tag:blogger.com,1999:blog-315303592024-03-05T17:29:58.441+01:00El MatenaveganteUn periplo por los Siete Mares de las Ciencias ExactasPaulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.comBlogger306125tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-65897982936933334682022-12-10T10:23:00.001+01:002022-12-10T10:23:09.400+01:00[El Problema de la Semana] La servilleta y el bizcocho<p style="text-align: justify;">En esta ocasión traemos un problema apetitoso:<i><br /><br /> Hemos cocinado un bizcocho rectangular, y sus medidas son de 30cm de largo por 10cm de ancho. Lo queremos cubrir con una servilleta cuadrada de papel que tiene 30 cm de diagonal, con lo cual quedan unos triángulos de bizcocho sin cubrir, como se ve en la figura. ¿Cuánto mide el área total de lo que queda sin cubrir? ¿Cuánto mide el área cubierta?</i></p><p><i></i></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><i><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsLEEspIkvUz9pPhyaBWb-vvTbjGUGPE9Ow_HUOuXBCUtev4e-xnxLDBhnx0aocj_iqwOW3XfvUYkxYfsYybUdDDaMocAP-2jSdP7ydlsBVJDxu2U3aa1n7mB0pnQeVbSi1c3UMgwGVAXzSu1zgyLoPiATKIXhfcTBHxGfoHIC0K8u6Cg7Ww/s614/servilleta%20y%20bizcocho.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="559" data-original-width="614" height="582" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgsLEEspIkvUz9pPhyaBWb-vvTbjGUGPE9Ow_HUOuXBCUtev4e-xnxLDBhnx0aocj_iqwOW3XfvUYkxYfsYybUdDDaMocAP-2jSdP7ydlsBVJDxu2U3aa1n7mB0pnQeVbSi1c3UMgwGVAXzSu1zgyLoPiATKIXhfcTBHxGfoHIC0K8u6Cg7Ww/w640-h582/servilleta%20y%20bizcocho.gif" width="640" /></a></i></div><p>La solución después de la ilustración.</p><p><i><br /></i></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeMlJeZXpa9W9WBTfF67qShxD8RnRPjfPMKCMXMcvjcEIdO0G4kUFtjp1GqqQleV_oP0tui6K7USQgwj67wV7D8ocAUqDCFsaRzVXOV8U7k7GYR8RhpsY9OxeS5M664Nu5-VePAi72Seykzz_t5dB0B9tsSV29ykqRxwOlzmeUrVcKZ1S7EA/s1600/Menger-Schwamm-farbig.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="1600" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgeMlJeZXpa9W9WBTfF67qShxD8RnRPjfPMKCMXMcvjcEIdO0G4kUFtjp1GqqQleV_oP0tui6K7USQgwj67wV7D8ocAUqDCFsaRzVXOV8U7k7GYR8RhpsY9OxeS5M664Nu5-VePAi72Seykzz_t5dB0B9tsSV29ykqRxwOlzmeUrVcKZ1S7EA/w640-h480/Menger-Schwamm-farbig.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">[En la ilustración vemos un conocido fractal tridimensional: la <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Esponja_de_Menger" target="_blank">esponja de Menger</a>, el cual se forma partiendo de un cubo, dividiéndolo en 3·3·3 = 27 cubos más pequeños, como el cubo de Rubik, y quitando el cubo central y los cubos que están al centro de cada cara, 7 cubos en total. Luego, con los 20 cubos restantes, se vuelve a repetir la operación, y así hasta el infinito.]<br /></td></tr></tbody></table><p></p><p> </p><p>SOLUCIÓN:</p><p>A primera vista el problema puede parecer complicado, incluso para aplicar el teorema de Pitágoras. Sin embargo, cuando examinamos bien las superficies a calcular, nos damos cuenta que son cuatro pequeños triángulos rectángulos, en cada uno de los cuales el área se calcula de forma muy sencilla.</p><p>Área de uno de los triángulos = (base · altura) / 2 = (5 · 5) / 2 = 12.5 cm<sup>2</sup>.</p><p>Área total sin cubrir (4 triángulos) = 12.5 · 4 = <b>50 cm<sup>2</sup></b>.</p><p>También es muy fácil calcular el área cubierta por la servilleta:</p><p>Área total del bizcocho: base · altura = 30 · 10 = 300 cm<sup>2</sup></p><p>Área cubierta: 300 - 50 = <b>250 cm<sup>2</sup></b>.</p><p> </p><p>AMPLIACIÓN:</p><p>Para los que se quedaron con las ganas de aplicar el teorema de Pitágoras, ahí va la siguiente pregunta: Con los mismos datos, si ponemos la servilleta con los lados paralelos a los lados del bizcocho, ¿qué área del bizcocho quedará sin cubrir? ¿Qué área quedará cubierta?<br /></p><p></p><p></p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-79620300960965689532022-12-09T07:49:00.005+01:002022-12-09T07:49:34.977+01:00Sudoku de letras (34)<p style="text-align: justify;">Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada
fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del
siguiente conjunto:<br />
</p><div style="text-align: center;"><p align="center" class="western" style="line-height: 100%; margin-bottom: 0.21cm;">
A C I M N O R U S</p>
</div><div style="text-align: center;"></div>
<div style="text-align: justify;">
Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: <i>habitantes de cierta provincia española.</i></div><div style="text-align: justify;"><i> </i></div><div style="text-align: justify;"><i><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVzSfCsPrdTOac5IW0pazkCOQCZLQSeTb0mQnLhKTUV84j0xCt4jGeL3ADWmRt4eSxPSZYfFHuPovWB27M1gYG3fu12zyMj_VIpf7LoTLvo7OxkcIVW8a7nqyLqMFVL6DxsZxlB198Ysf7Id-QeuAnjxlvzfB-9IsWBkoeai8yqV-HVbw8Pw/s523/sudoku%2034.JPG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="521" data-original-width="523" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVzSfCsPrdTOac5IW0pazkCOQCZLQSeTb0mQnLhKTUV84j0xCt4jGeL3ADWmRt4eSxPSZYfFHuPovWB27M1gYG3fu12zyMj_VIpf7LoTLvo7OxkcIVW8a7nqyLqMFVL6DxsZxlB198Ysf7Id-QeuAnjxlvzfB-9IsWBkoeai8yqV-HVbw8Pw/s16000/sudoku%2034.JPG" /></a></div></i></div>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-37287236722626373242022-12-06T11:58:00.000+01:002022-12-06T11:58:00.628+01:00¡Cuidado con esta regla!<p style="text-align: justify;">Cuaderno de bitácora: el otro día, como suele ocurrir de vez en cuando, abordaron nuestro Barco Escuela los representantes de un <b>sindicato </b>de oficiales. Además de informar de diversos temas, traían varios recuerdos de propaganda, entre los cuales venían <b>unas reglas hechas de un material plástico</b>.</p><p style="text-align: justify;">Como quiera que para nosotros los matenavegantes las reglas son muy útiles, tomé varias, dispuesto a usarlas en mis clases con los grumetes. Sin embargo, una inquietud me vino de repente, y me pregunté si estas reglas estaban bien hechas, si coincidían plenamente con los patrones oficiales.</p><p style="text-align: justify;">Mi primera sorpresa fue al comparar los 20 cm que mostraban con los de otra regla, y <b>resultaron más cortos</b>, más de medio centímetro. Fue después de esto cuando me llevé la segunda y más terrible sorpresa: al contar los centímetros, <b>¡faltaba el centímetro 11, había un salto del 10 al 12!</b><br /></p><p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9hKSRu3Ux7d-1CY9Nmp9oV_OZQO9ClQ54xwkZIyoA6-rEg_hpSCBOoLzQP8P6Vklgm1Iu9akZwrKSOzoPdHWoinHl0zpuPaaE2A06F0sBODxh17q9P9m5UZZKLRxK5omU5E3sDQYN71ireDp4lx3PIbZOc7j07dv_jFhu88KCCuCB5vSInA/s1506/IMG_1458.JPG" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="531" data-original-width="1506" height="226" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9hKSRu3Ux7d-1CY9Nmp9oV_OZQO9ClQ54xwkZIyoA6-rEg_hpSCBOoLzQP8P6Vklgm1Iu9akZwrKSOzoPdHWoinHl0zpuPaaE2A06F0sBODxh17q9P9m5UZZKLRxK5omU5E3sDQYN71ireDp4lx3PIbZOc7j07dv_jFhu88KCCuCB5vSInA/w640-h226/IMG_1458.JPG" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">¡Cuidado con esta regla! Como puede verse en la imagen, falta el centímetro 11, y la escala pasa directamente del 10 al 12.<br /></td></tr></tbody></table><p></p><p></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1pBf6jUJsceJp1PG2arHvDTA5qOnfrfvJabqHrFD8NdHBNUuHIBPgRwoKvZuB08NUJPHoBzm6T7-3COH_3llTxYIQka8id14UPg-CoAdDH9PsBSmliJPr1jxLA7rry5tRyr-OjY8hBZ7UUMTjkV4XljEi5Qx1Zvk4Lid-ayaUNlUkO7dQWQ/s1632/IMG_1459.JPG" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="621" data-original-width="1632" height="244" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1pBf6jUJsceJp1PG2arHvDTA5qOnfrfvJabqHrFD8NdHBNUuHIBPgRwoKvZuB08NUJPHoBzm6T7-3COH_3llTxYIQka8id14UPg-CoAdDH9PsBSmliJPr1jxLA7rry5tRyr-OjY8hBZ7UUMTjkV4XljEi5Qx1Zvk4Lid-ayaUNlUkO7dQWQ/w640-h244/IMG_1459.JPG" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Además, si comparamos la regla con otra hecha correctamente con los patrones de medida, vemos que los centímetros son ligeramente más largos, pero al faltar el centímetro 11, los 20 centímetros acaban más de medio centímetro antes de lo que debía ser.<br /></td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: justify;">Esta es una regla inservible para su función, sin embargo es un motivo de inspiración para muchas reflexiones ácidas, sobre todo al compararla con el eslogan.</p><p style="text-align: justify;">¿Los que están "orgullosos de ser docentes de la educación pública" presentan esta regla defectuosa e inútil para que la use quién?</p><p style="text-align: justify;">¿La falta de centímetros se debe a los recortes?</p><p style="text-align: justify;">¿Nadie se fijó en la regla antes de repartirla como propaganda? ¿O es que hoy se presta atención a otros detalles, olvidando los fundamentales?</p><p style="text-align: justify;">Y un largo etcétera. <br /></p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-67414551370992043022022-12-02T10:42:00.004+01:002022-12-09T07:58:25.905+01:00Sudoku de letras (33)<p style="text-align: justify;">Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada
fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del
siguiente conjunto:<br />
</p><div style="text-align: center;"><p align="center" class="western" style="line-height: 100%; margin-bottom: 0.21cm;">
A B C E I N O R S</p>
</div><div style="text-align: center;"> </div>
<div style="text-align: justify;">
Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: <i>persona que escribe muy bien.</i></div><div style="text-align: justify;"><i> </i></div><div style="text-align: center;"><i><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg3G6mFfbEPggXaeC--__rlu2xRzdB3QOUbVNUEIARiGpcTjY7Pi0rF2mMdsuoJi8BATZePXZiHdBpQJEbRBD4kujtxjnkmFo8kZKqqbxG_h_Jrfss6bGtITuKfGWCDtl0DGHBRnbiAwfMWIX813f_JOE7sdwSysXmS8d4A7I18WwqICAkaQ/s524/sudoku%2033.JPG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="521" data-original-width="524" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjg3G6mFfbEPggXaeC--__rlu2xRzdB3QOUbVNUEIARiGpcTjY7Pi0rF2mMdsuoJi8BATZePXZiHdBpQJEbRBD4kujtxjnkmFo8kZKqqbxG_h_Jrfss6bGtITuKfGWCDtl0DGHBRnbiAwfMWIX813f_JOE7sdwSysXmS8d4A7I18WwqICAkaQ/s16000/sudoku%2033.JPG" /></a></div><br /> </i>
</div>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-81266076294907413362022-11-30T11:33:00.004+01:002022-11-30T11:41:36.473+01:00Puzle de papiroflexia: Un marco para cada retrato<div style="text-align: justify;">
Cuaderno de bitácora: buscando nuevos retos de papiroflexia y construcciones en papel para los grumetes del Barco Escuela, <b>hemos encontrado este puzle en uno de los libros del genial divulgador Martin Gardner</b>. De él hemos hecho una actualización y adaptación.<br />
<br />
En primer lugar debemos preparar un cuadrado de papel y lo dividimos en una cuadrícula 3×3. Dibujamos o imprimimos dos marcos y dos retratos, tal y como se aprecia en las ilustraciones:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnbrrYwQEzfj7TY-BplSekdkbZrTuroXG_3VecZWrKr7BAZetq3KXVlCUtQkNEQ5hxKLCa3DzEi8iUA_DVowPRxioe-KK99a0iHpEox7_otz13mhFVCobML7m-RfYx83GbN23x/s1600/marcos1.PNG" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="733" data-original-width="733" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnbrrYwQEzfj7TY-BplSekdkbZrTuroXG_3VecZWrKr7BAZetq3KXVlCUtQkNEQ5hxKLCa3DzEi8iUA_DVowPRxioe-KK99a0iHpEox7_otz13mhFVCobML7m-RfYx83GbN23x/s640/marcos1.PNG" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Figura 1. Esta es <b>la parte delantera de la hoja</b>. Se ven los dos marcos a la izquierda, y la cara del gatito a la derecha.<b> </b>La<b> zona gris dentro de los marcos hay que recortarla</b>, de manera que nos queden dos ventanas.</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRbM0P_Q9cNrqUaOEszdkg-9z2aGTRnv8Kzfl-dovuV_H8HhOLHsro3BthPlYQUEbOO3UkkIhCoHQphrQscmzN1E7tH54q55Ts1tWHxlTFDj1jpUT41xGlpzC3NJ69agDpW0bJ/s1600/marcos2.PNG" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="733" data-original-width="733" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhRbM0P_Q9cNrqUaOEszdkg-9z2aGTRnv8Kzfl-dovuV_H8HhOLHsro3BthPlYQUEbOO3UkkIhCoHQphrQscmzN1E7tH54q55Ts1tWHxlTFDj1jpUT41xGlpzC3NJ69agDpW0bJ/s640/marcos2.PNG" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Figura 2. Esta es <b>la parte trasera de la hoja</b>.</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
