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Mostrando entradas de 2015

Una moneda para un sorteo

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Cuaderno de bitácora: en relación con la situación que se dio en cierto colegio de Granada, en la que se explica lo erróneo del método empleado por algunos Directores para realizar sorteos de plazas escolares, podemos reflexionar qué se puede necesitar para hacer un sorteo probabilísticamente justo con los mínimos elementos posibles.

Cuando se estudia probabilidad, ¿cuál es el ejemplo más simple que se pone de experimento aleatorio? Suele ser el lanzamiento de una moneda. Cuando echamos una moneda al aire, al caer puede quedar expuesta una de sus dos caras (cara o cruz), tenemos, por tanto, dos sucesos elementales posibles C = cara, X = cruz.

Pero repitiendo el lanzamiento, obtenemos combinaciones de sucesos elementales que nos pueden ayudar, por ejemplo, a realizar un sorteo justo con la ayuda de tan solo una moneda.

Tomemos el ejemplo que tratábamos en el caso del sorteo de las plazas escolares. Se trata de elegir aleatoriamente un número entre 111 posibilidades. ¿Se puede hacer c…

[El Problema de la Semana] Negocios con trampa

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Veamos el primer problema que se le plantea a los grumetes en este nuevo periplo:

Te ofrecen un par de negocios. En el primero vas a ganar 10 € el primer día, 20 € el segundo día, 30 € el tercer día, y así sucesivamente hasta llegar al día 15. En el segundo ganas 0.10 € el primer día, 0.20 € el segundo día, 0.40 € el tercer día, 0.80 € el cuarto día, y así sucesivamente hasta el día 15. Si te ofrecen escoger entre uno de los dos negocios, ¿con cuál te quedarías?
La solución, más abajo de la ilustración.

[La ilustración se ha tomado de Mathspace, en un artículo donde se pone un ejemplo de una progresión geométrica. El artículo está en inglés.]
SOLUCIÓN:
En el primer negocio tenemos una progresión aritmética. Se gana 10 € el primer día, 20 € el segundo, 30 € el tercero, etc. Entonces tenemos una sucesión de números que empieza en 10 y va aumentando, sumándole 10 cada día. Claramente si son quince días, el día quince se ganará 150 €. El problema está en sumar: 10 + 20 + 30 + ... + 150 No …

[El Problema de la Semana] Las zanahorias

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El problema de hoy va de un conejo afortunado:
Un conejo tiene un número de zanahorias en su jaula. Cada día se come un cuarto de las zanahorias que le quedan. Después de cuatro días se ha comido 350 zanahorias. ¿Cuántas zanahorias había al comienzo?
La solución, bajo los pies del conejo.


SOLUCIÓN:
Este problema se puede resolver razonando con fracciones:
El primer día se come 1/4 de zanahorias, luego quedan 3/4.
El segundo día se come 1/4 de las que le quedan, que son 3/4. 1/4 de 3/4 es igual a 3/16, y le quedan 3/4 – 3/16 = 9/16.
El tercer día se come 1/4 de 9/16, que son 9/64, y le quedan 9/16 – 9/64 = 27/64.
El cuarto día se come 1/4 de 27/64, que son 27/256, y le quedan 27/64 – 27/256 = 81/256.
En los cuatro días se ha comido 1/4 + 3/16 + 9/64 + 27/256 = 175/256.
Las 350 zanahorias que se ha comido son los 175/256 del total, luego el total es 350 · 256 / 175 = 512.
En la jaula había un total de 512 zanahorias.
Este problema también se puede resolver con una ecuación, llamándole x …

[El Problema de la Semana] Venta de coches

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Veamos qué problema tenemos en esta semana de primavera:
El beneficio de un vendedor de coches ha sido de 21.000 euros, después de haber vendido un cierto número de coches, todos al mismo precio. Si hubiera vendido un coche más y recibido 100 euros menos por cada coche, habría obtenido el mismo beneficio. ¿Cuántos coches se vendieron, y cuál fue el precio de cada uno?
Lo solucionamos después de la ilustración.

[En la imagen tenemos un coche MAZDA 3, cuyo dueño, un ingeniero como se aprecia en la matrícula, le ha añadido los primeros 39 decimales del número pi. Los dos últimos decimales están en orden inverso: no deben ser 79 sino 97. ¿Será un error de colocación o una alteración intencionada para que los que quieran comprobarlo?]

SOLUCIÓN: la forma más directa de solucionarlo es plantear un sistema de ecuaciones.
Podemos darle nombres a las incógnitas: x: el número de coches vendidos y: el beneficio obtenido por cada coche
Está claro que la primera ecuación sale del beneficio tota…

[El Problema de la Semana] La heladera

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Traemos un problema que anticipa ya el calor de la primavera y el verano.
Miriam tarda 4 minutos y 17 segundos en preparar un helado. Trabajando al mismo ritmo, ¿cuánto necesitaría para completar su encargo diario de 60 helados?

