Veamos este problema curioso e interesante:
Encontrar un número de tres cifras, A, B, C, tal que es igual a la suma de los factoriales de dichas tres cifras, es decir, si el número es ABC, entonces:
A! + B! + C! = ABC
La solución, debajo de la ilustración.
 |
| Esta ilustración muestra la Espiral de Teodoro, construida con triángulos rectángulos, cada triángulo formado por un cateto de longitud 1, el otro cateto de longitud raíz cuadrada de n, y la hipotenusa, de longitud raíz cuadrada de n+1. |
Solución:
Empezamos recordando que el factorial de un número entero positivo es igual al producto de todos los números en descenso desde el número inicial hasta el 1. Además, el factorial 0! = 1 por definición. Así tenemos:
0! = 1
1! = 1
2! = 2 · 1 = 2
3! = 3 · 2 · 1 = 6
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40320
9! = 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 362880
Podemos continuar la lista de factoriales, pero en el problema se nos habla de los dígitos de un número, con lo cual sólo nos interesan las cifras del 0 al 9. Como el número buscado ABC tiene solo tres dígitos, podemos descartar los dígitos 7, 8 y 9, cuyos factoriales dan números de más de tres cifras. También podemos descartar el 6, porque su factorial, 720, sumado a cualesquiera otros dos factoriales, daría un resultado que ya incluiría un dígito (7 u 8) que se ha descartado por lo elevado de su factorial.
Así, podemos restringir la búsqueda a los dígitos 0 al 5. El 5 debe estar incluido para que salga un número de tres cifras. También debe estar incluido el 1, pues el número que sale va a ser cien y pico. Probando rápidamente, es fácil encontrar que el dígito que falta es el 4, y así tenemos:
1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145
Ampliación: se puede plantear el mismo problema con un número de cinco cifras, es decir, encontrar un número de cinco dígitos, ABCDE, tal que:
A! + B! + C! + D! + E! = ABCDE
Dejamos al lector la tarea de resolverlo. (Pista: los dígitos no tienen por qué ser distintos, pueden estar repetidos)
Nota: este problema ha sido extraído del libro de Martin Gardner, Festival Mágico-Matemático, publicado por Alianza Editorial.
