8.4.09

Mensajes cifrados (2): la clave URODINELAS


Como ya dije en la entrada anterior, siempre me interesaron los mensajes cifrados, la manera de escribir en forma secreta para que nadie pueda enterarse de lo escrito salvo que conozca la clave.
Una de las maneras más sencillas de cifrar un mensaje es ir sustituyendo cada letra por otra cosa, otra letra por ejemplo, o algún símbolo diferente. Se trata de definir una correspondencia biunívoca entre el conjunto de las letras de nuestro alfabeto y otro conjunto, que puede ser el de las propias letras, o un conjunto de símbolos o de números, etc.
Si la correspondencia es biunívoca quiere decir que a cada letra de nuestro alfabeto le corresponde una y sólo una letra o símbolo, y a letras distintas le corresponden símbolos distintos.
En la siguiente imagen se puede ver un esquema de un par de ruedas alfabéticas concéntricas. Una puede girar respecto a la otra. Según el giro, se establece una correspondencia biunívoca o biyectiva entre las letras del mensaje original y las letras del mensaje cifrado. Éste es uno de los métodos más sencillos y más antiguos de cifrar mensajes.
Este tipo de cifrado es fácil de descubrir y comprender siempre que el mensaje sea lo suficientemente largo, mediante una distribución estadística. Así es como Sherlock Holmes descifra los mensajes que aparecen en el relato de Arthur Conan Doyle, Los Hombrecitos Danzantes, y también es el método usado en El Escarabajo de Oro, de Edgar Allan Poe. Basta contar la frecuencia con la que aparece cada símbolo en el texto cifrado, e ir correspondiendo los símbolos más frecuentes del texto con las letras más frecuentes del idioma en que está escrito el mensaje, por ejemplo, en español podrían ser la E, la A, la O, la S, etc. (Visitar esta página para ver la frecuencia de aparición de letras en castellano)
Pero ¿qué pasaría si ciframos los mensajes haciendo una correspondencia que no sea biunívoca entre los conjuntos? Ahí empiezan las complicaciones, y el texto se va haciendo cada vez más difícil de descifrar.
Cuando era adolescente se me ocurrió buscar un cifrado que cumpliera ciertas condiciones: quería que fuera rebuscado, diferente del de las correspondencias biunívocas como los de los relatos mencionados anteriormente y por tanto muy difícil de descifrar para el profano; también que fuera muy sencillo de recordar, que bastara una clave fácil y que al cifrar el texto se hiciera de forma rápida; por último, que al leerlo no pareciera un mensaje cifrado, sino que pareciera un idioma diferente, que incluso se pudiera leer en voz alta.
Entonces diseñé la clave URODINELAS. Voy a explicar a continuación en qué consiste:
-Cada consonante se sustituirá por una sílaba de dos letras, la primera es la misma consonante, la segunda es una vocal, elegida a nuestro gusto, pues sólo es de relleno.
-Cada vocal se sustituye por una consonante. ¿Cuál? ¡Para eso está el nombre de la clave: URODINELAS, es decir, la U se sustituye por la R, la O por la D, la I por la N, la E por la L, la A por la S.
Así, por ejemplo, la palabra cifra se convertiría en canferes, o en confiras, o en cenfirus (las vocales introducidas son aleatorias). Si me dan una palabra cifrada: melnasisjal, es fácil de descifrar sabiendo la clave: me equivale a m, l equivale a e, na equivale a n, si equivale a s, s equivale a a, ja equivale a j, l equivale a e. Resultado: melnasisjal = mensaje.
Pongo algunos ejemplos más para que se vean las transformaciones:

flor = filadre
número = narmelrod
navegante = nisvalgasnatul
página = pesgonnes
ordenador = dredalnisdadra
calendario = caslalnidesrand
"La travesía del océano es larga" = "Les teresvalsons dalla dcilsned lsa lesrugos"

