26.7.09

Entrando en la habitación de Fermat

Cuaderno de bitácora: hace ya varios meses que vi la película La Habitación de Fermat. Me gustó mucho y sólo puedo hacer comentarios elogiosos sobre la misma. En primer lugar, sorprende agradablemente encontrar este tipo de películas en el cine español. Es una de las pocas que utiliza las matemáticas como eje central de su argumento, y lo hace con suma brillantez, mezclando campos tan diferentes como la historia de las matemáticas, los acertijos de las matemáticas recreativas, el ambiente de investigación universitaria, y hasta un problema clásico sin solución hasta la fecha, como es la demostración de la Conjetura de Goldbach. Sabe crear una historia de suspense muy interesante con pocos elementos pero perfectamente aprovechados. Introduce personajes que captan la atención del espectador, personajes en los que muchos de nosotros podemos vernos reflejados. Y no necesita recurrir a obscenidades ni violencia gratuita para contarnos su historia. Y además dura menos de 90 minutos, no alarga su metraje innecesariamente como hacen muchas otras, especialmente las que vienen de Hollywood.


Aprovechando la aparición de esta película, se la hemos recomendado a los grumetes, los cuales, tras verla, han manifestado unánimemente opiniones muy favorables sobre ella. También nos ha servido para conocer algunos puntos históricos interesantes que ya comentaremos en próximas entradas.

La película, como hemos mencionado, presenta acertijos y problemas que los protagonistas han de resolver presionados por un tiempo que se acaba. La mayoría de los acertijos que aparecen en la película son ya conocidos por los matenavegantes, aparecen en libros y revistas como pasatiempos matemáticos y luego circulan entre los aficionados, que se los cuentan unos a otros para poner a prueba el ingenio. En nuestro Barco Escuela hemos propuesto alguno que otro como Problema de la Semana para que lo resolvieran los grumetes, mucho antes de que aparecieran en la película.

A continuación recogemos los enunciados de casi todos los problemas propuestos en La Habitación de Fermat. El que quiera conocer la solución, en el caso de que no sea capaz de encontrarla por sí mismo, sólo tiene que ver el film, que es, por si no ha quedado claro todavía, altamente recomendable, o bien mirar más abajo, donde se pone una lista de todas las soluciones.

1. ¿En qué orden están los siguientes números? 5 - 4 - 2 - 9 - 8 - 6 - 7 - 3 - 1

2. Un pastor que lleva una oveja, un lobo y una col, quiere cruzar un río. Para ello dispone de una barca en la que sólo caben dos, el pastor y algo más. Pero al cruzar con la barca, si deja solos al lobo con la oveja, el lobo se comerá a la oveja, y si deja a solas la oveja con la col, la oveja se comerá a la col. ¿Cómo debe proceder para cruzar el río y que lleguen todos sanos y salvos a la otra orilla?

3. Un pastelero recibe tres cajas opacas. Una caja contiene caramelos de menta, otra caramelos de anís, y otra un surtido de caramelos de menta y de anís. Las cajas tienen etiquetas que ponen "caramelos de menta" "caramelos de anís" o "mezclados", pero el pastelero recibe el aviso de que todas las cajas están mal etiquetadas. ¿Cuántos caramelos tendrá que sacar el pastelero como mínimo para verificar el contenido de las cajas?

4. ¿Cómo se descifra el siguiente código de 169 dígitos? 0000000000000 0011111111100 0111111111110 0111111111110 0110001000110 0110001000110 0111110111110 0111100011110 0011111111100 0001010101000 0001101011000 0001111111000 0000000000000

5. En el interior de una habitación herméticamente cerrada hay una bombilla, y fuera de la habitación hay tres interruptores. Sólo uno de los tres enciende la bombilla. Mientras la puerta esté cerrada puedes pulsar los interruptores las veces que quieras, pero al abrir la puerta debes decir cuál de los tres interruptores enciende la bombilla. ¿Cómo resolver el problema?

