito no es un número, sino una expresión, es cierta, pero está incompleta. En ciertas partes de las matemáticas se admite al infinito como una especie de número, con sus peculiares propiedades para la suma, la resta, la multiplicación y la división. En esa parte de las matemáticas tienen sentido expresiones como, por ejemplo 1 + ∞. Si no recuerdo mal, esa parte de las matemáticas es llamada Teoría de la Medida. Es una rama muy avanzada y especializada, pero los matenavegantes que viajan por ella descubren un mundo abstracto muy sólido, en el que se apoyan con seguridad para después atravesar los mares del Análisis Matemático hasta sus más remotos confines.

Primer Día en el Barco Escuela

Empieza el nuevo curso y ya estamos de nuevo en nuestro Barco Escuela, dando lecciones a los grumetes.

El primer problema que les planteé para que lo resolvieran estaba inspirado en uno de mis países favoritos: el País de los Mayas, en la península del Yucatán:

Los Mayas tenían un calendario diferente al nuestro. Cada 20 días era un mes, 18 meses era un año, 20 años era un siglo, 20 siglos era un milenio, 13 milenios era lo que se llamaba un Ciclo Largo Maya. 

¿Cuántos días en total dura un Ciclo Largo? 

Busca la duración exacta del año terrestre y calcula a cuantos años equivale un Ciclo Largo. 

Si el Ciclo Largo comenzó el 13 de Agosto de 3113 a. de C., ¿Cuándo terminará? 

Hasta aquí el problema. En realidad a cada periodo le di nombres similares a los que usamos nosotros, pero tienen sus nombres mayas:

La unidad del Calendario era el día o kin; 20 kines hacían un uinal o mes, 18 uinales hacen un tun (año), 20 tunes un katun (20 años mayas o 7200 días), y 20 katunes un baktun (400 años mayas o 144.000 días).

Con esto tenemos que el Ciclo Largo Maya estaba formado por 13 baktunes, es decir, 5200 años mayas de 360 días cada uno.

Las respuestas al problema son:

Multiplicando 20 · 18 · 20 · 20 · 13 = 1.872.000 días es un Ciclo Largo. 

Buscamos por ejemplo en la Enciclopedia Encarta la duración exacta del año y encontramos: 365,2422454 días. 

Dividimos 1.872.000 entre 365,2422454 y nos da 5125,3654898 años, es decir 5125 años y una fracción. 

Si esa fracción, 0,3654898 la multiplicamos por 365,2422454 para convertirlo a días, nos da 133,49. Luego redondeando, un Ciclo Largo Maya son 5125 años y 133 días. 

Ahora nos falta sumar esta cantidad al 13 de Agosto de 3113 a. de C. 

Teniendo en cuenta que es un año anterior a Cristo, hay que hacer la operación -3113 + 5125 = 2012. Luego hay que sumar al 13 de Agosto 133 días, teniendo en cuenta que el mismo 13 de Agosto ya cuenta como el primer día, y obtenemos el 23 de Diciembre. 

El Ciclo Largo Maya finaliza, por lo tanto el 23 de Diciembre de 2012.

Los mayas desarrollaron un sistema numérico muy avanzado. Conocían el número cero, y colocaban los números en una notación posicional parecida a la que tenemos hoy en día, lo cual les permitía hacer cálculos con muchas cifras. Gracias a ello supieron medir la duración del año terrestre con una exactitud que no se ha igualado hasta el siglo XX, y realizaron todo tipo de mediciones astronómicas.

Arriba podemos ver una ilustración con los símbolos que usaban los mayas para los números desde el cero hasta el 19. El símbolo del cero representa la concha o caparazón de un pequeño caracol marino, y hay diversas variantes en su dibujo. El sistema de numeración tenía base 20, luego para el número 20, en lugar de poner cuatro rayas horizontales, se dibujaba un punto en una posición más elevada y el cero debajo. Incluimos otra ilustración con más ejemplos: 

Vientos de eternidad

Cuaderno de bitácora: Nuestro periplo nos ha llevado por el Mediterráneo hasta la desembocadura del Nilo. Hemos pasado junto a Alejandría y entrado por una de las bocas del Delta para subir río arriba y encontrarnos con los restos de la civilización Egipcia.