El juego consiste en <b>doblar el papel siguiendo las líneas de puntos</b>, de forma que quede <b>totalmente plegado</b>, y que<b> por un lado se vea uno de los marcos sobre uno de los retratos, y por el otro lado el otro marco sobre el otro retrato</b>.<br /></div><p>Para ver todo el proceso, así como la solución, podemos consultar el vídeo siguiente:</p><p><a href="https://youtu.be/N5LScXZ_GaA">https://youtu.be/N5LScXZ_GaA</a></p>
Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-24623618897857810842022-09-13T10:30:00.007+02:002022-12-02T10:43:31.019+01:00Otra propiedad del folio A4<p style="text-align: justify;">Cuaderno de bitácora: un día de esos de matenavegación se nos ocurrió una idea que ha tenido un resultado interesante y que nos ha permitido descubrir otra propiedad que tienen las proporciones de un folio A4. La idea surge del siguiente problema:</p><p style="text-align: justify;"><b>Supongamos que tenemos un cuadrado de lado 1. Queremos inscribir un rectángulo dentro del cuadrado, de forma que el eje mayor del rectángulo (pasa por el centro y es paralelo a los lados más largos) coincida con una de las diagonales del cuadrado, y los cuatro vértices del rectángulo estén sobre los lados del cuadrado. Si el lado mayor del rectángulo también mide 1, ¿cuánto mide el lado menor?</b></p><p style="text-align: justify;">La situación es como se ve en el gráfico.</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBivNzmFRyLH_QPDDk__gr2ep71W56dVrIIqBsdaeULCbzmMHyNTH3yS6BuyPzYD4FAqW_DT3d8K48ilrkSDRpJd1rEOoXmhV-5OROPBNQa9n1l974fEqgU8xQu1G3fw1xMmY8p8Kmvp6xiOmWnBW99w-XLC6HGbNAcmEVqMgRIbTz1Y7New/s801/rect%C3%A1ngulo%20en%20cuadrado.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="799" data-original-width="801" height="638" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBivNzmFRyLH_QPDDk__gr2ep71W56dVrIIqBsdaeULCbzmMHyNTH3yS6BuyPzYD4FAqW_DT3d8K48ilrkSDRpJd1rEOoXmhV-5OROPBNQa9n1l974fEqgU8xQu1G3fw1xMmY8p8Kmvp6xiOmWnBW99w-XLC6HGbNAcmEVqMgRIbTz1Y7New/w640-h638/rect%C3%A1ngulo%20en%20cuadrado.jpg" width="640" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">El cuadrado es ABCD, de lado 1, el rectángulo IJKH está inscrito en el cuadrado, su eje mayor LM coincide con la diagonal del cuadrado AC. Si el lado mayor del rectángulo, HK, mide también 1, ¿cuánto mide el lado menor IH?</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">El lector puede intentar resolver el problema, que no es difícil. Nosotros lo resolvemos a continuación.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">Primero nos fijamos en el triángulo HBK. Se trata de un triángulo isósceles rectángulo, cuya hipotenusa mide 1. Es muy sencillo calcular la longitud de los catetos HB y BK, pues ambos son iguales. Aplicamos el teorema de Pitágoras:</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9K9M05l-Bq-SM12BjMKLXAoTgOAsQABTPSY0mBStefvW-UC-j6wOphwHMqQsgoqzn5-jhGqxr6ZJ-FPivqjK0-hIqJOzq-ww_JTC63wJK5tcjhTIak2ZBDnYoTEGy6s-1iVyp1CMt9HuP2wjfj-2zsfaqsqZR5sTlJmIwV-1ZrklytmhLgQ/s287/rect%C3%A1ngulo%20en%20cuadrado%202.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="287" data-original-width="217" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj9K9M05l-Bq-SM12BjMKLXAoTgOAsQABTPSY0mBStefvW-UC-j6wOphwHMqQsgoqzn5-jhGqxr6ZJ-FPivqjK0-hIqJOzq-ww_JTC63wJK5tcjhTIak2ZBDnYoTEGy6s-1iVyp1CMt9HuP2wjfj-2zsfaqsqZR5sTlJmIwV-1ZrklytmhLgQ/s16000/rect%C3%A1ngulo%20en%20cuadrado%202.jpg" /> </a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">De aquí se deduce que</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCyhmJngiQxoBgq_lFgenkYY8QJ0jo5HbV82m6IkpEZUDlLmooC7lq2ZVv8Nd4zVrTqkm8ZdCThAqeNpxjxZw64wg7TFnGnbYziuKCq8MvkOxqlC2g-d2XdNfs-dUpZ0fN9Xs7b_i5BmLB5Q6acIEREXWeID4AtAIJch-x-4UBvY0qIoT_5Q/s221/rect%C3%A1ngulo%20en%20cuadrado%203.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="73" data-original-width="221" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiCyhmJngiQxoBgq_lFgenkYY8QJ0jo5HbV82m6IkpEZUDlLmooC7lq2ZVv8Nd4zVrTqkm8ZdCThAqeNpxjxZw64wg7TFnGnbYziuKCq8MvkOxqlC2g-d2XdNfs-dUpZ0fN9Xs7b_i5BmLB5Q6acIEREXWeID4AtAIJch-x-4UBvY0qIoT_5Q/s16000/rect%C3%A1ngulo%20en%20cuadrado%203.jpg" /></a></div>Como AIH es un triángulo rectángulo isósceles, AH = AI, entonces nuevamente aplicando el teorema de Pitágoras, en este caso podemos calcular la hipotenusa, IH = x.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"> <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlUWX7C3SLtcThlPJVDOizB17HLmUDy4Lr7XiHCcAg1naZNyF7CBeyyj2wQjiK1jMQ568dxWLh-7euUj0K2xzuaNt76YaV_dzIgINLpJgZvVNzvro2Jwm7vfXpRfBV7Npobdn6VDN64eLpBLFZCiiEeQKNKWQUq03ehsg2KlGRazRiiuiaiw/s416/rect%C3%A1ngulo%20en%20cuadrado%204.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="309" data-original-width="416" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlUWX7C3SLtcThlPJVDOizB17HLmUDy4Lr7XiHCcAg1naZNyF7CBeyyj2wQjiK1jMQ568dxWLh-7euUj0K2xzuaNt76YaV_dzIgINLpJgZvVNzvro2Jwm7vfXpRfBV7Npobdn6VDN64eLpBLFZCiiEeQKNKWQUq03ehsg2KlGRazRiiuiaiw/s16000/rect%C3%A1ngulo%20en%20cuadrado%204.jpg" /></a></div>Ya tenemos el valor de la x. <b>Pues bien, si nos fijamos, resulta que juntos el cuadrado de lado 1 y el rectángulo de lados 1 y raíz de 2 menos 1 coinciden en las proporciones de un folio A4</b>. (Véase <a href="https://elmatenavegante.blogspot.com/2020/01/la-raiz-cuadrada-de-2-en-un-folio-a4.html" target="_blank">La raíz cuadrada de 2 en un folio A4</a>) </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnBDzdKjgv6QbWDPAjNu4kgSj1Wc3YE5zpoRH7ze9hacW0IlfeULX5RgLa3fpUYHf6BTlaf4fKcJKBv7-vwLMvj0dsMn4zXYGsR9lAgG2IEi5QiiUsThse-faNUbsGN3witQaDCrVwV-Phb6Ew9iVtuyExL1kZ706s9_ZEeUaThdMx1z1QUA/s950/rect%C3%A1ngulo%20en%20cuadrado%205.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="658" data-original-width="950" height="444" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnBDzdKjgv6QbWDPAjNu4kgSj1Wc3YE5zpoRH7ze9hacW0IlfeULX5RgLa3fpUYHf6BTlaf4fKcJKBv7-vwLMvj0dsMn4zXYGsR9lAgG2IEi5QiiUsThse-faNUbsGN3witQaDCrVwV-Phb6Ew9iVtuyExL1kZ706s9_ZEeUaThdMx1z1QUA/w640-h444/rect%C3%A1ngulo%20en%20cuadrado%205.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Proporciones en un folio A4 y en el formato DIN.<br /></td></tr></tbody></table></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><b>En conclusión, si tomamos un folio A4, y lo dividimos en un cuadrado y un rectángulo, este último se puede inscribir diagonalmente en el cuadrado</b>. Sugiero al lector que tome un folio y haga la comprobación. A continuación incluimos algunas fotos con el proceso.<br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br /></div><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNgGWUCZB9ozg-gmJPzZnujshmjIVlYLLlh4KVsLIRlEE151AdBStY3CGESU7fjZ_YhPqtfIjBOUjjn_v06-QQmFF_WWKsAjXuAsEcSurAwxsp5AfdGAbT3XxX_vLaCr6-esJ892mALUKfYBM-wcxE9bH_1G1OEAvt2dhtFv2cIuUe5x61cA/s1632/A4%20rect%C3%A1ngulo%20(1).JPG" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1224" data-original-width="1632" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhNgGWUCZB9ozg-gmJPzZnujshmjIVlYLLlh4KVsLIRlEE151AdBStY3CGESU7fjZ_YhPqtfIjBOUjjn_v06-QQmFF_WWKsAjXuAsEcSurAwxsp5AfdGAbT3XxX_vLaCr6-esJ892mALUKfYBM-wcxE9bH_1G1OEAvt2dhtFv2cIuUe5x61cA/w640-h480/A4%20rect%C3%A1ngulo%20(1).JPG" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Tomamos un folio A4; recordemos que sus lados están en proporción √2:1.<br /></td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUguEcoXRuvQLAJTrdGrl2vGLzrIq_0GIkFuDZj2kb0Nelw0U84RRBQVNWJoxB4wGT7tA98HchGK0guM-wsn41mOg7NkOzL2u1kS23FrAGIy2ojsmtkCtdsuvEkJCcy-xXtWfpMrffRtWscujNfjHaI0Qos3CkIsc1ZgT3J4R_zjAAP1S3rQ/s1632/A4%20rect%C3%A1ngulo%20(2).JPG" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1224" data-original-width="1632" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUguEcoXRuvQLAJTrdGrl2vGLzrIq_0GIkFuDZj2kb0Nelw0U84RRBQVNWJoxB4wGT7tA98HchGK0guM-wsn41mOg7NkOzL2u1kS23FrAGIy2ojsmtkCtdsuvEkJCcy-xXtWfpMrffRtWscujNfjHaI0Qos3CkIsc1ZgT3J4R_zjAAP1S3rQ/w640-h480/A4%20rect%C3%A1ngulo%20(2).JPG" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Doblamos en diagonal, haciendo coincidir el lado menor sobre el lado mayor.<br /></td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfbBardtJb_Oi0Dh97LPfnOgNVpfMHedNUC7VD6X9711FLfjY3jZggo8grvaWIV2iKhQ8g1swgvPUt37DZGsSwbalJ_iwTmMCdmNKZAd6d9QAlMPdFuTVqk49f-M5xZZ0j0k2_b3XMgCsK7CrYzD_SEaMKhcvWBIMBWFw4uEBXx7kvAbMzcg/s1632/A4%20rect%C3%A1ngulo%20(3).JPG" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1224" data-original-width="1632" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgfbBardtJb_Oi0Dh97LPfnOgNVpfMHedNUC7VD6X9711FLfjY3jZggo8grvaWIV2iKhQ8g1swgvPUt37DZGsSwbalJ_iwTmMCdmNKZAd6d9QAlMPdFuTVqk49f-M5xZZ0j0k2_b3XMgCsK7CrYzD_SEaMKhcvWBIMBWFw4uEBXx7kvAbMzcg/w640-h480/A4%20rect%C3%A1ngulo%20(3).JPG" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Cortamos o separamos el rectángulo sobrante.<br /></td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3XzbawmwJlK-Rh7YMUwOK8xNgqRwg8DK1LArQ-bmBI8IZ-pbokTIokTn7-wCDInPiDgQYI4ZtFGS3Ub1ZurFmjdRNOd4lTjq2KYeElyZXMRuobOSrUk3gAgsjckMtXCYqlzoGFkXblKw7bOIzs9fQ-PfWyA2NiYzDNey1Ncyoj2vCSRI9GA/s1632/A4%20rect%C3%A1ngulo%20(4).JPG" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1224" data-original-width="1632" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3XzbawmwJlK-Rh7YMUwOK8xNgqRwg8DK1LArQ-bmBI8IZ-pbokTIokTn7-wCDInPiDgQYI4ZtFGS3Ub1ZurFmjdRNOd4lTjq2KYeElyZXMRuobOSrUk3gAgsjckMtXCYqlzoGFkXblKw7bOIzs9fQ-PfWyA2NiYzDNey1Ncyoj2vCSRI9GA/w640-h480/A4%20rect%C3%A1ngulo%20(4).JPG" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Desdoblamos el cuadrado y doblamos el rectángulo por su eje mayor.<br /></td></tr></tbody></table><br /><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGEQDWZzHfeCpE8v5XUfMfS16Zjec6sKD5YLxDZy23GWrwgnPCM4nYG5mAeBrP3xf5oF079IdwGqW6g8hpMYdCHZYHz_6uBV8aHkel9ok3_hVBxAGeMUVyh5rgBy0MJcCKmJdEf0yVWY5JySeTN1BwqrC8I5gClR23akyrOBZFyD10euGIGQ/s1632/A4%20rect%C3%A1ngulo%20(5).JPG" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1224" data-original-width="1632" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgGEQDWZzHfeCpE8v5XUfMfS16Zjec6sKD5YLxDZy23GWrwgnPCM4nYG5mAeBrP3xf5oF079IdwGqW6g8hpMYdCHZYHz_6uBV8aHkel9ok3_hVBxAGeMUVyh5rgBy0MJcCKmJdEf0yVWY5JySeTN1BwqrC8I5gClR23akyrOBZFyD10euGIGQ/w640-h480/A4%20rect%C3%A1ngulo%20(5).JPG" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Si hacemos coincidir el eje mayor del rectángulo sobre la diagonal del cuadrado veremos que <b>las esquinas del rectángulo coinciden perfectamente sobre los lados del cuadrado, sin quedarse cortas ni sobresalir</b>. <b>Esto solo ocurre cuando partimos de un rectángulo que, como el folio A4, tenga unas proporciones √2:1</b>.<br /></td></tr></tbody></table><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">También se puede consultar esta misma construcción en el vídeo: <a href="https://youtu.be/x-HMCKHOIVs">https://youtu.be/x-HMCKHOIVs</a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"><br /></div>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-57125232528209122832021-07-07T08:00:00.001+02:002021-07-07T08:00:00.238+02:00Sudoku de letras (32)<p style="text-align: justify;">Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada
fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del
siguiente conjunto:<br />
</p><div style="text-align: center;">
A C E I L O R T V <br /></div><div style="text-align: center;"> </div>
<div style="text-align: justify;">
Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: <i>magnitud que no es escalar.</i></div><div style="text-align: justify;"><i><br /></i></div><div style="text-align: justify;"><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguNdZFwXLccBOx_1HEurc9904zriib4iE5Xve3AuN6RsqfuGGE4yPnRsyvAU_zgUDUoJjhIDiCqV6HX8ZuNis_S8cw-wV9_xIoftt11kiD4O_yDsTS7meINABjxnRH8cYOwR3n/s482/sudoku+32.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="482" data-original-width="466" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEguNdZFwXLccBOx_1HEurc9904zriib4iE5Xve3AuN6RsqfuGGE4yPnRsyvAU_zgUDUoJjhIDiCqV6HX8ZuNis_S8cw-wV9_xIoftt11kiD4O_yDsTS7meINABjxnRH8cYOwR3n/s16000/sudoku+32.png" /></a></div><br /><i><br /></i></div>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-47808863630397579512021-06-30T08:00:00.003+02:002024-02-03T08:04:03.126+01:00Sudoku de letras (31)<p style="text-align: justify;">Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada
fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del
siguiente conjunto:<br />
</p><div style="text-align: center;">
A B E H I L O P R <br /></div><div style="text-align: center;"> </div>
<div style="text-align: justify;">
Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: <i>una de las cónicas.</i></div><div style="text-align: justify;"><i> <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgygqe7Tf_OowZHkBFTCBhM6U1KNdCGhz6qF-AS7-eLu5gLR-hci8ABzcklzOyJw0Ie6QQ0LqKHXODyPQm3ylvhWIDT0sgc_ZV6Fl1Y4393eDmmvb61mvIO3YWNmhxVzeHZq6Y4/s482/sudoku+31.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="482" data-original-width="466" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgygqe7Tf_OowZHkBFTCBhM6U1KNdCGhz6qF-AS7-eLu5gLR-hci8ABzcklzOyJw0Ie6QQ0LqKHXODyPQm3ylvhWIDT0sgc_ZV6Fl1Y4393eDmmvb61mvIO3YWNmhxVzeHZq6Y4/s16000/sudoku+31.png" /></a></div><br /></i></div>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-41627251898691773432021-06-26T10:00:00.001+02:002021-06-26T10:00:00.239+02:00[El Problema de la Semana] Más Triángulos de un Solo Trazo<p style="text-align: justify;">Continuando con el trazado de grafos sin levantar el lápiz del papel, proponemos al lector el siguiente:</p><p style="text-align: justify;"><i>¿Sería capaz el lector de dibujar de un solo trazo el siguiente grafo lleno de triángulos?</i></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfbGPEdIEVa2-FITVBKwYnoYRUEtldz8z2ObNj5QKpKCW_8OeCSI1eQzXCvoTE_z7AX2nf3aQbB8_caCxuaRmt8e91O-lwggSViQI3XDNcAV1PbZldtjhVCtngOzVNnmr-tWCG/s581/tri%25C3%25A1ngulos+2.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="491" data-original-width="581" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfbGPEdIEVa2-FITVBKwYnoYRUEtldz8z2ObNj5QKpKCW_8OeCSI1eQzXCvoTE_z7AX2nf3aQbB8_caCxuaRmt8e91O-lwggSViQI3XDNcAV1PbZldtjhVCtngOzVNnmr-tWCG/s16000/tri%25C3%25A1ngulos+2.png" /></a></div><p>Más abajo encontrará la solución.</p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgY3u4uF1irvbNNR9lSxlXZuYoBd49IdzqX6JH8kgeutM5wHb5qCGW2wKepEtJdKa5_iw-i5pacYyqxi5De1gLXCl6-UKNrWgctJ4tvZW0CXQtUcXy_thZ2r_y7jU_oVeaEuagp/s2048/colored+triangles.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1366" data-original-width="2048" height="426" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgY3u4uF1irvbNNR9lSxlXZuYoBd49IdzqX6JH8kgeutM5wHb5qCGW2wKepEtJdKa5_iw-i5pacYyqxi5De1gLXCl6-UKNrWgctJ4tvZW0CXQtUcXy_thZ2r_y7jU_oVeaEuagp/w640-h426/colored+triangles.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Esta fotografía está tomada en el Centro de Conferencias KAFD en Riyadh, Arabia Saudita. El autor del diseño es Daniel Buren, un artista conceptual francés. La imagen está sacada de <a href="https://riyadhart.sa/en/artworks/colored-triangles-by-myriad-for-riyadh-2020-2021-2/" target="_blank">este sitio</a>.<br /></td></tr></tbody></table><br /><p><b>SOLUCIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">El recorrido se puede hacer de muchas formas. A continuación exponemos una de las posibles soluciones, la cual me fue sugerida por un grumete del Barco Escuela:</p><p style="text-align: justify;"><b>A-E-F-J-K-N-O-Q-R-O-K-F-A-B-F-G-K-L-O-P-L-G-B-C-G-H-L-M-H-C-D-H-I-D</b></p><p style="text-align: justify;">También exponemos otra solución, con un recorrido un poco más complejo:</p><p style="text-align: justify;"><b>A-E-F-G-H-I-D-H-L-O-Q-R-O-K-F-A-B-C-G-K-N-O-P-L-G-B-F-J-K-L-M-H-C-D </b><br /></p><p style="text-align: justify;"><b> </b></p><p style="text-align: justify;"><b>AMPLIACIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">Como se ha explicado en el problema de la semana anterior, <a href="https://elmatenavegante.blogspot.com/2021/06/el-problema-de-la-semana-triangulos-de.html" target="_blank">Triángulos de un Solo Trazo</a>, Euler demostró que un grafo era resoluble mediante un solo trazo siempre que el número de vértices impares fuera cero o dos, pero no es resoluble si el número de vértices impares es cuatro o más.</p><p style="text-align: justify;">En nuestro ejemplo de hoy tenemos que todos los vértices son pares, salvo el A y el D. Luego <b>este grafo es resoluble, siempre que tomemos A y D como puntos de inicio y final</b>.</p><p style="text-align: justify;">Nota: este problema está inspirado en uno de los capítulos del libro <i>Mathematics and the Imagination</i>, de Edward Kasner y James Newman.<br /></p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-39357671919070226112021-06-23T08:00:00.004+02:002021-06-23T08:00:00.194+02:00Sudoku de letras (30)<p style="text-align: justify;">Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada
fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del
siguiente conjunto:<br />
</p><div style="text-align: center;">
A B E L M O P R S<br /></div><div style="text-align: center;"> </div>
<div style="text-align: justify;">
Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: <i>el libro de matemáticas está lleno de ellos.</i></div><div style="text-align: justify;"><i> </i></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhl3uJje07mvRPjaZj9x0YbgVjpSFU0vhHLYsRZmwNuG9-c2eom9vYTMYoaZfxgHMzenvWDdC9QX-DWp0wcmf9S0U-BUf6u95sB_rkHl31LyP9AK5uhT6viuvlc_oLWvu297d30/s482/sudoku+30.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="482" data-original-width="466" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhl3uJje07mvRPjaZj9x0YbgVjpSFU0vhHLYsRZmwNuG9-c2eom9vYTMYoaZfxgHMzenvWDdC9QX-DWp0wcmf9S0U-BUf6u95sB_rkHl31LyP9AK5uhT6viuvlc_oLWvu297d30/s16000/sudoku+30.png" /></a></div><br />Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-26364970656738772042021-06-19T08:00:00.004+02:002021-06-19T08:00:00.208+02:00[El Problema de la Semana] Triángulos de un Solo Trazo<p style="text-align: justify;">Presentamos hoy uno de los típicos problemas o pasatiempos en los que hay que conseguir trazar una figura de un solo trazo, es decir, en una sola línea, sin levantar el lápiz del papel y sin pasar dos veces por un mismo camino ya dibujado:</p><p style="text-align: justify;"><i>¿Es usted capaz de dibujar, de un solo trazo, la siguiente figura triangulada?</i></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvaWfCb3L_xg2Ux228pM9XaqWJqI-g5MBXyn5tqcvd6R7UHrVInFllg6avuZiSHvUPXFWQBfAXDCZ70c1K66ULtb1HPpYF3iGJAXo4MaN2fegNzwwbdk9P-CY78rLzvlV2bQ3l/s615/tri%25C3%25A1ngulos+1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="536" data-original-width="615" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvaWfCb3L_xg2Ux228pM9XaqWJqI-g5MBXyn5tqcvd6R7UHrVInFllg6avuZiSHvUPXFWQBfAXDCZ70c1K66ULtb1HPpYF3iGJAXo4MaN2fegNzwwbdk9P-CY78rLzvlV2bQ3l/s16000/tri%25C3%25A1ngulos+1.png" /></a></div><br /><p style="text-align: justify;">La solución, unos cuantos triángulos más abajo.</p><p style="text-align: justify;"> </p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnwspxtWEAmIls6c-W6KqtyB_BKAo42O-Z7cAlWfnYJz-mJDIyIkwcUKmmthpvC0ofMytE9JJlcKfSJ6jiuQYsiIaYl0bxetci3xH8a6Uag8_S385tGwlmUN6e45F1j-0-9sU5/s512/dairy+lea.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="344" data-original-width="512" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnwspxtWEAmIls6c-W6KqtyB_BKAo42O-Z7cAlWfnYJz-mJDIyIkwcUKmmthpvC0ofMytE9JJlcKfSJ6jiuQYsiIaYl0bxetci3xH8a6Uag8_S385tGwlmUN6e45F1j-0-9sU5/s16000/dairy+lea.jpg" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Buscando triángulos hemos encontrado esta caja de porciones de queso. Anuncia que lleva dentro "<i>16 cheese triangles</i>", (16 triángulos de queso), aunque estrictamente hablando, <b>las porciones no son triangulares</b>, porque uno de sus lados es curvo. Pero claro, anunciar que dentro de la caja hay "<i>16 cheese circular sectors</i>", (16 sectores circulares de queso), sería no solo confuso, sino matemáticamente pedante.<br /></td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: justify;"></p><p style="text-align: justify;"><b>SOLUCIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">En este grafo en particular podemos empezar a trazar por cualquiera de los puntos, y si hacemos el recorrido de forma inteligente lograremos nuestro objetivo.</p><p style="text-align: justify;">Así, por ejemplo, podemos empezar por el vértice A, y luego hacer el siguiente recorrido:</p><p style="text-align: justify;"><b>A - C - D - B - G - I - J - H - E - C - F - I - H - F - D - G - F - E - A</b></p><p style="text-align: justify;">Pasando en este orden por los diferentes vértices habremos resuelto el problema. Hay muchas otras soluciones que el lector puede ir probando.</p><p style="text-align: justify;"><b>AMPLIACIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">Históricamente, el problema de dibujar grafos pasando por todas las aristas sin levantar el lápiz del papel tiene su origen en el <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_puentes_de_K%C3%B6nigsberg" target="_blank">Problema de los Puentes de Königsberg</a>. Este problema fue resuelto por <b>Leonhard Euler</b>, y dio origen a una nueva rama de las matemáticas, la <b>Topología</b>, también llamada originalmente <i>Analisis Situs</i>.</p><p style="text-align: justify;">La solución de Euler es muy sencilla de entender y se basa en clasificar los vértices del grafo en vértices pares o impares, según el número de aristas que convergen en cada vértice:</p><p style="text-align: justify;"><b>-Si un grafo solo tiene vértices pares, entonces se puede dibujar de un solo trazo, empezando por cualquier vértice</b>.</p><p style="text-align: justify;"><b>-Si un grafo tiene dos vértices impares y el resto son pares, también se puede dibujar, pero esta vez hay que empezar el trazo en uno de los vértices impares, mientras que el otro vértice impar será el punto en el que finaliza el trazo</b>.</p><p style="text-align: justify;"><b>-Si un grafo tiene cuatro o más vértices impares, entonces no se puede dibujar de un solo trazo</b>.</p><p style="text-align: justify;">En el grafo que hemos puesto en el problema de hoy, podemos ver que todos los vértices son pares: en A, B y J convergen <b>2</b> aristas, en C, D, E, G, H e I convergen <b>4</b> aristas, y en F convergen <b>6</b>. Por tanto, se puede dibujar de un solo trazo, empezando por cualquier punto.