La solución no parece difícil, pero tiene algún aspecto curioso.

 [Los helados se prestan a ser elaborados en diferentes formas geométricas: esferas, cilindros, conos, ortoedros, espirales, etc. Desgraciadamente la forma se pierde cuando se derriten... o se consumen. La fotografía está tomada de esta página] SOLUCIÓN: Basta multiplicar 4 minutos y 17 segundos por 60. 4 · 60 = 240 minutos 17 · 60 = 1020  segundos
Perro 240 minutos son 4 horas, y 1020 segundos son 17 minutos, luego Miriam tarda 4 horas y 17 minutos en preparar 60 helados. ¿Vemos la relación de este tiempo con lo que tarda en preparar un helado?
Las horas, minutos y segundos emplean el sistema sexagesimal (se cuenta de 60 en 60). Para pasar de horas a minutos hay que multiplicar por 60, y lo mism…

[El Problema de la Semana] El corredor extraterrestre

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Durante las dos últimas semanas, nuestro compañero matenavegante Pablo Viedma nos ha dado varias explicaciones sobre el puzle Las Torres de Hanoi y su trasfondo matemático. También nos ha traído el enunciado del problema que esta semana proponemos:

Imagina un ser (extraterrestre) que emprende una carrera, y que en cada paso emplea un segundo de tiempo, pero el primer paso es de 1 metro de longitud, el segundo de 2 metros, el tercero de 4 metros, y así sucesivamente, tardando un segundo en cada paso y doblando en cada paso la longitud del paso anterior. ¿Será capaz de superar a Usain Bolt que corrió 100 metros en 9,56 segundos? ¿Y cuánto tardará en hacer la distancia de Granada a Madrid, que es aproximadamente de 420 kilómetros? 

La solución viene debajo de la foto de Usain.


[la imagen ha sido tomada de una web de la Universidad de Cambridge dedicada a las Matemáticas y el Deporte]
SOLUCIÓN:
En el primer segundo el corredor ha dado un paso de 1 metro. Cuando han pasado dos segundos, el c…

Si usted encarga menos, nosotros le cobramos más

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Cuaderno de bitácora: el otro día fuimos a encargar unas fotos y nos volvió a suceder una experiencia sencilla pero económicamente desconcertante, al comprobar que en ciertos casos, por menos fotos hay que pagar más dinero.

La tienda de fotos tenía una serie de tarifas para las copias. No recuerdo exactamente los precios, pero para hacernos una idea, aunque no coincidan con la realidad, vamos a suponer que los precios son los siguientes:

- de 1 a 9 fotos, 35 céntimos cada foto - de 10 a 99 fotos, 28 céntimos cada foto - más de 100, 26 céntimos cada foto.

Este tipo de ofertas es bastante corriente, y cuando uno de nosotros las aprovecha, hay que tener en cuenta los "saltos" que se dan entre un tramo de precios y el siguiente.

Así, por ejemplo, si revelamos 9 fotos, tendremos que pagar 9 · 0,35 = 3,15 euros, y si son 8 fotos, entonces tenemos que pagar 8 · 0,35 = 2,80 euros. Pero si revelamos 10 fotos, entonces serán 10 · 0,28 = 2,80 euros, porque ya estamos en otro tramo de …

[El Problema de la Semana] Un reloj digital completo

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El problema de esta semana va de fechas, calendarios y relojes, un tema muy interesante que da mucho juego.
Observa el reloj digital formado por los 10 dígitos que dan las horas, los minutos, el día, el mes y el año. El día 26 de abril de 1995, a las 17 horas y 38 minutos, el reloj marcaba la fecha y la hora usando exactamente los diez primeros números naturales (0-9), ninguno de ellos repetido, como muestra el siguiente esquema:
17 : 38     26 – 04 – 95
¿Cuándo se produjo o se producirá por primera vez esta situación en el siglo XXI?

La solución, como siempre, después de la imagen insertada.


[En la ilustración vemos dos clepsidras griegas. La clepsidra es un reloj de agua utilizado en la antigüedad. Los dos relojes de la foto se encuentran en el Museo del Ágora de Atenas, el de abajo parece ser una réplica moderna del de arriba. Las clepsidras se usaban principalmente de noche, o en general cuando no se podía emplear un reloj de sol. Consistían en un recipiente que se iba llenando …

Guerras de letras, partículas, antipartículas y números enteros.