Cualquier Matenavegante que se precie se estremece al contemplar los monumentos que se realizaron hace cinco mil años o más. Muchos historiadores coinciden que Egipto, aparte de ser una de las cunas de la civilización, también es uno de los lugares donde se empezó a desarrollar la Matemática. Muy conocido es el papiro de Rhind (ver nota 1), donde aparece una colección de problemas matemáticos antiguos, y donde se puede apreciar a simple vista el dibujo de formas geométricas, triángulos, trapecios, etc.

Pero lo más impactante de todo son las pirámides, concretamente la Gran Pirámide de Gizeh o Giza, la llamada Pirámide de Keops. Su forma no obedece al azar, sino que está calculada exactamente para que cumpla con la siguiente regla: si dividimos el perímetro de la base de la pirámide entre el doble de la altura, obtenemos el famoso número pi con muy buena aproximación (3'14159...)

También hay algunos autores que afirman que las proporciones de la pirámide obedecen a una regla en la que aparece el otro famoso número, fi (1'61803...); según ellos, la superficie de cada uno de los triángulos laterales coincide con el cuadrado de la altura, y esto es lo mismo que decir que el lado de la base, la altura de una cara lateral y la altura de la pirámide están en la misma proporción que 2, fi y la raíz cuadrada de fi.

En realidad, ambas condiciones, la de fi y la de pi, existen a la vez en la Gran Pirámide, y esto es así porque se da la extraordinaria coincidencia de que pi por la raíz de fi es casi cuatro.

Se calcula que la Gran Pirámide está compuesta por más de dos millones de bloques de piedra. Si suponemos que son unos dos millones y medio, y según los historiadores tardaron veinte años en terminarla, los egipcios lograron hacer una media muy buena de bloques por día (ver nota 2).

También es interesante una curiosidad, no muy conocida, del lugar donde se encuentran las tres pirámides. Si observamos la línea de la costa del Delta del Nilo, veremos que se parece a un arco de circunferencia, y la planicie de Gizeh sería el centro geométrico de ese arco. El radio de la circunferencia es de 180 kilómetros aproximadamente, que es la distancia, a vuelo de pájaro, desde Gizeh hasta Alejandría, o desde Gizeh a Port Said, o a Rosetta, o a Damieta, etc., todos los lugares de la costa del Delta que sobresalen más hacia el mar. Con muy buena aproximación están todos inscritos en ese arco de circunferencia, de uno 180 kilómetros de radio y 90º de amplitud.

Foto obtenida de la aplicación Google Earth. El lugar donde se encuentran las tres pirámides, Giza, está señalado con un pequeño triángulo blanco.

Otra curiosidad de la localización de Gizeh es que se encuentra exactamente en el paralelo 30º Norte. Debido a esto, la distancia de Gizeh al centro de la Tierra es la misma que la distancia hasta el polo Norte en línea recta. Gizeh, el Polo Norte y el Centro de la Tierra forman en el espacio un triángulo equilátero perfecto.

El país de los Faraones está lleno de preciosas maravillas, que permanecen luchando victoriosas contra el paso del tiempo, y que nos hablan de arte, belleza, paz, espiritualidad y amor por la ciencia. El día que visitamos Giza o Gizeh, y pudimos contemplar de cerca las tres pirámides, inesperadamente, se nos ofreció la posibilidad de entrar en la más grande de todas, la pirámide de Keops, y no perdimos la ocasión.

Ingresar al monumento más maravilloso del mundo es sobrecogedor. No se pueden describir las emociones que embargan al visitante cuando se descubre dentro de la gran galería, oscura, alta, inmensa, resonante, ni cuando después de subir por ella y agacharse para entrar por una puerta baja, desemboca en la Cámara del Rey, de piedra perfectamente pulida, majestuosa, enigmática.

