8.5.11

[El Problema de la Semana] Los dos pececitos

A continuación proponemos un sencillo problema geométrico:


Dos pececitos están juntos y empiezan a nadar. Nadan 6 metros en línea recta y luego ambos giran 90º a la derecha, nadando cada uno en línea recta 8 metros más. ¿Cuál puede ser la mayor distancia que los separa ahora?

La respuesta, como ya todo el mundo debe saber, debajo de la ilustración.


[En esta ilustración presentamos el desarrollo de un cubo decorado con una de las famosas teselaciones de Escher. La ilustración se ha obtenido de este sitio, en el que aparecen cubos de rubik virtuales decorados con este tipo de diseños. Si se quiere imprimir esta imagen para construir un cubo, debe tenerse en cuenta que el cuadrado inferior derecho, el que tiene las caras de los peces azul y verde, debe ser recortado completamente y colocado a la derecha del cuadrado justo encima. En el esquema se ve cómo la cara B "back" debe ser colocada a la derecha de la R "right"]

Solución:
El recorrido que hace cada pez, 6 metros en línea recta, ángulo recto hacia la derecha y 8 metros en línea recta, lo coloca en un punto que forma un triángulo rectángulo con el punto de origen y el punto donde se gira en ángulo recto. Los catetos de ese triángulo miden 6 y 8 metros respectivamente, y por el teorema de Pitágoras podemos calcular la distancia desde el punto de origen al de llegada, que es exactamente de 10 metros.
Con un poco de lógica se puede comprender que para que los dos peces acaben lo más lejos posible, deben partir en dos direcciones exactamente opuestas. Si ambos distan 10 metros del punto de origen, la distancia entre ellos será de 20 metros.

Ampliación: cada uno de los peces se encuentra a una distancia de 10 metros del punto de origen. Nos podemos imaginar que, sea cual sea la dirección en la que hayan partido, cada uno de los peces se encuentran en sendos puntos de una esfera de radio 10 metros cuyo centro es el punto de donde partieron. Es evidente que en una esfera, los puntos más alejados son los puntos opuestos respecto al centro, o las antípodas.
Acostumbrados como estamos a trabajar sobre el papel y en superficies planas, al principio no se me pasó por la cabeza que el movimiento de los peces se debe considerar tridimensional, y me fascina imaginármelos en el agua, nadando en la superficie de esferas virtuales.

Nota: el problema de los pececitos ha sido extraído del libro The Riddles of the Sphinx, de David J. Bodycombe, editorial Penguin Books.

5.5.11

El Fujiyama en camiones

Cuaderno de bitácora: con motivo de ayudar a los grumetes, cuando en el Barco Escuela les pongo un examen de matemáticas doy la opción de que realicen un trabajo o actividad complementaria en lugar de uno de los problemas del examen. Esta actividad complementaria siempre consiste en leer un texto de algún libro o de la web relacionado con las matemáticas y contestar a varias cuestiones sobre el texto.

Hace varios meses les propuse un texto del libro El hombre anumérico, de John Allen Paulos. El texto y las actividades propuestas se pueden encontrar en este enlace. Una de las cuestiones planteadas en las actividades consiste en resolver el problema que aparece al final del texto de Allen Paulos:
Y para terminar daremos otro ejemplo de cálculo terrenal que suele usar un asesor científico el MIT para eliminar aspirantes en las entrevistas de selección de personal: pregunta cuánto se tardaría en hacer desaparecer una montaña aislada, como el Fujiyama japonés, por ejemplo, transportándola con camiones. Supóngase que, durante todo el día, llega un camión cada 15 minutos, es cargado instantáneamente de tierra y piedras, y se va sin interrumpir al siguiente camión. El resultado es un tanto sorprendente.
¿Cuánto tardaríamos en trasladar el Fujiyama con camiones? El problema no contiene los datos necesarios para hacer las cuentas, si uno quiere resolver el problema, necesita informarse antes de la altura del Fujiyama, calcular aproximadamente su volumen, suponer que está constituido por roca homogénea, buscar la densidad de la roca y pasar el volumen a peso, y luego decidir qué tipo de camiones puede utilizar y cuál es la capacidad de cada uno.


Vamos a ir recopilando datos:

Altura del Fujiyama - 3776 metros
Volumen del Fujiyama - esto es más difícil; haciendo una busca rápida en la red, no hemos encontrado ningún sitio donde aparezca el volumen, así que vamos a calcularlo suponiendo que tiene aproximadamente la forma de un cono. Haciendo mediciones directamente sobre la fotografía, vemos que el ángulo de inclinación es de unos 20º, y por trigonometría básica, el radio de la base del cono se puede calcular con la fórmula: r = h/tan20º, donde h es la altura del cono y "tan" es la tangente del ángulo, y de aquí sale que r = 10374 metros.

De aquí, con la fórmula del volumen de un cono, V = π·r2·h/3 = 4.26 · 1011 m3 = 426 kilómetros cúbicos, aproximadamente.

Peso del Fujiyama - consultando en esta página, vemos que el Fujiyama está compuesto, principalmente por basalto y andesita. La densidad del basalto es de unos 2700 kilogramos por metro cúbico, es decir, 2.7 toneladas por metro cúbico, luego el peso total sería de 1.15 · 1012  toneladas (más de un billón de toneladas).

