[El Problema de la Semana] Los trabajadores enfermos

Este problema parece difícil:

Cierta empresa ha hecho una estadística de las enfermedades que han sufrido sus trabajadores. El 84% enfermó de gripe, el 81% tuvo gastroenteritis, y el 75% padeció ataques de alergia.

¿Qué porcentaje mínimo tuvo los tres tipos de dolencias?

¿Cómo se soluciona? Razonando, como se puede ver más abajo de la imagen. 

Figura 1. Fotografía en alta velocidad de una persona tosiendo, en la que se aprecian los rastros de las gotitas expulsadas durante la tos. Las líneas trazadas se componen de un tramo inicial más recto y después una caída parabólica cuando la gota ha sido frenada por el rozamiento con el aire. La distancia que alcanzan las gotitas en la foto supera los 70 centímetros, y con el impulso de la tos pueden incluso llegar hasta los 4 metros. También hay gotitas minúsculas que se quedan flotando en suspensión por el aire. Las toses y estornudos de una persona enferma que no se tapa con un pañuelo, reparten microbios a una considerable distancia y son una de las principales fuentes de contagio de las enfermedades. La imagen ha sido tomada de una página del MIT.

SOLUCIÓN:

Para resolver este problema nos basamos en el principio del palomar.

El principio del palomar es un razonamiento lógico muy sencillo: si en un palomar hay m huecos y llegan n palomas a ocuparlos, y n > m, entonces al menos 1 hueco debe estar ocupado por más de una paloma.

La razón es muy sencilla y se puede establecer como sigue: llega la primera paloma y ocupa uno de los huecos. Llega la segunda paloma y tiene dos opciones:

-Compartir el hueco de la primera paloma, con lo cual ya tenemos 1 hueco con más de una paloma, y el razonamiento termina.

-Elegir un hueco vacío.

Conforme van llegando palomas, pueden ir eligiendo compartir un hueco ya ocupado, con lo que tendríamos lo que buscábamos y terminamos el razonamiento, o en el peor de los casos ir ocupando los huecos libres. En este último supuesto, cuando han llegado m palomas, en el palomar no quedan más huecos libres, y por tanto la paloma número m + 1 debe compartir obligatoriamente espacio con otra paloma, y necesariamente este hueco tendría más de una paloma.

Figura 2. Aplicación del principio del palomar: si tenemos un palomar con 9 huecos y llegan 10 palomas, entonces necesariamente al menos 1 hueco será ocupado por más de una paloma. Es muy sencillo ver que las primeras 9 palomas que llegan tienen huecos libres a su disposición, pero si se distribuyen evitando los huecos ya ocupados por sus compañeras, la 10ª paloma ya no encuentra hueco libre y se ve obligada a compartir espacio con otra de sus congéneres. La imagen está extraída de la página Pigeonhole principle de la wikipedia.

Con los trabajadores enfermos podemos imaginarnos algo similar para poder razonar sobre los porcentajes. Supongamos que tenemos una cuadrícula que hace las veces de palomar, con 100 casillas, representando el 100% de los trabajadores.

Figura 3. Disponemos de una cuadrícula que representa el 100% de los trabajadores. Cada cuadrito es un 1%.

Sabemos que el 84% de los trabajadores tuvo gripe. Es decir, el virus de la gripe ocuparía 84 casillas de las 100 de nuestro palomar.

Figura 4. El 84% de los trabajadores se enfermó de gripe, y por tanto tenemos el virus de la gripe en 84 casillas.

Sabemos que un 81% tuvo gastroenteritis y podemos imaginar que el virus de la gastroenteritis aparece para ocupar 81 casillas de nuestro palomar, en el que ya se ha establecido el virus de la gripe. ¿En qué casillas se irán colocando los nuevos virus? No lo sabemos, pero si buscamos el mínimo número de casilllas ocupadas por los dos tipos de virus, entonces primero tenemos que ocupar las casillas vacías, el 16%, y luego no tendrá más remedio que entrar en casillas ya ocupadas.

Figura 5. Al llegar el nuevo virus de la gastroenteritis (81%), si queremos que haya el mínimo número de contagios dobles posibles, el virus entraría primero en las 16 casillas que están sanas.

El virus de la gastrenteritis ha infectado al 16% sano, pero todavía queda 81% − 16% = 65% por infectar, que necesariamente tiene que compartir con el de la gripe. La primera conclusión, por tanto es que al menos un 65% de personas se ha infectado con gripe y gastroenteritis.

Figura 6. Después de que el virus de la gastroenteritis entrara en las 16 casillas libres, todavía quedan 65 que deben compartir casillas con el virus de la gripe.