Nos sorprendió el tamaño de la Cámara del Rey. En las fotos parecía un lugar pequeño, pero en la realidad es una gran habitación, yo diría que casi tan grande como una sala de clases (ver nota 3)

Un guía improvisado que nos estuvo conduciendo y enseñando aquellas maravillas, nos señaló el centro de la pirámide, un lugar concreto dentro de la Cámara del Rey. Nos aseguraba que había "100 metros hacia arriba y 100 metros hacia abajo". Este comentario me intrigó mucho. De él se podría deducir que la pirámide de Keops mide 200 metros, pero no es así, originalmente medía 147 metros (hoy en día mide 137), luego es de suponerse que el guía se refería a 100 metros hacia abajo incluyendo el subsuelo donde se encuentra la Cámara del Caos.

Me entretuve en calcular el centro geométrico de la Pirámide, para ver si coincidía con la afirmación de nuestro guía. En matemáticas existen fórmulas complicadas para calcular el centro de masas o centro de gravedad de un objeto tridimensional cualquiera. Generalmente, ese cálculo implica el uso de herramientas avanzadas de Análisis Matemático: las famosas integrales. Me costaba recordar la fórmula de la integral apropiada para mi cálculo, así que la deseché y me centré en buscar un camino más sencillo.

El razonamiento que empleé se basa en la forma simétrica de una pirámide de base cuadrada. Para encontrar su centro de gravedad basta razonar sobre planos que la dividan en mitades del mismo volumen.

Supondremos que la pirámide es maciza y homogénea, que no tiene huecos y su densidad es idéntica en todos sus puntos. También supondremos que la pirámide es geométricamente perfecta. Todo esto es aproximativo, porque la pirámide no es maciza, tiene varios pasadizos interiores, y por tanto tampoco es homogénea en su estructura. En cuanto a la perfección geométrica, la gran pirámide de Keops sí alcanzó una asombrosa perfección en su origen, pero a lo largo de los siglos se vio privada de capas y capas de piedras que disminuyeron su tamaño. Esta disminución no tiene por qué haber sido regular ni proporcionada en todas sus caras y dimensiones.

Así pues, disponemos de una pirámide de base cuadrada, con el lado de la base de una longitud de unos 230 metros, y una altura cercana a los 147 metros. Su centro geométrico, por razones de simetría, debe encontrarse en la altura trazada desde el vértice superior hasta el centro de la base cuadrada. Ahora nos falta saber a qué distancia de la base se encuentra ese centro geométrico. Para ello basta encontrar el plano horizontal que divida a la pirámide en dos mitades, con el mismo volumen. Haciendo los cálculos pertinentes (ver nota 4) se obtiene que el centro geométrico de la pirámide se encuentra a una altura de 30’33 metros.

Según los datos obtenidos del libro de Luis García Gallo, De las Mentiras de la Egiptología a las Verdades de la Gran Pirámide (ver nota 5), la altura del suelo de la Cámara del Rey sobre la base o plataforma de la pirámide de Keops es de 42’91 metros. Hay una diferencia de más de doce metros entre los cálculos realizados y la altura real.

¿Qué realidad tiene entonces la afirmación del guía de que la cámara del Rey se encuentra en el centro de la Gran Pirámide y de que hay cien metros hacia arriba y cien hacia abajo?

Por un lado, que diga que hay cien metros hacia arriba desde la Cámara del Rey, es una afirmación que sí podemos decir que coincide con la realidad: al estar el suelo de la cámara a casi 43 metros, hay una diferencia de 104 metros hasta la punta de la pirámide tal como estaba originalmente, y de 94 metros hasta la altura que tiene en la actualidad. Teniendo en cuenta que la cámara tiene una altura de casi 6 metros, entonces hay un punto dentro de la cámara, a unos 4 metros de altura, que dista cien metros exactamente hasta la cúspide original de la pirámide.

