[El Problema de la Semana] El cuadrado y el cubo

Creo que hoy nos encontramos con el problema de enunciado más corto de todos los que hemos publicado.

Encuentra un cuadrado que al sumarle dos se convierte en un cubo.

La solución es igualmente corta y aparece más abajo.

La imagen está sacada de la web de zazzle.

SOLUCIÓN:

En el problema de hoy la solución aparece de forma muy sencilla: basta ir probando con los cuadrados perfectos, sumar dos y ver si el resultado es un cubo perfecto.

Los cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, 36...

1 + 2 = 3

4 + 2 = 6

9 + 2 = 11

16 + 2 = 18

25 + 2 = 27

Ya hemos encontrado la respuesta: 25 es el cuadrado de 5; si le sumamos 2 nos sale 27, que es el cubo de 3.

AMPLIACIÓN:

Nadie garantiza que haciendo lo que hemos hecho podamos encontrar la solución. El problema está pensado de antemano para que la solución sea fácil de encontrar.

Supongamos que se nos ocurre modificar el enunciado ligeramente: "encuentra un cuadrado que al sumarle tres se convierte en un cubo". He estado probando con bastantes números y no veo ninguna solución, ni parece que pueda aparecer pronto.

Sin embargo, si ponemos "encuentra un cuadrado que al sumarle cuatro se convierte en un cubo", entonces salen dos soluciones sin pensarlo demasiado: 4 que al sumarle cuatro sale 8, y 121, que al sumarle cuatro sale 125.

 
Nota: este problema ha sido adaptado del libro: Matemágicas, de Ignacio Soret Los Santos.

Einstein, Riemann and the Space-Time Continuum - Einstein, Riemann y el Continuo Espacio-Tiempo

Einstein, Riemann and the Space-Time Continuum

The general theory of relativity postulated by Albert Einstein (1879-1955) uses the concepts of Riemann geometry and an extra dimension, making a four-dimensional space called space-time. In general relativity, space-time is curved, with the degree of curvature increasing close to massive bodies. Curvature is produced by the interaction of mass-energy and momentum producing the phenomenon we know as gravity. Thus Einstein’s theory replaces the force of gravity familiar from Newtonian mechanics with multi-dimensional, non Euclidean geometry.

Einstein, Riemann y el continuo espacio-tiempo

La teoría general de la relatividad propuesta por Albert Einstein (1879-1955) utiliza los conceptos de la geometría de Riemann y una dimensión extra, construyendo un espacio cuatridimensional llamado espacio-tiempo. En la relatividad general, el espacio-tiempo es curvo, con el grado de curvatura incrementándose cerca de los cuerpos masivos. La curvatura se produce por la interacción de la masa-energía y la cantidad de movimiento, produciendo el fenómeno que conocemos como gravedad. Por tanto, la teoría de Einstein sustituye la fuerza de gravedad conocida de la mecánica newtoniana con geometría no euclídea tridimensional.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído del libro The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

[El Problema de la Semana] Menos que la media

Hoy tenemos estadísticas en el instituto:

En cierto instituto, un profesor se ha quejado de que “la inmensa mayoría del alumnado, quizás más del 75%, ha sacado una nota inferior a la puntuación media del centro”.

¿Es esto posible? Si no lo es, razónalo. Si lo es, pon un ejemplo con una clase de 30 alumnos y alumnas.

La solución, sobre la media de la página.

"El birrete es un gorro rematado con una borla, usado en actos ceremoniales, por magistrados, jueces, letrados, abogados y componentes de la comunidad universitaria en ocasiones solemnes. El mismo consiste en un panel horizontal de forma cuadrada fijado a un casquete, con una borla fijada a su centro" (wikipedia). Siempre me ha preocupado el momento en el que los estudiantes recién graduados lanzan sus birretes al aire, pues no sé si luego cuando caen cada uno logra recuperar el suyo. En fin, ellos sabrán. La imagen está tomada de la University College Roosevelt, situada en Middelburg, Holanda.

SOLUCIÓN:

Contestemos rápidamente a la pregunta ¿Es esto posible?: Sí, por supuesto que sí es posible. En este caso nos piden que pongamos un ejemplo. Ahí va:

Tenemos una clase de 30 alumnos. De ellos, 27 han obtenido una nota de 6 en un examen. Los 3 restantes han obtenido un 10. La media de las notas en esta clase es:

(27 · 6 + 3 · 10) /30 = 192/30 = 6'4

Si la nota media ha sido de 6'4, entonces todos los alumnos que han sacado un 6 han obtenido una nota inferior a la media. Estos han sido 27 de 30, es decir un 90%, más del 75%. En esta clase, un 90% de los alumnos han sacado una nota inferior a la media.