Pero ahora llegan los ataques de alergia, que representan un 75%. Ya no nos quedan casillas libres, pero sí nos quedan 16% + 19% = 35% casillas en las que hay un solo virus. Si queremos evitar a lo máximo que haya una triple enfermedad, entonces los ataques de alergia ocuparán en primer lugar todas las casillas que solo tienen un virus.

Figura 7. Evitando la triple enfermedad, la alergia ocupa primero las 35 casillas que solo tienen un virus.

Sin embargo queda todavía un 75% − 35% = 40% de alergia sin adjudicar, que necesariamente tendrá que entrar en casillas ocupadas por los otros dos virus.

Figura 8. Para poder completar el 75%, la alergia ha tenido que repartirse en 35 casillas ocupadas por un solo virus y 40 casillas ocupadas por los dos virus.

Y así finalmente llegamos a la solución: Ha habido al menos un 40% de trabajadores que tuvo los tres tipos de dolencia.

Figura 9. La solución al problema está sombreada en amarillo: hay como mínimo 40 casillas en las que coinciden las tres dolencias.

Nota: este problema ha sido adaptado de uno de los que aparecen en el libro Un cuento enmarañado y otros problemas de almohada, de Lewis Carroll.

[El Problema de la Semana] La merienda

Un problema que despierta el apetito:

Anteayer fuimos a una cafetería, y pedimos una jarra de limonada, tres bocadillos y siete magdalenas, y nos cobraron 12,30 euros. Ayer pedimos en la misma cafetería una jarra de limonada, cuatro bocadillos y diez magdalenas, y nos cobraron 15,50 euros. Hoy solo hemos pedido una jarra de limonada, un bocadillo y una magdalena.

¿Cuánto nos cobrarán?

Véase más abajo la solución.

Desde un punto de vista estríctamente geométrico, la foto nos muestra una colección de círculos, elipses, triángulos, cuadrados, rectángulos, cilindros, semiesferas, ortoedros, y otras formas diversas. Entonces, ¿por qué al mirar la imagen se nos hace la boca agua? La foto está extraída de la web del Palazzo Versace Gold Coast.

SOLUCIÓN:

Este es otro de esos problemas en los que lo natural es plantear un sistema de ecuaciones con los datos que nos facilitan. Si llamamos J a lo que cuesta una jarra de limonada, B a lo que cuesta un bocadillo y M a lo que cuesta una magdalena tenemos:

J + 3B + 7M = 12,30
J + 4B + 10M = 15,50

El enunciado del problema nos da sólo dos ecuaciones y tenemos tres incógnitas, luego no hay datos suficientes para concretar que es lo que vale individualmente cada cosa.

Sin embargo, nosotros no queremos saber qué es lo que vale una sola jarra, o un solo bocadillo o una sola magdalena, sino cuánto nos cobran el tercer día, es decir queremos saber el valor de la expresión:

J + B + M = ? 

Si a la segunda ecuación le restamos la primera, entonces la J desaparece, y nos queda la ecuación:

B + 3M = 3,20

Es decir, un bocadillo y tres magdalenas valen 3,20 euros, por tanto 2 bocadillos y 6 magdalenas valen 6,40 euros y esto se lo podemos restar a la primera ecuación:

J + 3B + 7M − 2B − 6M = 12,30 − 6,40 = 5,90

De donde:

J + B + M = 5,90

Por tanto la respuesta es: por una jarra de limonada, un bocadillo y una magdalena nos cobrarán 5,90 euros.

Nota: este problema ha sido adaptado de uno de los que aparecen en el libro Un cuento enmarañado y otros problemas de almohada, de Lewis Carroll.

[El Problema de la Semana] Sacos por parejas

Veamos otro nuevo problema:

En un almacén tenemos cinco sacos de trigo. El primer saco y el segundo pesan juntos 11,5 kilos. El segundo y el tercero pesan juntos 13 kilos. El tercero y el cuarto pesan juntos 15,5 kilos. El cuarto y el quinto pesan 14,5 kilos, y el primero y el quinto pesan juntos 15,5 kilos.

¿Cuánto pesa cada saco por sí solo?

La solución más abajo en esta misma página.

Figura 1. Este es el reverso de un billete de diez chelines, editado en Nigeria en 1972. En él se ven dos hombres apilando sacos de cacahuetes en grandes pirámides. La imagen ha sido extraída de la web Notescollector.eu.

Figura 2. En esta imagen, sacada de la misma web que la anterior, se pueden apreciar mejor las enormes pirámides de sacos apilados. La foto se realizó en los años setenta del siglo pasado. ¿Sería capaz el lector de hacer una estimación del número aproximado de sacos que hay en cada pirámide?