Por otro lado, que diga que hay cien metros hacia abajo, esto ya es una afirmación extraña. ¿Quiere decir que originalmente la estructura de la pirámide se hundía más de cincuenta metros en el subsuelo de la planicie de Gizeh? Remitiéndonos al mismo libro de Luis García Gallo, bajo la base de la Gran Pirámide existe otra cámara, llamada Cámara del Caos, y su punto más bajo está a 33’68 metros bajo el subsuelo, lo cual queda lejos de los más de cincuenta metros que se desprenden de la aseveración del guía. ¿Acaso hay pasadizos más profundos aún por descubrir? Es posible, pues se sabe que la pirámide tiene pasadizos todavía inexplorados. No hace mucho quisieron meter una cámara montada en un pequeño robot para explorar uno de esos estrechos pasadizos, pero a los pocos metros el robot se encontró con un obstáculo que no pudo sortear y tuvieron que interrumpir la exploración.

Por último, ¿está en la Cámara del Rey el centro de la pirámide? Según nuestros cálculos no es así, pero los cálculos se han hecho suponiendo la pirámide homogénea, cosa que no es realmente cierta. Cuánto se diferencia la estructura de dicha supuesta homogeneidad es algo que no sabemos, y por tanto calcular el centro con exactitud es de momento una tarea inalcanzable.

Notas:

(1) El Papiro Rhind o Papiro de Ahmés tiene unos 6 metros de longitud y 33 cm de anchura (un poco más que la altura de un folio). Fue escrito por el escriba Ahmés en el año 1650 a. de C. aproximadamente. Se encontró en Luxor en el siglo XIX, fue adquirido por Henry Rhind en 1858, y desde 1865 se custodia en el Museo Británico de Londres, aunque actualmente no está expuesto al público, como tantas otras cosas que duermen, ignoradas, en los sótanos de los museos.

(2) Si dividimos 2.500.000 entre 20 años y entre 365 días (suponiendo que no haya ningún día de descanso) nos da un total de 343 bloques diarios aproximadamente.

Si, como dicen algunos egiptólogos, los egipcios trabajaban en las pirámides sólo mientras el Nilo estaba desbordado y los campos de cultivo inundados por sus aguas, entonces el periodo de construcción se reduce a tres o cuatro meses al año, como mucho. En ese caso tendríamos que dividir 2.500.000 entre 20 años y 120 días (cuatro meses), dando una media de más de 1000 bloques colocados por día.

Téngase en cuenta que los bloques no son en absoluto como los ladrillos que conocemos actualmente, pesaban cada uno más de dos toneladas, había que tallarlos uno por uno en piedra y luego encajarlos de forma perfecta, quedando apilados y unidos entre sí sin el uso de ningún tipo de mortero.

(3) En efecto, la Cámara del Rey de la Gran Pirámide es un habitáculo de un poco más de 5 metros de ancho y el doble, casi 10 metros y medio, de largo, lo cual le da una superficie de suelo de más de 54 metros cuadrados. Un aula de un Instituto actual tiene una superficie similar, entre 50 y 60 metros cuadrados. El techo de la Cámara se encuentra a una altura de casi 6 metros, y en esto supera ampliamente a un aula de nuestros Institutos, cuyo techo está a unos tres metros o un poco más de altura.

(4) Buscamos una altura, x, tal que sea la altura a la que se halla el centro de gravedad de la pirámide. La pirámide queda dividida a esa altura en dos partes que tienen la misma masa, y si suponemos que la pirámide es homogénea y tiene la misma densidad en todos sus puntos, esas dos partes han de tener también el mismo volumen. Véase el gráfico adjunto: tenemos que encontrar una altura, x, a la que la pirámide que queda tenga la mitad del volumen de la pirámide total.

Teniendo en cuenta que el volumen de la pirámide es V = (A · h) / 3, donde A es el área de la base y h es la altura, se nos plantea la ecuación:

(230² · 147) / 3 = (2 · l² · x) / 3

donde l es el lado de la base cuadrada de la pirámide de altura x. Teniendo en cuenta el teorema de Tales y los triángulos proporcionales de la figura siguiente:

obtenemos que el valor de l sale de:

l / 2x = 115 / 147; y de aquí, l = 230x / 147

y sustituyendo en la expresión del volumen de más arriba, simplificando y despejando la x, queda x = 116'67, aproximadamente, luego el centro de gravedad de la pirámide se encontraría a 147 − x = 30'33 metros de la base de la pirámide.