6. ¿Cómo se puede cronometrar un tiempo de nueve minutos utilizando dos relojes de arena, uno de cuatro minutos y otro de siete?

7. Un alumno le pregunta a un profesor "¿Qué edad tienen tus tres hijas?", y el profesor contesta "Si multiplicas sus edades da 36, y si las sumas da el número de tu casa"; "me falta un dato", contesta el alumno, y el profesor le responde "es verdad, la mayor toca el piano".

8. En la Tierra Falsa todos los habitantes mienten siempre. En la Tierra Cierta todos los habitantes siempre dicen la verdad. Un extranjero se encuentra atrapado en una habitación que tiene dos puertas. Una puerta lleva a la libertad y la otra no. Las puertas están custodiadas por un carcelero de la Tierra Falsa y otro de la Tierra Cierta. Para dar con la puerta que lleva a la libertad el extranjero puede hacer sólo una pregunta a uno de los dos carceleros, pero no sabe cuál es el de la Tierra Falsa y cuál el de la Tierra Cierta. ¿Qué pregunta formuló?

Comentarios: el acertijo número 2 es muy antiguo y conocido, aunque en la película los personajes reaccionan como si para ellos fuera algo nuevo. Uno de ellos, el apodado Pascal, pregunta con razón que "¿por qué un pastor iba a llevar a un lobo?". A mí me contaron este acertijo cuando era niño, y en aquella ocasión no me pareció extraño lo del lobo. Los niños no piensan tanto como los adultos y aceptan las cosas sin cuestionárselas.

El acertijo número 4 me ha recordado la época en la que empecé a introducirme en el mundo de la informática gracias al Spectrum 48K. Sobre ello escribiré en una próxima entrada.

La chica que se llama Oliva, comenta, cuando escucha el acertijo número 8, que lo vio en una película. En efecto, la película es, probablemente, Labyrinth, o en español Dentro del laberinto, protagonizada por Jennifer Connelly y David Bowie y dirigida por Jim Henson. Sobre ella también escribiremos en una próxima entrada.

Soluciones a los problemas-acertijos:

1. Los números están en orden alfabético según sus nombres en castellano.

2. En el primer viaje, toma a la oveja y se la lleva a la otra orilla, dejando al lobo con la col. Regresa solo. Toma ahora al lobo, por ejemplo, y se lo lleva a la otra orilla. Regresa con la oveja. Deja a la oveja en la primera orilla y toma la col, y se la lleva a la otra orilla, dejando a la col con el lobo. Regresa solo. Recoge a la oveja y la lleva a la otra orilla, terminando así el cruce del río.

3. Sólo tiene que sacar un caramelo de la caja que dice "mezclados", con esto es suficiente para averiguar el contenido de cada caja. Al estar todas las cajas mal etiquetadas, la caja con la etiqueta "mezclados" no puede ser de caramelos mezclados, y el caramelo que saque le dirá al pastelero si es la caja de los de anís o de los de menta. Supongamos que el caramelo que saca es de anís, entonces la caja que dice "mezclados" es la de los caramelos de anís, la caja que dice "caramelos de menta" tiene que tener la de los mezclados, y la que dice "caramelos de anís" es la de los caramelos de menta. Si el caramelo es de menta, la caja que dice "mezclados" es la de los de menta, la caja que dice "caramelos de anís" es la de los mezclados, y la que dice "caramelos de menta" es la de los de anís.

4. Hay que fijarse que 169 es el cuadrado de 13, por lo tanto los dígitos se pueden disponer en un cuadrado de 13 filas por 13 columnas (para hacerlo más evidente, he separado los grupos de 13 dígitos con un espacio entre cada uno de ellos). Si construimos el cuadrado dándoles a los dígitos diferentes colores según sean ceros o unos, obtenemos el siguiente gráfico:
0000000000000
0011111111100
0111111111110
0111111111110
0110001000110
0110001000110
0111110111110
0111100011110
0011111111100
0001010101000
0001101011000
0001111111000
0000000000000
Se puede apreciar que se trata del gráfico de una calavera.

