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Mostrando entradas de 2010

[El Problema de la Semana] La edad del bisabuelo

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Hace ya varias semanas que propusimos este problemita a los grumetes:
Mauricio, el bisabuelo de José, no es ciertamente centenario, pero sí de edad muy avanzada. Podemos decir que el año anterior, su edad era múltiplo de 8, y que el año próximo es múltiplo de 7. ¿Cuántos años tiene Mauricio?
La solución se puede encontrar debajo de la interesante ilustración que proponemos.

[Matenavegando en busca de matemáticos longevos, nos hemos encontrado con la vida de Leopold Vietoris en un interesante artículo publicado en Gaussianos.com. Vietoris fue un matemático austriaco nacido en 1891, que realizó importantes aportaciones en el campo de la topología. Es posible, según este artículo, que Vietoris sea el matemático más longevo que se conoce, pues falleció en 2002 con 110 años cumplidos. Además es el austriaco más longevo, y su segundo matrimonio es el séptimo matrimonio más longevo sumando la edad de ambos cónyuges, pues su segunda mujer falleció con 101 años. La lista de matrimonios más longev…

[El Problema de la Semana] Larga sucesión de sumas y restas

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Un nuevo problema, bastante sencillo si sabemos enfocarlo adecuadamente.
En cierto libro nos ha aparecido una operación bastante larga: 
999 – 998 + 997 – 996 + 995 – 994 + … + 5 – 4 + 3 – 2 + 1 
Es decir, se trata de ir sumando y restando los números, en sucesión decreciente, desde el 999 hasta el 1, los impares se suman, los pares se restan. ¿Eres capaz de calcular esta operación?
La solución, como siempre, más abajo, así no hay que esperar para comprobar nuestras deducciones.
[Esta ilustración, encontrada mientras matenavegábamos buscando imágenes de sumas, ha sido extraída de esta página. Como puede verse, es una tabla en la que se exponen todas las sumas de dos cuadrados menores o iguales que 100. ¿Qué tiene esto de curioso? Fermat se dio cuenta de que estas sumas podían dar números compuestos y números primos, pero los primos obtenidos eran aquellos de la forma 4n+1, es decir, los que al dividirse por 4 dan de resto 1 (con la única excepción del 2, que es primo, es la suma de dos cua…

Tutorial para resolver kakuros

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Presentamos este tutorial, que es una traducción al español del que viene como animación flash en la página de la revista japonesa Nikoli.
El Kakuro es un pasatiempo numérico, de la familia del sudoku. En el Kakuro se deben partir números en sumas de números más pequeños que se colocarán en las celdas correspondientes.
Las celdas blancas han de rellenarse con números del 1 al 9. Por ejemplo, en las celdas señaladas abajo, los números deben sumar 5, y en principio pueden venir en cualquier orden (podrían ser, por ejemplo, 1 y 4, 4 y 1, 2 y 3, 3 y 2).


En las celdas señaladas abajo, los números deben sumar 14.


Los números no se pueden repetir en celdas consecutivas. El siguiente ejemplo puede ser correcto:


Pero el siguiente ejemplo no lo es, porque no se deben repetir números en la suma:


En la siguiente figura, hay dos números 1, pero es correcto, porque no están en celdas consecutivas y no pertenecen a la misma suma:


Empecemos a resolver el kakuro. Fijémonos en la suma 4 de abajo a la derecha.…

[El Problema de la Semana] Contando decimales

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En el nuevo periplo de nuestro Barco Escuela, el primer problema de la semana ha sido el siguiente:
Algunos números pueden tener muchas cifras decimales, incluso infinitas. Considera el número decimal 
0’012345670123456701234567… 
Si te fijas verás que los decimales se van repitiendo en una sucesión muy fácil. Observa que la primera cifra decimal es un 0, la segunda un 1, la tercera un 2, etc., y si sigues contando, la cifra que está, por ejemplo, en el lugar décimo es un 1, y la cifra que está en el lugar vigésimo es un 3. 
¿Sabrías decir qué cifra decimal está en el lugar milésimo?
Colocamos la imagen ilustrativa a continuación, y después colocamos la solución.
[En la imagen podemos ver el Ojo de Horus, dividido en partes, cada una de ellas correspondiente a una fracción. Los egipcios no usaban nuestro sistema indo-arábigo posicional, y para representar cantidades más pequeñas que la unidad utilizaban fracciones unitarias, es decir, con numerador igual a uno. Eran capaces de expresar cual…

[El Problema de la Semana] Comparando rectángulos

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Retomamos la agradable tarea de proponer el problema de la semana. El que tenemos hoy es en realidad el último que pusimos el curso pasado a los grumetes:
Observa los dos rectángulos de la figura. ¿Cuál de los dos ocupa mayor superficie, el ABCD ó el BEFD? Razona tu respuesta.

