Triángulos en la tele

Hace algunos días, un fin de semana ocioso, encendí el televisor por la mañana, y me encontré en una cadena, la Sexta creo, uno de estos concursos de "llame, responda a lo que le preguntamos y ganará mil euros". Quedé muy sorprendido al ver que presentaban una figura formada por un triángulo y líneas interiores, y la pregunta era ¿cuántos triángulos hay en la figura?

La presentadora instaba a los telespectadores que llamaran y las pocas personas que lo hacían decían cifras, muy bajas, incluso repetían cifras de participantes anteriores, y la presentadora insistía, subía la oferta, daba pistas, decía por ejemplo que la cantidad total de triángulos era impar, etc. Durante el rato que estuve mirando el televisor, nadie lo acertó, y yo dibujé la figura en un papel, di nombre a los vértices y me puse a contar triángulos, enumerando todas las combinaciones posibles, obteniendo al fin un total que supongo correcto.

Se me ocurrió llamar al programa, a ver si conseguía el premio, pero como nunca he llamado a ningún concurso de esos, y sé que la llamada telefónica cuesta una barbaridad, más de un euro el minuto, al final no me animé a participar. Pero sí me interesó mucho como curiosidad, el que un programa tan trivial y de relleno como el que estaba viendo presentara problemas matemáticos interesantes.

Las personas creen que contar es fácil, pero los matenavegantes sabemos que en ocasiones contar puede ser tremendamente complicado. A continuación tenemos la figura que vi en la tele, y desafío a todos los grumetes y marineros de agua dulce a que digan cuántos triángulos diferentes se pueden contar en ella.

Figura 1

Al siguiente día, me encontré de nuevo un problema de triángulos, esta vez para que se dijera cuántos había en la siguiente figura:

Figura 2

Este triángulo tenía menos combinaciones, y decidí plantearlo como problema de la semana a nuestros grumetes. Muchos de ellos lo averiguaron.

SOLUCIONES:

En la figura 1 se pueden contar hasta 47 triángulos distintos. Yo no he encontrado más (ni menos). En el siguiente gráfico están coloreados todos los triángulos encontrados:

Figura 3

La figura 2 es más sencilla. Solo tiene 21 triángulos diferentes. El caso es que yo en principio me equivoqué y creía que había 23, al final los volví a repasar una y otra vez y no encuentro más de 21. Aquí están, detallados todos con diferentes colores:

Figura 4

Encuentros

Cuaderno de bitácora: en nuestros viajes por los Mateocéanos hemos conocido a dos matenavegantes a los que no quiero dejar de mencionar:

La primera es María Teresa Gasch, de Seu D'Urgell, que me llamó por su interés en el corto Donald en el País de las Matemáticas. Desde aquí quiero enviarle un saludo y agradecer su amabilidad y entusiasmo.

El segundo es Juan Alberto Crespo, locutor de una emisora de radio de Gran Canaria, que se puso en contacto conmigo para una entrevista telefónica sobre el número pi. Es responsable, junto a Luis D. Espino, del programa El Aleph, que se emite los sábados a las tres de la tarde.

PD: La traducción más correcta del título del corto es Donald en el País de las Matemágicas, (Donald in Mathmagic Land), aunque nunca me ha gustado ese nombre. Se puede hablar de Matemagia, pero prefiero pensar en un País de las Matemáticas, un País de las Maravillas, como el que visita Alicia de la mano del matemático Lewis Carroll, en cuya obra está inspirado el corto de Donald.

Con motivo de la entrevista con Juan Alberto, estuve preparándome un tanto, y aproveché para ver la película de culto Pi (Fe en el Caos), del director Darren Aronofsky. No está mal. Quizás escriba un artículo en doDK sobre la misma.

Puntos e Intervalos

Cuaderno de bitácora: hace unos días mi matenavegante más querida leyó la entrada del blog en la que se hablaba de que el cero era un punto de la recta real y no un intervalo, y me dijo que no entendía muy bien la diferencia entre punto e intervalo ni a qué se refería cada cosa.

Es fácil imaginarse un punto. Basta mirar los píxeles de la pantalla de un ordenador. Basta mirar el punto ortográfico en el que suelen terminar las frases, por ejemplo las que escribo en este blog. Si nos dicen que dibujemos un punto, podemos tomar el lápiz y señalarlo en una hoja de papel, o tomar una tiza y marcarlo en la pizarra. Hasta ahí todo parece claro.

Un intervalo de una recta es un trozo continuo de recta. Imaginemos un trozo de hilo de coser. Imaginemos una mina de grafito para cargar nuestro portaminas. Imaginemos una de esas sierras pequeñas que se colocan en las seguetas para hacer trabajos de marquetería.

Un segmento de recta, como los que nos hemos imaginado, es un intervalo. Sin embargo, en la idea de intervalo también se encuentra implícitamente la idea de escala numérica: así, por ejemplo, se puede hablar del intervalo de temperaturas que se ha alcanzado durante un día en una ciudad, o del intervalo de edades en el que están comprendidas las de un grupo de personas. Un intervalo tiene una longitud, y además un punto de inicio y un punto final, perfectamente definidos.

La mayoría de nosotros habrá aprendido en el colegio que cuando un punto se mueve genera una línea, y que una línea está compuesta por puntos unidos. Es fácil imaginarse un punto, pero ¿cómo es un punto? ¿Cómo es un punto matemático?

Un punto matemático no es exactamente un píxel, ni lo que podamos dibujar en el papel con un lápiz, ni en la pizarra con la tiza. Un punto matemático no tiene dimensiones, ni longitud, ni anchura, ni altura, ni profundidad.

Si miramos al microscopio un píxel, veremos un cuadrado. Si miramos al microscopio el punto que hemos dibujado con el lápiz sobre el papel veremos una mancha de grafito de forma irregular pero aproximadamente circular, y para mirar el punto que hemos dibujado en la pizarra con la tiza no necesitamos un microscopio: a simple vista podremos ver una mancha más o menos grande, sobre fondo oscuro, quizás del tamaño de un guisante o de un garbanzo, un pequeño borrón de arcilla terrosa blanca (como dice el diccionario) en el que se aprecia el polvo de que está compuesta.

Pero si tomamos un punto matemático y lo observamos con un microscopio, lo seguiremos viendo como un punto, jamás lo veremos más grande, no engordará ante nuestra vista, por muchos aumentos que le pongamos al microscopio.

Un punto matemático es más pequeño que una mota de polvo, que una célula, que un átomo, que un electrón. Es más: un punto matemático no tiene forma, no es redondo, ni cuadrado, ni como una pequeña bola, ni hexagonal, triangular, ni ninguna forma que se nos ocurra, porque si tuviera forma tendría dimensiones, longitud, anchura, altura, etc. Y un punto matemático, perdonad que insista, ¡no tiene dimensiones!