Otras propiedades de nuestra clave:
  • Las vocales intercaladas son aleatorias, ya que sólo sirven para distinguir a las consonantes de las auténticas vocales. A las consonantes le podemos añadir las vocales que queramos, e incluso podemos añadir diptongos. Así, por ejemplo flor se convierte en filadre, o foludra, o fiuladra o faladria. Todas estas palabras cifradas equivalen a flor.
  • Las vocales también se pueden añadir al principio de la palabra sin cambiar la traducción de la misma. Así, ofiladre también se descifraría como flor, o bien apesgonnes como página.
  • Sustituir la U por la R, la O por la D, la I por la N, la E por la L, la A por la S, como indica el nombre URODINELAS, es sólo una de las multiples posibilidades. Podemos, por ejemplo, cambiar la clave a AFIMETOVUG, y en esta clave, la A se sustituye por la F, la I por la M, la E por la T, la O por la V, la U por la G. Cada uno puede diseñarse una clave según el gusto. En esta última clave, flor sería filavre, y página sería pefgovnef, por ejemplo. Mi elección de URODINELAS fue simplemente para que en el cifrado salieran palabras no muy difíciles de pronunciar.
  • Da lo mismo decir clave URODINELAS, que clave ELASINUROD, o incluso NISALERUDO. El nombre de la clave da el cifrado de las vocales por consonantes diferentes, y cada consonante va emparejada con su vocal equivalente. También es lo mismo clave AFIMETOVUG que OVAFIMUGET, o incluso TEMIFAGUVO.
Propongo a los lectores que descifren el siguiente texto, una cita de Pappus de Alejandría, matemático del siglo III y IV d. de C.:
LASSIE OSBELJOSSA, ILNO VINRETIERDO DOL URNAS CANLRUTIAS INNETORNCANDNA GOLDMELTERINCAS, SASBIALNA QUERL ALLIO HELXISGUDNAD ELSUO MASYODRO QUORL ILLA CORIORSDERESDOD YI QUERL PADDERAS CIDNETELNALRIO MUSSA MINLLIA CEADNA ALLO MAINSEMAD GASSETAD DIAL MASTUELRANSLIA.

7.4.09

Mensajes cifrados (1)

Cuaderno de bitácora: hace ya algún tiempo, en uno de los muchos puertos en los que atracamos, compré un libro editado en 1959 (este año cumple por tanto cincuenta años). Su título es Humor de Contrabando, y sus autores son Chumy Chúmez y Miguel de Salabert.
El libro tiene poco que ver con las matemáticas, es un libro humorístico, en el que se recogen esas casualidades, errores sin intención, despistes, que se dan en la vida real, en los periódicos, en las calles y los comercios, en los anuncios comerciales, etc. y que generan un chiste, algo gracioso y hasta hilarante lleno de espontaneidad. Con el tiempo se han editado varios libros de este tipo; son la versión impresa de los programas de zapping que hoy en día se han puesto tan de moda en la televisión y que recogen las curiosidades graciosas o sorprendentes que inesperadamente aparecen en la pequeña pantalla.