Por supuesto, para no hacer esperar a nuestro amado público, la respuesta al problema está más abajo de la ilustración.

[Esta fotografía matemática está tomada de la will's web. De momento, ignoro el lugar donde ha sido tomada la foto, pero me gustaría averiguarlo; hay una buena colección de ortoedros en él, con sus correspondientes rectángulos que la perspectiva ha convertido en simples paralelogramos]
Solución:
En primer lugar, si nos fijamos detenidamente en la figura, alguien podría argumentar que ABCD es un rectángulo, pero que BEFD no lo es, porque sus ángulos no son rectos. El gráfico lo hice con el programa Paint de Windows o con otro programa similar, y en efecto, el BEFD no me salió con los ángulos tan …

(...)

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Cuaderno de bitácora: Después de un periodo de descanso, silencio y reflexión, regresamos a nuestro periplo constante por los Matemares. Durante este paréntesis de varios meses hemos sido transferidos a otro Barco Escuela. Estamos conociendo a nuevos oficiales y grumetes. También sentimos ilusiones nuevas, y con ellas nuevas ideas, nuevas direcciones, nuevos retos. ¡Desplegad velas! ¡Partimos otra vez en busca de nuevos horizontes!

[El Problema de la Semana] Pirámide numérica

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Nos acercamos al final del curso en nuestro Barco Escuela y éste es el problema de la semana planteado:
La pirámide del gráfico está formada por ladrillos, cada uno con un número. El número de cada ladrillo es igual a la suma de los dos ladrillos sobre los que se apoya. Averigua los números que faltan. (Pista: comienza por averiguar razonadamente el número contenido en el ladrillo marcado con una “x”)
Por favor... ¿Todavía, no sabe dónde está la solución? ¡Cómo es posible a estas alturas...! ¡Más abajo, más abajo, después de la imagen!

[En esta imagen podemos ver la  increíble Pirámide de los Nichos en El Tajín, Veracruz, México. Pertenece a la cultura totonaca, una de las civilizaciones precolombinas que habitaron en territorio mexicano. Si nos fijamos con detalle, la pirámide está formada por siete pisos, y el número de nichos o huecos cuadrados de cada piso en la cara que vemos en la foto, va formando, de abajo a arriba, la sucesión 22, 19, 16, 13, 10, 7 y 5. Curiosamente, los seis pi…

[El Problema de la Semana] Mensaje secreto

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Esta semana nos toca descifrar cierto mensaje.

Este es el mensaje que Hugo ha mandado a Mario. Para que nadie se entere de lo que pone, lo ha cifrado usando un alfabeto desplazado, es decir, cada letra ha sido sustituida por otra desplazando el alfabeto un número concreto de lugares. De este modo ha creado un criptograma: WHPJR ÑD FRPWUDVHQD SDUD HPWUDU HP HÑ RUGHPDGRU GH MXDP.  El problema es que Hugo ha olvidado dar a Mario el número que indica los lugares que ha desplazado las letras del abecedario. ¿Eres capaz de descifrar el mensaje?
¿Cómo dice? ¿Que si hemos puesto la solución? ¿Todavía se atreve a dudarlo? Búsquela más abajo.

[En esta imagen podemos ver una de las páginas del enigmático manuscrito Voynich, un misterioso libro, escrito y dibujado a mano por un autor anónimo hace unos 500 años, con un lenguaje totalmente incomprensible en un alfabeto desconocido. El libro está, además, lleno de inexplicables ilustraciones que parecen aludir a conocimientos científicos imposibles para…

[El Problema de la Semana] Potencias elevadas

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Esta semana se les propuso a los grumetes el siguiente problema:
A Felipe y Margarita les gusta competir con sus calculadoras. Al igual que muchas otras potencias, 759 no cabe en la pantalla, pero Felipe afirma que el resultado acaba en 1, mientras que Margarita piensa que acaba en 43. ¿Cuál de los dos tiene razón?
La solución aquí mismo, en esta misma pantalla, pero un poco más abajo.