Si ponemos dos puntos juntos, la anchura obtenida será cero. Si ponemos cien, mil, un millón de puntos juntos, uno al lado de otro, formando una larga fila, la longitud de esta fila será ¡cero! Es como si todos los puntos se fundieran en uno solo. Dos puntos siempre han de estar separados, porque si se acercan hasta juntarse el uno con el otro, se confunden en uno solo y ya sólo veremos un punto. Entonces, para formar un intervalo, para formar un segmento de recta, algo que tenga longitud, ¡se necesitan infinitos puntos!, tantos, tantos, que no se pueden contar, ¡ni siquiera con todos los números naturales que existen!

De repente, los puntos matemáticos se me antojan elusivos, extraños, misteriosos, y hasta me han dado un poco de miedo. Pero son así. Por eso siento respeto cada vez que se habla de un punto matemático.

PD: consultando el diccionario me he dado cuenta que la palabra tiza, tan corriente, tan cercana para todos los matenavegantes, tan del día a día, ha efectuado un largo viaje hasta llegar a nosotros. Proviene del nahua tizatl. El nahua es una de las antiguas lenguas mexicanas, hablada por los aztecas antes del descubrimiento de América y la llegada de Hernán Cortés.

El Calendario (y 4): La Medida del Tiempo

Cuaderno de bitácora: mientras estoy en cubierta observando las estrellas, midiéndolas con el astrolabio y otros instrumentos científicos, haciendo cálculos de posiciones, velocidades y fechas, no hago más que pensar que esto de la medida del tiempo es una cosa más profunda de lo que habitualmente pensamos o creemos.

Como suele suceder con tanta frecuencia en la actualidad, la medida del tiempo se nos da ya hecha, calculada, masticada y digerida, con una apariencia perfecta, exacta, acompañada del trabajo de aparatos muy precisos, cronómetros y relojes de todas clases, mediciones hechas con los métodos más sofisticados, ópticos, rayos láser, relojes atómicos, observaciones astronómicas de satélites y potentes telescopios, etc.

La medida del tiempo ha sido desde la más remota antigüedad una preocupación de primer orden, como se ha descubierto en diversos monumentos de civilizaciones perdidas: las pirámides de Egipto, Stonehenge, Newgrange, los calendarios babilónicos, aztecas y mayas... El cálculo de la duración de los ciclos de la luna, del sol, de las estrellas, de los planetas, ha impulsado las matemáticas de una forma poderosa, y viceversa: también el desarrollo de las matemáticas ha permitido hacer cálculos y seguimientos cada vez más precisos.

El calendario, dividido en días, meses, años, siglos y milenios, es algo totalmente relativo al mundo en que nos encontramos, a la cultura a la que pertenecemos y a la historia de nuestras civilizaciones. En realidad, si viajáramos fuera de la Tierra y nos estableciéramos en otros planetas, los días, meses, años, tal y como los conocemos dejarían de tener sentido real.

Un día coincide con el tiempo que tarda el sol en dar una vuelta completa a la Tierra. Un mes es aproximadamente el tiempo que la Luna emplea en completar su ciclo de luna llena, cuarto menguante, luna nueva, cuarto creciente y luna llena otra vez, y cada semana coincide con una parte de este ciclo. Un año es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol.

Nosotros estamos muy tranquilos, con nuestros relojes, almanaques y calendarios, y todo el sistema y el consenso social difundido a través de los medios de comunicación. Parecemos tener una medida perfecta del tiempo, el tiempo está controlado bajo nuestras manos, es como una maquinaria ideal de relojería con la que soñamos y con la que deberían estar fabricados los relojes más perfectos.

Pero el tiempo es relativo. Lo es a nivel psicológico, en el que las personas perciben el ritmo temporal de forma diferente, de acuerdo a sus circunstancias, su edad, su estado psíquico, etc. No corre el tiempo de la misma manera para un niño que para un anciano; todo el mundo sabe que en la infancia el tiempo se nos antoja muy lento, y que conforme vamos creciendo el tiempo parece correr cada vez más rápido. Una persona que está pasando por momentos difíciles, por sufrimientos, ve pasar el tiempo de forma lenta y exasperante, mientras que otra que está tranquila, feliz, entretenida, no se da ni cuenta de lo rápido que transcurre, hasta que se ha ido. Pero eso sí, lenta o rápidamente, el tiempo pasa y, con él, todo pasa.

Einstein nos demostró que el tiempo también es relativo físicamente hablando: si dos astronautas se desplazan a velocidades distintas, y uno de ellos se acerca a la velocidad de la luz, el tiempo para él transcurre más lentamente que para el otro.

J. Richard Gott, en su libro Los Viajes en el Tiempo nos explica que para la física actual no es posible viajar al pasado, pero sí al futuro. Basta montarse en una nave espacial, alejarse de la Tierra a una velocidad muy cercana a la de la luz, trasladarse en ella durante varios años, y luego dar la vuelta y regresar a la Tierra. El tiempo habrá pasado más deprisa para los habitantes de nuestro planeta que para los viajeros espaciales.

Si, por ejemplo, la nave alcanza el 99’995% de la velocidad de la luz, (teniendo en cuenta que la velocidad de la luz es de unos 299.792 kilómetros por segundo, esto equivale a ir a 299.777 kilómetros por segundo) y recorre un trayecto de ida y vuelta a una estrella que se encuentre a 500 años luz de la Tierra, en nuestro planeta habrán pasado mil años, mientras que para los tripulantes de la nave tan sólo habrán pasado diez años. Para ellos, por tanto, será como si hicieran un viaje de mil años hacia el futuro.

Por último, ¿quién nos garantiza que el tiempo transcurra siempre de la misma forma? ¿Acaso sabemos algo sobre el tiempo? Si el espacio, como afirma Einstein, no es tan homogéneo como suponemos, se curva y se retuerce en presencia de objetos de mucha masa, y admite matemáticamente dimensiones superiores a las tres dimensiones a las que estamos acostumbrados, ¿no puede suceder lo mismo con el tiempo?