En el libro, por ejemplo, abundan los recortes de la prensa de aquellos años, en los que, por ejemplo se dice que "el vapor español Almadén llegó a Valencia con mil toneladas de península", "24 personas fallecieron en el descarrilamiento de un pesquero español", "de madrugada varias bandadas de nutrias estuvieron volando sobre Pamplona dando fuertes graznidos que despertaron a muchos vecinos", "el famoso escritor Jean Cocteau se encuentra gravemente enfermo a consecuencia de un ataque cardiocultivo de la aceituna", etc.
También hay coincidencias desafortunadas pero muy graciosas: un señor llamado Eroteides Cascajo que hace decoración con escayola y piedra artificial, un médico especialista en garganta, nariz y oídos cuyo nombre es José L. Dañino Suárez, un portal de una casa en donde al lado de la placa de un médico hay una placa de una funeraria, una calle en la que al lado de una consulta veterinaria hay una carnicería, un matadero de nombre La Piedad...
Hay dos citas que son interesantes. La primera dice: "los cocodrilos están infectando las alcantarillas de Nueva York. Fueron comprados cuando eran chiquititos para entretenimiento de los niños, pero después, las madres, temerosas, los arrojaron a las alcantarillas, y en ellas se han desarrollado en todo su tamaño". La reseña está publicada en el diario España de Tánger, el 16 de noviembre de 1958. Los cocodrilos de las alcantarillas de Nueva York es una leyenda urbana que tiene, por tanto, más de cincuenta años, y a pesar de ello yo la escuché como si fuera cierta hará unos quince o veinte años, y creo que aún colea de vez en cuando por ahí.
Otra cita es estremecedora: en el mismo diario España, de Tánger, en 1958 se recoge: "en una escuela de Pleasant Hill (Misouri) se han establecido nuevas reglas de disciplina en vista de la actitud díscola de los alumnos. Una dice: 'Se prohibe escupir a los maestros' ".
Pero en relación al tema que nos ocupa hoy, en la parte final del libro hay algunos anuncios por palabras curiosos y extravagantes, la mayoría de ellos de personas que se comunican con sus amantes enviándoles mensajes románticos y apasionados. Uno de ellos dice: ""Parece un siglo que no te veo; hay momentos de verdadera desesperación y que tiemblo al pensar estás tan lejos de mí; que quiero verte y hablarte y no puedo y sin saber hasta cuando; es horrible; otras veces es una tristeza que me muero al verme tan solo, pero completamente solo, porque solo es estar sin tí, que eres mi dulce bien, mi encanto, mi alegría, mi felicidad; sin tí, que sabes eres la vida entera de tu Gfsñbñep".
Este individuo que firma de forma tan extraña, Gfsñbñep, tiene en el libro otros dos mensajes más del mismo calado, igual de empalagosos y desesperados. No es el único, hay otros mensajes de otras personas, pero que firman de forma más convencional: Norma, P.M., Marte, Esperanza, Juana, Elabel, Ninita, Aida, Pepe. Uno firma Cyrano, como el personaje literario, otro simplemente Z, y una tercera se da a sí misma el apelativo de Necia.
Evidentemente me llamó la atención firma tan extraña y supuse que debía ser un nombre cifrado en clave, para que sólo la persona a la que iba dirigido lo descifrara. Pero pensé unos momentos, y la clave me vino en seguida. Si sustituimos cada letra del nombre Gfsñbñep por la anterior en el alfabeto español, la G por la F, la f por la e, la s por la r y así sucesivamente, vemos que este apasionado amante de los anuncios por palabras se llama en realidad Fernando.
Cuando era pequeño y estaba en 4º o 5º de E.G.B. (Educación General Básica, equivalente a la Enseñanza Primaria actual) alguien me pasó en el colegio un papel escrito con un mensaje cifrado. Era la primera vez que veía uno: cada letra había sido sustituida por un símbolo sencillo, cruces, círculos, figuras geométricas, etc. Aquél cifrado me entusiasmó, y cuando me dieron la clave y fui capaz de hacer mis propios mensajes ocultos disfruté mucho, e incluso diseñé yo mismo varias claves y formas de sustituir letras por símbolos. Sin embargo, una vez diseñada la clave, no tenía nadie a quien enviar un mensaje secreto, así que dichas claves sólo me hacían pasar un buen rato en casa y quedaban después archivadas y olvidadas en alguno de mis muchos cuadernos.
Una de las últimas claves de cifrado que diseñé, y de la que quedé muy satisfecho, es la que bauticé con el nombre URODINELAS, y que explicaré en la próxima entrada del blog.
Los mensajes cifrados se han utilizado mucho como argumento en los relatos literarios. Hay dos relatos de autores clásicos muy conocidos en los que los mensajes en clave son la parte central del argumento: uno de ellos es El Escarabajo de Oro, (The Gold Bug) de Edgar Allan Poe, y el otro Los Hombrecitos Danzantes, (The Adventure of the Dancing Men) de Arthur Conan Doyle.


En el primero de ellos un mensaje cifrado indica el lugar en el que se encuentra oculto un tesoro. En el segundo, Sherlock Holmes tiene que solucionar un caso en el que los implicados se comunican entre sí con mensajes cifrados, en los que cada letra del mensaje ha sido sustituida por la figurita de un hombrecillo, y para cada letra la postura del hombrecillo es diferente.

En ambos casos, el sistema de cifrado es el mismo: sustituir cada letra por un símbolo de forma unívoca, y en ambos relatos los protagonistas logran descifrar los mensajes mediante un método estadístico: cuentan la frecuencia con la que aparece cada símbolo, y los símbolos más frecuentes los asocian con las letras más frecuentes del idioma (el inglés en este caso). Así, por ejemplo, el símbolo más frecuente debe corresponder a la e, el siguiente a la t, y luego la a, la i, la n, la o, la s, etc. Esta asociación será más efectiva si la longitud del texto es lo suficientemente larga. Para textos cortos, las frecuencias pueden variar mucho. Una vez colocadas las letras más frecuentes, mediante la lógica, descartando opciones, se puede descifrar el texto sin mucha dificultad.
Así, por ejemplo, tenemos el siguiente texto en clave que proponemos a los lectores para que lo descifren. Es una cita sobre matemáticas del conocido pintor holandés Maurits Cornelis Escher (el punto y los dos puntos del texto son signos de puntuación, no sustituyen a ninguna letra):

