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Mostrando entradas de 2006

Espacios Vectoriales

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Junto al libro Problemas de Concurso, encontré otro que en ese momento me pareció interesante. Su título era Álgebra Lineal y Teoría de Matrices, y había sido escrito por las profesoras Rosa Barbolla y Paloma Sanz. Se dieron varias circunstancias para que me decidiera a comprarlo: su edición, hecha por Prentice Hall, tenía muy buena calidad. Su estado de conservación era óptimo, o por decirlo de otra manera, el libro estaba nuevo. El tema que trataba me interesó, pues el Álgebra Lineal siempre se me ha dado muy bien; además, era un tratado extenso que abarcaba hasta las Formas Canónicas de Jordan, una parte intrincada de la Teoría de Matrices que me interesaba recordar. Y el precio me pareció muy interesante: tan sólo cinco euros.
El libro está dirigido a los estudiantes de económicas y empresariales, pero en su interior es matemática pura. Estoy empezando a leerlo, repasando los polvorientos conceptos que yacen semiocultos en mi memoria, y una de las primeras cosas que me encuentro es …

Problemas de Concurso 2

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El libro del que estuve hablando ayer tiene una introducción muy interesante escrita por los editores L. Bers y J. H. Hlavaty, de la que a continuación voy a hacer un extracto:
Los problemas matemáticos son más antiguos que las matemáticas; enunciados como rompecabezas se encuentran en los registros escritos más arcaicos, como los papiros egipcios de hace 4000 años. En la India, por ejemplo, los problemas eran registrados en lenguaje poético. La gloria de elevar las matemáticas del plano de resolver problemas a la ciencia que es hoy, se le debe a los griegos; pero a pesar de esto los matemáticos griegos no despreciaron el arte de resolver problemas. Tres de sus grandes problemas geométricos fueron un desafío para los matemáticos hasta el siglo XIX: la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo, empleando solamente regla y compás. A pesar de los fracasos durante siglos para hallarle solución a estos problemas, los esfuerzos continuaron hasta que se logró …

Problemas de Concurso

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La semana pasada tocamos puerto y pudimos pasar algún tiempo en tierra firme. Aprovechamos para visitar un mercado de libros antiguos, y encontré un par de ejemplares interesantes a muy buen precio. Hoy me gustaría hablar sobre el más antiguo de los dos, una pequeña joya que tan sólo me costó 2.70 euros.
Su título, como puede apreciarse en la imagen es PROBLEMAS DE CONCURSO, y debajo aparece un subtítulo: Problemas de los Concursos Anuales para Estudiantes de Secundaria presentados por la Asociación Americana de Matemáticas. Los problemas están compilados y con las soluciones explicadas por Charles T. Salkind, y traducido por Álvaro Pinzón E., Matemático de la Universidad Nacional de Colombia. La edición original es responsabilidad de Random House, Nueva York y esta edición en español es de la Editorial Norma en Colombia.La portada está amarillenta y tiene motivos para ello. El libro fue publicado en 1961, antes de que se llegara a la Luna. Estamos hablando, pues, de un título que ha c…

Sueños Delirantes

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Cuaderno de bitácora: Uno de nuestros matemarineros cayó enfermo hace seis días y está sufriendo de fiebres muy altas. Durante la noche y por la mañana parece dormir plácidamente, pero en la tarde entra en delirios y se queja y se revuelve en su cama. Más tarde, y tras la continua aplicación de paños húmedos y fríos sobre la frente, se despierta y recupera el sentido, y ha tenido a bien contarme los sueños que tiene para así liberarse de ellos. El que más se le repite, una y otra vez, durante las últimas horas, es una ensoñación en la que se ve trepando por el palo mayor, desplegando las velas para que el viento sople con fuerza sobre ellas. No me extraña que sus delirios giren en torno a las velas del palo mayor, pues ha sido su responsabilidad en los dos últimos meses. El muchacho trepa y recoge la Vela Mayor, después sigue trepando y recoge la siguiente, la Gavia, luego el Juanete Mayor, pero encima hay más velas, un Sobrejuanete, un Sosobrejuanete, un Sososobrejuanete, y así contin…

Mesas de Piratas

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Conversando sobre cuestiones de cómo sentarse a la mesa, uno de mis matenavegantes me contó una pequeña anécdota sobre los piratas y sus manías. En la isla de la Tortuga era frecuente que se reunieran los piratas después de cometer sus fechorías, para beber ron y contarse sus aventuras. En verano, sobre todo en los meses de agosto y septiembre, las salidas de los piratas decrecía, debido a la presencia de huracanes en el Caribe que impedían la navegación. Aprovechando la inactividad, nueve capitanes piratas decidieron juntarse cada 18 de septiembre en la taberna La Pata Coja para cenar juntos. Por alguna razón misteriosa, aquellos capitanes deseaban cenar de una forma civilizada, tratarse con educación y sentirse por una noche personas normales. El primer 18 de septiembre que se reunieron las condiciones eran idóneas. En el piso de arriba de la taberna había un reservado, y en él una mesa circular. Para evitar problemas y contradecir el nombre del local, la mesa sólo tenía tres patas. C…