[Aquí tenemos una foto de una de las primeras calculadoras mecánicas, la pascalina, que fue inventada por Pascal, de ahí el nombre, en 1645. La pascalina sólo era capaz de sumar y restar números de hasta seis cifras, y Pascal la construyó pensando en ayudar a su padre, contador de la Hacienda francesa, y facilitarle el trabajo con los cálculos aritméticos comerciales.]
Solución: Los problemas en los que nos dan potencias altas y nos piden en qué cifra terminan se resuelven todos probando con las primeras potencias y encontrando la secuencia de terminaciones. Para las potencias de 7 es fácil encontrar la secu…

[El Problema de la Semana] Los vecinos

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Este es otro antiguo problema de la semana que incluí en la web doDK:

El abuelo de Dani, que es un simpático señor que ya cumplió los 70 pero al que aun le falta para llegar a los 80, y el padre de Laura, que es cuarentón, viven en la misma calle, en la acera de los pares y en casas contiguas. Laura observa que el producto de la edad de su padre por el número de la casa del portal en que vive es igual al producto de la edad del abuelo de Dani por el número de su portal. Calcula las edades de ambos y los números de sus casas.


Más abajo, como siempre, está la solución.

[La foto que hemos seleccionado hoy es la de la fachada del Museo de Sherlock Holmes, en Baker Street. El famoso detective de ficción siempre se destacó por resolver sus casos con su aguda percepción de los detalles y su irresistible capacidad lógica. Arthur Conan Doyle afirma que Sherlock Holmes vivía en el número 221B de Baker Street, pero ese número en realidad no existía, porque en la época en que Doyle escribió los rel…

[El Problema de la Semana] El profe de matemáticas

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A continuación un sencillo problema recuperado entre los restos de doDK.
Tenemos un profesor de matemáticas que no pierde oportunidad de ponernos problemas. El otro día hicimos un examen y hoy, en la clase, le dijimos que si lo había corregido. Nos dijo que sí, pero que los había olvidado en su casa. Nos fastidió, así que le preguntamos si recordaba al menos el número de aprobados. Nos contestó que no recordaba el número exactamente, pero que le llamó la atención que al 95% de los alumnos y alumnas que habían aprobado les gustase mucho el baloncesto. Si en clase hay 35 alumnos/as, ¿cuántos aprobaron?
Si miran ustedes más abajo de la imagen, encontrarán la solución, como siempre.
[Ya que el problema de la semana habla de baloncesto, y yo siempre he sido muy aficionado a este deporte, incluyo una ilustración con las medidas de la cancha, del balón, la canasta, etc. Como todo el mundo sabe, tanto el baloncesto como los demás deportes se pueden ver desde un punto de vista matemático, por la …

[El Problema de la Semana] Cuadrado al cuadrado y algo más

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Otro de los antiguos problemas publicados en doDK, del cual, como es habitual, he perdido la fuente y no puedo decir ahora de donde lo extraje.
He tomado un determinado número y hallado su cuadrado. Después, he elevado este cuadrado al cuadrado y multiplicado el resultado por el número original. Al final de mis cálculos, hallo como resultado un número de 7 cifras acabado en 7. ¿Cuál es el número original?
La solución no se hará esperar, en cuanto la imagen dejéis pasar.
[Esta imagen está tomada de la web Grand Illusions. Consiste en un sencillo juguete formado por seis cuadrados hechos de plástico transparente de tres colores, y unidos por una esquina mediante una pieza de goma que se puede pegar a una ventana, por ejemplo. Con la luz que entre por la ventana, los niños pueden jugar  a darle vueltas a los cuadrados y descubrir las diferentes tonalidades de colores que se van formando al combinar los cuadrados entre sí. Recomiendo visitar la página grand-illusions.com, porque está llena d…