Navegando por los matemares me imagino a veces entrando en regiones desconocidas, lugares donde es posible alterar las condiciones habituales en las que vivimos, Triángulos de las Bermudas en los que la realidad se desajusta y desfasa, y pienso qué matemáticas, qué leyes, qué conocimiento puede haber detrás de ello que todavía se nos escapa…

PD: Es curioso que en las series televisivas de la saga Star Trek se emplea la llamada fecha estelar. Cada episodio comienza habitualmente con una entrada en el cuaderno de bitácora o diario personal del capitán, marcada con la fecha estelar, por ejemplo 50893.5. Esta fecha estelar parece ser usada en conjunto por todas las razas de la Federación Galáctica cuando están en viaje por el espacio, y se creó para no depender del calendario de la Tierra, que en el espacio exterior, lejos de nuestro planeta, deja de tener sentido, y además no coincide con los calendarios propios de cada raza de la Federación: vulcanianos, klingons, etc.

Para conocer la historia de la fecha estelar de Star Trek, se puede visitar esta página explicatoria (está en inglés).

El Calendario (3): Algo de Historia

Aunque en la entrada anterior del blog me hice un lío, a propósito, sobre si existió o no el año cero, por lo que he consultado con ciertos navegantes expertos en historia, el año cero no aparece en las cuentas de nuestro almanaque occidental. Hay acontecimientos fechados en el año 1 antes de Cristo y otros acontecimientos en el año 1 después de Cristo, pero no hay ninguna referencia a ningún suceso histórico en el año cero.

¿De dónde proviene nuestro almanaque actual?

Por un lado, nuestros meses se originaron en el mundo romano. En la antigua Roma, al principio, el año empezaba en el mes de marzo, dedicado al dios Marte como su nombre indica, y tenía solo diez meses. Los meses iban de marzo a diciembre. Julio era quintilis, agosto era sextilis, y luego venían septiembre, octubre, noviembre y diciembre. Los nombres de los meses están relacionados, como se puede apreciar todavía en español, con los números de orden que ocupan: quintilis-quinto, sextilis-sexto, septiembre-séptimo, octubre-octavo, noviembre-noveno y diciembre-décimo.

Si sólo había diez meses, eso quiere decir que el año no duraba 365 días, como ahora, sino 304 días. No es que la Tierra tardara menos tiempo en dar la vuelta al sol, sino que los antiguos romanos contaban los años de 304 días en 304 días, y como consecuencia las estaciones del año, primavera, verano, otoño e invierno no se daban siempre en el mismo mes. Si en un año la primavera entraba en marzo, al año siguiente (304 días más tarde), en marzo todavía era invierno, y hacía falta esperar dos meses, hasta mayo, para que llegara la primavera, y al siguiente año hacía falta esperar hasta julio-quintilis, y así sucesivamente.

En el antiguo mundo romano, el calendario corría más deprisa que el giro del planeta Tierra. Los meses coincidían aproximadamente con el ciclo de la Luna, pero los años no estaban sincronizados con las vueltas de la Tierra alrededor del Sol. Al no tener un basamento astronómico firme, el año era tan solo un convenio social, y por tanto estaba a expensas de ser trastocado y manejado por intereses sociales o políticos, trayendo, a menudo, desequilibrio y confusión a la vida diaria de los ciudadanos.

Julio César

Posteriormente se añadieron dos meses más, enero y febrero, pero no fue hasta el 46 a.C. que el calendario fue reformado por Julio César para que el año se acomodara con exactitud a la duración de las vueltas de la Tierra en torno al Sol, y los meses se fijaron tal como los conocemos hoy. Julio César se apoyó en los cálculos del astrónomo griego Sosígenes de Alejandría, y se puede suponer que éste heredó su conocimiento del pueblo egipcio.

En el antiguo Egipto siempre se utilizó un calendario solar, un calendario que llevaba la medida del tránsito del sol y las estaciones. Gracias a ello, se podía calcular con precisión las fechas en las que el Nilo se desbordaba y anegaba las tierras de cultivo, fertilizándolas y garantizando el éxito de las próximas cosechas.

Julio César introdujo también el año bisiesto, para coincidir mejor con la duración del ciclo terrestre, aunque este sistema no es perfecto, necesita una adaptación cada siglo y cada milenio. Por eso el Papa Gregorio XII en 1582 hizo una pequeña reforma, quitando varios días del almanaque para obtener un correcto ajuste, que se había ido perdiendo desde la época romana.

El mes de quintilis fue renombrado como julio, en honor de Julio César, que había nacido ese mes, y se le dio una duración de 31 días, y posteriormente se hizo lo mismo con el de sextilis, que recibió el nombre de agosto en memoria de Octavio Augusto, y también fue dotado con 31 días.

PD: una de las fuentes consultadas durante la elaboración de este artículo del blog, es la revista de enero de Historia-National Geographic.

El Calendario (2): El Año Cero

El año cero no existió. Ésta era mi opinión. Alguien me quiso explicar una vez que el año cero no había existido por no sé qué razón histórica de ajuste de calendarios. Yo no compartía ninguna razón histórica. El año cero no existió porque matemáticamente no debía existir, si queremos que el calendario y la medida del tiempo tengan un poco de sentido común.

Sin embargo, empiezo a reflexionar, y pienso que tampoco debo ser tan radical. En realidad, depende de cómo nos guste contar y medir el tiempo.

Tomemos, por ejemplo, un reloj digital. En la mayoría de los relojes se puede elegir la hora en formato de 24 horas o con la distinción a.m.-p.m. A mí, personalmente, me gusta más el formato 24 horas para los relojes. Cuando llega la medianoche, el reloj marca las 0:00, es decir, la hora cero. Luego va contando el tiempo durante todo el día hasta marcar las 23:59, y luego regresa a las 0:00.

Pero si ponemos el reloj en el formato a.m.-p.m. podemos observar que la cuenta es diferente. Al llegar la medianoche, no tenemos hora cero, sino que marca las 12:00 a.m. Luego sigue contando las 12:01 a.m., las 12:02 a.m., así hasta las 12:59 a.m., y luego pasa a las 1:00 a.m., etc. Cuando llega al mediodía marca las 11:59 a.m., y luego pasa a las 12:00 p.m., luego las 12:01 p.m., etc., hasta llegar a las 11:59 p.m. en la medianoche y luego otra vez 12:00 a.m. y vuelta a empezar. Las horas están agrupadas en dos conjuntos, doce horas a.m., es decir, ante meridiem o antes del mediodía, y otras doce p.m., post meridiem, después del mediodía.

Los relojes, por tanto, nos dan a elegir dos maneras de contar el tiempo. En la primera, las 24 horas se cuentan de corrido, empezando en las 0 horas y terminando en las 23 horas. En la segunda manera, las 24 horas se cuentan en dos grupos, pero en ninguno de ellos hay hora cero. Se cuentan del 1 al 12.

Si en los relojes las horas se pueden contar de dos maneras distintas, una con hora cero y la otra sin hora cero, ¿por qué no se pueden contar los años de dos maneras distintas?