5. Conectas el primer interruptor. Conectas el segundo interruptor durante un minuto y luego lo desconectas. Dejas sin tocar el tercer interruptor. Entras en la habitación. Si la bombilla está encendida, es el primer interruptor el que vale. Si la bombilla está apagada, la tocas; si está caliente, es el segundo interruptor el que vale. Si está apagada y fría, es el tercer interruptor el que vale.

6. Una forma de hacerlo: Das la vuelta a los dos relojes de arena. Cuando se acaba el de 4 minutos, quedan 3 minutos en el de 7. Das la vuelta al de 4 minutos. Cuando se acaba el de 7 minutos, queda 1 minuto en el de 4, y a partir de aquí empezamos el cronómetro. El minuto que queda pasa, damos la vuelta al reloj de 4 minutos, y cuando se acaba volvemos a darle la vuelta al de 4 minutos. La suma de 1+4+4 dan los 9 minutos que queríamos cronometrar.

7. Factorizamos 36 como producto de tres números. Se puede hacer de varias maneras:
(a) 36 = 1·1·36, suma de los factores: 38.
(b) 36 = 1·2·18, suma de los factores: 21.
(c) 36 = 1·3·12, suma de los factores: 16.
(d) 36 = 1·4·9, suma de los factores: 14.
(e) 36 = 1·6·6, suma de los factores: 13.
(f) 36 = 2·2·9, suma de los factores: 13.
(g) 36 = 2·3·6, suma de los factores: 11.
(h) 36 = 3·3·4, suma de los factores: 10.
Aunque nosotros no sabemos la suma de las edades, el alumno sí la conoce, pues es el número de la casa donde vive, pero el alumno dice que "le falta un dato", y esto significa que con la información del producto y de la suma no es suficiente. De aquí deducimos que la suma de las edades ha de ser 13, pues para esta suma hay dos posibilidades, la (e) y la (f), y esto justifica que al alumno le falten datos, pues no puede todavía decidir cuál es la respuesta. Como el profesor añade que "la mayor toca el piano", esto indica una de las hijas es mayor que las otras dos, luego la opción correcta es la (f) y las edades deben ser 2, 2 y 9 años, respectivamente, pues en la otra opción, la (e), dos hijas tendrían 6 años y serían ambas mayores a la otra de 1 año, y no habría "una mayor" que las demás.

8. La pregunta que debe formular a uno cualquiera de los carceleros debe ser algo así: "Si pregunto a tu compañero cuál es la puerta que conduce a la libertad, ¿cuál me señalará?". Según la respuesta que el carcelero le dé, el extranjero debe elegir siempre la puerta contraria. En efecto, si pregunta al carcelero de la Tierra Cierta, éste le dirá la verdad, y como su compañero miente, le dirá que su compañero le va a indicar la puerta falsa. Si pregunta al carcelero de la Tierra Falsa, éste le mentirá, y le dirá que su compañero, el que dice la verdad, le indicará la puerta falsa. Luego en ambos casos la respuesta que le darán al extranjero es la puerta que no lleva a la libertad.

25.7.09

CREPÚSCULO MATEMÁTICO (5)