SOLUCIÓN:

El acercamiento más natural a este problema es plantear un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas. Si llamamos A, B, C, D y E respectivamente a lo que pesa cada uno de los cinco sacos, entonces:

A + B = 11,5

B + C = 13

C + D = 15,5

D + E = 14,5

A + E = 15,5

Sin embargo, antes de empezar a despejar y sustituir, o de aplicar cualquier otro método (como el método de Gauss) para resolver este sistema, observemos que si sumamos todas las parejas de sacos, obtenemos el doble del peso de todos los sacos juntos:

(A +B) + (B + C) + (C + D) + (D + E) + (A + E) = 11,5 + 13 + 15,5 + 14,5 + 15,5 = 70

Es decir:

2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 70

Por tanto:

A + B + C + D + E = 35

Teniendo en cuenta lo que suman B + C y D + E y sustituyendo:

A + 13 + 14,5 = 35

A = 35 − 13 − 14,5 = 7,5

Obtenido el valor de A, podemos calcular "en cascada" los valores de los demás sacos:

A = 7,5

B = 4

C = 9

D = 6,5

E = 8

Nota: este problema ha sido adaptado de uno de los que aparecen en el libro Un cuento enmarañado y otros problemas de almohada, de Lewis Carroll.

Sudoku de letras (21)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto

A   C   I   L   O   P   S   T   U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: los libros están divididos en ellos.

[El Problema de la Semana] El paseo en bicicleta

Continuamos con nuestros problemas:

Dos ciclistas salen a las 8 de la mañana y regresan a las 12. Durante ese tiempo han recorrido un tramo llano a 30 kilómetros por hora, han subido una colina a 20 km/h, la han bajado a 60 km/h y han regresado por el mismo tramo llano a 30 km/h.

¿Cuál es la distancia total recorrida?

La solución, debajo de la ilustración.

¿Es lógico suponer que cuando π monta en bicicleta, necesita πedalear si quiere dar un πaseo?

SOLUCIÓN:

Es sencillo hacernos un esquema del recorrido de los ciclistas:

Hemos llamado x al tramo llano, e y al tramo que sube por la colina. Como es un viaje de ida y vuelta, el trayecto total recorrido por los dos ciclistas es de:

x + y + y + x = 2(x + y)

Sabemos que en recorrer el trayecto han empleado en total 4 horas (desde las 8 hasta las 12). Teniendo en cuenta que velocidad = espacio / tiempo, y que por tanto tiempo = espacio / velocidad, podemos plantear la siguiente ecuación, que suma todos los tiempos empleados en los distintos tramos:

x / 30 + y / 20 + y / 60 + x / 30 = 4      (1)

La ecuación (1) tiene dos incógnitas, y no hay ninguna información más en el problema que nos permita plantear otra ecuación, por lo que parecería que no es posible determinar la solución exacta para x e y, sino un número infinito de posibilidades. Sin embargo, si operamos en la ecuación (1) pasando a común denominador y sumando las fracciones:

(2x + 3y + y + 2x) / 60 = 4

2x + 3y + y + 2x = 4 · 60

4x + 4y = 240

x + y = 240 / 4 = 60

Vemos que no hemos podido determinar x e y, pero sí la suma x + y; como el trayecto total es 2(x + y), entonces la solución será:

2(x + y) = 2 · 60 = 120

Los ciclistas han recorrido 120 kilómetros en total.

(No faltará el listo que diga que como son dos ciclistas, cada uno hace 120 kilómetros, la distancia recorrida total es de 240 kilómetros ;) )

Comentario:

La mayoría de los grumetes hicieron cábalas sobre lo que podían medir los tramos x e y, llegando a la conclusión de que cada tramo debía valer 30 kilómetros. Sin embargo, el resultado no depende de lo que valgan x e y por separado, solo exige que x + y sea 60. Así podemos tener por ejemplo que el tramo llano x = 45 kilómetros y el tramo de colina y = 15 kilómetros, y el resultado sería el mismo. O bien que el tramo llano x = 8 kilómetros y el tramo de colina y = 52 kilómetros y los dos ciclistas tardarían lo mismo si mantienen las velocidades del enunciado. Cualquier combinación en la que ambos tramos sumen 60 pueden servir para que se cumplan las condiciones del problema.

Nota: este problema ha sido adaptado de uno de los que aparecen en el libro Un cuento enmarañado y otros problemas de almohada, de Lewis Carroll.

Recordemos que Lewis Carroll, cuyo auténtico nombre era Charles Lutwidge Dodgson, además de ejercer como profesor de matemáticas en Oxford , fue el autor de Alicia en el País de las Maravillas.