[El Problema de la Semana] Cuadrados correlativos

Aquí tenemos otro problema de los que en su momento planteamos a los grumetes y luego publicamos en doDK:

Obsérvese las siguientes igualdades (se pueden comprobar que son ciertas):
32 + 42 = 52
102 + 112 + 122 = 132 + 142
212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272
Como ya se habrá dado cuenta, en cada igualdad los números van correlativos. ¿Sería capaz de encontrar otra igualdad como las anteriores pero con cinco sumandos en el primer término y cuatro en el segundo? Es decir, buscar una expresión:
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = f2 + g2 + h2 + i2
siendo a, b, c, d, e, f, g, h, i, números enteros consecutivos.

Abajo tenemos una imagen ilustrativa, y más abajo... ¡cuidado! ¡la solución!




Los números buscados son:
362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442
Este problema de los cuadrados correlativos se puede resolver por tanteo, pero también se puede resolver planteando una ecuación: llamamos x − 4, x − 3, x − 2, x − 1, x a los números a la izquierda del igual, y x + 1, x + 2, x + 3, x + 4 a los que están a la derecha, y tendríamos la ecuación de segundo grado:
(x − 4)2 + (x − 3)2 + (x − 2)2 + (x − 1)2 + x2 = (x + 1)2 + (x + 2)2 + (x + 3)2 + (x + 4)2
Si desarrollamos los binomios y resolvemos la ecuación, nos encontramos con la solución x = 40, de la cual se deducen los nueve números consecutivos, pero también aparece otra, la x = 0, con lo cual, además de la que tenemos arriba, también podemos contar con la igualdad:
(4)2 + (3)2 + (2)2 + (1)2 + 02 = 12 + 22 + 32 + 42
Si en el problema no se especifica que los números sean positivos, esta última solución también se debe considerar válida.

Nota: la primera de todas las igualdades, 32 + 42 = 52, es una famosa terna pitagórica. Para más detalles, leer el artículo de este blog 3 - 4 - 5.

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