29.10.10

[El Problema de la Semana] Larga sucesión de sumas y restas

Un nuevo problema, bastante sencillo si sabemos enfocarlo adecuadamente.

En cierto libro nos ha aparecido una operación bastante larga: 

999 – 998 + 997 – 996 + 995 – 994 + … + 5 – 4 + 3 – 2 + 1 

Es decir, se trata de ir sumando y restando los números, en sucesión decreciente, desde el 999 hasta el 1, los impares se suman, los pares se restan. ¿Eres capaz de calcular esta operación?

La solución, como siempre, más abajo, así no hay que esperar para comprobar nuestras deducciones.

[Esta ilustración, encontrada mientras matenavegábamos buscando imágenes de sumas, ha sido extraída de esta página. Como puede verse, es una tabla en la que se exponen todas las sumas de dos cuadrados menores o iguales que 100. ¿Qué tiene esto de curioso? Fermat se dio cuenta de que estas sumas podían dar números compuestos y números primos, pero los primos obtenidos eran aquellos de la forma 4n+1, es decir, los que al dividirse por 4 dan de resto 1 (con la única excepción del 2, que es primo, es la suma de dos cuadrados y no da resto 1 al dividirse por 4). En la tabla van apareciendo todos los primos 4n+1 y ninguno de los primos 4n+3. Esto condujo a Fermat a enunciar el llamado Teorema de Navidad, nombre que se le da a veces porque se encuentra en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640]

Solución:

Aunque parezca una tontería, vamos a añadir a la suma el término cero, que no modifica para nada el resultado, y escribimos:

999 – 998 + 997 – 996 + 995 – 994 + … + 5 – 4 + 3 – 2 + 1 – 0

De esta manera podemos emparejar los números:

(999 – 998) + (997 – 996) + (995 – 994) + … + (5 – 4) + (3 – 2) + (1 – 0)

Cada pareja da el mismo resultado, 1, luego tenemos una larga suma de unos. ¿Cuántos unos hay? Teniendo en cuenta que los números van del 999 al 0, hay exactamente 1000 números, y por tanto hay 500 parejas. (El cero lo hemos añadido para poder emparejar y contar las parejas más fácilmente). Hay 500 parejas, cada una da 1, luego la suma es 500:

1 + 1 + 1 + … [500 veces] ... + 1 + 1 + 1 = 500.

Nota: este problema, ligeramente modificado, ha sido extraído del libro de texto de 4º ESO de la editorial Anaya.

8.10.10

Tutorial para resolver kakuros

Presentamos este tutorial, que es una traducción al español del que viene como animación flash en la página de la revista japonesa Nikoli.
El Kakuro es un pasatiempo numérico, de la familia del sudoku.
En el Kakuro se deben partir números en sumas de números más pequeños que se colocarán en las celdas correspondientes.

Las celdas blancas han de rellenarse con números del 1 al 9. Por ejemplo, en las celdas señaladas abajo, los números deben sumar 5, y en principio pueden venir en cualquier orden (podrían ser, por ejemplo, 1 y 4, 4 y 1, 2 y 3, 3 y 2).


En las celdas señaladas abajo, los números deben sumar 14.


Los números no se pueden repetir en celdas consecutivas. El siguiente ejemplo puede ser correcto:


Pero el siguiente ejemplo no lo es, porque no se deben repetir números en la suma:


En la siguiente figura, hay dos números 1, pero es correcto, porque no están en celdas consecutivas y no pertenecen a la misma suma:


Empecemos a resolver el kakuro. Fijémonos en la suma 4 de abajo a la derecha. Para obtener 4 sólo se puede hacer sumando 1 y 3, pero no sabemos en qué orden:


Pero si nos fijamos en el 3 que está a la derecha, sólo se puede obtener sumando 1 y 2, y los números se pueden colocar en dos órdenes posibles:


El número común a la suma del 4 y del 3 es 1, luego el 1 debe ir en la celda común a ambos:


Al colocar el 1 entonces ya se pueden rellenar las celdas que faltan:


Continuamos con las otra suma de 3 que hay en el centro. Hay dos posibilidades:


Pero de las dos posibilidades representadas, sólo es válida la de la izquierda, porque en la de la derecha el 2 se repetiría en la misma fila.


