10.1.08

En busca de la fórmula perdida

Cuaderno de bitácora: en la entrada anterior que dediqué a la revista Temáticas, se explicaba que "las páginas interiores no estaban numeradas siguiendo una secuencia natural, sino siguiendo la sucesión: 1, 41, 59, 26, 53, 58, 97, 93, 23, 84, 62, 64, 33, 83, 27, 95, 2, 88, 41, 97, 16, 93, 99, 37, 51, 05, 82, 09, 74, 94, 45, 92, 30, 78, 16, 40, 62, 86, 20, 89, 98, 62, 80, 34, 82, 53, 42, 11, 70, 67, 98, 21, 45, 8, 65, 13, 28, 23, 6, 64, 70, 93". En la revista se proponía, como concurso, averiguar la fórmula o ley que hace aparecer dichos números.
Se suponía que era una fórmula sencilla de encontrar para los estudiantes de la Facultad. Han pasado tantos años desde aquello que no recordaba en absoluto la fórmula, y me propuse encontrarla.

Yo sabía que en el número anterior de la revista se había propuesto el mismo concurso con otra sucesión: las páginas del número pi+4 de la revista Temáticas tampoco se habían numerado secuencialmente, como se numeran las páginas de cualquier libro, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,... sino con la sucesión: 1, 68, 35, 2, 69, 36, 3, 70, 37, 4, 71, 38,...
En realidad, para encontrar la ley o fórmula que crea esta segunda sucesión, tenemos que ver un tipo de conjuntos cerrados de números naturales, en los que es posible sumar, restar, multiplicar y dividir siguiendo un patrón cíclico.

Veamos por ejemplo la siguiente sucesión de números: 12, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5. ¿Podemos encontrar el sentido a su construcción?

Sí. Para ello sólo necesitamos imaginarnos un reloj de manecillas. Pongamos la aguja de las horas en las 12. Éste sería el primer término de la sucesión. Supongamos que pasan 7 horas, ¿dónde se coloca la aguja? Pregunta tonta: la aguja estará en las 7, ya tenemos el segundo término. Y si pasan otras siete horas, ¿dónde estará la aguja? ¡Sorpresa! La aguja marca las 2, el tercer término. Y después de otras siete horas, la aguja marca las 9, y así sucesivamente, de siete en siete horas, tenemos los restantes términos: 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5. Si vuelven a pasar otras siete horas, la aguja regresa a las 12 y vuelta a empezar.

Esta sucesión, por tanto, consiste en empezar en el 12 e ir sumando siete, y suponer que el resultado lo miramos en un reloj de doce horas. ¿Podría aparecer esta sucesión en la vida diaria? ¡Claro! Imaginemos un trabajo de veinticuatro horas que se realiza en turnos de siete horas. Un primer empleado entra a trabajar por ejemplo a las 12 del mediodía y termina su turno a las 7 de la tarde, hora en la que es sustituido por otro empleado. Éste, empezando a las 7 de la tarde, terminará a las 2 de la madrugada, y es sustituido por otro que empezando a las 2, terminará su turno a las 9 de la mañana, etc. Así se van marcando los términos de la sucesión.

Los números del 1 al 12 forman en este caso un conjunto numérico cerrado, en el que se puede sumar. Si al sumar dos números nos pasamos de 12, basta con tomar la diferencia que nos hemos pasado: así por ejemplo 9+7=16, y todos sabemos que las 16 horas es lo mismo que las 4 de la tarde, porque 16-12=4.
De la misma forma que se puede sumar, en este conjunto de números también se puede restar y multiplicar. Por ejemplo, si son las 8, y retrasamos la aguja once horas, estaría en las 9; efectivamente, de forma aritmética, 8-11=-3, y -3+12=9. También multiplicando: Una aguja que empiece en las 12 y la hacemos avanzar 5 horas, y otras 5, y 5 más, y 5, acaba en las 20 horas, que son las 8, o de forma aritmética, 5·4=20, y 20-12=8.
En el reloj, las horas están dispuestas cíclicamente. Cuando sumamos dos horas y el resultado se pasa de 12, no importa, la aguja ha dado una vuelta completa al reloj y se coloca en la hora equivalente. Lo mismo pasa con los números. Cuando tomamos dos números entre 1 y 12 y los sumamos, los restamos o los multiplicamos entre sí, y el resultado se sale del límite entre 1 y 12, basta imitar lo que ocurre en el reloj, y sumar o restar 12 las veces que necesitemos hasta obtener el resultado equivalente entre 1 y 12. En la esfera del reloj, si la manecilla horaria está en una posición y pasan 12 horas, la manecilla estará en la misma posición: sumar o restar doce horas no afecta a la posición de la manecilla porque es darle una vuelta completa a la misma en un sentido o en otro.