Bien, aunque la respuesta parece obvia, no lo es tanto, porque los relojes cuentan las horas cíclicamente, lo que quiere decir que si hay hora cero, cuando lleguemos a la 23 cerramos la cuenta y comenzamos de nuevo con el cero, pero si no hubiera hora cero, empezamos en el 1, llegamos al 24, cerramos la cuenta y empezamos de nuevo con el 1. No hay problema, el 24 y el 0 harían el mismo papel. Pero la cuenta de los años no es cíclica, parece más bien lineal, con años después de Cristo y años antes de Cristo, o dicho para matenavegantes: años positivos y años negativos.

Los matenavegantes estamos acostumbrados a viajar por la recta real, o recta de los números reales, una escala en la que aparecen todos los números, tanto negativos, positivos y decimales. En esa recta, los números son puntos, no tienen dimensión, no son como los intervalos. Si pensamos en el tiempo como una línea, los puntos serían momentos en el tiempo, sucesos, diferentes de los intervalos de tiempo.

Cuando me imagino un año, ¿debe ser un punto o un intervalo? Yo siempre lo consideré como un intervalo, lleno de momentos y sucesos puntuales. El año tiene una extensión, y por tanto no debe ser un punto. El cero de la recta real no es un intervalo, sino un punto, y debe corresponder con un momento en el tiempo, el momento en que comenzó el calendario.

Si empezamos a contar el calendario y estamos en el primer año, ¿no debería ser llamado año 1? Cuando un niño nace, durante sus primeros doce meses, ¿no está en el primer año de vida, o año 1? Cuando pasan los doce meses, y cumple 1 año, ¿no entra en su segundo año de vida?

Pero luego pienso en un reloj que comenzara a contar el tiempo desde un momento inicial. El 1 de Enero a las 12:22 marcaría: "años:0, días:0, horas:12, minutos:22". Durante todo ese año, y hasta que no entrara el siguiente, el marcador de años sería cero, por tanto podríamos llamarlo año cero.

Y si es así, ¿por qué no hay un 0 de Enero, un 0 de Febrero, etc.? Todos los meses empiezan con el 1...

No nos metamos en un nuevo laberinto y volvamos al tema de los milenios. Si llamamos al primer año, año cero, entonces el primer milenio comprendería los años 0 al 999, el segundo los años 1000 al 1999, el tercer milenio los años 2000 al 2999, etc.

Según la humanidad, el cambio de milenio se produjo al pasar del 1999 al 2000. Conclusión: el año cero sí existió.

PD: para ver la ingente cantidad de calendarios que existen o han existido, se puede consultar la página de la Wikipedia.

El Calendario (1): La Entrada de los Milenios

Con la llegada del año nuevo me gustaría comentar algunas inquietudes que tengo sobre el calendario.

Durante estas fiestas recordé, por ejemplo, cómo hace siete años entramos en el 2000. Era la llegada del nuevo milenio, y todo el mundo lo celebró de esa manera. Comenzábamos el siglo XXI, el tercer milenio, una fecha muy importante. Curiosamente, se temió que los chips de los ordenadores antiguos, no preparados para los cambios de siglos, dieran un problema general en todo el mundo y, como consecuencia, el planeta cayera en un caos informático que paralizara la mayoría de las máquinas y aparatos existentes, pero no fue así.

Con catástrofe o sin ella, los números son los números, y recuerdo que en aquella época insistí en explicar a algunas personas que quisieron escucharme, que el nuevo siglo y el nuevo milenio no entraban en el 2000, sino en el 2001. Todo fue inútil. Casi nadie entendía algo que para mí era muy sencillo y hasta natural. Sin embargo, al final empecé a dudar, y llegué a pensar que todo, en realidad, dependía, como decimos los matenavegantes, de la definición, y en este caso, de la definición de año, de siglo y de milenio.

Sin embargo, voy a aprovechar para intentar aclarar mi punto de vista, que supongo que comparten muchas personas en el mundo. Empecemos poniendo un ejemplo con una docena de huevos.

Supongamos que tenemos un cesto lleno de huevos y los vamos tomando y agrupando por docenas. Cogemos los huevos de uno en uno y los colocamos en un envase para doce. Este envase contendrá el primer huevo, o huevo 1, el segundo, huevo 2, así hasta el décimo segundo huevo, o huevo 12.

Ya tenemos lleno el primer envase. Empezamos a llenar el segundo envase. ¿Qué huevo viene el primero? El huevo 13, luego el 14 y así hasta el 24 inclusive. El tercer envase empezará con el huevo 25, luego el 26, hasta el huevo 36, etc.

Ahora con los años. Tenemos los años en una cesta, y los agrupamos por siglos. Primero tomamos un año, el año 1, luego el año 2, y así hasta el año 100. Con esto completamos los 100 primeros años, el primer siglo. Para el segundo siglo, empezamos con el año 101, luego el 102, y así hasta el 200. El tercer siglo comenzaría con el año 201 y terminaría en el 300, etc.

Con los milenios debe pasar igual. Primer milenio: desde el año 1, hasta el año 1000. Segundo milenio: desde el año 1001, hasta el 2000. Tercer milenio: desde el año 2001 hasta el 3000, etc. Luego, según esta cuenta, el año 2000 pertenece al segundo milenio, y el tercer milenio empieza con el año 2001. Conclusión: según esta forma de contar, EL CAMBIO DE MILENIO NO SE DIO EN EL PASO DEL 1999 AL 2000, SINO DEL 2000 AL 2001.

Sin embargo, en la mente de todo el mundo había el siguiente concepto: los años que empiezan por 1 son del segundo milenio: del 1000 hasta el 1999. Los años que empiezan por 2 son del tercer milenio: del 2000 al 2999. ¿Qué está ocurriendo aquí? Simplemente que la definición de milenio es distinta de la anterior. ¿No es lo mismo entonces contar milenios de años que contar docenas de huevos? Que yo sepa, la humanidad no se ha puesto de acuerdo en qué definición tomar, simplemente se admitió, de facto, que el nuevo milenio entraba en el 2000, que el año 1999 y el año 2000 pertenecían a milenios diferentes.

Y el año cero, ¿existió o no existió? Depende de la definición que se escoja. Pero esto será un tema para una próxima entrada del blog. También seguiré investigando sobre los milenios y nuestro calendario occidental.

Anexo: Buscando imágenes de calendarios, he encontrado una dirección muy interesante. Desde ella se puede descargar un calendario en forma de dodecaedro, con un mes en cada cara; Viene en formato pdf, ha de imprimirse en una hoja A4 y luego recortarlo y pegarlo. Se puede descargar en cualquier idioma, incluido el español.