<br /></p><p style="text-align: justify;">Nota: este problema está inspirado en un capítulo del libro <i>Mathematics and the Imagination</i>, de Edward Kasner y James Newman.<br /></p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-23909421522375526612021-06-16T16:30:00.001+02:002021-06-16T16:30:00.184+02:00Newton and Leibniz - Newton y Leibniz<p><b>Newton and Leibniz </b><br /></p><p style="text-align: justify;">Sir <b>Isaac Newton</b> (1643-1727) was an English mathematician and scientist who is generally thought to be <b>one of the greatest mathematicians</b> of all time. He identified the <b>principle of gravitation</b> and the fact that it applied to all bodies throughout the Universe, establishing a formula to predict its effect in all circumstances. He formulated the three laws of motion and, by using a prism, established that white light was made up or a spectrum of colours. One of his greatest achievements was <b>the invention of the calculus</b>. <br /><br /><b>Gottfried von Leibniz</b> (1646-1716) was a German mathematician who, independently of Newton, but about the same time, <b>also invented the calculus</b>. Though their methods were the same in principle, they differed widely in the notation they used. Controversy over which was the better dragged on for almost a century, but <b>it is the Leibniz notation we use today</b>.</p><p></p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgW1mppTx8tr4LPnFGhUbU4PVBdeZgx83dhaveXKNb8dcSM9bzAJYtX0QnATbw9RjImYSlzI5CYHwsFnXJ_eZD6qWGEp55z51zLc3ATeY1A9lmDjDotVi8Guylvuqv-wItgB0gs/s450/DQWwMAWX4AIlxpC.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="300" data-original-width="450" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgW1mppTx8tr4LPnFGhUbU4PVBdeZgx83dhaveXKNb8dcSM9bzAJYtX0QnATbw9RjImYSlzI5CYHwsFnXJ_eZD6qWGEp55z51zLc3ATeY1A9lmDjDotVi8Guylvuqv-wItgB0gs/s16000/DQWwMAWX4AIlxpC.jpg" /></a></div><p style="text-align: justify;"><b>Newton y Leibniz</b></p><p style="text-align: justify;">Sir <b>Isaac Newton</b> (1643-1727) fue un matemático y científico inglés que generalmente se piensa que es uno <b>de los más grandes matemáticos de todos los tiempos</b>. Identificó el <b>principio de gravitación</b>
y el hecho de que se aplicaba a todos los cuerpos del Universo,
estableciendo una fórmula para predecir su efecto en todas las
circunstancias. Formuló las tres leyes del movimiento y, con el uso de
un prisma, estableció que la luz blanca estaba compuesta de un espectro
de colores. Uno de sus grandes logros fue <b>la invención del cálculo</b> (*).</p><p style="text-align: justify;"><b>Gottfried von Leibniz</b> (1646-1716) fue un matemático alemán, que independientemente de Newton, pero sobre la misma fecha, <b>también inventó el cálculo</b>.
Aunque sus métodos eran en principio los mismos, se diferenciaban mucho
en la notación que usaron. La controversia sobre cuál era la mejor, se
mantuvo durante casi un siglo, pero <b>es la notación de Leibniz la que usamos hoy</b>.<br /></p><p style="text-align: justify;">(*) A la rama matemática desarrollada por Newton y Leibniz, en inglés se le ha dado el nombre de <i>calculus</i>, pero en español la palabra <b>cálculo </b>tiene la acepción general de "cómputo que se hace de algo por medio de operaciones matemáticas". Por tanto, una traducción más específica de <i>calculus </i>sería <b>cálculo infinitesimal</b>, y también <b>análisis matemático</b>.<br /></p><p style="text-align: left;">Nota: el texto en inglés ha sido extraído y adaptado del libro <i>Oxford Study Mathematics Dictionary</i>.<br /> </p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-70930081672018885822021-06-12T08:00:00.005+02:002021-06-12T08:00:00.198+02:00[El Problema de la Semana] El Espía de la Trinchera de Color Ocre<p>Cuaderno de bitácora: hoy transcribimos un problema de lógica, ambientado en la época de los espías:</p><p><b><i>EL ESPÍA DE LA TRINCHERA DE COLOR OCRE</i></b></p><p><i>Un misterio en doce puntos</i></p><p><i>por SUSAN ZIVICH</i></p><p><i><span>1. Cuatro espías con trinchera se habían acomodado en asientos encarados.</span></i></p><p><i><span>2. Viajaban en el exprés de Pekín.</span></i></p><p><i><span>3. Dos iban junto a la ventanilla, y los otros dos al lado del pasillo.</span></i></p><p><i><span>4. La colocación resultaba un tanto extraña (como sin duda pensó el lector).</span></i></p><p><i><span>5. El espía inglés estaba sentado a la izquierda del señor B.</span></i></p><p><i><span>6. El señor A llevaba una trinchera beige.</span></i></p><p><i><span>7. El espía con trinchera de color oliva se hallaba a la derecha del espía alemán.</span></i></p><p><i><span>8. El señor C era el único que fumaba un puro.</span></i></p><p><i><span>9. El señor D estaba en frente del espía norteamericano.</span></i></p><p><i><span>10. El ruso, vestido de caqui, llevaba una bufanda al cuello.</span></i></p><p><i><span>11. El espía inglés miraba por la ventanilla, a su izquierda.</span></i></p><p><i><span>12. ¿Quién era el espía de la trinchera de color ocre?</span></i></p><p><span>La solución: en la página 144 y más abajo.</span></p><p><span></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGDBFOAR4NKx6gJJyivxuxOwtUsv3u9hGAIm9QJhFL9XbJwambDOkE8-jA_FOztBmQ7HP-gmkVlTD79e6HYBv2OWt_BCeqn6ImIGFvqQ4_-gku_WpZvJkX0uqmigGeRaEXYxjD/s1572/selecciones+octubre+1979.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1572" data-original-width="1172" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGDBFOAR4NKx6gJJyivxuxOwtUsv3u9hGAIm9QJhFL9XbJwambDOkE8-jA_FOztBmQ7HP-gmkVlTD79e6HYBv2OWt_BCeqn6ImIGFvqQ4_-gku_WpZvJkX0uqmigGeRaEXYxjD/w478-h640/selecciones+octubre+1979.jpg" width="478" /></a></div> <p></p><p><span></span></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhb2rVNUe0VquBTxozE-FTAvXAFO-7DgO8ZMRoJRYhkVuBZJQqkg2JmZE_JRTtQWAqSYzztCiZFYG4W9pZTPkBUll0TvHVT9r1ECQkx3qKwdLXhToJo0RsypO2OULi7N0RkULrV/s1632/trinchera+2.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1632" data-original-width="1224" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhb2rVNUe0VquBTxozE-FTAvXAFO-7DgO8ZMRoJRYhkVuBZJQqkg2JmZE_JRTtQWAqSYzztCiZFYG4W9pZTPkBUll0TvHVT9r1ECQkx3qKwdLXhToJo0RsypO2OULi7N0RkULrV/w480-h640/trinchera+2.jpg" width="480" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Este problema ha sido extraído de un número de la revista <i>Selecciones del Reader's Digest</i>, concretamente del publicado en octubre de 1979<i> </i>en España. El mismo problema, aunque con el texto de la edición de Ecuador, <span><span>también </span></span>ha sido publicado <span><span></span></span>en el <a href="http://mdarena.blogspot.com/2017/02/el-caso-de-los-cuatro-espias.html" target="_blank">blog Momento Digital</a>. La palabra <i><b>trinchera </b></i>apenas se utiliza hoy en la acepción en la que la vemos en este problema. Si miramos la acepción 3 del <a href="https://dle.rae.es/" target="_blank">Diccionario de la Real Academia de la Lengua Española</a>, <b>trinchera </b>es una "<i>gabardina de aspecto militar</i>".<br /></td></tr></tbody></table><p></p><p><b><span>SOLUCIÓN:</span></b></p><p style="text-align: justify;"><span>Necesitamos hacernos un esquema con los asientos, la ventanilla y el pasillo. El problema ya traía un dibujo que parece facilitar la situación. </span><br /></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhI4Pkdf8aJsc9nHNRn0YR-0T6pfMWjHqtNwb9SxDihKZhOQwvcz9P6uNHORttfa-PtBCpfIqFbWbFx0NWr0I44hUFGQm2xPd8y8eOGB89HnSRnI5Q8oXdFDIFiuBxhfTzud5VW/s1496/trinchera.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1060" data-original-width="1496" height="284" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhI4Pkdf8aJsc9nHNRn0YR-0T6pfMWjHqtNwb9SxDihKZhOQwvcz9P6uNHORttfa-PtBCpfIqFbWbFx0NWr0I44hUFGQm2xPd8y8eOGB89HnSRnI5Q8oXdFDIFiuBxhfTzud5VW/w400-h284/trinchera.jpg" width="400" /></a></div><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVEujoEmu1fFX9b3LjmIzBdzxypcwJvNo_yAB5dZXzi3PQjWcUSzZdxJh0OjCsdc7I3aaaWvoesP9j1QGsnolUWxE8OI-PGOiOObpl6p9m3QUN2SDNva-37-A0XHHDof-cy4eC/s1496/trinchera+3.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1060" data-original-width="1496" height="454" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVEujoEmu1fFX9b3LjmIzBdzxypcwJvNo_yAB5dZXzi3PQjWcUSzZdxJh0OjCsdc7I3aaaWvoesP9j1QGsnolUWxE8OI-PGOiOObpl6p9m3QUN2SDNva-37-A0XHHDof-cy4eC/w640-h454/trinchera+3.jpg" width="640" /></a></div><p></p><p style="text-align: justify;">El problema tiene algunos puntos que no aportan información relevante y tan solo sirven para ambientarlo. Por ejemplo, en el punto 2 se dice que viajaban en el exprés de Pekín, pero igualmente podría ser un tren que lleva a Moscú, o a Estocolmo, pues eso no aporta información al problema. El punto 8 habla del señor C que fumaba un puro, pero igualmente podría estar bebiendo una limonada, lo único que es útil es saber que hay un señor C.</p><p style="text-align: justify;">Teniendo en cuenta esto, vamos a ir extrayendo la información de los diferentes puntos.</p><p style="text-align: justify;">Por el punto 11, sabemos que el espía inglés está en el asiento V2.</p><p style="text-align: justify;">Por el punto 5, sabemos que el señor B está en el asiento P2.</p><p style="text-align: justify;">En el punto 7 se nos habla de que "el espía con trinchera de color oliva se hallaba a la derecha del espía alemán", esto significa que el espía alemán debe estar en el asiento V2 o en el P1, pero el V2 está ocupado por el espía inglés. Por tanto el espía alemán está en P1, y el espía con trinchera de color oliva está en V1.</p><p style="text-align: justify;">Por el punto 10, el ruso, vestido de caqui y con una bufanda al cuello (esto último es un dato irrelevante), tiene que encontrarse en P2, y es el señor B.<br /></p><p style="text-align: justify;">Por el punto 9, el espía norteamericano debe estar en V1 y tiene trinchera de color oliva. El espía inglés, por tanto, es el señor D.</p><p style="text-align: justify;">Por el punto 6, el señor A, que leva una trinchera beige tiene que ser el espía alemán del asiento P1, ya que no puede ser el norteamericano, pues este lleva una trinchera de color oliva.</p><p style="text-align: justify;">Ya tenemos que: el ruso viste de color caqui, el alemán viste de color beige y el norteamericano viste de color oliva.</p><p style="text-align: justify;">Por eliminación, <b>el espía de la trinchera de color ocre es el inglés</b>.</p><p style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjn3bSgl66p84Di_WVsuYKb81GwZEhqT9-Gf8nbsbg8UiGA5q3MT9S0kP9n-GGerb2hT_oy2Q8DZWu4nGRcOYNN8mVnZl5M1CXfCRINOwXIfd6-qPjh8JuuowS1yM31hqSe6QAy/s1100/trinchera+4.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1004" data-original-width="1100" height="365" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjn3bSgl66p84Di_WVsuYKb81GwZEhqT9-Gf8nbsbg8UiGA5q3MT9S0kP9n-GGerb2hT_oy2Q8DZWu4nGRcOYNN8mVnZl5M1CXfCRINOwXIfd6-qPjh8JuuowS1yM31hqSe6QAy/w400-h365/trinchera+4.jpg" width="400" /></a></div> <p></p><p style="text-align: justify;">Nota: como ya se ha indicado, este problema ha sido extraído de la revista <i>Selecciones del Reader's Digest</i>, concretamente del <i>número de octubre de 1979</i>, edición española.<br /></p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-33636494673191853192021-06-09T08:00:00.005+02:002021-06-09T08:00:00.202+02:00The Platonic solids - Los sólidos platónicos<p style="text-align: left;"><b>The Platonic solids </b><br /></p><p style="text-align: justify;">Plato (427-347 BC) identified five polyhedral solids with all faces the same. He associated these with the <b>basic elements</b> which he believed made up the physical world. These Platonic solids are the triangular pyramid (<b>tetrahedron</b>), cube (<b>hexahedron</b>), <b>octahedron</b>, <b>dodecahedron </b>and <b>icosahedron</b>. Plato claimed that earth was made of cubic particles, fire of pyramids, air of octahedrons and water of icosahedrons. He claimed, '… <i>the gods used the dodecahedron for arranging the constellations on the whole heaven</i>'. <br /></p><p style="text-align: left;"> </p><p style="text-align: justify;">In his Elements, Euclid gives a thorough account of the Platonic solids and repeats Plato's assertion that <b>there are only five regular solids</b>.</p><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGsg1wQxLUUwLkTERfoCkW8a2qXQjmbt6uSAv7dDrlritGyOgPXYv-lNq-dRqB65GNZxNdQ9TlaoHohdgb187Ad4Q1QrtdlwAbCrjD1E7direVM7tgIOAUBw1rGV09WUQ8bhXo/s1200/elements.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="306" data-original-width="1200" height="163" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGsg1wQxLUUwLkTERfoCkW8a2qXQjmbt6uSAv7dDrlritGyOgPXYv-lNq-dRqB65GNZxNdQ9TlaoHohdgb187Ad4Q1QrtdlwAbCrjD1E7direVM7tgIOAUBw1rGV09WUQ8bhXo/w640-h163/elements.jpg" width="640" /></a></div><p></p><p></p><p style="text-align: justify;"><b>Los sólidos platónicos</b></p><p style="text-align: justify;">Platón (427-347 a.C.) identificó cinco sólidos poliédricos con todas las caras iguales. Los asoció con los <b>elementos básicos</b> que creía que formaban el mundo físico. Estos sólidos platónicos son la pirámide triangular (<b>tetraedro</b>), el cubo (<b>hexaedro</b>), el <b>octaedro</b>, el <b>dodecaedro </b>y el <b>icosaedro</b>.