Hemos estado hablando de sumar, restar y multiplicar. Pero dividir es diferente. Dividir números entre 1 y 12 y que el resultado salga entre 1 y 12, como decía Michael Ende en su Historia Interminable, "es otra historia y será contada en otra ocasión".

Este tipo de operaciones y equivalencias, se llaman matemáticamente congruencias. La manera técnica de decir que las 8 de la tarde y las 20 horas es lo mismo sería 20 es congruente con 8 módulo 12, o también de forma abreviada 20=8 mod(12).

La sucesión 1, 68, 35, 2, 69, 36, 3, 70, 37,... está basada en una congruencia, en una construcción del mismo tipo que el conjunto cerrado de los números del reloj, pero no módulo 12 como la de las horas del reloj, sino módulo 100. Se puede construir fácilmente tomando como primer término el 1, y luego ir sumando 67, y considerar que estamos en un conjunto cerrado cíclico del 1 al 100, (basta imaginarse un reloj de 100 horas en lugar de 12). Así, se toma el primer término, 1. Para obtener el segundo término sumo 67: 1+67=68. Para obtener el tercer término vuelvo a sumar 67: 68+67=135. Me ha dado 135, pero esto se ha pasado de 100, luego cuento sólo lo que se ha pasado, 35. Para obtener el cuarto término vuelvo a sumar 67: 35+67=102. También se ha pasado de 100, me quedo sólo con el 2. Para el quinto término, sumo 67 otra vez: 2+67=69. Para el sexto término: 69+67=136, y me quedo con el 36, etc.
Todo esto tenía yo en la mente, cuando intenté sacar la fórmula de la primera sucesión que hemos mencionado: 1, 41, 59, 26, 53, 58, 97, 93, 23, 84, 62, 64, 33, 83, 27, 95, 2, 88, 41, 97, 16, 93, 99, 37, 51, 05, 82, 09, 74, 94, 45, 92, 30, 78, 16, 40, 62, 86, 20, 89, 98, 62, 80, 34, 82, 53, 42, 11, 70, 67, 98, 21, 45, 8, 65, 13, 28, 23, 6, 64, 70, 93, y empecé a darle vueltas a las congruencias, tomando diversos módulos, sumando diversas cantidades, incluso multiplicando por varios números. Estuve bastante rato garrapateando con papel y lápiz, probando, probando, una y otra vez, pero no encontraba la fórmula.
Me extrañaban dos cosas que presentaba la sucesión: algunos números de las páginas se repetían, como el 97, el 93 o el 64 por ejemplo, pero sin regularidad ni lógica, y en dos ocasiones aparecía un cero inútil, concretamente en las páginas numeradas 05 y 09. Lo lógico era poner 5 y 9, pero si estaba escrito así tenía que haber alguna razón.

Estuve empecinado en encontrar una fórmula de congruencias toda la tarde, hasta que cansado y convencido de que la solución no tenía que ser demasiado complicada, tan sólo ingeniosa, se me ocurrió dar un giro a mis hipótesis y buscar algo distinto a las congruencias.

Y de repente... ¡Eureka! Con un súbito flash lo vi todo claro. ¡Menuda tontería! ¿Cómo no me había dado cuenta antes de que la sucesión en realidad nace del número más famoso entre los matenavegantes?

3.1.08

Temáticas

En mis inicios en la Matenavegación tuve la oportunidad de colaborar en un número de la revista Temáticas. Era una revista editada en la Facultad de Matemáticas de Sevilla por los propios alumnos. Entre mis viejos papeles conservo el número en que colaboré, y del cual muestro la portada.

Mi paso por la Facultad de Matemáticas de Sevilla fue un tanto irregular. Tras un primer curso lleno de éxitos, mis inquietudes e ignorancia en la Matenavegación me hicieron tomar derroteros tormentosos y poco seguros, de los cuales, y tras muchas dificultades, pude salir afortunadamente indemne y con un poco más de experiencia al cabo de los años.

El caso es que, si no me falla la memoria, sólo llegué a conocer dos de los números de la revista Temáticas, en el segundo de los cuales colaboré, con algún que otro artículo y varias ilustraciones, como la de la portada.

La revista tenía una edición bastante artesanal. Fue escrita con los medios a nuestro alcance, estamos hablando del año 1988, usamos máquinas de escribir y alguna que otra impresora de las primeras que salieron, de esas de tramas de puntos. También empleamos el método de cortar y pegar, literalmente hablando, con tijeras y pegamento, y para ciertos adornos empleamos letras, símbolos y dibujitos que venían en papel de celofán y que había que pegar sobre las páginas, presionándolos con la punta de un bolígrafo. Una vez confeccionada cada página, la llevamos a la multicopista de la Facultad, que se encargó de hacer las copias y de encuadernarlas, formando la revista final, con dos cartulinas amarillas, una delante y otra detrás, que hacían las veces de portada y contraportada.