Capítulo Quinto
Moli y Nete estaban preocupados. No con esa preocupación llena de pensamientos insistentes y proyectos de éxito improbable con la que solemos enredarnos los adultos, sino con esa inquietud permanente, ese peso emotivo que aprisiona el ánimo y llena el futuro de sombras oscuras e impenetrables, que algunas veces soportan los adolescentes.
Después del incidente de los libros regresaron a sus clases normales, pero eran el blanco de la expectación de sus compañeros. Entre clase y clase se reunieron en torno a ellos para preguntarles una y otra vez por el suceso. La mano mordida de Moli fue mirada y tocada muchas veces aquella mañana, hasta que la chica decidió metérsela en el bolsillo del pantalón y no volver a mostrarla a pesar de los insistentes ruegos. Durante el recreo, Moli y Nete se sentaron juntos en un rincón del patio, y permanecieron callados, rodeados de un nutrido grupo que no hacía más que aumentar en número y charlar del tema. Ante el silencio agobiado de los dos, Antolón, un muchacho rubio, alto y un poco gordo, de verborrea incansable, empezó a acaparar las conversaciones como si alguien le hubiera nombrado portavoz oficial, y describía con detalle a todo el que llegaba lo que había pasado en clase, aventurando de paso numerosas hipótesis y adornando el suceso con muchos matices exagerados que se apresuraron a correr de boca en boca por todo el instituto.
Moli aprovechó un momento de distracción para desaparecer en compañía de su mejor amiga, una muchacha bajita y delgada como ella, a la que llamaban Dori. Ambas se complementaban muy bien, pues aunque eran de un carácter parecido y un poco tímidas cuando estaban en grupo, Moli tenía la responsabilidad en los estudios que a Dori le faltaba, y ésta poseía ese grado de despreocupación e imaginación ensoñadora que su amiga buscaba cuando se veía abrumada por numerosos pensamientos conflictivos. La apariencia externa de Moli era la de una joven nerviosa y excesivamente preocupada a veces, mientras que Dori exhalaba tranquilidad e indiferencia por todos sus poros, y una especie de envoltura de felicidad serena y lejana que impedía a los que la trataban averiguar qué es lo que pensaba en cada momento.
Nete, el primo de Moli, se quedó por tanto solo en el patio del instituto, y pronto se vio medio aislado en una esquina del grupo de compañeros, una pandilla heterogénea y un poco bestia de muchachos gritones como Antolón, en la que Nete, callado aquel día, hacía de elemento discordante.
A lo largo de la cuarta hora, durante la clase de Ciencias Naturales, el alboroto fue calmándose, y en la quinta hora, cuando empezaba la clase de Inglés, un nuevo suceso contribuyó a que el asunto de los libros de matemáticas comenzara a pasar a segundo plano. El Jefe de Estudios pidió permiso a la profesora de Inglés para entrar en clase, y lo hizo acompañado de un muchacho alto y moreno, de mirada melancólica, vestido de negro, que presentó a todos como Anastasio Trapeces, el nuevo compañero de clase procedente de un intercambio de estudiantes griegos. El joven se sentó en primera fila, al lado de Magda, una muchacha rellenita y un poco acomplejada que ante la cercanía de aquel chico no pudo menos que ruborizarse intensamente. En efecto, la aparición de Anastasio creó un silencioso revuelo entre todas las alumnas de la clase, que se apresuraron a comentar entre susurros lo guapo que era, los ojos que tenía, lo elegante de su porte y manera de vestir, y otros detalles que aquí no mencionaremos.
El Jefe de Estudios insistió a la clase para que le dieran una cálida acogida y advirtió que el muchacho estaba todavía aprendiendo español, aunque progresaba rápidamente. Dicho esto se fue y dejó que la clase de Inglés continuara con toda la normalidad que era posible en aquellos momentos.
La sexta hora correspondía a la Tutoría, y cuando todos esperaban la aparición de su tutor, el profesor Espoz, se encontraron en su lugar a una profesora de guardia, que les informó que el profesor Espoz se había sentido indispuesto a lo largo de la mañana y se había tenido que marchar. Les pidió a los alumnos que aprovecharan la hora para estudiar y hacer las tareas pendientes, y su petición fue obedecida a medias. No pasaron más de cinco minutos cuando Anastasio se levantó de su mesa y le preguntó a la profesora con un español titubeante si se podía cambiar de sitio, a lo que la profesora de guardia accedió, y ante la mirada atenta de la clase, que no se perdía ni un solo movimiento del nuevo alumno, se dirigió hasta el asiento al lado de Moli, que también estaba vacío, y le pidió permiso a la joven para ocuparlo, cosa que ésta le concedió.
-¿Qué estudias? –preguntó Anastasio, y al decirlo no se le notaba ningún acento extranjero.
-Estoy haciendo las tareas de matemáticas –dijo Moli, que tenía delante el cuaderno de matemáticas, la calculadora y un libro prestado.