Espacios Vectoriales

Junto al libro Problemas de Concurso, encontré otro que en ese momento me pareció interesante. Su título era Álgebra Lineal y Teoría de Matrices, y había sido escrito por las profesoras Rosa Barbolla y Paloma Sanz.

Se dieron varias circunstancias para que me decidiera a comprarlo: su edición, hecha por Prentice Hall, tenía muy buena calidad. Su estado de conservación era óptimo, o por decirlo de otra manera, el libro estaba nuevo. El tema que trataba me interesó, pues el Álgebra Lineal siempre se me ha dado muy bien; además, era un tratado extenso que abarcaba hasta las Formas Canónicas de Jordan, una parte intrincada de la Teoría de Matrices que me interesaba recordar. Y el precio me pareció muy interesante: tan sólo cinco euros.

El libro está dirigido a los estudiantes de económicas y empresariales, pero en su interior es matemática pura. Estoy empezando a leerlo, repasando los polvorientos conceptos que yacen semiocultos en mi memoria, y una de las primeras cosas que me encuentro es una encantadora definición:

Es habitual representar un vector por una "flecha", que queda determinada por su dirección y longitud... Por tanto, intuitivamente, un vector puede identificarse en general con un segmento de recta orientado.

Esta frase tuvo el mágico poder de trasladarme instantáneamente al pasado, hace veintitrés o veinticuatro años, cuando empecé a estudiar los vectores. Mucho antes de saber qué eran los Espacios Vectoriales, mucho antes de explorar mundos incomprensibles del Álgebra más abstracta, en un libro de texto de 7º de E.G.B. sobre Física, con pequeñas fotos explicativas donde se veían muelles tensos, conocí el concepto de vector. ¡Cuántos recuerdos!...

Ahora observo nuestro barco, sus obenques estirados, sus velas hinchadas por el viento, la estela que deja tras la popa, y me veo rodeado de vectores, surcando inmensos espacios, espacios abiertos salpicados de espuma de mar, azules espacios vectoriales...

Problemas de Concurso 2

El libro del que estuve hablando ayer tiene una introducción muy interesante escrita por los editores L. Bers y J. H. Hlavaty, de la que a continuación voy a hacer un extracto:

Los problemas matemáticos son más antiguos que las matemáticas; enunciados como rompecabezas se encuentran en los registros escritos más arcaicos, como los papiros egipcios de hace 4000 años. En la India, por ejemplo, los problemas eran registrados en lenguaje poético. La gloria de elevar las matemáticas del plano de resolver problemas a la ciencia que es hoy, se le debe a los griegos; pero a pesar de esto los matemáticos griegos no despreciaron el arte de resolver problemas. Tres de sus grandes problemas geométricos fueron un desafío para los matemáticos hasta el siglo XIX: la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo, empleando solamente regla y compás. A pesar de los fracasos durante siglos para hallarle solución a estos problemas, los esfuerzos continuaron hasta que se logró demostrarlos con la ayuda de teoremas algebraicos y se concluyó que, en cada caso, la construcción era imposible con los citados instrumentos.

Tales problemas han estimulado el desarrollo de las matemáticas y han conducido a los matemáticos a inventar nuevos métodos y a crear nuevos conceptos. A un nivel más modesto, pero igualmente importante, dichos problemas han constituido un excelente campo de entrenamiento para los matemáticos jóvenes.

La resolución de problemas nunca fue un campo del dominio exclusivo de los matemáticos. En todos los tiempos han sido un estímulo intelectual y de diversión para muchos profesionales de otros campos. Durante el Renacimiento, en Italia la solución de problemas se convirtió en un deporte de competencias y entre los matemáticos no era raro hacerlas públicas. Algunas veces este espíritu los condujo a excesos. Por ejemplo, en el siglo XVI, Tartaglia, ganador de una de esas competencias, tuvo que escapar de un pueblo para no ser víctima de la violencia de los entusiastas del campeón local.

El objetivo de esta competencia particular era la solución de las ecuaciones cúbicas y al prepararse para ellas, Tartaglia descubrió las importantes fórmulas para su solución. Aún hoy, los matemáticos compiten en la resolución de problemas en forma menos pública, con menos agresividad, pero quizás con la misma intensidad.

Niccolò Fontana (Tartaglia)

El final del siglo XIX vio el comienzo de la organización de competiciones entre los estudiantes de las escuelas secundarias. En Hungría, las llamadas competiciones de Eötvös (iniciadas en 1894) son muy famosas; probablemente han jugado un papel básico en la formación de tantos matemáticos y físicos eminentes de este pequeño país. En la Unión Soviética los estudiantes de la Escuela Secundaria toman parte en un sistema de "olimpiadas" patrocinadas por la universidad.

En los Estados Unidos, la tradición de competiciones periódicas entre los estudiantes de matemáticas tiene aproximadamente 50 años.

Téngase en cuenta que el texto anterior fue escrito en 1960, para ubicar la fecha cuando dice que la tradición en Estados Unidos tiene 50 años. Por eso mismo se alude a la Unión Soviética .

Nota: el Diccionario de la Real Academia admite olimpiada y olimpíada, pero esta última forma, con acento, no me suena bien, aunque algunos se empeñen en escribirla así.

Problemas de Concurso

La semana pasada tocamos puerto y pudimos pasar algún tiempo en tierra firme. Aprovechamos para visitar un mercado de libros antiguos, y encontré un par de ejemplares interesantes a muy buen precio. Hoy me gustaría hablar sobre el más antiguo de los dos, una pequeña joya que tan sólo me costó 2.70 euros.

Su título, como puede apreciarse en la imagen es PROBLEMAS DE CONCURSO, y debajo aparece un subtítulo: Problemas de los Concursos Anuales para Estudiantes de Secundaria presentados por la Asociación Americana de Matemáticas. Los problemas están compilados y con las soluciones explicadas por Charles T. Salkind, y traducido por Álvaro Pinzón E., Matemático de la Universidad Nacional de Colombia. La edición original es responsabilidad de Random House, Nueva York y esta edición en español es de la Editorial Norma en Colombia.

La portada está amarillenta y tiene motivos para ello. El libro fue publicado en 1961, antes de que se llegara a la Luna. Estamos hablando, pues, de un título que ha cumplido 45 años. Recopila los problemas de los Concursos Anuales desde el año 1950 hasta el 1960, ambos inclusive. Estos Concursos son una especie de Olimpiada Matemática para los estudiantes de Secundaria que se empezaron a realizar en Estados Unidos precisamente en el año 1950, organizados por la Mathematical Association of America, MAA, de la que se puede visitar la página web.