Platón afirmaba que la tierra estaba hecha de partículas cúbicas, el
fuego de pirámides, el aire de octaedros y el agua de icosaedros. Él
aseguraba que "... <i>los dioses usaron el dodecaedro para ordenar las constelaciones en todo el cielo</i>".</p><p style="text-align: justify;">En sus Elementos, Euclides da una detallada descripción de los sólidos platónicos y repite la afirmación de Platón de que <b>solo hay cinco sólidos regulares</b>.<br /></p><p>Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro: <i>The Story of Mathematics</i>, de Anne Rooney.</p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-15338090217853499342021-06-05T08:00:00.002+02:002021-06-05T08:00:00.194+02:00[El Problema de la Semana] Velocidad de crecimiento<p>Todavía es primavera: <br /></p><p style="text-align: justify;"><i>¿A qué velocidad en kilómetros por hora crece una planta que en seis meses ha pasado de tener 20 centímetros de altura a tener 30?</i></p><p>La solución, 30 centímetros más abajo.<br /><br /></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOnWxV7HER3Yd94rF9u1_-WI4t9ZhGdTvBRsrE3URJ4Wvn1EG6VlK4Rc_HZlkLSK8HIw8YXG9Eu03ydLA1RsEs9E_mkcwpEXzi62K_jpiHF3tah6nRW6ckWQNhi_UdgTpli1oY/s1500/cover.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1500" data-original-width="1000" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgOnWxV7HER3Yd94rF9u1_-WI4t9ZhGdTvBRsrE3URJ4Wvn1EG6VlK4Rc_HZlkLSK8HIw8YXG9Eu03ydLA1RsEs9E_mkcwpEXzi62K_jpiHF3tah6nRW6ckWQNhi_UdgTpli1oY/w426-h640/cover.jpg" width="426" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">El problema de hoy nos ha recordado una cuestión similar que aparece en el libro <i>El Hombre Anumérico,</i> de John Allen Paulos. Más abajo, en la ampliación, citamos el texto donde se menciona. La imagen está tomada de la web <a href="https://www.librosdemario.com/el-hombre-anumerico-leer-online-gratis">librosdemario.com</a>.<br /></td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: justify;"><b>SOLUCIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">Se trata de un ejercicio de cambio de unidades.</p><p style="text-align: left;">La velocidad es igual a espacio partido por tiempo. Primero tenemos el espacio:</p><p style="text-align: left;">30 − 20 = 10 centímetros</p><p style="text-align: left;">Lo pasamos a kilómetros:</p><p style="text-align: left;">10 centímetros = 10/100 = 0.1 metros</p><p style="text-align: left;">0.1 metros = 0.1/1000 = 0.0001 kilómetros</p><p style="text-align: left;">Luego tenemos el tiempo:</p><p style="text-align: left;">6 meses = 6 · 30 = 180 días = 180 · 24 = 4320 horas.</p><p style="text-align: left;">Ya podemos calcular la velocidad en kilómetros por hora que nos pide el problema:</p><p style="text-align: left;"><b>velocidad = 0.0001/4320 = 0.000000023148 km/h aproximadamente</b>.</p><p style="text-align: left;">Si ponemos la solución en notación científica, tendríamos: 2.3148 × 10<sup>−8 </sup>km/h.</p><p style="text-align: left;"><br /><b>AMPLIACIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">Como ya mencionamos en la imagen, este problema es similar a una cuestión que se plantea en el libro <b><i>El Hombre Anumérico</i></b>, de John Allen Paulos. Citamos el texto en concreto:</p><p style="text-align: justify;">"Siempre me sorprende y me deprime encontrar estudiantes que no tienen la menor idea de cuál es la población de los Estados Unidos, de la distancia aproximada entre las costas Este y Oeste, ni de qué porcentaje aproximado de la humanidad representan los chinos. A veces les pongo como ejercicio que calculen <b>a qué velocidad crece el cabello humano en kilómetros por hora</b>, cuántas personas mueren aproximadamente cada día en todo el mundo, o cuántos cigarrillos se fuman anualmente en el país. Y a pesar de que al principio muestran cierta desgana (un estudiante respondió, simplemente, que el cabello no crece en kilómetros por hora), en muchos casos su intuición numérica acaba mejorando espectacularmente."</p><p style="text-align: justify;">Luego continúa más adelante:</p><p style="text-align: justify;">"En notación científica, las respuestas a las preguntas que planteé al principio son las siguientes: <b>el cabello humano crece aproximadamente a razón de 1,6 × 10<sup>−8 </sup>kilómetros por hora</b>; cada día mueren en la tierra unas 2,5 × 10<sup>5</sup> personas y cada año se fuman aproximadamente 5 × 10<sup>11</sup> cigarrillos en los Estados Unidos. Las expresiones de estos números en notación común son: 0,000000016 kilómetros por hora, 250.000 personas y 500.000.000.000 cigarrillos."</p><p style="text-align: justify;">Si nos fijamos en la velocidad a la que crece el cabello humano, se parece bastante a la de la hierba de nuestro problema. Concretamente la hierba crece un poco más rápido. ¿Será que con fertilizante para plantas el cabello puede crecer más rápido?<br /></p><p style="text-align: justify;"> <br />Nota: este problema ha sido extraído del libro <i>Matemágicas</i>, de Ignacio Soret Los Santos.<br /></p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-86852134848255281692021-06-02T08:00:00.000+02:002021-06-02T08:00:00.198+02:00The Nine Chapters - Los Nueve Capítulos<div style="text-align: justify;"><p><b>The Nine Chapters </b></p></div><div style="text-align: justify;">The earliest Chinese mathematical text, <b><i>The Nine Chapters on the Mathematical Art</i></b>, was first produced in the 1st century BC. Many commentaries were written over the ensuing centuries, the best of which was by <b>Liu Hui</b> in AD 263. The text demonstrates <b>Pythagoras’ theorem</b> (derived independently) and shows how to calculate such <b>distances </b>as the height of a tower seen from a hill, the breadth of an estuary, the height or a pagoda and the depth or a ravine. It also deals with <b>finding areas and volumes</b> of figures such as trapezoids, circles, segments of circles, cylinders, pyramids and spheres.<br /></div><p style="text-align: left;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjX-qfrdkm6vlUby7FQdjC-J_OqY7tKAIUYxm1z2EqaY36trWqrSE32E_jtz_tpXiyhZfUDAVCSyJw53mFh9Iwas1UFiM1-llK4vQ8i2k9dtOdgom4owq7zYw1sHBZxMTcTrf8-/s1899/tumblr_nhpo1jGRke1s6mxo0o1_1280.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1899" data-original-width="1280" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjX-qfrdkm6vlUby7FQdjC-J_OqY7tKAIUYxm1z2EqaY36trWqrSE32E_jtz_tpXiyhZfUDAVCSyJw53mFh9Iwas1UFiM1-llK4vQ8i2k9dtOdgom4owq7zYw1sHBZxMTcTrf8-/w432-h640/tumblr_nhpo1jGRke1s6mxo0o1_1280.jpg" width="432" /></a></div><p style="text-align: justify;"><b>Los Nueve Capítulos</b></p><p style="text-align: justify;">El texto matemático chino más antiguo, <b><i>Los Nueve Capítulos del Arte Matemático</i></b>, apareció por primera vez en el siglo I a.C. Se escribieron muchos comentarios a lo largo de los siglos siguientes, el mejor de los cuales fue de <b>Liu Hui </b>en 263 d.C. El texto demuestra el<b> teorema de Pitágoras</b> (deducido de forma independiente) y enseña como calcular <b>distancias </b>tales como la altura de una torre vista desde una colina, la anchura de un estuario, la altura de una pagoda y la profundidad de un barranco. También trata del <b>cálculo de áreas y volúmenes</b> de figuras como trapezoides, círculos, segmentos de círculos, cilindros, pirámides y esferas.</p><p style="text-align: left;">Nota: el texto en inglés ha sido extraído de <i>The Story of Mathematics</i>, de Anne Rooney.</p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-21518200002870370392021-05-29T08:00:00.001+02:002021-05-29T08:00:00.192+02:00[El Problema de la Semana] El cuadrado y el cubo<p style="text-align: justify;"> Creo que hoy nos encontramos con el problema de enunciado más corto de todos los que hemos publicado.<br /></p><p style="text-align: justify;"><i>Encuentra un cuadrado que al sumarle dos se convierte en un cubo. </i><br /><br /> La solución es igualmente corta y aparece más abajo.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-btN5WP72xnP1WAUDIOveIXqXLBC0FWJjTjx5RJi_8aMch_0Vxl4fjrDqwH43YZURI215DlnNYga3C_lHoo0hLj8gCeDDYEjyDSYDPcoueuT-XZyjRzyPCHLh1iMNbdN4KwsG/s630/maths_exponents_square_and_cube_roots_wall_clock.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="630" data-original-width="630" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-btN5WP72xnP1WAUDIOveIXqXLBC0FWJjTjx5RJi_8aMch_0Vxl4fjrDqwH43YZURI215DlnNYga3C_lHoo0hLj8gCeDDYEjyDSYDPcoueuT-XZyjRzyPCHLh1iMNbdN4KwsG/w640-h640/maths_exponents_square_and_cube_roots_wall_clock.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">La imagen está sacada de la <a href="https://www.zazzle.com/exponentes_cuadrado_de_la_matematicas_y_reloj_de-256170483240678315?lang=es" target="_blank">web de zazzle</a>.<b><br /></b></td></tr></tbody></table><p></p><p><b>SOLUCIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">En el problema de hoy la solución aparece de forma muy sencilla: basta ir probando con los cuadrados perfectos, sumar dos y ver si el resultado es un cubo perfecto. <br /></p><p style="text-align: justify;">Los cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, 36...</p><p style="text-align: justify;">1 + 2 = 3</p><p style="text-align: justify;">4 + 2 = 6</p><p style="text-align: justify;">9 + 2 = 11</p><p style="text-align: justify;">16 + 2 = 18</p><p style="text-align: justify;"><b>25 + 2 = 27</b><br /><br /> Ya hemos encontrado la respuesta: <b>25 es el cuadrado de 5; si le sumamos 2 nos sale 27, que es el cubo de 3</b>.</p><p style="text-align: justify;">AMPLIACIÓN:</p><p style="text-align: justify;">Nadie garantiza que haciendo lo que hemos hecho podamos encontrar la solución. El problema está pensado de antemano para que la solución sea fácil de encontrar.</p><p style="text-align: justify;">Supongamos que se nos ocurre modificar el enunciado ligeramente: "<i>encuentra un cuadrado que al sumarle <b>tres </b>se convierte en un cubo</i><i>". </i>He estado probando con bastantes números y no veo ninguna solución, ni parece que pueda aparecer pronto.