El barco fantasma

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Cuaderno de bitácora: esta mañana, a través de la densa niebla, he avistado la forma de un navío de aspecto conocido y con intrépido ánimo le he pedido al timonel que pusiera rumbo hacia el extraño barco. No ha sido difícil surcar el piélago que nos separaba, y cuando nos hemos aproximado hacia el barco nos hemos encontrado para nuestro asombro con la presencia inquietante y fantasmal de doDK, que suponíamos naufragado desde hace varios meses. A pesar de nuestras voces y señales no hemos recibido contestación, ni hemos podido ver ningún tripulante a bordo; el barco parece abandonado a su suerte. Tanto mi persona como el resto de los matemarineros, dominados por sentimientos supersticiosos, hemos evitado abordar el extraño navío y  después de acompañarlo durante un buen rato en su rumbo a la deriva nos hemos separados lentamente de él. Finalmente la niebla se lo ha vuelto a tragar, y dudo que lo vayamos a encontrar de nuevo en nuestro periplo. Ignoro si sus bodegas conservarán intacto aq…

[El Problema de la Semana] Sumas de impares

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Hoy, otro de los antiguos problemas de doDK:
Nos han encargado que sumemos todos los números impares desde el 1 al 101 ambos inclusive. Después de un buen rato hemos finalizado la cuenta, pero luego nos han encargado la suma del 1 al 201, y cansados de sumar, queremos encontrar una fórmula fácil que nos dé el resultado.
Encuentra la fórmula, y como aplicación calcula la suma de los impares desde el 1 al 101, del 1 al 201 y del 1 al 343.
¿Dónde estará la solución? Justo pasando la ilustración. Girad la rueda en el ratón; la encontraréis sin dilación.
[Esta imagen está tomada de una actividad realizada por George Hart en la Universidad de Albion (Albion College), en el verano de 2008. Muestra el vestíbulo de dicha Universidad, en la que Hart dirigió a varios grupos de personas para montar las estructuras geométricas que luego fueron izadas y colgadas a diferentes alturas, como se ve en la foto. En total hay nueve formas geométricas, aunque en la imagen sólo se ven ocho, y están colocadas de forma …

Ludolph van Ceulen y la extraña redacción (o en qué se parece una furgoneta a los 35 primeros decimales del número pi)

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Cuaderno de bitácora: entre los muchos papeles viejos que aparecieron el pasado verano cuando nos pusimos a hacer una limpieza a fondo de los camarotes, quiero subir a este blog uno de ellos que me trae la imagen de una simpática grumete de hace tres o cuatro años, la cual, un día de aquellos, y a propuesta mía, presentó una redacción sobre Ludolph van Ceulen. La curiosa vida de van Ceulen la encontré por primera vez dentro de un libro de texto, en un pequeño artículo de una sección de curiosidades incluidas al final de cierto tema. Ludolph van Ceulen fue un matemático alemán del siglo XVI y principios del XVII, que emigró a Holanda por motivos religiosos y fue nombrado profesor de la Universidad de Leiden en 1600, cuando contaba con 60 años. Lo más curioso, y el motivo de que se le recuerde, es que se pasó los último veinte años de su vida calculando cifras decimales al número pi, π, y cuando murió había logrado determinar π con la friolera de... 35 cifras decimales: 3,1415926535897932…

[El Problema de la Semana] El cuadrado maya de la buena suerte

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Este problema también apareció en doDK hace bastante tiempo.
En una pirámide maya hay un grabado como el que reproducimos. Debajo de él se puede leer: “Aquel que calcule la superficie del cuadrado interior, sabiendo que el exterior mide 100 centímetros cuadrados, recibirá del dios Itzamná suerte durante 50 años del calendario Tzolkin”. Si crees en la fuerza del destino, ponte a trabajar. ¿Hoy también ponemos la solución? ¿No? ¿Sí? ¿Tal vez? Pues miremos más abajo de la ilustración si queremos saberlo.