Me llama mucho la atención este libro; es un volumen pequeño, fino, poco valorado, pero su antigüedad, su rareza, su viaje a través del tiempo y del espacio, su puerta hacia otro mundo desconocido dentro de la Matenavegación, le dan mucho valor para mí. Los problemas que trata son de diversos tipos: proporciones, ecuaciones de primer y segundo grado, porcentajes, raíces, geometría, progresiones... Hay un ejercicio en una de sus primeras páginas que me resultó sorprendente por lo corto de su enunciado y lo sencillo que parece:

Si el radio de un círculo se aumenta en 100%, el área se aumenta en: a) 100%; b) 200%; c) 300%; d) 400%; e) ninguna de estas respuestas.

Aunque a primera vista pueda parecer extraño, la respuesta correcta es la c). Es sencillo dar una explicación. (Ver la solución en los comentarios).

Sueños Delirantes

Cuaderno de bitácora: uno de nuestros matemarineros cayó enfermo hace seis días y está sufriendo de fiebres muy altas. Durante la noche y por la mañana parece dormir plácidamente, pero en la tarde entra en delirios y se queja y se revuelve en su cama. Más tarde, y tras la continua aplicación de paños húmedos y fríos sobre la frente, se despierta y recupera el sentido, y ha tenido a bien contarme los sueños que tiene para así liberarse de ellos.

El que más se le repite, una y otra vez, durante las últimas horas, es una ensoñación en la que se ve trepando por el palo mayor, desplegando las velas para que el viento sople con fuerza sobre ellas. No me extraña que sus delirios giren en torno a las velas del palo mayor, pues ha sido su responsabilidad en los dos últimos meses. El muchacho trepa y recoge la Vela Mayor, después sigue trepando y recoge la siguiente, la Gavia, luego el Juanete Mayor, pero encima hay más velas, un Sobrejuanete, un Sosobrejuanete, un Sososobrejuanete, y así continúan y continúan. Cuando mira hacia arriba para ver donde terminan, puede contemplar una nube oscura y baja en la que se pierde el Palo Mayor y que no le permite vislumbrar el extremo.

Ante la angustia de estos sueños, el matemarinero me ha preguntado si será capaz de llegar al final del Palo. Está seguro que hay un número infinito de Sososo...sobrejuanetes, cada uno más pequeño que el anterior, pero no sabe si la longitud del mástil es finita o infinita. Yo le he contestado que trate de medir las velas, comparándolas entre sí, la próxima vez que tenga el delirio, y que intentaré darle una respuesta.

Después del acceso de fiebre de la última tarde, me ha explicado que la Vela Mayor mide lo mismo que la nuestra, que la Gavia mide la mitad de la Mayor, el Juanete mide un tercio de la Mayor, el Sobrejuanete un cuarto de la Mayor, el Sosobrejuanete un quinto de la Mayor, y así sucesivamente. Al escuchar esto no he podido menos que decirle, con gran disgusto, que si las velas siguen esa progresión entonces el Palo Mayor de sus delirios no tiene límite, se extiende hacia el cielo de forma infinita. El muchacho ha puesto una expresión de desesperación y no ha querido escuchar el argumento que demuestra que la sucesión se hace infinita (ver la solución más abajo).

Después de esta conversación, y a pesar de todo, la fiebre le ha disminuido un tanto. Ha pasado una noche más tranquila, y se ha despertado con mejor aspecto en su rostro. Me ha contado que ha vuelto a tener el mismo sueño, pero ahora la Gavia medía tres cuartos de la Vela Mayor, el Juanete medía tres cuartos de la Gavia, el Sobrejuanete tres cuartos del Juanete y así sucesivamente. Yo le he confirmado, con una sonrisa, que está mejorando de su postración, y que ahora la sucesión sí termina, y el Palo Mayor, aunque siga oculto entre las nubes, tiene un final, e incluso es sencillo calcular su longitud. Pero tampoco ha querido oír la demostración (que viene más abajo). Con un suspiro de alivio se ha envuelto entre las sábanas y ha seguido durmiendo.

SOLUCIONES:

En el primero de los delirios, la solución está en ver si se puede sumar o no la siguiente sucesión:

 (1)

Esta suma es lo que se llama en matemáticas serie armónica. Se puede comprobar fácilmente que esta suma va creciendo sin ningún límite (tiende a infinito). Basta fijarse en la suma siguiente:

 (2)

Esta suma es menor que la (1), ya que estamos sustituyendo algunas fracciones por otras más pequeñas. Sin embargo, agrupando términos, obtenemos:

 (3)

En la serie (3) estamos sumando infinitas veces 1/2, luego el resultado no puede ser otro que infinito.

Como la serie (1) es mayor que la (2), y la (2) tiende a infinito, la (1) también tiende a infinito.

En el segundo de los delirios, tenemos que comprobar si se puede sumar la siguiente sucesión:

 (4)

Esta es una serie geométrica, de razón igual a 3/4. Como la razón es menor que 1, entonces la suma de los términos tiene un límite finito, y se puede calcular con la fórmula:

 (5)

Donde a₁ es el primer término de la sucesión y r es la razón. Hacemos la cuenta y obtenemos el resultado:

 (6)

Como conclusión a los delirios: en el primero, el Palo Mayor tiene longitud infinita; en el segundo, el Palo Mayor tiene una longitud igual a 4 veces la medida de la Vela Mayor.

Mesas de Piratas

Conversando sobre cuestiones de cómo sentarse a la mesa, uno de mis compañeros matenavegantes me contó una pequeña anécdota sobre los piratas y sus manías.

En la isla de la Tortuga era frecuente que se reunieran los piratas después de cometer sus fechorías, para beber ron y contarse sus aventuras. En verano, sobre todo en los meses de agosto y septiembre, las salidas de los piratas decrecía, debido a la presencia de huracanes en el Caribe que impedían la navegación. Aprovechando la inactividad, nueve capitanes piratas decidieron juntarse cada 18 de septiembre en la taberna La Pata Coja para cenar juntos. Por alguna razón misteriosa, aquellos capitanes deseaban cenar de una forma civilizada, tratarse con educación y sentirse por una noche personas normales.