Si nos fijamos en el ejemplo que hemos puesto, se pueden notar los siguientes detalles:

-Todos los alumnos de la clase están aprobados.

-Casi todos los alumnos tienen una nota igual, un poco baja, mientras unos pocos tienen una nota muy alta. Las notas están asimétricamente distribuidas: un grupo muy numeroso en la zona inferior de las notas, otro grupo muy pequeño en la superior.

-La media, que está entre los dos grupos, es cercana a la nota que tiene el grupo más numeroso.

 AMPLIACIÓN:

Si alguien pensaba que no era posible lo que decía el profesor es porque está confundido entre lo que es la media de una distribución estadística y la mediana de dicha distribución.

Tanto la media como la mediana son parámetros de tendencia central, y es de esperar que se coloquen al centro de la distribución estadística. Pero esta forma de colocarse al centro es diferente para cada parámetro. La mediana se coloca de forma que el 50% de los valores estadísticos sean menores o iguales que ella, y el otro 50% sean mayores o iguales. Luego si en lugar de la media hablamos de la mediana en el problema, lo que dice el profesor sería matemáticamente imposible: el 50% del alumnado, ni más ni menos, siempre tiene una nota igual o menor a la mediana, y no es posible que el 75% tenga una nota inferior a la mediana.

Pero la media está colocada en el "centro de gravedad" de la distribución, y se dan diferentes situaciones según la distribución es simétrica o asimétrica.

Cuando la distribución estadística está simétricamente distribuida, entonces es de esperar que la media esté al centro junto a la mediana. Pero no sucede así cuando la distribución es asimétrica. Por eso vemos en la solución del problema, por ejemplo, que podemos tener un enorme grupo de puntuaciones "un poco bajas", todas iguales, y luego unas pocas puntuaciones "muy altas", y al calcular la media, el resultado se queda entre estos dos grupos, con lo que el grupo de puntuaciones bajas, muy numeroso, que puede fácilmente ser del 75% y más, queda por debajo de la media.

¿Por qué se queja entonces el profesor del problema?

El profesor se está quejando porque la distribución de notas es asimétrica. Si en su queja quería expresar su convencimiento de que las notas son bajas, el razonamiento es insuficiente. No podemos asegurar que las notas sean malas, pues no sabemos cuál es la media del instituto. Incluso si el profesor se quejase de que el 75% del alumnado del centro tiene una nota inferior a la media regional o nacional, es posible que no haya motivo de preocupación, pues también a nivel regional o nacional la distribución puede ser asimétrica. El profesor necesita más datos para fundamentar su queja; decir que el 75% del alumnado tiene menos nota que la media del instituto solo indica la asimetría de la distribución.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro Matemágicas, de Ignacio Soret Los Santos.

Ptolemy and the Americas - Ptolomeo y las Américas

Ptolemy and the Americas

Though Ptolemy's most famous work was The Almagest, he also wrote a Geography which remained influential for over a thousand years. He developed two projections and introduced lines of latitude and longitude, though the inaccuracy of measurements led to considerable errors in his longitudes. He also overestimated the extent of the Earth's surface covered by the Hellenic lands and consequently his calculated size of the Earth was smaller than the real thing.

The earliest surviving European maps from the Middle Ages are heavily reliant on Ptolemy's Geography. When explorers planned to sail to India by heading west they would have expected the journey to be much shorter than it actually was. Perhaps if Columbus had realized the true nature of the undertaking he would not have attempted the voyage that led him to the Americas.

Ptolomeo y las Américas

Aunque el trabajo más famoso de Ptolomeo fue El Almagesto, también escribió una Geografía que mantuvo su influencia durante más de mil años. Ptolomeo desarrolló dos proyecciones e introdujo líneas de latitud y longitud, aunque la inexactitud de las medidas causaron errores considerables en sus longitudes. También estimó por exceso la extensión de la superficie de la Tierra cubierta por las tierras helénicas y en consecuencia el tamaño de la Tierra que calculó resultó más pequeño que el real.