[Una de las actividades del pueblo maya era su famoso juego de pelota, en el que en una cancha con forma de H los jugadores mayas se disputaban una pelota maciza de caucho para intentar introducirla por uno de los dos aros de piedra verticales sujetos en las paredes centrales. La pelota se podía golpear con la cintura, y parece que también con los hombros, codos y rodillas, pero no con manos, pies ni cabeza. Los partidos podían durar un día y una noche, y no se disputaban como un entretenim…

[El Problema de la Semana] Una calculadora estropeada

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Ahí va el nuevo problema:
Imagina que tu calculadora tiene estropeada la tecla del "cero". El juego consiste en conseguir que aparezcan en la pantalla estos números: 250, 205, 2050, 0'025. ¿Y cómo se podrían efectuar los siguientes cálculos? 0'025 · 205; 2050 : 250. Recuerda que la tecla del "cero" sigue estropeada.
¡Santo cielo! ¿Dónde estará la solución? Que no cunda el pánico... Está más abajo, después de la imagen ilustrativa.
[Hablando de calculadoras, esta cosa extraña con el nombre de CURTA es en realidad una calculadora mecánica inventada durante la Segunda Guerra Mundial por un prisionero de un campo de concentración nazi, Curt Herzstark. Evidentemente, el nombre de Curta proviene del nombre su inventor, que sobrevivió al campo de concentración y perfeccionó el diseño de su calculadora, sacándola al mercado en 1948. Fueron consideradas las mejores calculadoras de mano hasta 1970, año en que empezaron a ser reemplazadas por las calculadoras electrónicas.…

[El Problema de la Semana] Llenas, medio llenas y vacías

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El problema de la semana para los grumetes:

Tres hermanos recibieron 21 botellas cerradas iguales con diferentes cantidades de un refresco de naranja: 7 estaban llenas; otras 7, medio llenas, y las 7 restantes, vacías. ¿Cómo repartirse las 21 botellas de modo que cada uno reciba el mismo número de botellas y la misma cantidad de refresco sin destapar las botellas?
La solución, ¡cómo no!, debajo de la foto.

[En la fotografía se puede contemplar un modelo tridimensional de la botella de Klein, una superficie cerrada que no tiene interior ni exterior, y que es equivalente, en superficie cerrada, a la banda de Möbius. Nosotros, en nuestra realidad tridimensional, estamos acostumbrados a que las superficies cerradas, como un balón de fútbol, una botella cerrada, una caja cerrada, tengan interior y exterior, y no se pueda pasar de uno a otro sin romper o atravesar la superficie. En realidad, la botella de Klein no es un objeto tridimensional, sino tetradimensional (de la cuarta dimensión), una…

[El Problema de la Semana] Los güisquis

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Otro sencillo problema publicado en doDK, aunque hemos cambiado el protagonista y el tipo de bebida.
Un escocés y medio se bebe un güisqui y medio en un día y medio. ¿Cuántos güisquis se beben seis escoceses en seis días?
¿La solución? ¿dónde? Pues como siempre... más abajo de la imagen.
[En la imagen, tomada de Wikimedia Commons, un gaitero escocés, con su precioso traje de gala. De Escocia es un matemático muy conocido, John Napier, el descubridor de los logaritmos. Su apellido, Napier, adaptado, da nombre a los logaritmos neperianos]
Solución: Se puede resolver paso a paso, o aplicando una regla de tres compuesta. Si un escocés y medio se bebe un güisqui y medio en un día y medio, entonces, en un solo día se bebe un solo güisqui. El doble de escoceses, tres, se beberán en un solo día dos güisquis, y el doble, seis escoceses, se beberán en un solo día cuatro güisquis. Por tanto, seis escoceses se beberán en seis días 6 · 4 = 24 güisquis.
Nota: aunque es un problema muy sencillo, la primera …

Matemáticas y cine: Dentro del Laberinto

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Cuaderno de bitácora: parece que todos los cursos, en el Barco Escuela, estoy recurrentemente destinado a repetir a los grumetes los mismos temas. Uno de ellos surge cuando les presento al maravilloso y popular pintor M. C. Escher, y les muestro algunos de sus cuadros. Hay uno de ellos, Relatividad, que es muy conocido, y representa una especie de lugar fantástico, una casa o castillo, en el que las tres dimensiones van intercambiándose el papel de arriba-abajo, izquierda-derecha, delante-detrás. El dibujo parece estar presidido por escaleras que son subidas y bajadas por individuos anónimos, pero no hay una dirección para subirlas o bajarlas, sino que la referencia es relativa a cada individuo: para cada uno de ellos la perspectiva arriba o abajo, izquierda o derecha, delante o detrás, es diferente. El castillo se abre en arcos y balcones a un exterior que también es distinto en cada perspectiva, haciéndolo imposible de conciliar para la imaginación de los que observamos la escena.
En…