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Mostrando entradas de abril, 2017

El pentágono y la razón áurea

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Cuaderno de bitácora: en una entrada anterior, hicimos la construcción del pentágono a partir del rectángulo áureo. Uno se podría preguntar qué relación hay entre el pentágono y la razón áurea que permite hacer dicha construcción. En esta entrada vamos a justificar que la razón áurea se encuentra dentro del mismo pentágono de forma muy natural.

Primero consideramos un pentágono regular de lado 1:

Trazamos una de las diagonales, EC, y se ve claramente que es paralela al lado AB; vamos a calcular lo que mide esta diagonal, llamémosle x:


Trazamos una segunda diagonal, AD, obteniendo el punto F, y nos damos cuenta que ABCF es un rombo, pues AD es paralelo e igual a BC, por tanto AB y FC son iguales y paralelos, y lo mismo ocurre con AF y BC, y los cuatro lados del rombo miden 1:

Si trazamos ahora otra diagonal, AC, tenemos dos triángulos ACF y EFD, que por el teorema de Tales, al tener dos lados en las mismas rectas y un tercer lado paralelo, son semejantes. Las medidas de dichos lados s…

Una construcción del pentágono

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Cuaderno de bitácora: siguiendo con las construcciones geométricas, a continuación vamos a levantar un pentágono regular a partir del rectángulo áureo.
Comenzamos dibujando un cuadrado ABCD de lado 1 (el lado AB va a ser también un lado del pentágono que queremos construir):

Desde el punto medio E del segmento AB trazamos un arco de radio EC, que corta a la recta AB en dos puntos, F y K.

Completando con los puntos G y L obtenemos dos rectángulos áureos, el AFGD y el KBCL:
Si trazamos dos arcos de circunferencia de radio 1, uno con centro B y el otro con centro F, se cortan en un punto I; unimos B con I y ya tenemos el segundo lado del pentágono, BI:

Hacemos lo mismo con sendos arcos de centros A y K respectivamente y radio 1 y obtenemos el punto M; el segmento AM será el tercer lado del pentágono:

Lo único que nos queda es trazar los dos lados restantes, para ello trazamos dos arcos con centro en I y M respectivamente y radio 1, y se cortan en la parte superior en el punto N. Los seg…