Ya tenemos la cantidad de material que tenemos que transportar, ahora necesitamos los camiones, y no vamos a ser tacaños, usaremos los mayores camiones que existen. Según las investigaciones en la red, el camión más grande del mundo es el caterpillar 797, que es capaz de desplazar 345 toneladas de carga útil.



Ahora sí que podemos terminar los cálculos. Si cada 15 minutos un camión es cargado instantáneamente de piedras del Fujiyama y se va sin entorpecer al siguiente camión, son 4 cargas a la hora, y 96 cargas al día (trabajando las veinticuatro horas sin parar). Multiplicamos y tenemos que cada día logramos desplazar 96 · 345 = 33120 toneladas. Si queremos desplazar el billón largo de toneladas del volcán japonés, necesitamos 1.15 · 1012 : 33120 = 34695000 días aproximadamente, más de 95000 años.

Los cálculos pueden variar según la aproximación que tengamos de los datos, pero es interesante hacerse a la idea de que con los mayores camiones disponibles se necesitarían casi cien mil años para hacer desaparecer el Fujiyama. Si dispusiéramos de camiones más estándar, que acarrearan la décima parte de peso en cada viaje, entonces el tiempo se multiplicaría por diez, dándonos la friolera de un millón de años para hacer todo el trabajo.

¿Nos ha sorprendido? ¿Nos parece una cantidad muy grande? ¿Por qué aparecen números tan grandes en los cálculos?

La razón debemos buscarla en el volumen de las cosas. Estamos bastante acostumbrados a comparar longitudes, y así medimos las alturas de las montañas, de los edificios, de los monumentos, etc. y nos hacemos una idea de su tamaño. Pero no estamos tan acostumbrados a comparar volúmenes; tengamos en cuenta que un volumen es una longitud al cubo, y al elevar al cubo se multiplican las cantidades por sí mismas tres veces. Si una montaña es el doble de alta que otra que tenga la misma forma, su volumen es 2·2·2 = 8 veces más grande. Un kilómetro contiene mil metros, pero un kilómetro cúbico contiene mil millones de metros cúbicos.

¿Sería capaz de calcular el lector el tiempo que se tardaría en trasladar una montaña de forma similar al monte Fuji, pero que tuviera la altura del Everest, de 8848 metros? ¿y qué me dice del monte Olimpo, en Marte, con 27 kilómetros de altura?

2.5.11

[El Problema de la Semana] Una cuerda y dos palos

Supongo que al lector le pasará algo parecido a lo que me pasó a mí cuando leí este problema por primera vez. Inmediatamente me imaginé una complicada situación de análisis matemático en la que debía calcular el mínimo de una función exponencial. Pero no es así. La situación es mucho más sencilla de lo que parece.

Una cuerda de 40 metros de longitud tiene sus extremos atados a la parte superior de dos palos de 22 metros de altura. Si la cuerda cuelga a 2 metros del suelo, ¿cuál es la separación entre los dos palos?

La solución cuelga más abajo, aunque no a 22 metros de distancia.

[Cuando una cuerda cuelga entre dos palos o postes, la gravedad hace que forme una curva, llamada catenaria. En las líneas férreas, los trenes eléctricos suelen tomar la electricidad de cables colgados de postes que discurren por encima del tren, y a estas líneas de cables también se les llama catenarias. La imagen procede de esta web, en donde también se puede obtener más información sobre estos puntos.]

Solución:
Nada más hay que fijarse en que la cuerda tiene que bajar desde un palo y subir al otro, y como mide 40 metros estará 20 bajando y otros 20 subiendo; pero los palos miden 22 metros, y el extremo inferior de la cuerda cuelga a dos metros del suelo, por tanto la cuerda no puede formar una curva, tiene que bajar 20 metros en vertical y subir 20 metros en horizontal, y esto solo es posible si los dos palos están juntos. Luego la separación entre los dos palos es de 0 metros, no hay separación.

Ampliación:
La fórmula matemática que adopta la curva de una cuerda colgada entre dos postes, la llamada catenaria, palabra que se deriva de cadena, es la del coseno hiperbólico. La expresión básica del coseno hiperbólico es f(x) = ch(x) = (ex + e-x)/2, y la forma de cualquier cuerda se puede obtener con una fórmula derivada de esta, del tipo f(x) = a(ex/a + e-x/a)/2. Si le pedimos a la cuerda que tenga una longitud de 40 metros, entonces tenemos que entrar en el cálculo de integrales, porque la longitud de una curva se calcula con una integral.
Si el problema nos dijera que la cuerda cuelga a 5 metros del suelo, por ejemplo, entonces calcular la distancia a la que tienen que estar los postes no es un problema trivial, sino de análisis matemático avanzado.
Por supuesto, siempre podemos tomar dos palos de 22 metros, atar a sus puntas una cuerda de 40 metros,  ir separando los palos hasta que la cuerda cuelgue a 5 metros del suelo exactamente y medir la separación de los dos palos. Pero encontrar y manejar dos palos de 22 metros de largo (la altura de un edificio de siete pisos) y desplazarlos de forma que en todo momento estén verticales, no debe ser nada fácil.

Nota: este problema ha sido extraído del libro El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1, de Miquel Capó Dolz, editorial El rompecabezas.