Ya podemos completar la suma 10. Hemos de tener en cuenta que cuatro casillas que sumen 10 sólo admiten los números 1, 2, 3 y 4. Como ya están colocados el 1 y el 2, basta completar con el 3 y el 4 adecuadamente para que no haya repetición en las columnas.


Ahora vamos a observar otro tipo de razonamiento. Fijémonos en la suma 6 de dos casillas, al centro a la izquierda, y en la suma 14, en columna, a la izquierda. Ambas sumas tienen una casilla en común.


La suma 6 en dos casillas se puede expresar de varias formas: 1 y 5, 2 y 4. Lo mismo pasa con el 14, que se puede descomponer en 5 y 9, ó en 6 y 8. Pero si en la casilla señalada hay un número igual o mayor que 6, no sería compatible con la suma 6, y si en la casilla señalada el número fuera igual o menor que 4, entonces para completar la suma de 14 tendríamos que tener 10 o más. Luego las siguientes dos posibilidades son erróneas:


El número de la casilla señalada debe ser, por tanto, un 5, para que así sea compatible con las dos sumas.


Siguiendo este tipo de razonamientos lógicos, se puede completar el kakuro de la única forma posible.


Para resolver los Kakuros es muy útil conocer la lista de sumas únicas. Por ejemplo, con dos celdas o casillas, el 3 sólo se puede obtener con 1 y 2, y el 4 con 1 y 3; además el 17 sólo se puede obtener con 8 y 9, y el 16 con 7 y 9. Con tres celdas, el 6 sólo se puede obtener con 1, 2 y 3, el 7 con 1, 2 y 4; además el 24 sólo se puede obtener con 7, 8 y 9, y el 23 con 6, 8 y 9. Una lista completa de todas las sumas únicas según el número de casillas está, por ejemplo, en esta dirección.
Este tutorial se puede ampliar más, pero cada persona, con práctica y desarrollando sus propios recursos lógicos debe ser capaz de ir enfrentándose a kakuros de nivel cada vez más avanzado. Una página recomendable para jugar al kakuro online es www.kakuro.com.

[El Problema de la Semana] Contando decimales

En el nuevo periplo de nuestro Barco Escuela, el primer problema de la semana ha sido el siguiente:

Algunos números pueden tener muchas cifras decimales, incluso infinitas. Considera el número decimal 

0’012345670123456701234567… 

Si te fijas verás que los decimales se van repitiendo en una sucesión muy fácil. Observa que la primera cifra decimal es un 0, la segunda un 1, la tercera un 2, etc., y si sigues contando, la cifra que está, por ejemplo, en el lugar décimo es un 1, y la cifra que está en el lugar vigésimo es un 3. 

¿Sabrías decir qué cifra decimal está en el lugar milésimo?

Colocamos la imagen ilustrativa a continuación, y después colocamos la solución.

[En la imagen podemos ver el Ojo de Horus, dividido en partes, cada una de ellas correspondiente a una fracción. Los egipcios no usaban nuestro sistema indo-arábigo posicional, y para representar cantidades más pequeñas que la unidad utilizaban fracciones unitarias, es decir, con numerador igual a uno. Eran capaces de expresar cualquier cantidad fraccionaria sumando fracciones unitarias. La imagen y mucha más información sobre las fracciones egipcias, se pueden encontrar en la página correspondiente de la wikipedia]


Solución:

Se ve claramente que los decimales se repiten de ocho en ocho, y además que el 7 está en todos los puestos múltiplos de ocho: el octavo decimal es 7, el decimosexto decimal es 7, el vigésimo cuarto vuelve a ser 7, etc.

Coincidentemente, mil es múltiplo de ocho, luego el decimal que está en el puesto milésimo es el 7.

