26.12.20

[El Problema de la Semana] Los tres factoriales

Veamos este problema curioso e interesante:

Encontrar un número de tres cifras, A, B, C, tal que es igual a la suma de los factoriales de dichas tres cifras, es decir, si el número es ABC, entonces:

A! + B! + C! = ABC

La solución, debajo de la ilustración.


Esta ilustración muestra la Espiral de Teodoro, construida con triángulos rectángulos, cada triángulo formado por un cateto de longitud 1, el otro cateto de longitud raíz cuadrada de n, y la hipotenusa, de longitud raíz cuadrada de n+1.


Solución:

Empezamos recordando que el factorial de un número entero positivo es igual al producto de todos los números en descenso desde el número inicial hasta el 1. Además, el factorial 0! = 1 por definición. Así tenemos:

0! = 1

1! = 1

2! = 2 · 1 = 2

3! = 3 · 2 · 1 = 6

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24

5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120

6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720

7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040

8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320

9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362880

Podemos continuar la lista de factoriales, pero en el problema se nos habla de los dígitos de un número, con lo cual sólo nos interesan las cifras del 0 al 9. Como el número buscado ABC tiene solo tres dígitos, podemos descartar los dígitos 7, 8 y 9, cuyos factoriales dan números de más de tres cifras. También podemos descartar el 6, porque su factorial, 720, sumado a cualesquiera otros dos factoriales, daría un resultado que ya incluiría un dígito (7 u 8) que se ha descartado por lo elevado de su factorial.

Así, podemos restringir la búsqueda a los dígitos 0 al 5. El 5 debe estar incluido para que salga un número de tres cifras. También debe estar incluido el 1, pues el número que sale va a ser cien y pico. Probando rápidamente, es fácil encontrar que el dígito que falta es el 4, y así tenemos:

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

Ampliación: se puede plantear el mismo problema con un número de cinco cifras, es decir, encontrar un número de cinco dígitos, ABCDE, tal que:

A! + B! + C! + D! + E! = ABCDE

Dejamos al lector la tarea de resolverlo. (Pista: los dígitos no tienen por qué ser distintos, pueden estar repetidos)

Nota: este problema ha sido extraído del libro de Martin Gardner, Festival Mágico-Matemático, publicado por Alianza Editorial.

13.1.20

[El Problema de la Semana] Extraños divisores

Veamos:

Elige un número cualquiera de tres cifras y escríbelo dos veces seguidas para obtener un número de seis dígitos (por ejemplo 327, que se convierte en 327327). Puedes comprobar que el número que resulta es divisible por 7. Haz la división y comprueba que el cociente es divisible por 11. Haz de nuevo la división y comprueba que el cociente es divisible por 13.

¿Puedes explicar por qué ocurre esto con cualquier número que elijas? 

La solución, más abajo.

No se sabe quién fue el autor que compiló el libro de Las Mil y Una Noches y que tuvo la feliz idea de darle este sugerente título. El número 1001 parece querer significar "más de mil". Teniendo en cuenta que en la antigüedad se usaban números grandes redondos para expresar que la cantidad era enorme, mil y una noches nos sugieren "más de muchísimas", o "muchísimas y una más". Con esta ilustración estamos haciendo un spoiler de la solución, pues esta involucra al número 1001.


SOLUCIÓN:

Tomar un número de tres cifras cualquiera y escribirlo dos veces seguidas equivale a multiplicarlo por 1001, veámoslo con el ejemplo:

327327 = 327000 + 327 = 327 · 1000 + 327 = 327 · (1000 + 1) = 327 · 1001

Resulta que si descomponemos 1001 en factores primos, nos sale precisamente 7 · 11 · 13. Por consiguiente, 1001 se puede dividir por 7, por 11 o por 13, y por tanto, cualquier múltiplo de 1001, como el 327327, es divisible por 7, por 11 o por 13.

Nota: este problema ha sido extraído del libro Problemas a mí, de Fernando Corbalán y José María Gairín.