</p><p style="text-align: justify;">Sin embargo, si ponemos <i>"</i><i>encuentra un cuadrado que al sumarle <b>cuatro </b>se convierte en un cubo"</i>, entonces salen dos soluciones sin pensarlo demasiado: 4 que al sumarle cuatro sale 8, y 121, que al sumarle cuatro sale 125.<br /></p><p><b> </b><br />Nota: este problema ha sido adaptado del libro: <i>Matemágicas</i>, de Ignacio Soret Los Santos.</p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-15163069077429482472021-05-26T08:00:00.001+02:002021-05-26T08:00:00.222+02:00Einstein, Riemann and the Space-Time Continuum - Einstein, Riemann y el Continuo Espacio-Tiempo<p style="text-align: justify;"><b>Einstein, Riemann and the Space-Time Continuum</b></p><p style="text-align: justify;">The general theory of relativity postulated by Albert Einstein (1879-1955) uses the concepts of Riemann geometry and an extra dimension, making <b>a four-dimensional space called space-time</b>. In general relativity, <b>space-time is curved</b>, with the degree of curvature increasing close to massive bodies. Curvature is produced by the interaction of mass-energy and momentum producing the phenomenon we know as gravity. Thus Einstein’s theory <b>replaces the force of gravity familiar from Newtonian mechanics with multi-dimensional, non Euclidean geometry</b>. <br /></p><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhesvn1pJB-9QPpGtZGe1mcLpTYJVOGKFHkpJhOyNPteSpNrSCFeRRQ3GpTtAOkLLbyqr5hD8L28n90VkGKhF4JgA-WyAt5iZprT-dornJPJ5LRhvIOofDYFqn7MOFdBtEpEHVM/s1200/pJht2r7rb2P9bUKVCHaZZT.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="884" data-original-width="1200" height="472" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhesvn1pJB-9QPpGtZGe1mcLpTYJVOGKFHkpJhOyNPteSpNrSCFeRRQ3GpTtAOkLLbyqr5hD8L28n90VkGKhF4JgA-WyAt5iZprT-dornJPJ5LRhvIOofDYFqn7MOFdBtEpEHVM/w640-h472/pJht2r7rb2P9bUKVCHaZZT.jpg" width="640" /></a></div><p style="text-align: justify;"><b>Einstein, Riemann y el continuo espacio-tiempo</b></p><div style="text-align: justify;">La
teoría general de la relatividad propuesta por Albert Einstein
(1879-1955) utiliza los conceptos de la geometría de Riemann y una dimensión
extra, construyendo <b>un espacio cuatridimensional llamado
espacio-tiempo</b>. En la relatividad general, <b>el espacio-tiempo es curvo</b>,
con el grado de curvatura incrementándose cerca de los cuerpos masivos.
La curvatura se produce por la interacción de la masa-energía y la
cantidad de movimiento, produciendo el fenómeno que conocemos como
gravedad. Por tanto, la teoría de Einstein <b>sustituye la fuerza de
gravedad conocida de la mecánica newtoniana con geometría no euclídea
tridimensional</b>.</div><p style="text-align: justify;">Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro <i>The Story of Mathematics</i>, de Anne Rooney. </p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-61050616268193214362021-05-22T08:00:00.001+02:002021-05-22T08:00:00.279+02:00[El Problema de la Semana] Menos que la media<p>Hoy tenemos estadísticas en el instituto: <br /></p><p style="text-align: justify;"><i>En cierto instituto, un profesor se ha quejado de que “la inmensa mayoría del alumnado, quizás más del 75%, ha sacado una nota inferior a la puntuación media del centro”. <br /><br /> ¿Es esto posible? Si no lo es, razónalo. Si lo es, pon un ejemplo con una clase de 30 alumnos y alumnas. </i><br /></p><p>La solución, sobre la media de la página.<br /></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAQjzvozc4Hvy9j6B0mzO-LAoVlq6CEe6WSxEd5k7Wme_MaRh8EjYaFUOIL6z0nB93JaXVVfYbCMYeotbi0g0_TbztS6IfL8GcvNlSVDU6yYL4go6Y1OZIsi1x6kGW9jmcHVv0/s2048/Graduation-2019-UCR-BKFF-1095.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1365" data-original-width="2048" height="426" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgAQjzvozc4Hvy9j6B0mzO-LAoVlq6CEe6WSxEd5k7Wme_MaRh8EjYaFUOIL6z0nB93JaXVVfYbCMYeotbi0g0_TbztS6IfL8GcvNlSVDU6yYL4go6Y1OZIsi1x6kGW9jmcHVv0/w640-h426/Graduation-2019-UCR-BKFF-1095.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">"El <b>birrete </b>es un gorro rematado con una borla, usado en actos
ceremoniales, por magistrados, jueces, letrados, abogados y componentes
de la comunidad universitaria en ocasiones solemnes. El mismo consiste
en un <b>panel horizontal de forma cuadrada</b> fijado a un casquete, con una
borla fijada a su centro" (wikipedia). Siempre me ha preocupado el momento en el que los estudiantes recién graduados lanzan sus birretes al aire, pues no sé si luego cuando caen cada uno logra recuperar el suyo. En fin, ellos sabrán. La imagen está tomada de la <a href="https://www.ucr.nl/about-ucr/history/our-alumni/" target="_blank">University College Roosevelt</a>, situada en Middelburg, Holanda.<br /></td></tr></tbody></table><br /><p style="text-align: justify;"><b>SOLUCIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">Contestemos rápidamente a la pregunta <i>¿Es esto posible?</i>: <b>Sí, por supuesto que sí es posible</b>. En este caso nos piden que pongamos un ejemplo. Ahí va:</p><p style="text-align: justify;">Tenemos una clase de 30 alumnos. De ellos, 27 han obtenido una nota de 6 en un examen. Los 3 restantes han obtenido un 10. La media de las notas en esta clase es:</p><p style="text-align: justify;">(27 · 6 + 3 · 10) /30 = 192/30 = 6'4<br /></p><p style="text-align: justify;">Si la nota media ha sido de 6'4, entonces todos los alumnos que han sacado un 6 han obtenido una nota inferior a la media. Estos han sido 27 de 30, es decir un 90%, más del 75%. En esta clase, <b>un 90% de los alumnos han sacado una nota inferior a la media</b>.</p><p style="text-align: justify;">Si nos fijamos en el ejemplo que hemos puesto, se pueden notar los siguientes detalles:</p><p style="text-align: justify;">-Todos los alumnos de la clase están aprobados.</p><p style="text-align: justify;">-Casi
todos los alumnos tienen una nota igual, un poco baja, mientras unos
pocos tienen una nota muy alta. Las notas están <b>asimétricamente
distribuidas</b>: un grupo muy numeroso en la zona inferior de las notas, otro grupo muy
pequeño en la superior.<br /></p><p style="text-align: justify;">-La media, que está entre los dos grupos, es cercana a la nota que tiene el grupo más numeroso.</p><p style="text-align: justify;"><b> AMPLIACIÓN:</b><br /></p><p style="text-align: justify;">Si alguien pensaba que no era posible lo que decía el profesor es porque está confundido entre lo que es la <b>media </b>de una distribución estadística y la <b>mediana </b>de dicha distribución.</p><p style="text-align: justify;">Tanto la media como la mediana son parámetros de tendencia central, y <b>es de esperar que se coloquen al centro de la distribución estadística</b>. Pero esta forma de colocarse al centro es diferente para cada parámetro. La mediana se coloca de forma que el 50% de los valores estadísticos sean menores o iguales que ella, y el otro 50% sean mayores o iguales. Luego <i>si en lugar de la media hablamos de la mediana en el problema</i>, lo que dice el profesor sería <i>matemáticamente imposible</i>: el 50% del alumnado, ni más ni menos, siempre tiene una nota igual o menor a la mediana, y no es posible que el 75% tenga una nota inferior a la mediana.</p><p style="text-align: justify;"><b>Pero la media está colocada en el "centro de gravedad" de la distribución</b>, y se dan diferentes situaciones <b>según la distribución es simétrica o asimétrica</b>.</p><p style="text-align: justify;">Cuando la distribución estadística está simétricamente distribuida, entonces es de esperar que la media esté al centro junto a la mediana. Pero no sucede así cuando la distribución es asimétrica. Por eso vemos en la solución del problema, por ejemplo, que podemos tener un enorme grupo de puntuaciones "un poco bajas", todas iguales, y luego unas pocas puntuaciones "muy altas", y al calcular la media, el resultado se queda entre estos dos grupos, con lo que el grupo de puntuaciones bajas, muy numeroso, que puede fácilmente ser del 75% y más, queda por debajo de la media.</p><p style="text-align: justify;">¿Por qué se queja entonces el profesor del problema?</p><p style="text-align: left;"><b>El profesor se está quejando porque la distribución de notas es asimétrica</b>. Si en su queja quería expresar su convencimiento de que las notas son bajas, el razonamiento es insuficiente. No podemos asegurar que las notas sean malas, pues no sabemos cuál es la media del instituto. <b>Incluso si el profesor se quejase de que el 75% del alumnado del centro tiene una nota inferior a la media regional o nacional, es posible que no haya motivo de preocupación</b>, pues también a nivel regional o nacional la distribución puede ser asimétrica. El profesor necesita más datos para fundamentar su queja; decir que el 75% del alumnado tiene menos nota que la media del instituto solo indica la asimetría de la distribución.</p><p style="text-align: left;">Nota: este problema ha sido adaptado del libro <i>Matemágicas</i>, de Ignacio Soret Los Santos. </p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-80380309576740068322021-05-19T08:00:00.001+02:002021-05-19T08:00:00.194+02:00Ptolemy and the Americas - Ptolomeo y las Américas<div style="text-align: justify;"><b>Ptolemy and the Americas</b></div><p style="text-align: justify;">Though Ptolemy's most famous work was <b><i>The Almagest</i></b>, he also wrote a <b><i>Geography </i></b>which remained influential for over a thousand years. He developed two projections and <b>introduced lines of latitude and longitude</b>, though the inaccuracy of measurements led to considerable errors in his longitudes. He also overestimated the extent of the Earth's surface covered by the Hellenic lands and consequently <b>his calculated size of the Earth was smaller than the real thing</b>. <br /><br />The earliest surviving European maps from the Middle Ages are heavily reliant on Ptolemy's Geography. When explorers planned to sail to India by heading west <b>they would have expected the journey to be much shorter than it actually was</b>. Perhaps if Columbus had realized the true nature of the undertaking he would not have attempted the voyage that led him to the Americas. <br /></p><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnnI7VofSEn9jZ_UQ0Gnbz3Nbpq0x-e9lwOkbNCJXh_oOXGzNqvuvtafq32szKYgp5YuIzIyOXwERY66SmHJK__gqnLYw3CVMg8ZE_nKCgXrTeJvfbUokzGaj2nVqRdlS6YNi0/s499/42148024262_eae6af4737.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="319" data-original-width="499" height="410" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnnI7VofSEn9jZ_UQ0Gnbz3Nbpq0x-e9lwOkbNCJXh_oOXGzNqvuvtafq32szKYgp5YuIzIyOXwERY66SmHJK__gqnLYw3CVMg8ZE_nKCgXrTeJvfbUokzGaj2nVqRdlS6YNi0/w640-h410/42148024262_eae6af4737.jpg" width="640" /></a></div><p style="text-align: justify;"><b>Ptolomeo y las Américas</b></p><p style="text-align: justify;">Aunque
el trabajo más famoso de Ptolomeo fue <b><i>El Almagesto</i></b>, también escribió
una <i><b>Geografía </b></i>que mantuvo su influencia durante más de mil años. Ptolomeo
desarrolló dos proyecciones e <b>introdujo líneas de latitud y longitud</b>,
aunque la inexactitud de las medidas causaron errores considerables en
sus longitudes. También estimó por exceso la extensión de la superficie
de la Tierra cubierta por las tierras helénicas y en consecuencia el
tamaño de la Tierra que calculó <b>resultó más pequeño que el real</b>.</p><p style="text-align: justify;">Los
mapas europeos más antiguos que todavía sobreviven desde la Edad Media
se apoyan considerablemente en la Geografía de Ptolomeo. Cuando los
exploradores planearon navegar a la India por el oeste, <b>debían haber
esperado que el viaje fuera mucho más corto de lo que fue en realidad</b>.