Los mapas europeos más antiguos que todavía sobreviven desde la Edad Media se apoyan considerablemente en la Geografía de Ptolomeo. Cuando los exploradores planearon navegar a la India por el oeste, debían haber esperado que el viaje fuera mucho más corto de lo que fue en realidad. Quizás si Colón se hubiera dado cuenta de la verdadera naturaleza de la empresa, no habría intentado el viaje que lo llevó a las Américas.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

[El Problema de la Semana] El rebote afortunado

Juguemos a la pelota... sin romper nada:

 

Un chico debe lanzar con fuerza una pelota en línea recta para que, después de rebotar en el suelo, siga en línea recta hasta colarse por una pequeña ventana. Si la altura del chico es de 1'50 m, la altura de la ventana es de 2'50 m y la distancia entre el chico y la pared donde se encuentra la ventana es de 8 metros:

 

¿En qué punto del suelo debe hacer rebotar la pelota?

Para encontrar la solución, lance la página y rebote debajo de la imagen.

A través de una esfera de cristal vemos la imagen invertida del paisaje. La ilustración ha sido tomada de este sitio.

SOLUCIÓN:

En primer lugar debemos comentar que en este problema estamos haciendo una licencia física: cuando alguien lanza una pelota por el aire en una dirección que no sea perpendicular al suelo, la trayectoria que sigue la pelota nunca será perfectamente recta debido a la gravedad terrestre. Siempre se asemejará a un tramo de parábola.

De hecho, si quisiéramos que la trayectoria fuera perfectamente recta deberíamos lanzarla en un ambiente sin gravedad, como el que puede haber en una estación espacial.

Pero mejor dejemos de complicarnos la vida. Supongamos que el chico del problema lanza la pelota con la suficiente fuerza para que ésta siga una línea prácticamente recta, y despreciemos los detalles.

Cuando la pelota rebota en el suelo sucede un hecho importante: el ángulo con el que la pelota alcanza el suelo es igual al ángulo de rebote. Siendo así, podemos hacer un esquema geométrico de la situación:

En el esquema vemos que el chico está representado por el segmento AB, y la pared con la ventana por el segmento CD. El punto de rebote es R, y en ese punto el primer tramo de la trayectoria de la pelota, BR, forma un ángulo de incidencia α con la horizontal, mientras que el segundo tramo de la trayectoria, RD, forma el ángulo de rebote β. Los ángulos de incidencia y rebote son iguales: α = β.

Como estos dos ángulos son iguales, y los triángulos ABR y CDR son rectángulos, entonces estos dos triángulos son semejantes. Por tanto los lados correspondientes son proporcionales, y concretamente con los catetos podemos hacer la igualdad de proporciones:

AB/CD = AR/CR

es decir:

1.5/2.5 = m/n

pero:

n = 8 − m

y por tanto:

1.5/2.5 = m/(8−m)

Multiplicamos en cruz y desarrollamos la ecuación:

1.5(8 − m) = 2.5m

12 − 1.5m = 2.5m

4m = 12

m = 3

La respuesta sería: el chico debe hacer rebotar la pelota en el punto R que se encuentra a 3 metros de él y 5 metros de la pared.

AMPLIACIÓN:

Hemos hecho los cálculos con una proporción que ha dado como resultado una ecuación de primer grado. También podemos solucionar el problema de forma estrictamente geométrica, haciendo la simetría de la ventana con el suelo y prolongando la trayectoria de la pelota en línea recta, como si golpeara contra el reflejo de la ventana en el suelo, tal y como se ve en el esquema:

Según esto, primero calculamos el punto E, simétrico del D respecto a la recta AC, y el punto de rebote R sería el punto de corte de la recta BE con la recta AC.

 
Nota: este problema ha sido adaptado del libro: Matemágicas, de Ignacio Soret Los Santos.

Magic Squares - Cuadrados mágicos

Magic Squares

A magic square is an arrangement of numbers in a square grid so that each horizontal, vertical and diagonal line of numbers adds up to the same total, called the magic constant. The smallest magic square (apart from a box with the figure 1 in it) has three squares on each side and the magic constant is 15:

 

 

This is known as the Lo Shu square after a Chinese legend recorded as early as 650 BC. This tells how villagers tried to appease the spirit of the flooding river Lo and a turtle came out of the water with markings on its back that depicted the magic square. The pattern acquired ritualistic or talismanic properties for the local people.

 

 

Cuadrados mágicos

Un cuadrado mágico es una disposición de números en una tabla cuadrada de forma que cada línea horizontal, vertical o diagonal de números suman el mismo resultado, llamado constante mágica. El cuadrado mágico más pequeño (aparte de una caja con el dígito 1 en ella) tiene tres cuadrados por cada lado y su constante mágica es 15.