Incluyendo portada y contraportada, la revista consta de 33 hojas, o 66 páginas en total. Como estaba editada en la Facultad de Matemáticas, tanto al número de la revista como a la numeración de las páginas le quisimos dar un toque original; así la revista no era la número 5, sino la número pi+5, y las páginas interiores no estaban numeradas siguiendo una secuencia natural, sino siguiendo la sucesión: 1, 41, 59, 26, 53, 58, 97, 93, 23, 84, 62, 64, 33, 83, 27, 95, 2, 88, 41, 97, 16, 93, 99, 37, 51, 05, 82, 09, 74, 94, 45, 92, 30, 78, 16, 40, 62, 86, 20, 89, 98, 62, 80, 34, 82, 53, 42, 11, 70, 67, 98, 21, 45, 8, 65, 13, 28, 23, 6, 64, 70, 93. En la propia revista se proponía a los lectores que encontraran la fórmula o ley que había construido la sucesión. (Para conocer más detalles sobre la misma, se puede leer la siguiente entrada del blog: En busca de la fórmula perdida)

El precio de venta fueron 125 pesetas. El contenido lo resumo en el siguiente índice:

-La editorial, escrita por Eddy Thorial.

-El artículo "El 5º postulado de Euclides y las Geometrías no Euclidianas", de Luis M. Fernández.

-"Carta al Señor Juez", un testamento gracioso y delirante sobre los problemas de parentesco que se generan cuando un hombre se enamora de su propia hija y decide casarse con ella.

-"La Creación", una parodia mitológica escrita por M.R.F.

-El artículo "El Cubo de Rubik, 10 años después", escrito por José Cortés Parejo.

-El primer concurso de cuentos, del que resultaron ganadores como primer premio un cuento sin título, firmado con el lema Sofía, y escrito por Miguel Ángel Sordo Díaz, y el segundo premio para el cuento Las Torres, de Joaquín Borrego Díaz.

-Los artículos en tono humorístico "Crónica crítica de las elecciones cítricas", "Sobre la parida del primer concurso de paridas" y "Resultados del primer concurso de sucesiones Memorial Pedro López Rodríguez", escritos por mi persona. En el primero de ellos hacía una crónica de las elecciones a los premios Naranja y Limón; en el segundo sobre un concurso que se hizo para elegir las mejores tonterías dichas por los profesores en clase, y en el tercero sobre el concurso para adivinar precisamente cómo se había construido la sucesión de las páginas del número anterior de Temáticas.

-El artículo "Fenómenos inexplicados: los Forteana", escrito por Rafael Moyano, al que mando un cariñoso saludo desde este blog.

-Una poesía de Reyes Mérida.

-Una entrevista a Gustavo Sánchez Gómez, director del C.D.C.U.S., por Andrés Caro y Luis Férnandez.

-El artículo "Curiosidades Musicales", de Beatriz Hernández, sobre algunas anécdotas de los grandes compositores de la música clásica.

-Las letras de la chirigota Doydote, de las actuaciones de los años 86 y 87.

-Una Carta al Decano, firmada por O.N.C.E., donde se hacen algunas críticas y reclamaciones al funcionamiento de la Facultad.

-Dos páginas del Real Diccionario Enciclopédico Alfalfa, un diccionario irreverente y gamberro sobre cosas y personas de la Facultad, escrito por los chicos de Alfalfa Films. (La palabra alfalfa está escrita con dos alfas griegas.)

-La Crónica Deportiva, de los equipos de la Universidad, por Paco Casasola.

-Cuestiones Recreativas, una pequeña lista de problemas de ingenio, seleccionados por Beatriz Hernández y mi persona.

-El artículo paródico humorístico "Historia actualizada de las Matemáticas (II)", por A.N.O.N.I.M.O.S.

-Y la Última Página, escrita por la Redacción.

La contraportada está ilustrada con un dibujo de Baldomero Collado.

La Directora de la revista es Mercedes Espinosa, y los Dirigidos somos Andrés Caro, Luis Fernández, José Ferreros, Daniel Franco, Rosana Gallardo, Beatriz Hernández, Manuel Quidiello y Paulino Valderas.

Más adelante me extenderé sobre algunos contenidos interesantes de la revista, concretamente sobre el artículo del Cubo de Rubik, puede que la carta al señor Juez, y el artículo sobre el Quinto Postulado de Euclides.