Nota: el número del que trata nuestro problema es un decimal infinito periódico puro. Como cualquier aprendiz de matenavegante debe saber, este número tiene una expresión en forma de fracción. En este caso la fracción es

Esta fracción es irreducible, porque numerador y denominador no tienen factores primos en común. Concretamente, 1.234.567 = 127 · 9721, y 99.999.999 = 3 · 3 · 11 · 73 · 101 · 137. Las factorizaciones las hemos hecho con la calculadora de esta página. Sin embargo, en esa misma página hay otra calculadora que pasa de decimal infinito periódico a fracción, pero que no funciona bien.


1.10.10

[El Problema de la Semana] Comparando rectángulos

Retomamos la agradable tarea de proponer el problema de la semana. El que tenemos hoy es en realidad el último que pusimos el curso pasado a los grumetes:

Observa los dos rectángulos de la figura. ¿Cuál de los dos ocupa mayor superficie, el ABCD ó el BEFD? Razona tu respuesta.


Por supuesto, para no hacer esperar a nuestro amado público, la respuesta al problema está más abajo de la ilustración.


[Esta fotografía matemática está tomada de la will's web. De momento, ignoro el lugar donde ha sido tomada la foto, pero me gustaría averiguarlo; hay una buena colección de ortoedros en él, con sus correspondientes rectángulos que la perspectiva ha convertido en simples paralelogramos]

Solución:

En primer lugar, si nos fijamos detenidamente en la figura, alguien podría argumentar que ABCD es un rectángulo, pero que BEFD no lo es, porque sus ángulos no son rectos. El gráfico lo hice con el programa Paint de Windows o con otro programa similar, y en efecto, el BEFD no me salió con los ángulos tan rectos como pretendía. Pero este detalle no influye en el problema. O bien podemos dibujar BEFD correctamente para que sea un rectángulo, o bien podemos suponer que es un rectángulo, o bien podemos ignorar completamente el gráfico; en cualquier caso la solución va a ser la misma: La superficie de ABCD es la misma que la de BEFD.

El razonamiento es muy sencillo: Ambos rectángulos tienen un triángulo en común, el BCD. Luego nos basta demostrar que los restos de área de cada uno son iguales, es decir, que el área ABD es igual a la suma de las áreas BEC + DCF.

Esto es fácil, basta trazar un segmento paralelo a BE por el punto C para que corte al segmento BD en el punto G, tal como se ve en la siguiente figura:


Se puede observar que BECG es un paralelogramo, y por tanto, por razones de paralelismo de sus lados,  el triángulo BEC es igual al triángulo BCG. De la misma manera, GCFD es otro paralelogramo, y los triángulos GCD y DCF son iguales. Por tanto BEC + DCF = BCG + GCD, pero esta última suma es igual al triángulo BCD.

Como ABCD es un rectángulo, los triángulos BCD y ABD son iguales, y de aquí concluimos lo que necesitábamos demostrar: ABD = BEC + DCF.

Notas:

1) El razonamiento geométrico que hemos utilizado es un proceso lógico que se viene usando en la geometría desde los tiempos de Euclides. Es independiente de las medidas de los lados, no tiene conexión con ninguna operación algebraica, emplea solamente propiedades geométricas como la del paralelismo y la semejanza de triángulos. Hoy en día no se suele enseñar este tipo de razonamientos a los grumetes, y es muy difícil que ellos, motu proprio, lo empleen para resolver el problema. En realidad, los grumetes solucionaron el problema midiendo los lados de los rectángulos sobre el folio donde estaban impresos. Como quiera que las medidas nunca van a ser exactas por las imperfecciones del dibujo y la falta de precisión de las reglas usadas para medir, las áreas de los rectángulos les salían distintas, y esa es la respuesta que me dieron. Ni uno solo de los grumetes halló la respuesta correcta.

2) He tenido un problema lingüístico al decir el área, pues me había entrado la duda de que últimamente se hubiera aceptado decir la área, ya que área es un sustantivo femenino. Gracias a la Real Academia Española lo he resuelto: se ha de decir el área, aunque con el artículo indefinido un, una lo normal es decir un área, pero no está incorrecto decir una área.

3) Como han pasado varios meses desde que propuse este problema y he sido trasladado a otro Barco Escuela, no recuerdo de dónde lo saqué, pero creo que fue de un libro de texto de la editorial Anaya.