Este es conocido como el cuadrado Lo Shu, por una leyenda china cuyo registro se remonta al 650 a. de C. Esta leyenda nos cuenta cómo los aldeanos trataron de aplacar el espíritu del desbordado río Lo, y una tortuga salió del agua con marcas sobre su espalda que representaban el cuadrado mágico. El modelo adquirió propiedades ritualísticas y talismánicas para la población local.

 

 

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Rooney.

[El Problema de la Semana] Hacia las seis

¿Tenéis un reloj analógico a mano? Pues idlo preparando:

Si nos fijamos en la hora que marca el reloj, a la aguja horaria le falta el triple de tiempo en llegar a las 6 que a la aguja de los minutos.

¿Qué hora marca el reloj?

Para la solución no hace falta girar las manecillas del reloj, sino la rueda del ratón.

Esta imagen es de un bonito reloj que se encuentra en París, en el actual Museo d'Orsay. El museo fue una estación de trenes, y uno de sus ferrocarriles era el que hacía el trayecto París-Orleans. La llegada del transporte por ferrocarril en el siglo XIX popularizó los relojes y trajo el establecimiento de un horario común en todas las ciudades y pueblos de cada nación. Hasta ese momento, cada ciudad y pueblo tenía su hora propia, ligada a la hora solar, lo cual suponía una enorme dificultad para calcular los horarios de salida y llegada de los trenes.

SOLUCIÓN:

Para resolver el problema hay que pensar que la aguja horaria estará en las 6 cuando sean las 6 en punto, mientras que la aguja de los minutos estará en las 6 cuando sea "la hora que sea y media". Es fácil darse cuenta que esa "hora que sea y media" debe ser las 5 y media, pues la aguja de los minutos no puede alejarse de las 6 más de una hora. Luego la hora que marca el reloj será antes de las cinco y media, lo suficiente para que a la aguja horaria le falte el triple de tiempo en llegar a las 6 que a la de los minutos en llegar a las cinco y media.

Un cálculo mental inmediato nos lleva a que la hora que marca el reloj debe ser las 5:15. De ese modo, faltarán 15 minutos para que sean las 5 y media, y 45 minutos (el triple de tiempo) para que sean las 6 en punto.

Es más sencillo darse cuenta mentalmente de la situación que plantearla con una ecuación, pero en este caso se podría plantear la ecuación siguiente:

6 − x = 3 · (5'5 − x)

La resolvemos:

6 − x = 16'5 − 3x

2x = 10'5

x = 5'25

La respuesta es 5'25, es decir, 5 horas y 0'25 de hora, o lo que es lo mismo, 5 horas y cuarto, la misma solución que nuestro cálculo mental.

Nota: este problema ha sido adaptado del libro Enigmas para Darle al Coco, de Àngels Navarro.

John Napier

John Napier (1550-1617)

John Napier was a Scottish mathematician and eighth Laird of Merchiston. He entered the University of St Andrews at the age of 13, but left without a degree. He is best known as the inventor of logarithms and another calculating device called 'Napier's bones'. He began working on logarithms around 1594 and published his treatise, Description of the Marvelous Canon of Logarithms, in 1614. Napier's bones comprised a system of small rods used for calculating; they were the forerunner of the slide rule.

Napier was also an inventor of artillery, and suggested to James VI of Scotland something like a tank – a metal chariot with holes from which small bore shot could be fire. He is known, too, as the first person to use the dot as a decimal point separating the parts of a decimal number – his logarithmics tables are the first document to use the decimal point in the modern style.

John Napier (1550-1617)

John Napier fue un matemático escocés y el octavo señor (*) de Merchiston. Ingresó en la Universidad de San Andrews a la edad de 13 años, pero la abandonó sin llegar a graduarse. Es conocido como el inventor de los logaritmos y de otro dispositivo llamado "huesos de Napier". Comenzó a trabajar en los logaritmos alrededor de 1594 y publicó su tratado, Descripción del Maravilloso Canon de los Logaritmos, en 1614. Los huesos de Napier incluyen un sistema de varillas que se usan para calcular; éstas fueron las precursoras de la regla de cálculo.

Napier también fue un inventor de artillería, y sugirió a Jaime VI de Escocia algo parecido a un tanque - un carro de metal con agujeros por los que se pudieran disparar armas de pequeño calibre. También es conocido por ser la primera persona en usar el punto como punto decimal que separa las partes de un número decimal - sus tablas logarítmicas son el primer documento en usar el punto decimal al estilo moderno.

(*) laird es un título escocés que equivale a terrateniente o propietario de una gran cantidad de tierras.