El primer 18 de septiembre que se reunieron las condiciones eran idóneas. En el piso de arriba de la taberna había un reservado, y en él una mesa circular. Para evitar problemas y contradecir el nombre del local, la mesa sólo tenía tres patas. Cuando los piratas llegaron y se fueron acomodando alrededor de la mesa todo prometía que aquella iba a ser una velada inolvidable. Pero por mucho que lo intentaban, los piratas no podían dejar de lado sus malas inclinaciones, y antes de que se sentaran todos, el capitán Barba Cobriza empezó a quejarse del sitio que le había tocado en la mesa, si le llegaba más o menos luz procedente del candil, si sus compañeros inmediatos eran comensales agradables o no, si la tabernera le serviría a él antes que a los demás, etc. La discusión se extendió rápidamente entre todos los capitanes, y pronto las palabras dieron paso a los gritos y a los insultos, y varios empezaron a echar mano de los sables y las pistolas. Sonó un disparo que hizo retumbar toda la casa con un terrible estruendo, y una nube de humo se extendió por la habitación.

Cuando el humo se disipó, todos vieron que el que había disparado era Flan Haragán, el pirata más duro y más experimentado de todos ellos. En realidad había apuntado al techo, pues su intención era parar la discusión y obtener unos momentos de silencio, y evidentemente lo había conseguido. Se guardó la pistola en su faja, miró a todos con expresión adusta y dijo:

−¡Ya está bien! Sentémonos tal como estamos ahora y, para que nadie se queje, cada 18 de septiembre iremos cambiando de lugar hasta agotar todas las combinaciones posibles.

Se oyeron leves murmullos y gruñidos, pero todos los piratas se sentaron y pudieron cenar en paz.

¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar los nueve capitanes en las nueve sillas?

SOLUCIÓN:

Veamos la situación planteada. Evidentemente, si Flan Haragán quisiera agotar todas las combinaciones posibles, tendría que probar las maneras de ir permutando los piratas entre todos los asientos. Las permutaciones de 9 elementos, que se escribe 9! (léase nueve factorial) dan un total de: 9!=9·8·7·6·5·4·3·2·1=362880 posibilidades diferentes. Si los piratas cenaran juntos todos los días y no sólo el 18 de septiembre, se necesitarían cerca de mil años en cubrir tantas permutaciones.

Otra posibilidad diferente es que se hubiera propuesto "que cada uno se siente en un sitio distinto cada vez". En ese caso bastan 9 cenas para conseguirlo, pues a partir de la cena número 10 cada uno tiene que repetir sitio inevitablemente.

Nota: Este relato está inspirado en el problema número 96 de 100 Problemas Matemáticos, de Germán Bernabeu Soria.

Choque de Copas

Cuaderno de bitácora: el otro día estuvimos comiendo todos los oficiales en nuestro camarote de reuniones, y al final realizamos un brindis celebrando el comienzo del nuevo periplo. La mesa a la que nos sentamos era redonda y me recordó aquella mesa mítica de las épocas del Rey Arturo.

Escena de la película Master and Commander.

Sería muy largo enumerar aquí todos los símbolos que se le asocian al círculo en general y a la Tabla Redonda en particular, pero comentaré lo que se me viene a la mente en estos momentos.

Algunos Matenavegantes distinguimos entre circunferencia, que es la línea, y el círculo, que se refiere a la línea y al área de dentro. Para el caso que nos ocupa hablaremos de círculo para referirnos a la línea exclusivamente.

El círculo está definido por la propiedad de que todos sus puntos equidistan de un punto fijo llamado centro. Por ello en el círculo no hay ningún punto destacado de los otros, el punto destacado, el centro, no pertenece al círculo. Se decía en las antiguas leyendas de la Edad Media que los Caballeros de la Tabla Redonda por igual se sentaban y por igual servidos estaban. Cuando se da un banquete y los comensales se acomodan en mesas redondas, da igual por dónde empiecen a servir los camareros, cualquier invitado puede ser el primero en ser servido, pues no hay un lugar que se pueda considerar el primero ni el último. (Este tema está ampliado en otra entrada del blog sobre La Tabla Redonda y otras curiosidades matemáticas de la Inglaterra antigua.)

Hay muchos fenómenos naturales en donde encontramos el círculo. El movimiento circular aparece continuamente en el Universo. Los planetas alrededor del Sol tienen órbitas que se asemejan, unas en mayor y otras en menor medida, a un círculo. También es el movimiento aparente que tiene el Sol y las estrellas en nuestro firmamento. Concretamente, el Sol va desplazándose con el paso de los días por una línea que cruza diferentes constelaciones, llamadas zodiacales porque se corresponden con los signos del zodiaco. Dichas constelaciones presiden el firmamento formando una especie de consejo estelar. También los Caballeros de la Tabla Redonda quisieron colocar ese símbolo a su hermandad, un símbolo cósmico, como si su Fraternidad fuera un reflejo en la Tierra de lo que sucede en el Cielo.

Todas estas cosas me vienen a la memoria, pero también recuerdo el momento de los brindis. Como es natural, todos los siete oficiales nos levantamos de nuestros asientos y fuimos chocando las copas mutuamente, deseándonos salud y buena fortuna. En ese momento, y antes de que terminaran de chocarse todas las copas, me puse a calcular el número total de choques que se darían, y no me fue difícil dar con la solución.

Puede el lector pensarlo durante unos momentos. Si no sabe calcularlo, sólo tiene que mirar en los comentarios.

Libros que son un Lastre

Nos reunimos hace unos días todo el cuadro de mando en el camarote del Capitán, para decidir sobre el destino de un montón de libros que atestaba nuestras estanterías y que son un lastre para la Navegación. Yo era partidario de arrojarlos casi todos a los tiburones, pero el resto de oficiales se opusieron a decisión tan drástica, y por tanto, después de discutir durante un buen rato, les salvaron la vida a casi todos.

Sin embargo, estoy determinado a deshacerme de algunos cuando no me vean, en horas nocturnas y cuando la mar esté tranquila.

La mayoría son textos pasados de fecha, que nosotros no hemos comprado, sino que nos han regalado por intereses comerciales.

A los amantes de los libros nos duele deshacernos de ellos, pero hemos de reconocer que cuando el espacio falta y los libros no son útiles, y nunca lo van a ser, lo mejor es reciclar el papel y ganar espacio.

Varias cajas de desgraciados ejemplares acabaron en la sentina, como futuro alimento de ratas o, en el mejor de los casos, criaderos de telarañas. Un oficial me comentó que ya llegará el día en que serán útiles, y yo le contesté que sí, cuando estemos atravesando los hielos Árticos o Antárticos, y nos falte madera para calentarnos caerán irremisiblemente en la fogata como les sucedió a aquellos compañeros de hace cuatrocientos años, de los cuales no tuvieron ninguna piedad ni el Cura, ni el Barbero ni el Ama.