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Cuaderno de bitácora: hay personas que para entretenerse hacen garabatos. Tanto en clase como en reuniones, conferencias, y en todo momento en que se tiene a mano un lápiz o bolígrafo y un papel, documento, cuaderno o periódico, es normal ponerse a dibujar, rayar, hacer figuras geométricas, rellenar espacios, cualquier cosa para relajar la mente y hacer que pase el tiempo.
En mi infancia, una de las cosas que se me ocurrió, como a muchos otros, fue entretenerme rellenando con un bolígrafo loshuecos de las letras. Hay letras que tienen "huecos que rellenar", y son las siguientes: a, b, d, e, g, o, p, q. El resto de letras "no tienen huecos", son líneas que no rodean superficie, y son: c, f, h, i, j, k, l, m, n, ñ, r, s, t, u, v, w, x, y, z.
Si usamos letras mayúsculas, la situación puede cambiar, así las letras mayúsculas con huecos son: A, B, D, O, P, Q, R, mientras que las que no tienen huecos son: C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, S, T, U, V, W, X, Y, Z. La E …

[El Problema de la Semana] El peso de la botella

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Esta semana tenemos un sencillo problema de recipientes.

Un recipiente lleno de agua pesa 35 kilos. Cuando sólo está lleno hasta la mitad, pesa 19 kilos. ¿Cuánto pesa el recipiente vacío?

Para que el lector tenga oportunidad de pensarlo y no le salga la solución en la misma pantalla, insertamos a continuación una imagen y después ya viene el problema resuelto. [Uno de los muchos objetos fascinantes de las matemáticas modernas es la Botella de Klein, que ya hemos mencionado en una entrada anterior. Esta foto está sacada de la página Bottle Design Brain Melter, de Core 77. Las botellas las fabrica la compañía de Clifford Stoll, Acme Klein Bottle. El propio Stoll confiesa en la publicidad de sus botellas que son difíciles de llenar, difíciles de vaciar, y muy complicadas de limpiar, especialmente porque la humedad del interior no se seca. Esto es bastante paradójico, porque la botella de Klein, como objeto matemático no tiene interior ni exterior, aunque sea una superficie cerrada]
SOLUC…

[El Problema de la Semana] ¿Dónde está el oro?

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Reanudamos una vez más el estudio de los Problemas de la Semana que se le proponen a los grumetes.
Tenemos tres cajas etiquetadas con frases que hacen referencia a su contenido. La primera caja tiene una etiqueta que dice “el oro está aquí”. La frase de la segunda caja es “el oro no está aquí”. En la tercera caja pone “el oro está en la primera caja”. Sólo una de las tres frases es verdadera, las otras dos son falsas. ¿Puedes averiguar dónde está el oro?
Si quiere conocer la solución, está debajo de la imagen.

[En la película Goldfinger (1964), James Bond, el agente secreto 007, tiene que detener los planes del malvado Auric Goldfinger, que pretende destruir el depósito de oro de Fort Knox explotando en su interior una bomba atómica. Fort Knox es una base militar estadounidense, situada en Kentucky, y allí se encuentra uno de los mayores depósitos de oro del mundo, controlado por el Departamento del Tesoro de los Estados Unidos. Actualmente se duda de la cantidad exacta de oro que se…

Cuando pi fue tres

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A principios de abril del año 1998 apareció en el grupo de noticias talk.origins un artículo que decía así:
HUNTSVILLE, Alabama. - Ingenieros y matemáticos de la NASA en esta ciudad de la alta tecnología están impactados y enfurecidos después de que el estado de Alabama aprobara ayer por un estrecho margen una ley que redefine pi, una constante matemática usada en la industria aeroespacial. El proyecto de ley que quiere cambiar el valor de pi a exactamente tres fue introducido sin algarabía por Leonard Lee Lawson, y rápidamente fue ganando apoyos tras una campaña por correo hecha por los miembros de la Sociedad Salomón, un grupo que lucha por los valores tradicionales. El gobernador Guy Hunt dice que firmará el proyecto para que se convierta en ley el próximo miércoles.
La ley ha tomado a la comunidad tecnológica del estado por sorpresa. "Habría sido correcto si hubieran consultado con alguien que realmente usa pi", dijo Marshall Bergman, un director de la Organización de Def…

El Gordo no toca

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Cuaderno de bitácora: recientemente, con motivo de las fiestas navideñas, un compañero surcador de los mares me preguntó si las matemáticas daban alguna fórmula para ganar a la lotería. Mi respuesta fue que las matemáticas te mostraban que ganar a la lotería es casi imposible. En España, entre otros juegos de lotería, tenemos el Sorteo de Navidad, que se juega el 22 de diciembre, todos los años. Participar de este sorteo es una tradición muy extendida entre los españoles. Se dice que más de un 80% de los españoles juega alguna participación (algún décimo o participaciones más pequeñas). Para este último año se ha calculado que la media de dinero jugado por cada español era de unos 61'56 euros, cantidad bastante respetable. Durante la mañana del 22 de diciembre, los medios de comunicación retransmiten como los niños y niñas del Colegio de San Ildefonso van cantando los números premiados, pero el número que más interesa es el Gordo (el primer premio), que reparte 20.000 euros por c…