Quizás si Colón se hubiera dado cuenta de la verdadera naturaleza de la
empresa, no habría intentado el viaje que lo llevó a las Américas.</p><p style="text-align: left;">Nota: el texto en inglés ha sido extraído de <i>The Story of Mathematics</i>, de Anne Rooney. </p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-83321587736110907692021-05-15T08:00:00.001+02:002021-05-15T08:00:00.202+02:00[El Problema de la Semana] El rebote afortunado <div style="text-align: justify;">Juguemos a la pelota... sin romper nada: <br /></div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;"><i>Un chico debe lanzar con fuerza una pelota en línea recta para que, después de rebotar en el suelo, siga en línea recta hasta colarse por una pequeña ventana. Si la altura del chico es de 1'50 m, la altura de la ventana es de 2'50 m y la distancia entre el chico y la pared donde se encuentra la ventana es de 8 metros:</i></div><div style="text-align: justify;"><i> </i></div><div style="text-align: justify;"><i>¿En qué punto del suelo debe hacer rebotar la pelota? </i><br /></div><p>Para encontrar la solución, lance la página y rebote debajo de la imagen.<br /></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKVupkwvIL7Tl2u7nNRRhFcHgY6TJWB_xExSGHWwVNRSijqEcrYSo3If_ikXqLLtMgZU6Bv51kWMRpjqaI4s82sGolDMkmwa5-u1qWeyzCNG32QzjBXq8BxtZRmCgii1OfgKWj/s1365/blur-close-up-crystal-ball-depth-of-field.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1365" data-original-width="910" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKVupkwvIL7Tl2u7nNRRhFcHgY6TJWB_xExSGHWwVNRSijqEcrYSo3If_ikXqLLtMgZU6Bv51kWMRpjqaI4s82sGolDMkmwa5-u1qWeyzCNG32QzjBXq8BxtZRmCgii1OfgKWj/w426-h640/blur-close-up-crystal-ball-depth-of-field.jpg" width="426" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">A través de una esfera de cristal vemos la imagen invertida del paisaje. La ilustración ha sido tomada de <a href="https://www.wallpaperflare.com/close-up-photo-of-crystal-ball-blur-depth-of-field-focus-glass-wallpaper-aknji" target="_blank">este sitio</a>.<br /></td></tr></tbody></table><br /><p></p><p style="text-align: justify;"><b>SOLUCIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">En primer lugar debemos comentar que en este problema estamos haciendo una licencia física: cuando alguien lanza una pelota por el aire en una dirección que no sea perpendicular al suelo, la trayectoria que sigue la pelota nunca será perfectamente recta debido a la gravedad terrestre. Siempre se asemejará a un tramo de parábola.</p><p style="text-align: justify;">De hecho, si quisiéramos que la trayectoria fuera perfectamente recta deberíamos lanzarla en un ambiente sin gravedad, como el que puede haber en una estación espacial.</p><p style="text-align: justify;">Pero mejor dejemos de complicarnos la vida. Supongamos que el chico del problema lanza la pelota con la suficiente fuerza para que ésta siga una línea prácticamente recta, y despreciemos los detalles.</p><p style="text-align: justify;">Cuando la pelota rebota en el suelo sucede un hecho importante: el ángulo con el que la pelota alcanza el suelo es igual al ángulo de rebote. Siendo así, podemos hacer un esquema geométrico de la situación:</p><p></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEji89JZAsvkH28jzWfZfVonMBBFQNW5oKUpdx_TRauitcXvJTaSOwFFoTTI4vjdBMVKf_H7KusB3ViLHLTrhIdyotuSX4qAIYh-wX066phK5E2PdcSzQ4Iv10kK1nIjwbNWC3Lo/s1339/rebote+02.PNG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="516" data-original-width="1339" height="247" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEji89JZAsvkH28jzWfZfVonMBBFQNW5oKUpdx_TRauitcXvJTaSOwFFoTTI4vjdBMVKf_H7KusB3ViLHLTrhIdyotuSX4qAIYh-wX066phK5E2PdcSzQ4Iv10kK1nIjwbNWC3Lo/w640-h247/rebote+02.PNG" width="640" /></a></div><p style="text-align: justify;">En el esquema vemos que el chico está representado por el segmento AB, y la pared con la ventana por el segmento CD. El punto de rebote es R, y en ese punto el primer tramo de la trayectoria de la pelota, BR, forma un ángulo de incidencia α con la horizontal, mientras que el segundo tramo de la trayectoria, RD, forma el ángulo de rebote β. Los ángulos de incidencia y rebote son iguales: α = β.</p><p style="text-align: justify;">Como estos dos ángulos son iguales, y los triángulos ABR y CDR son rectángulos, entonces estos dos triángulos son semejantes. Por tanto los lados correspondientes son proporcionales, y concretamente con los catetos podemos hacer la igualdad de proporciones:</p><p>AB/CD = AR/CR</p><p>es decir:</p><p>1.5/2.5 = m/n</p><p>pero:</p><p>n = 8 − m</p><p>y por tanto:</p><p>1.5/2.5 = m/(8−m)</p><p>Multiplicamos en cruz y desarrollamos la ecuación:<br /></p><p>1.5(8 − m) = 2.5m</p><p>12 − 1.5m = 2.5m<br /></p><p>4m = 12</p><p>m = 3</p><p style="text-align: justify;">La respuesta sería: <b>el chico debe hacer rebotar la pelota en el punto R que se encuentra a 3 metros de él y 5 metros de la pared</b>.</p><p>AMPLIACIÓN:</p><p style="text-align: justify;">Hemos hecho los cálculos con una proporción que ha dado como resultado una ecuación de primer grado. También podemos solucionar el problema de forma estrictamente geométrica, haciendo la simetría de la ventana con el suelo y prolongando la trayectoria de la pelota en línea recta, como si golpeara contra el reflejo de la ventana en el suelo, tal y como se ve en el esquema:</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFEAVt1hzMEPg4qXVbyhP8KPGJ1UcWKaAVzFEcQ8HhlArq4bXUSZh1LugGKQ5p_Gkr0MafuTWeXXc4AauBNc69jpSbiFBrbii_ZVrK3lFvCydbHmNDc4_fD-ov8ne4qs-tHXDf/s991/rebote+03.PNG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="686" data-original-width="991" height="444" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFEAVt1hzMEPg4qXVbyhP8KPGJ1UcWKaAVzFEcQ8HhlArq4bXUSZh1LugGKQ5p_Gkr0MafuTWeXXc4AauBNc69jpSbiFBrbii_ZVrK3lFvCydbHmNDc4_fD-ov8ne4qs-tHXDf/w640-h444/rebote+03.PNG" width="640" /></a></div>Según esto, primero calculamos el punto E, simétrico del D respecto a la recta AC, y <b>el punto de rebote R sería el punto de corte de la recta BE con la recta AC</b>.<br /><p></p><p> <br />Nota: este problema ha sido adaptado del libro: <i>Matemágicas</i>, de Ignacio Soret Los Santos.<br /><br /> </p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-17832631933216576022021-05-12T08:00:00.001+02:002021-05-12T08:00:00.268+02:00Magic Squares - Cuadrados mágicos<div style="text-align: justify;"><b>Magic Squares </b><br /></div><p style="text-align: justify;">A magic square is an arrangement of numbers in a square grid so that each horizontal, vertical and diagonal line of numbers adds up to the same total, called <b>the magic constant</b>. The smallest magic square (apart from a box with the figure 1 in it) has three squares on each side and the magic constant is 15:<br />
</p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjefuEKgq31PvlnCcam6aycgZS6BTQ3l6d0phBXDoBzGElYlyT0TjwXeoJpN68-LjfbUJhaLIaTdrFZGFNvfZgZ8qFPZV9Lwbljcndj7Tu568Zo8BaoOv6eLHFYBmUfz3A-MjKM/s1200/1200px-Magicsquareexample.svg.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="933" data-original-width="1200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjefuEKgq31PvlnCcam6aycgZS6BTQ3l6d0phBXDoBzGElYlyT0TjwXeoJpN68-LjfbUJhaLIaTdrFZGFNvfZgZ8qFPZV9Lwbljcndj7Tu568Zo8BaoOv6eLHFYBmUfz3A-MjKM/s320/1200px-Magicsquareexample.svg.png" width="320" /> </a></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"> </div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">This is known as the <b>Lo Shu square</b> after a Chinese legend recorded as
early as 650 BC. This tells how villagers tried to appease the spirit of
the flooding river Lo and a turtle came out of the water with markings
on its back that depicted the magic square. The pattern acquired
ritualistic or talismanic properties for the local people.</div><div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;"> <br /></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"> <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgDYt1IYC-o0NhWWVn-1_gTvbTog7Lj8WD57Evn2w6rvYo6pv5JrznMjlVZoLhrZAAsyy4Sh0PDeW4VspGBmZjQOEI6bfOziIVkpfkRYlCsEJ79ybZ9cExe978nlLMPCmuDcSl/s645/image133.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="251" data-original-width="645" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjgDYt1IYC-o0NhWWVn-1_gTvbTog7Lj8WD57Evn2w6rvYo6pv5JrznMjlVZoLhrZAAsyy4Sh0PDeW4VspGBmZjQOEI6bfOziIVkpfkRYlCsEJ79ybZ9cExe978nlLMPCmuDcSl/s320/image133.jpg" width="320" /></a></div></div><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div><b>Cuadrados mágicos</b><p style="text-align: justify;">Un
cuadrado mágico es una disposición de números en una tabla cuadrada de
forma que cada línea horizontal, vertical o diagonal de números suman el
mismo resultado, llamado <b>constante mágica</b>. El cuadrado mágico más
pequeño (aparte de una caja con el dígito 1 en ella) tiene tres
cuadrados por cada lado y su constante mágica es 15.</p><div style="text-align: justify;">Este
es conocido como el cuadrado <b>Lo Shu</b>, por una leyenda china cuyo registro se remonta al 650 a. de C. Esta leyenda nos cuenta cómo los
aldeanos trataron de aplacar el espíritu del desbordado río Lo, y una
tortuga salió del agua con marcas sobre su espalda que representaban el
cuadrado mágico. El modelo adquirió propiedades ritualísticas y
talismánicas para la población local.</div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;"> </div><div style="text-align: justify;">Nota: el texto en inglés ha sido extraído de <i>The Story of Mathematics</i>, de Anne Rooney.</div>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-84537515735936145932021-05-08T08:00:00.001+02:002021-05-08T08:00:00.218+02:00[El Problema de la Semana] Hacia las seis<p>¿Tenéis un reloj analógico a mano? Pues idlo preparando:<br /></p><p style="text-align: justify;"><i>Si nos fijamos en la hora que marca el reloj, a la aguja horaria le falta el triple de tiempo en llegar a las 6 que a la aguja de los minutos. <br /><br />¿Qué hora marca el reloj? </i><br /><br />Para la solución no hace falta girar las manecillas del reloj, sino la rueda del ratón.</p><p style="text-align: justify;"><br /></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA8KlHN6y80cuPKROYPsE2_qz-s7AmAMmqq2B0Ah-xgSFipx_U_jmVNaDjMwmw6x-GQZoZzYi5NOgvINWDAqxmMaF2xnyl_p9KCMXgZLZg989zNFwFA44I3vROOaMTDg60XEVx/s1200/Clock_Paris-Orleans%252C_Gare_d%2527Orsay%252C_2011.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="900" data-original-width="1200" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA8KlHN6y80cuPKROYPsE2_qz-s7AmAMmqq2B0Ah-xgSFipx_U_jmVNaDjMwmw6x-GQZoZzYi5NOgvINWDAqxmMaF2xnyl_p9KCMXgZLZg989zNFwFA44I3vROOaMTDg60XEVx/w640-h480/Clock_Paris-Orleans%252C_Gare_d%2527Orsay%252C_2011.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Esta imagen es de un bonito reloj que se encuentra en París, en el actual <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Mus%C3%A9e_d%27Orsay" target="_blank">Museo d'Orsay</a>. El museo fue una estación de trenes, y uno de sus ferrocarriles era el que hacía el trayecto París-Orleans. La llegada del transporte por ferrocarril en el siglo XIX popularizó los relojes y trajo el establecimiento de un horario común en todas las ciudades y pueblos de cada nación. Hasta ese momento, cada ciudad y pueblo tenía su hora propia, ligada a la hora solar, lo cual suponía una enorme dificultad para calcular los horarios de salida y llegada de los trenes.