Anastasio abrió su cuaderno, totalmente en blanco, a estrenar, y empezó a copiar los ejercicios que venían en el libro. Escribía lentamente, y sus dedos agarraban el bolígrafo como si fuera la primera vez que lo hacían. Su letra imitaba la forma de las letras impresas en el libro. El enunciado del ejercicio que estaba copiando decía algo así: “En un huerto los almendros se han plantado siguiendo una forma ligeramente triangular. En la primera fila hay seis almendros plantados, en la segunda fila hay ocho almendros, en la tercera diez y así sucesivamente. En total hay veintisiete filas de almendros. ¿Cuántos almendros hay en la fila veintisiete? ¿Cuántos almendros hay en todo el huerto?”
Anastasio terminó de copiar el ejercicio en su cuaderno, y se quedó mirando a Moli mientras ésta tecleaba la calculadora.
-¿Puedo preguntar algo? –dijo el joven griego.
-Sí, dime.
-¿Qué es “almendros”?
-Un almendro es un árbol.
-¿Qué significa el problema? –preguntó señalando el enunciado.
-Significa que se van plantando los árboles así –y Moli dibujó seis círculos con un palito debajo de cada uno, como si fueran arbolitos en línea, y debajo hizo otros ocho arbolitos, y debajo otros diez. Anastasio asintió comprendiendo-. Vas haciendo filas hasta veintisiete, y te pregunta cuántos hay en la última fila y cuántos habrá en total.
-Es muy fácil. En la última fila hay cincuenta y ocho, y en total hay ochocientos sesenta y cuatro –contestó Anastasio.
-¿Ya lo has calculado? ¿Has aplicado las fórmulas de las progresiones aritméticas?
-No te entiendo bien.
-Digo que cómo lo has hecho.
-Los he contado.
Y con esta escueta respuesta Anastasio escribió en su cuaderno los dos números, en cifras grandes y destacadas debajo de los renglones del enunciado, y al lado de las dos cifras delineó unos símbolos con mucho cuidado y claridad. Cuando Moli los observó le parecieron dos pequeñas calaveras negras.
Moli continuó haciendo sus ejercicios. Precisamente estaba terminando el de los almendros, y aplicando las fórmulas del término general y de la suma de una progresión aritmética pudo comprobar que los dos resultados que Anastasio había escrito eran correctos, o por lo menos que coincidían con los que ella había obtenido. Continuó con los siguientes problemas, pero era evidente que su atención no estaba concentrada en las tareas, sino dividida en variados pensamientos sobre todo lo que estaba ocurriendo aquel día. Le dolía la mano del famoso y extraño mordisco, y la cercanía de aquel muchacho griego de mirada lánguida y perdida resultaba poco menos que inquietante. Observó su mano y notó que la atención de Anastasio también estaba dirigida al mismo punto.
-¿Puedo ver? –preguntó él.
La muchacha no supo que contestar, y ante su silencio Anastasio tomó su mano con soltura y confianza, como el que observa un objeto resistente que no teme que se parta ni se estropee, y dándole la vuelta varias veces estudió las señales de los dientes, catorce puntos rojizos en una hilera curvada perfecta.
-No hay sangre. Tienes suerte –dijo, y parecía que en su afirmación había un significado desconocido, como si supiera de qué estaba hablando, como si todo aquello fuera familiar para él.
Reaccionando como si despertara de un sueño, Moli retiró la mano y volvió a esconderla. Cada uno se enfrascó en sus tareas, y guardaron silencio durante un buen rato, más de la mitad de la clase. De vez en vez, Moli miraba disimuladamente el cuaderno de Anastasio, comprobando como el muchacho delineaba con perfección las letras de las palabras, en un estilo claro, limpio, copiando los enunciados de los ejercicios sistemáticamente, y luego, sin ninguna cuenta, sin ayuda de la calculadora, iba anotando directamente los resultados debajo, como si los supiera de memoria. Y al lado de cada número se entretenía en dibujar aquellos simbolitos de aspecto tétrico.
“Está claro que le gusta lo gótico” pensaba Moli, “como a mi prima la Sole. Por eso va vestido todo de negro, escribe con boli negro y dibuja calaveras. Pero es increíble cómo resuelve los ejercicios, todos mentalmente. En Grecia deben tener un nivel de matemáticas alucinante, o bien el muchacho es un crack con las cuentas.”
No se dio cuenta de que se había quedado embobada más de cinco minutos viendo cómo Anastasio escribía metódicamente, ni tampoco reaccionó cuando el chico la miró estudiando su cara. Por eso se llevó un sobresalto al escuchar su voz en un susurro cercano.
-Oye.
-Sí.
-No conozco Priego. ¿Quieres enseñármelo?
-Bueno. ¿Cuándo?
-Esta tarde. A las nueve.
-Eso es muy tarde para mi. Mis padres no me dejan salir entre semana a esas horas.
-¿A las ocho?
-Mejor a las siete. A las ocho es ya casi de noche, y como mucho puedo estar en la calle hasta las ocho y media.
-¿Dónde quedamos?
-¿Aquí en la puerta del Instituto?
-Vale, a las siete en la puerta del Instituto.
Por una extraña sincronía, la sirena del final de la clase sonó en ese preciso momento. Anastasio guardó rápidamente sus cosas en una especie de cartera anticuada y se marchó sin prestar atención a las miradas interesadas de los alumnos. Moli también era el centro de interés, pero tampoco quiso hacer caso a sus compañeros. Esperó simplemente a que su amiga Dori recogiera y seguidas por Nete salieron del aula de la forma más rápida y discreta posible.

