[El Problema de la Semana] Cuadrados correlativos

Aquí tenemos otro problema de los que en su momento planteamos a los grumetes y luego publicamos en doDK:

Obsérvese las siguientes igualdades (se pueden comprobar que son ciertas):

3² + 4² = 5²

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²

Como ya se habrá dado cuenta, en cada igualdad los números van correlativos. ¿Sería capaz de encontrar otra igualdad como las anteriores pero con cinco sumandos en el primer término y cuatro en el segundo? Es decir, buscar una expresión:

a² + b² + c² + d² + e² = f² + g² + h² + i²

siendo a, b, c, d, e, f, g, h, i, números enteros consecutivos.

Abajo tenemos una imagen ilustrativa, y más abajo... ¡cuidado! ¡la solución!

Los números buscados son:

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²

Este problema de los cuadrados correlativos se puede resolver por tanteo, pero también se puede resolver planteando una ecuación: llamamos x − 4, x − 3, x − 2, x − 1, x a los números a la izquierda del igual, y x + 1, x + 2, x + 3, x + 4 a los que están a la derecha, y tendríamos la ecuación de segundo grado:

(x − 4)² + (x − 3)² + (x − 2)² + (x − 1)² + x² = (x + 1)² + (x + 2)² + (x + 3)² + (x + 4)²

Si desarrollamos los binomios y resolvemos la ecuación, nos encontramos con la solución x = 40, de la cual se deducen los nueve números consecutivos, pero también aparece otra, la x = 0, con lo cual, además de la que tenemos arriba, también podemos contar con la igualdad:

(−4)² + (−3)² + (−2)² + (−1)² + 0² = 1² + 2² + 3² + 4²

Si en el problema no se especifica que los números sean positivos, esta última solución también se debe considerar válida.

Nota: la primera de todas las igualdades, 3² + 4² = 5², es una famosa terna pitagórica. Para más detalles, leer el artículo de este blog 3 - 4 - 5.