?+! ?8º8! ¿8 ?+ 4+&84+&-=+ {2 !2{ 48+48{&8 -{/8{=-2{8! 2 =$8+=-2{8! 364+{+!. !-4)?848{&8 !2{: 8#-!&8{ -{¿8)8{¿-8{&848{&8 ¿8? -{&8?8=&2 364+{2. ?2 4+! 768 )68¿8 3+=8$ 6{ 3245$8 ¿8 -{&8?-*8{=-+ +*6¿+ 8! ¿8!=65$-$ 768 8!+! ?8º8! 8!&+{ +??- º ??8*+$ + =2{2=8$?+!.

PD: El cifrado de mensajes pertenece al campo de la criptografía, y modernamente se apoya en matemáticas muy avanzadas. Sobre ello hablaremos en otra entrada del blog.
Una forma sencilla de cifrar un mensaje con el ordenador es escribirlo en formato Word, seleccionar el texto y cambiar la Fuente a Webdings o Wingdings, por ejemplo. Todas las letras automáticamente se convierten en símbolos.
Edgar Allan Poe era muy aficionado a los mensajes cifrados, y sus lectores le enviaban cartas con textos en clave que él solucionaba habitualmente. Sin embargo dos de estas cartas se han hecho famosas porque no pudo solucionarlas, ni él ni todos los que posteriormente lo intentaron, hasta muy recientemente. Para saber más, visitar esta página de Ecojoven donde se cuenta la historia completa.

5.4.09

El Teorema de Napoleón

Cuaderno de bitácora: uno de los últimos descubrimientos de nuestras matenavegaciones ha sido el llamado Teorema de Napoleón. En ciertos puertos y ciudades costeras de los matemares oí hablar de él, y por fin hemos podido explorarlo.
Napoleón Bonaparte, uno de los personajes más geniales e importantes no sólo de Francia, sino de la historia mundial, aparte de ser militar invencible, político sobresaliente, legislador y emperador de Francia, también fue un matenavegante. Él mismo, cuando estudiaba matemáticas, descubrió y demostró un curioso teorema geométrico que desde entonces lleva el nombre de Teorema de Napoleón en su honor.
El Teorema de Napoleón dice así: "Si tomamos cualquier triángulo y sobre cada uno de sus lados levantamos un triángulo equilátero, uniendo los centros geométricos de estos tres triángulos equiláteros nos sale un nuevo triángulo que también es equilátero".

Para ver más detalles se puede visitar esta página del Departamento de Matemáticas del IES Marqués de Santillana, de Colmenar Viejo, Madrid, en la que viene también la demostración.
En dicha página se distingue entre triángulo exterior y triángulo interior. Efectivamente, si dibujamos los triángulos equiláteros hacia el exterior del triángulo de partida, uniendo sus centros obtenemos el triángulo exterior de Napoleón, y si dibujamos los triángulos equiláteros hacia el interior del triángulo de partida de modo que sus superficies se superpongan, entonces uniendo los centros de los triángulos obtenemos el triángulo interior de Napoleón. Tanto el exterior como el interior son triángulos equiláteros. Un último teorema o resultado, un tanto sorprendente, nos asegura que el área del triángulo de partida es igual a la diferencia de las áreas de los dos triángulos de Napoleón.
Hoy en día se dice que Napoleón era aficionado a la geometría, y se pone en duda que estos teoremas fueran realmente suyos, como se ponen en duda tantas otras cosas. Sin embargo, Napoleón Bonaparte se interesó desde pequeño por las matemáticas. Eran de las pocas partes de sus estudios que le gustaban. A los diez años ingresó en la escuela militar francesa de Brienne-le-Château, y sacó notas destacadas en matemáticas y geografía. Después de graduarse a los catorce años (1784), fue admitido en la Ècole Royale Militaire de París, en la que estudió artillería y se graduó al año siguiente, 1785. Fue comisionado como teniente segundo de artillería y tomó su cargo en 1786 con dieciséis años.
Una de las principales características de la estrategia usada por Napoleón para ganar sus batallas fue el perfecto uso de la artillería. Era un genio colocando convenientemente los cañones en el campo de batalla y bombardeando con ellos las zonas que le parecían oportunas. Está claro que sacó el máximo provecho de sus estudios de artillero en las academias militares francesas, y para ello se basó enormemente en su conocimiento de las matemáticas.
En la época en que me dedicaba a dar clases particulares de matemáticas a tiempo completo, tuve a una alumna cuya abuela me comentó varias veces "que su marido había sido artillero y que sabía muchas matemáticas". Sus palabras desprendían ese clásico halo de admiración que se tiene por las Ciencias Exactas y que parece haberse disipado en la actualidad. La señora me afirmaba que para estudiar artillería se necesitaban saber muchas matemáticas, lo cual no dudo.
Complicados y elaborados cálculos matemáticos han estado detrás de muchas batallas famosas, especialmente en los últimos siglos. Utilizar correctamente la artillería, desarrollar armas cada vez más potentes y eficaces, toda la tecnología que hay detrás de los tanques, aviones, cohetes, etc., y por supuesto la codificación y descodificación de mensajes secretos, como el caso de la máquina Enigma que los nazis usaron durante la Segunda Guerra Mundial y que los aliados lograron descifrar, con la consiguiente ventaja obtenida para ganar la guerra... son sólo algunos de los aspectos que las matemáticas han tratado en el campo bélico.