[Aquí termina la muestra del relato Crepúsculo Matemático, que consta en total de 24 capítulos. Durante varios meses, los 24 capítulos han estado presentes en el blog, pero hemos decidido retirarlos de momento, pues estamos preparando una edición en papel, que saldrá muy pronto. En el futuro, además de poder comprarse el libro en papel, puede que se prepare una edición electrónica que será posible descargarse. Gracias por el interés]

¡El Matenavegante ya es un libro!

Tenemos la satisfacción de anunciar la reciente edición del primer libro del Matenavegante. Esta misma semana acaba de salir de la imprenta. En este libro hemos recogido las cincuenta primeras entradas de nuestro blog, y además una sección de artículos complementarios aparecidos en la web doDK. Sin embargo, el libro no consiste en una mera repetición (corta y pega) de lo ya publicado en Internet. Todos los artículos están revisados, corregidos, y muchos de ellos ampliados en detalle. Además se han completado con gran cantidad de notas y reseñas bibliográficas.


Aquellas personas que estén interesadas en adquirirlo se pueden dirigir a mi correo electrónico pvbsoft@yahoo.es, también a la Librería Juan de Mairena, en Lucena, Córdoba, o por correo electrónico a José Trapiello, jtrapi@telefonica.net, dueño de la librería y responsable de la editorial Juan de Mairena, que es la que se ha encargado de la publicación.
El libro consta de unas 248 páginas y está lleno de ilustraciones en blanco y negro. Tiene un tamaño de letra cómodo de leer y el papel es de gran calidad. La edición es muy pequeña, de momento, pero se trata de empezar por algo. Posiblemente haremos una presentación oficial del libro en Priego de Córdoba a final de septiembre o comienzos de octubre. Si todo va bien, puede que terminando este año se empiece a preparar un segundo libro, conteniendo las siguientes cincuenta entradas del blog.
Todos los comentarios y sugerencias que quieran hacer nuestros lectores con ánimo de ayudar, serán bien recibidos y tenidos en cuenta. Muchas gracias a todos.