Choque de Copas

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Cuaderno de bitácora: el otro día estuvimos comiendo todos los oficiales en nuestro camarote de reuniones, y al final realizamos un brindis celebrando el comienzo del nuevo periplo. La mesa a la que nos sentamos era redonda y me recordó aquella mesa mítica de las épocas del Rey Arturo. Sería muy largo enumerar aquí todos los símbolos que se le asocian al círculo en general y a la Tabla Redonda en particular, pero comentaré lo que se me viene a la mente en estos momentos. Algunos Matenavegantes distinguimos entre circunferencia, que es la línea, y el círculo, que se refiere a la línea y al área de dentro. Para el caso que nos ocupa hablaremos de círculo para referirnos a la línea exclusivamente.
El círculo está definido por la propiedad de que todos sus puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. Por ello en el círculo no hay ningún punto destacado de los otros, el punto destacado, el centro, no pertenece al círculo. Se decía en las antiguas leyendas de la Edad Media que los Caball…

Libros que son un Lastre

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Nos reunimos hace unos días todo el cuadro de mando en el camarote del Capitán, para decidir sobre el destino de un montón de libros que atestaba nuestras estanterías y que son un lastre para la Navegación. Yo era partidario de arrojarlos casi todos a los tiburones, pero el resto de oficiales se opusieron a decisión tan drástica, y por tanto, después de discutir durante un buen rato, les salvaron la vida a casi todos.
Sin embargo, estoy determinado a deshacerme de algunos cuando no me vean, en horas nocturnas y cuando la mar esté tranquila.
La mayoría son textos pasados de fecha, que nosotros no hemos comprado, sino que nos han regalado por intereses comerciales.A los amantes de los libros nos duele deshacernos de ellos, pero hemos de reconocer que cuando el espacio falta y los libros no son útiles, y nunca lo van a ser, lo mejor es reciclar el papel y ganar espacio.
Varias cajas de desgraciados ejemplares acabaron en la sentina, como futuro alimento de ratas o, en el mejor de los casos,…

El Número Máximo

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Hablando del infinito, uno de mis grumetes me preguntó si el infinito era un número.  Yo le contesté que no, que el infinito era solo una expresión, con la que queremos decir que algo se extiende sin terminar nunca, y que eso es lo que pasa con los números. Podemos imaginarnos los números colocados en una línea que se alarga hacia el horizonte, sobre el Océano de las Matemáticas, para siempre: eso es el infinito. Esa línea nunca termina; si tú me dices un número muy alto, yo te puedo decir otro más grande todavía, y si yo te digo el número más grande que se me ocurra, tú puedes decirme otro todavía más grande. [esta ilustración está tomada de la página de Tim Tomkinson]
Con nuestro sistema decimal es sencillo escribir números muy grandes. Además disponemos de la notación científica, es decir, de las potencias de 10, para comprimir el aspecto de los números muy, muy, muy grandes, como el gúgol = 10100, o como el gúgolplex = 10gúgol. Incluso aunque alguien diga un número muy grande y nosot…

Primer Día en el Barco Escuela

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Empieza el nuevo curso y ya estamos de nuevo en nuestro Barco Escuela, dando lecciones a los grumetes.
El primer problema que les planteé para que lo resolvieran estaba inspirado en uno de mis países favoritos: El País de los Mayas, en la península del Yucatán:

Los Mayas tenían un calendario diferente al nuestro. Cada 20 días era un mes, 18 meses era un año, 20 años era un siglo, 20 siglos era un milenio, 13 milenios era lo que se llamaba un Ciclo Largo Maya.
¿Cuántos días en total dura un Ciclo Largo?
Busca la duración exacta del año terrestre y calcula a cuantos años equivale un Ciclo Largo.
Si el Ciclo Largo comenzó el 13 de Agosto de 3113 a. de C., ¿Cuándo terminará? 


Hasta aquí el problema. En realidad a cada periodo le di nombres similares a los que usamos nosotros, pero tienen sus nombres mayas:
La unidad del Calendario era el día o kin; 20 kines hacían un uinal o mes, 18 uinales hacen un tun (año), 20 tunes un katun (20 años mayas o 7200 días), y 20 katunes un baktun (400 años may…

Vientos de eternidad

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Cuaderno de bitácora: Nuestro periplo nos ha llevado por el Mediterráneo hasta la desembocadura del Nilo. Hemos pasado junto a Alejandría y entrado por una de las bocas del Delta para subir río arriba y encontrarnos con los restos de la civilización Egipcia.