3.4.09

Las Fórmulas Desconocidas

Cuaderno de bitácora: a lo largo de varios años, cuando ha llegado el momento, he tenido que explicarles a los grumetes la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

En esas ocasiones, y a manera de introducción, les he contado un poco sobre las ecuaciones, sus grados, y sus soluciones.

La ecuación de primer grado y la ecuación de segundo grado son conocidas desde la antigüedad. Vienen recogidas de una u otra manera en viejos libros de matemáticas de varias culturas.

Diferente es el caso de la ecuación de tercer y cuarto grado. Para resolverlas en su totalidad hay que esperar hasta el Renacimiento, concretamente el siglo XVI, y trasladarnos a Italia, en la que aparecen grandes matemáticos de la talla de Niccolò Fontana (Tartaglia), Gerolamo Cardano, y Lodovico Ferrari. Fueron ellos los que encontraron el método general para resolver dichas ecuaciones. Abajo tenemos un retrato de Gerolamo (Jerónimo) Cardano.


Pero un caso diferente es el de las ecuaciones de quinto grado y superiores. Infructuosamente se buscó su fórmula, hasta que los trabajos de Abel y Galois en teoría de grupos, ya en el siglo XIX, demostraron que no existía ni puede existir una fórmula general para resolver las ecuaciones a partir del quinto grado. Es uno de esos resultados sorprendentes que resultan difíciles de creer. Que no se haya encontrado la fórmula parece posible, pero que no sea posible encontrarla...

Después de explicar todo esto, les comento a los grumetes que aunque sí existen fórmulas generales para resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grados, yo no me las sé. Les aseguro que son fórmulas muy difíciles, y que no merece la pena estudiarlas. Sin embargo, a base de repetir lo mismo me entró el otro día la inquietud de revisarlas y conocerlas a fondo, y me embarqué en su búsqueda. Después de surcar con viento favorable los mateocéanos, me encontré frente a frente, por fin, con las fórmulas desconocidas.

Y estaba en lo cierto. Son realmente muy complicadas. En la Wikipedia se explica el método de cálculo y también se dan las fórmulas explícitas de las soluciones, pero escritas en línea, usando paréntesis y el símbolo ^ para indicar las potencias y las raíces, con lo que se hacen aún más difíciles de leer. Las he pasado a la forma habitual con ayuda del editor de ecuaciones del Word, y se pueden ver pulsando este vínculo: fórmulas de las soluciones de la ecuación de tercer grado.

En general, dado el volumen de estas fórmulas, no se suelen utilizar directamente para solucionar la ecuación. Más bien se utiliza un proceso en varios pasos, con cambios de variable que hace más cómodo el cálculo. Para los matenavegantes expertos, pueden descargar un documento del Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla en el que se explica con todo rigor matemático la forma de resolver las ecuaciones de tercer y cuarto grado, y también trata sobre el Teorema Fundamental del Álgebra.