Nota: el texto en inglés ha sido extraído de The Story of Mathematics, de Anne Roone.

[El Problema de la Semana] La combinación secreta

En el problema de hoy tratamos de abrir una caja fuerte:

En una casa abandonada hemos encontrado una vieja caja fuerte cerrada. La cerradura se compone de cuatro rodillos, y en cada uno de ellos están 24 letras del alfabeto. Los rodillos han de combinarse de tal manera que formen una determinada palabra desconocida. Como queremos abrir la caja sin forzarla, hemos decidido ir probando con dichas letras todas las combinaciones posibles. Para probar cada combinación se invierten 6 segundos. Disponemos del fin de semana para encontrar la combinación correcta.

¿Tendremos suficiente tiempo?

Abrimos la caja más abajo de la imagen.

Aquí vemos el rodillo en una cerradura de una antigua caja fuerte. La imagen ha sido sacada de este foro. El rodillo tiene las 26 letras del alfabeto inglés. En el mensaje dejado en el foro, la persona que publica la imagen, un tal Cibarius, comenta: "Hace algunos meses un amigo compró una licorería más abajo de donde vivo, y en el negocio apareció esta vieja caja fuerte. Tiene una cerradura con combinación de 26 letras, y mi amigo se pregunta si habrá alguna forma de abrirla. No sabemos nada de la combinación. He pensado en publicarlo aquí para ver si avanzamos en conseguir abrirla. No sé nada sobre estetoscopios ni como abordar la tarea, ¡cualquier consejo sería estupendo!"

 

SOLUCIÓN:

Conforme vamos probando con los rodillos, por "palabra" no entenderemos solo algo que tenga un significado, como "casa", sino también cualquier variación aunque no signifique nada, como "xaqt", o incluso con letras repetidas, como "bbbf". Para probar solo palabras con significado deberíamos tener un buen diccionario, e incluso así debemos debemos contar con que el que ha puesto la combinación tenga como "palabra" algo que no figure en los diccionarios.

Así, por tanto, tenemos que ir probando todas y cada una de las variaciones de 4 letras que podemos formar con las 24 letras del alfabeto que hay en los rodillos. Preferimos, por razones clásicas, llamarles variaciones, en lugar de combinaciones, que es el término más corriente, concretamente se trata del cálculo de variaciones con repetición.

¿Cuántas variaciones tenemos? Esto es bastante fácil de calcular, basta multiplicar:

24 · 24 · 24 · 24 = 331776 variaciones

Para probar cada variación gastamos 6 segundos, luego el número de segundos que necesitamos para probar todas y cada una de ellas son:

331776 · 6 = 1990656 segundos

Una hora son 3600 segundos, luego tenemos que gastar:

1990656 : 3600 = 552.96 horas = 552 horas, 57 minutos, 36 segundos

Si esto lo pasamos a días,

552.96 : 24 = 23.04 días = 23 días, 0 horas, 57 minutos 36 segundos

Es evidente que con un fin de semana no tenemos tiempo suficiente para probar todas las combinaciones, aunque estemos probando incansablemente, incluso sin dormir por la noche.

Entonces, que acertemos la combinación durante el fin de semana es cuestión de suerte y de probabilidades.

Calcular la probabilidad que tenemos de acertar la combinación de la caja fuerte es bastante sencillo: basta dividir los casos favorables entre los casos posibles. Si consideramos el fin de semana como 2 días completos exactos, entonces tenemos 48 horas para probar combinaciones contando con que no paremos a dormir ni a nada:

48 horas = 48 · 3600 = 172800 segundos

Como en cada variación invertimos 6 segundos:

172800 : 6 = 28800 variaciones 

La probabilidad de que alguna de ellas sea la buscada es de:

28800 : 331776 = 0.0868 aproximadamente.

Es decir, tenemos una probabilidad de 8.68%, menos de un 9%, de acertar la combinación de la caja fuerte.

Notas:

Cuando se dice que los rodillos tienen 24 letras del alfabeto, hay que tener en cuenta que no tiene el alfabeto completo. El alfabeto español tiene 27 letras. El alfabeto inglés tiene 26 (las mismas que el español menos la Ñ). Es probable que al elegir las 24 letras que irán en los rodillos de la caja fuerte hayan quedado fuera la Ñ (porque es exclusivamente española), la Q (porque se puede confundir con la O), y otra más, quizás la W.

Este problema ha sido adaptado del libro Álgebra Recreativa, de Yakob Perelman.