<br /></td></tr></tbody></table><p style="text-align: justify;"><br /><b>SOLUCIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">Para resolver el problema hay que pensar que la aguja horaria estará en las 6 cuando sean las 6 en punto, mientras que la aguja de los minutos estará en las 6 cuando sea "la hora que sea y media". Es fácil darse cuenta que esa "hora que sea y media" debe ser las 5 y media, <b>pues la aguja de los minutos no puede alejarse de las 6 más de una hora</b>. Luego la hora que marca el reloj será antes de las cinco y media, lo suficiente para que a la aguja horaria le falte el triple de tiempo en llegar a las 6 que a la de los minutos en llegar a las cinco y media.</p><p style="text-align: justify;">Un cálculo mental inmediato nos lleva a que <b>la hora que marca el reloj debe ser las 5:15</b>. De ese modo, faltarán 15 minutos para que sean las 5 y media, y 45 minutos (el triple de tiempo) para que sean las 6 en punto.</p><p style="text-align: justify;">Es más sencillo darse cuenta mentalmente de la situación que plantearla con una ecuación, pero en este caso se podría plantear la ecuación siguiente:<br /></p><p style="text-align: justify;">6 − x = 3 · (5'5 − x)</p><p style="text-align: justify;">La resolvemos:</p><p style="text-align: justify;">6 − x = 16'5 − 3x</p><p style="text-align: justify;">2x = 10'5</p><p style="text-align: justify;">x = 5'25</p><p style="text-align: justify;">La respuesta es 5'25, es decir, 5 horas y 0'25 de hora, o lo que es lo mismo, <b>5 horas y cuarto</b>, la misma solución que nuestro cálculo mental.<br /> <br />Nota: este problema ha sido adaptado del libro <i>Enigmas para Darle al Coco</i>, de Àngels Navarro.</p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-17360802924942390212021-05-05T08:00:00.001+02:002021-05-05T08:00:00.195+02:00John Napier<p class="MsoBodyTextIndent" style="margin-left: 11.35pt; text-align: justify;"><b>John Napier (1550-1617) </b><br /></p><p class="MsoBodyTextIndent" style="margin-left: 11.35pt; text-align: justify;">John Napier was a Scottish mathematician and eighth Laird of Merchiston. He entered the University of St Andrews at the age of 13, but left without a degree. He is best known as <b>the inventor of logarithms</b> and another calculating device called '<i>Napier's bones</i>'. He began working on logarithms around 1594 and published his treatise, <b><i>Description of the Marvelous Canon of Logarithms</i></b>, in 1614. Napier's bones comprised a system of small rods used for calculating; they were the forerunner of the slide rule.</p><p class="MsoBodyTextIndent" style="margin-left: 11.35pt; text-align: justify;">Napier was also <b>an inventor of artillery</b>, and suggested to James VI of Scotland <b>something like a tank</b> – a metal chariot with holes from which small bore shot could be fire. He is known, too, as the <b>first person to use the dot as a decimal point</b> separating the parts of a decimal number – his logarithmics tables are the first document to use the decimal point in the modern style.</p><br /><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvIOvDoOXGpWQeYW1eZIeSDOG2nWXGcZ90AwC0ElvoQBEjZPFo7kiNJiZSPZYlbi1Xc6PkgaWSWtJpt17RvTumFAvowoel4_WDKw7TTaax9OTntTkQdeY_G-5wVE8JoawbEqxE/s802/napiers+bones.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="576" data-original-width="802" height="460" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvIOvDoOXGpWQeYW1eZIeSDOG2nWXGcZ90AwC0ElvoQBEjZPFo7kiNJiZSPZYlbi1Xc6PkgaWSWtJpt17RvTumFAvowoel4_WDKw7TTaax9OTntTkQdeY_G-5wVE8JoawbEqxE/w640-h460/napiers+bones.jpg" width="640" /></a><br /></div><p style="text-align: justify;"><b>John Napier (1550-1617) </b><br /><br />John Napier fue un matemático escocés y el octavo señor (*) de Merchiston. Ingresó en la Universidad de San Andrews a la edad de 13 años, pero la abandonó sin llegar a graduarse. Es conocido como <b>el inventor de los logaritmos</b> y de otro dispositivo llamado "<i>huesos de Napier</i>". Comenzó a trabajar en los logaritmos alrededor de 1594 y publicó su tratado, <b><i>Descripción del Maravilloso Canon de los Logaritmos</i></b>, en 1614. Los huesos de Napier incluyen un sistema de varillas que se usan para calcular; éstas fueron las precursoras de la regla de cálculo.</p><p style="text-align: justify;">Napier
también fue un <b>inventor de artillería</b>, y sugirió a Jaime VI de Escocia
algo <b>parecido a un tanque</b> - un carro de metal con agujeros por los que
se pudieran disparar armas de pequeño calibre. También es conocido por
ser <b>la primera persona en usar el punto como punto decimal</b> que separa
las partes de un número decimal - sus tablas logarítmicas son el primer
documento en usar el punto decimal al estilo moderno.</p><p style="text-align: justify;"><br />(*) <i>laird</i> es un título escocés que equivale a terrateniente o propietario de una gran cantidad de tierras.</p><p style="text-align: justify;">Nota: el texto en inglés ha sido extraído de <i>The Story of Mathematics</i>, de Anne Roone.
</p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-31530359.post-44404094546721174882021-05-01T08:00:00.026+02:002021-05-01T08:00:00.203+02:00[El Problema de la Semana] La combinación secreta<p style="text-align: justify;">En el problema de hoy tratamos de abrir una caja fuerte:</p><p style="text-align: justify;"><i>En una casa abandonada hemos encontrado una vieja caja fuerte cerrada. La cerradura se compone de cuatro rodillos, y en cada uno de ellos están 24 letras del alfabeto. Los rodillos han de combinarse de tal manera que formen una determinada palabra desconocida. Como queremos abrir la caja sin forzarla, hemos decidido ir probando con dichas letras todas las combinaciones posibles. Para probar cada combinación se invierten 6 segundos. Disponemos del fin de semana para encontrar la combinación correcta. <br /></i><br /> <i>¿Tendremos suficiente tiempo? </i><br /><br /> Abrimos la caja más abajo de la imagen.</p><p style="text-align: justify;"></p><p style="text-align: justify;"><b></b></p><table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><tbody><tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh04wrTOdU2uUxExX7GNfV09xXZchvbMZEQag7E44N3Z_X1xEuYoEtL8ClXG2NZT3GkiGCBx81owSJLP0EIvZGNY5vd_5k4o7spXmqEbO9QQgu-Ihr0ig-rtA2fHkf6JiMMiqSl/s2048/combinaci%25C3%25B3n.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1536" data-original-width="2048" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh04wrTOdU2uUxExX7GNfV09xXZchvbMZEQag7E44N3Z_X1xEuYoEtL8ClXG2NZT3GkiGCBx81owSJLP0EIvZGNY5vd_5k4o7spXmqEbO9QQgu-Ihr0ig-rtA2fHkf6JiMMiqSl/w640-h480/combinaci%25C3%25B3n.jpg" width="640" /></a></td></tr><tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Aquí vemos el rodillo en una cerradura de una antigua caja fuerte. La imagen ha sido sacada de <a href="https://www.lockpicking101.com/viewtopic.php?f=9&t=56063" target="_blank">este foro</a>. El rodillo tiene las 26 letras del alfabeto inglés. En el mensaje dejado en el foro, la persona que publica la imagen, un tal Cibarius, comenta: "<i>Hace algunos meses un amigo compró una licorería más abajo de donde vivo, y en el negocio apareció esta vieja caja fuerte. Tiene una cerradura con combinación de 26 letras, y mi amigo se pregunta si habrá alguna forma de abrirla. No sabemos nada de la combinación. He pensado en publicarlo aquí para ver si avanzamos en conseguir abrirla. No sé nada sobre estetoscopios ni como abordar la tarea, ¡cualquier consejo sería estupendo!</i>"<br /></td></tr></tbody></table><b> <br /></b><p></p><p style="text-align: justify;"><b>SOLUCIÓN:</b></p><p style="text-align: justify;">Conforme vamos probando con los rodillos, por "palabra" no entenderemos solo algo que tenga un significado, como "casa", sino también cualquier variación aunque no signifique nada, como "xaqt", o incluso con letras repetidas, como "bbbf". Para probar solo palabras con significado deberíamos tener un buen diccionario, e incluso así debemos debemos contar con que el que ha puesto la combinación tenga como "palabra" algo que no figure en los diccionarios.</p><p style="text-align: justify;">Así, por tanto, tenemos que ir probando todas y cada una de las variaciones de 4 letras que podemos formar con las 24 letras del alfabeto que hay en los rodillos. Preferimos, por razones clásicas, llamarles <b><i>variaciones</i></b>, en lugar de <i><b>combinaciones</b></i>, que es el término más corriente, concretamente se trata del cálculo de <b>variaciones con repetición</b>.</p><p style="text-align: justify;">¿Cuántas variaciones tenemos? Esto es bastante fácil de calcular, basta multiplicar:</p><p style="text-align: justify;">24 · 24 · 24 · 24 = 331776 variaciones</p><p style="text-align: justify;">Para probar cada variación gastamos 6 segundos, luego el número de segundos que necesitamos para probar todas y cada una de ellas son:<br /></p><p style="text-align: justify;">331776 · 6 = 1990656 segundos</p><p style="text-align: justify;">Una hora son 3600 segundos, luego tenemos que gastar:</p><p style="text-align: justify;">1990656 : 3600 = 552.96 horas = 552 horas, 57 minutos, 36 segundos<br /></p><p style="text-align: justify;">Si esto lo pasamos a días, <br /><br /> 552.96 : 24 = 23.04 días = <b>23 días, 0 horas, 57 minutos 36 segundos</b></p><p style="text-align: justify;">Es evidente que <b>con un fin de semana no tenemos tiempo suficiente para probar todas las combinaciones</b>, aunque estemos probando incansablemente, incluso sin dormir por la noche.</p><p style="text-align: justify;">Entonces, <b>que acertemos la combinación durante el fin de semana es cuestión de suerte y de probabilidades</b>.</p><p style="text-align: justify;">Calcular la probabilidad que tenemos de acertar la combinación de la caja fuerte es bastante sencillo: basta dividir los casos favorables entre los casos posibles. Si consideramos el fin de semana como 2 días completos exactos, entonces tenemos 48 horas para probar combinaciones contando con que no paremos a dormir ni a nada:<br /></p><p style="text-align: justify;">48 horas = 48 · 3600 = 172800 segundos</p><p style="text-align: justify;">Como en cada variación invertimos 6 segundos:</p><p style="text-align: justify;">172800 : 6 = 28800 variaciones </p><p style="text-align: justify;">La probabilidad de que alguna de ellas sea la buscada es de:</p><p style="text-align: justify;">28800 : 331776 = 0.0868 aproximadamente.</p><p style="text-align: justify;">Es decir, <b>tenemos una probabilidad de 8.68%, menos de un 9%, de acertar la combinación de la caja fuerte</b>.<br /></p><p style="text-align: justify;">Notas:</p><p style="text-align: justify;">Cuando se dice que los rodillos tienen 24 letras del alfabeto, hay que tener en cuenta que no tiene el alfabeto completo. El alfabeto español tiene 27 letras. El alfabeto inglés tiene 26 (las mismas que el español menos la Ñ). Es probable que al elegir las 24 letras que irán en los rodillos de la caja fuerte hayan quedado fuera la Ñ (porque es exclusivamente española), la Q (porque se puede confundir con la O), y otra más, quizás la W.</p><p style="text-align: justify;">Este problema ha sido adaptado del libro <i>Álgebra Recreativa</i>, de Yakob Perelman.</p>Paulino Valderas Braojoshttp://www.blogger.com/profile/15877733973832966180noreply@blogger.com0