Cualquier Matenavegante que se precie se estremece al contemplar los monumentos que se realizaron hace cinco mil años o más. Muchos historiadores coinciden que Egipto, aparte de ser una de las cunas de la civilización, también es uno de los lugares donde se empezó a desarrollar la Matemática. Muy conocido es el papiro de Rhind (ver nota 1), donde aparece una colección de problemas matemáticos antiguos, y donde se puede apreciar a simple vista el dibujo de formas geométricas, triángulos, trapecios, etc.

Pero lo más impactante de todo son las pirámides, concretamente la Gran Pirámide de Gizeh o Giza, la llamada Pirámide de Keops. Su forma no obedece al azar, sino que está calculada exactamente para que cumpla con la siguiente regla…

Pasatiempos en los Matemares

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Cuaderno de bitácora: Como no tenemos demasiada tarea, pues el tiempo es bueno y el viento sopla flojo, he permitido a mi tripulación que dediquen algunos ratos a los pasatiempos. El más popular, por supuesto, sigue siendo el Sudoku, que como ya sabe casi todo el mundo, consiste en rellenar el tablero con las cifras del 1 al 9 de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3x3 estén todas las cifras (sin repetirse, ya que si tienen que estar las nueve cifras en nueve casillas, no puede repetirse ninguna). Algunos de los más aventajados se han atrevido con el Kakuro, en el que usando las cifras del 1 al 9 hay que componer horizontal o verticalmente la suma que se indica en cada apartado, sin que se repitan las cifras en la suma. Así, si dos casillas suman 4, las cifras serán 1 y 3, ó 3 y 1, pero nunca 2 y 2. Para ir entendiendo cómo va conviene empezar por un kakuro muy fácil. Los que tienen un gusto más artístico se entretienen con lo que se ha llamado Puzzle Japonés: hay…

Recuerdos de antiguos libros

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Cuaderno de bitácora: Me vienen a la memoria, en estos momentos de calor y calma chicha, algunos de los libros de Navegación Matemática que tuve entre mis manos.

El primero de ellos es Elementos de Matemáticas, de Pedro Abellanas, un enorme y precioso libro de tapa dura, encuadernado en tela, que pasó por mis manos y tuve que vender en un puerto que ya no recuerdo a un pirata mal encarado, mientras pasaba un largo periodo de crisis en dique seco. En el libro se hacía un repaso exhaustivo de diversas regiones: Álgebra, Análisis Matemático, Geometría, fundamentalmente. Lo volveré a buscar cuando recale en Hispalis, la gran metrópolis del comercio y la cultura.

Uno de los libros más admirables que he tenido en mis estantes fue el Cálculus de Spivak, un tratado magistral sobre Análisis Matemático que ningún matemarinero que se precie debería dejar de estudiar. Lo prefiero frente a los volúmenes con el mismo nombre escritos por Apostol, aunque luego este autor publicó una magistral obra titu…

Ofertas de un bufé libre

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Cuaderno de bitácora: ayer tuvimos oportunidad de tocar puerto y mi tripulación y yo visitamos un lugar en el que encontramos este interesante folleto publicitario:
Este papel me trajo inmediatamente a la memoria el País de Combinatoria, en el que se estudia todo lo relacionado con el cálculo de posibilidades, de permutaciones, variaciones, combinaciones, etc.Me di cuenta enseguida de que el folleto no estaba redactado por un auténtico Combinatorio. Si así hubiera sido, el anuncio diría en realidad:"Disponemos de 12 Variedades de Comidas Frías, 7 Variedades de Comidas Calientes y 7 Variedades de Exquisitos Postres. Cada Menú se confeccionará eligiendo de primero una Comida Fría, de segundo una Comida Caliente y para finalizar un Exquisito Postre. Calcule usted mismo cuántos Menús posibles se pueden confeccionar."Era lógico que donde el folleto dice 26 posibilidades diferentes de elegir, se refiere al número total de platos distintos. El cálculo del número de Menús posibles ta…

Inicio de un periplo

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Cuaderno de bitácora: Empezamos hoy un viaje con viento favorable para explorar los siete mares de las Ciencias Exactas. La tripulación se haya contenta, y las bodegas limpias, vacías y preparadas para guardar todos los tesoros que podamos encontrar por el camino.

Ya abandonamos nuestro puerto, la hermosa y joven ciudad de doDK, todavía en construcción, donde las gentes pioneras se afanan en levantar una gran metrópoli de investigación numérica.

Después de que el barco haya zarpado, me he recluido en el camarote para estudiar los mapas y cartas de navegación. ¡Hay tanto por descubrir ahí afuera!

Es el primer viaje que hago como capitán de navío. Durante años trabajé de grumete, de marinero, de primer oficial, y por fin he conseguido tener mi propio barco. Recuerdo mucho de los periplos anteriores, pero ya es hora de que empiece a explorar con libertad todos los lugares que me apetezcan, algunos ya conocidos, otros todavía incógnitos.

En uno de mis viajes me presentaron al intrépido n…