Hay que resaltar que para hacer estos cálculos hemos supuesto que la pirámide es homogénea, cosa que no es cierta, ya que, por ejemplo, tiene en su interior varios pasillos y cámaras.

(5) Luis García Gallo, De las Mentiras de la Egiptología a las Verdades de la Gran Pirámide, tercera edición de autor, 1988.

Pasatiempos en los Matemares

Cuaderno de bitácora: Como no tenemos demasiada tarea, pues el tiempo es bueno y el viento sopla flojo, he permitido a mi tripulación que dediquen algunos ratos a los pasatiempos. El más popular, por supuesto, sigue siendo el Sudoku, que como ya sabe casi todo el mundo, consiste en rellenar el tablero con las cifras del 1 al 9 de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las cifras (sin repetirse, ya que si tienen que estar las nueve cifras en nueve casillas, no puede repetirse ninguna).

Algunos de los más aventajados se han atrevido con el Kakuro, en el que usando las cifras del 1 al 9 hay que componer horizontal o verticalmente la suma que se indica en cada apartado, sin que se repitan las cifras en la suma. Así, si dos casillas suman 4, las cifras serán 1 y 3, ó 3 y 1, pero nunca 2 y 2. Para ir entendiendo cómo va conviene empezar por un kakuro muy fácil:

Los que tienen un gusto más artístico se entretienen con lo que se ha llamado Puzzle Japonés, Nonograma o Griddler: hay que rellenar las casillas de una cuadrícula, unas irán de negro y otras de blanco, y para saber cuáles hay que rellenar, por filas y por columnas se indican con números los grupos de casillas negras seguidas, sabiendo que entre cada grupo hay una o más casillas blancas. Es fácil resolver uno que al final muestra la imagen de un querido actor mexicano:

Me parece haber escuchado el grito de las gaviotas. Nos estamos acercando a tierra. Intuyo que pronto empezará una aventura que nos ha de tener ocupados varias semanas.

Notas: El Sudoku está realizado por un programa de Oak Systems.
El Kakuro está extraído del libro Kakuro, de Mark Huckvale, Ediciones B, colección byblos. Este libro es muy recomendable a todo el que le gusten los kakuros.
Para información sobre Puzzles Japoneses se puede visitar la página de Zugarto Ediciones; los puzzles japoneses aparecen en su publicación Pictologic.
Es muy recomendable también la página Griddlers, llena de pasatiempos.

Recuerdos de antiguos libros

Cuaderno de bitácora: Me vienen a la memoria, en estos momentos de calor y calma chicha, algunos de los libros de Navegación Matemática que tuve entre mis manos.

El primero de ellos es Elementos de Matemáticas, de Pedro Abellanas, un enorme y precioso libro de tapa dura, encuadernado en tela, que pasó por mis manos y tuve que vender en un puerto que ya no recuerdo a un pirata mal encarado, mientras pasaba un largo periodo de crisis en dique seco. En el libro se hacía un repaso exhaustivo de diversas regiones: Álgebra, Análisis Matemático, Geometría, fundamentalmente. Lo volveré a buscar cuando recale en Hispalis, la gran metrópolis del comercio y la cultura.

Uno de los libros más admirables que he tenido en mis estantes fue el Cálculus de Spivak, un tratado magistral sobre Análisis Matemático que ningún matemarinero que se precie debería dejar de estudiar. Lo prefiero frente a los volúmenes con el mismo nombre escritos por Apostol, aunque luego este autor publicó una magistral obra titulada Análisis Matemático, muy recomendable, por cierto, para adquirir un sólido conocimiento de las funciones de varias variables.

Un hermoso libro que pude adquirir de contrabando en un maloliente tugurio de los Mares del Sur fue A Concrete Introduction to Higher Algebra, de la matecapitana Lindsay Childs. Creo recordar que ese era el título, aunque algunas veces la memoria me falla.

No recuerdo como se titulaba exactamente un tomo sobre Geometría Diferencial de Manfredo do Carmo, pero fue una gran guía en las antiquísimas tierras de Geométrica.

¡Ah! ¡Cuántos recuerdos! Pero después de tantos enfrentamientos con los salvajes piratas de los Siete Mares, mi barco, mi camarote, mis tesoros, mi biblioteca, han sufrido los rigores de la lucha, y hoy tan solo me quedan míseros restos de tiempos mejores...

Fue muy interesante aquel enigma que planteaba uno de los volúmenes, creo que el Cálculus de Spivak, y que luego he visto citado en tantos otros. Decía así: supongamos que tenemos dos incógnitas, x e y, cuyos valores son iguales, entonces se puede operar de la forma siguiente:

x = y
(multiplicamos ambos miembros por x)
x² = xy
(restamos y²)
x² − y² = xy − y²
(ahora sacamos factor común)
(x + y)(x − y) = y(x − y)
(simplificamos en ambos miembros)
x + y = y
(como x = y)
y + y = y
2y = y
(volvemos a simplificar)
2 = 1

¡Y con esto se demuestra que 2 = 1! (ver comentarios)

Ofertas de un bufé libre

Cuaderno de bitácora: ayer tuvimos oportunidad de tocar puerto y mi tripulación y yo visitamos un lugar en el que encontramos este interesante folleto publicitario:



Este papel me trajo inmediatamente a la memoria el País de Combinatoria, en el que se estudia todo lo relacionado con el cálculo de posibilidades, de permutaciones, variaciones, combinaciones, etc.

Me di cuenta enseguida de que el folleto no estaba redactado por un auténtico Combinatorio. Si así hubiera sido, el anuncio diría en realidad:

"Disponemos de 12 Variedades de Comidas Frías, 7 Variedades de Comidas Calientes y 7 Variedades de Exquisitos Postres. Cada Menú se confeccionará eligiendo de primero una Comida Fría, de segundo una Comida Caliente y para finalizar un Exquisito Postre. Calcule usted mismo cuántos Menús posibles se pueden confeccionar."

Era lógico que donde el folleto dice 26 posibilidades diferentes de elegir, se refiere al número total de platos distintos. El cálculo del número de Menús posibles tal y como los haría un Combinatorio no me llevó más de medio minuto (mirar comentarios). Pero en el local no seguían las leyes de Combinatoria, y el camarero me explicó que los Menús se formaban libremente, eligiendo cuantos platos se quisieran, incluso repetidos. Luego el número de Menús diferentes que se pueden confeccionar son virtualmente infinitos.

Mareados por tal descubrimiento y por llevar ya demasiado tiempo en tierra firme, regresamos al barco y soltamos velas con toda la prisa que pudimos, y cuando salimos a mar abierto, respiramos profundamente y nos permitimos echarnos una larga siesta.

Inicio de un periplo

Cuaderno de bitácora: Empezamos hoy un viaje con viento favorable para explorar los siete mares de las Ciencias Exactas. La tripulación se haya contenta, y las bodegas limpias, vacías y preparadas para guardar todos los tesoros que podamos encontrar por el camino.

Ya abandonamos nuestro puerto, la hermosa y joven ciudad de doDK, todavía en construcción, donde las gentes pioneras se afanan en levantar una gran metrópoli de investigación numérica.

Después de que el barco haya zarpado, me he recluido en el camarote para estudiar los mapas y cartas de navegación. ¡Hay tanto por descubrir ahí afuera!

Es el primer viaje que hago como capitán de navío. Durante años trabajé de grumete, de marinero, de primer oficial, y por fin he conseguido tener mi propio barco. Recuerdo mucho de los periplos anteriores, pero ya es hora de que empiece a explorar con libertad todos los lugares que me apetezcan, algunos ya conocidos, otros todavía incógnitos.

En uno de mis viajes me presentaron al intrépido navegante matemático Martin Gardner. Me viene a la memoria una de las muchas cosas que me contó. Se trataba de un problema con cerillas [Martin Gardner, en su libro Circo Matemático, Alianza Editorial]; sobre la mesa del camarote dispuso cerillas en la forma en que aparece en la imagen:

Martin Gardner me preguntó cómo se podía quitar once cerillas para que quedara seis. Tras mucho pensar, descubrí la solución.