A pesar de todo, al revisar los estantes encontramos algunos ejemplares y complementos que desconocíamos y que nos interesaron: cuadernos de ejercicios, pósters y un libro que me quedé, una guía de 3º ESO con la programación y el solucionario, de la editorial Santillana. El libro está editado con los colores del mar, blanco y azul, y en tamaño cuartilla con tapas duras. Tiene un paratexto extraordinario, como dirían los especialistas, y está lleno de ejercicios que les mandaré implacablemente a mis grumetes para que los resuelvan. (Je, je, je...)

Para finalizar, hagamos cálculos con algunas preguntas sobre libros:

(1) ¿Cuántos libros crees que te daría tiempo a leer en toda tu vida?

(2) Estima cuántas palabras contiene una página de un libro.¿Cuántas puede tener un libro en total?

(3) Haz lo mismo pero con las letras que hay en una página.

(4) Calcula la velocidad, en letras por segundo, a la que lees.

(5) Una pregunta sobre gustos personales: ¿prefieres los libros de texto con muchos colores, como los de ahora, o te gustarían con menos o con ningún color, como los antiguos?

Las preguntas anteriores son en realidad personales, y cada uno puede tener sus propias respuestas. Yo voy a dar las mías:

(1) Yo leo a un ritmo de uno o dos libros al mes. Supongamos que en un año leo veinte libros, y que dicho ritmo lo puedo mantener durante setenta años. Me daría tiempo a leer unos mil cuatrocientos o mil quinientos libros en toda mi vida. Una respuesta más amplia podría ser entre mil y dos mil libros.

(2) El número de palabras depende del tamaño de las letras y del espaciado de las líneas. Pero una estimación media podría ser de diez palabras por renglón, y treinta o cuarenta líneas. Es decir, unas trescientas a cuatrocientas palabras por página.

El número de palabras de un libro depende, evidentemente, del número de páginas. Un libro no muy largo, de doscientas páginas, puede contener unas sesenta mil o setenta mil palabras. Un libro más largo pasará de cien mil palabras. Los escritores suelen medir la longitud de su trabajo por palabras. Es habitual que el editor también le pida al escritor un libro de una medida determinada: "escríbeme una novela de cien mil palabras."

(3) Si calculamos una aproximación de unas cincuenta letras por renglón, entonces tenemos que en una página puede haber entre mil quinientas y dos mil letras.

(4) Yo no soy un lector rápido, y calculo que en leer una página sin prisas puedo tardar unos dos minutos, es decir, unos ciento veinte segundos. Eso significaría que mi velocidad podría ser de unas quince letras por segundo.

(5) Los libros de texto actuales los encuentro empachosos, con demasiados colores.

El Número Máximo

Hablando del infinito, uno de mis grumetes me preguntó si el infinito era un número.

Yo le contesté que no, que el infinito era solo una expresión, con la que queremos decir que algo se extiende sin terminar nunca, y que eso es lo que pasa con los números. Podemos imaginarnos los números colocados en una línea que se alarga hacia el horizonte, sobre el Océano de las Matemáticas, para siempre: eso es el infinito. Esa línea nunca termina; si tú me dices un número muy alto, yo te puedo decir otro más grande todavía, y si yo te digo el número más grande que se me ocurra, tú puedes decirme otro todavía más grande.

Ilustración tomada de la página de Tim Tomkinson

Con nuestro sistema decimal es sencillo escribir números muy grandes. Además disponemos de la notación científica, es decir, de las potencias de 10, para comprimir el aspecto de los números muy, muy, muy grandes, como el gúgol = 10¹⁰⁰, o como el gúgolplex = 10^gúgol. Incluso aunque alguien diga un número muy grande y nosotros no sepamos dar una expresión decimal de un número más grande todavía, podemos simplemente contestar con “el siguiente de ese número”. Un número más grande que el gúgolplex puede ser el siguiente del gúgolplex, o gúgolplex + 1, y luego otro más grande puede ser gúgolplex + 2, etc. (Para saber algo más sobre el gúgol y el gúgolplex, leer mi otra entrada Si yo tuviera un gúgol de euros)

El grumete me dijo que no debería ser así, que eso no le gustaba, que debería haber un número máximo en el que se acabara todo. Yo le comenté que si era así, ¿cuál podríamos elegir? Y entonces se me ocurrió imaginar a alguien que pusiera en su país un número máximo por ley y que no se pudiera pasar de ese número.

"Supongamos que en la isla de Cuba Imaginaria, un Fidel Castro Imaginario decide imponer una ley: el número máximo de todos los números será el 200, y no se podrá pasar de él."

En matemáticas se pueden definir las reglas de juego que uno quiera, luego, basándonos en esas reglas puede salir una teoría matemática interesante o no.

¿Qué puede suceder si el número máximo es el 200? ¿Cómo sorteamos las situaciones que aparecen como consecuencia de tal decisión? Cuando estamos contando cosas y algo supera a 200, ¿qué se hace con el resto?

Dicen que en algunas tribus primitivas que no sabían contar, las cantidades se resumían así: uno, dos, tres y muchos.

También dicen que cuando miramos un grupo de cosas, sólo podemos distinguir grupos de uno, dos, tres o cuatro cosas. Si son más de cuatro, nuestro cerebro no puede distinguir a simple vista la cantidad, necesitamos contarlas. Un conjunto que tenga siete u ocho elementos, si no los contamos, no somos capaces de decir cuántos había, salvo por encima, haciendo una estimación. Cuando el conjunto tiene cuatro o menos elementos, somos capaces de asegurar los elementos que tenía sin necesidad de contarlos, nos basta un golpe de vista. Si el conjunto tiene más nos vemos en la necesidad de contarlos uno a uno o subdividir el conjunto en subconjuntos de no más de cuatro elementos.

En nuestra imaginaria isla de Cuba, se ha logrado llegar hasta 200, pero ahí se han quedado. Un artículo que vale 300 dólares, en esta isla vale más de 200 dólares, y por tanto, muchos dólares, infinitos dólares, una cantidad inalcanzable, da igual que valga 300 ó 3.000, ó 30.000. A partir de 200 todo es lo mismo.

Igualmente pasaría si Fidel Castro Imaginario da un discurso frente a una multitud de personas: si pasan de 200 personas, la multitud es infinita, da lo mismo que hayan sido 201 ó 2.000 ó 10.000 ó 500.000. Son incontables. Lo cual, en este caso es beneficioso para la propaganda del régimen. Así podría decir la crónica de un periódico sin faltar a la verdad: “una multitud incontable [en realidad unas doscientas cincuenta personas] acudió al discurso de Fidel Castro Imaginario, y lo premió con infinitos aplausos [un aplauso por cada una de las trescientas frases del discurso]”.

De la misma manera, la producción industrial de nuestra isla serían innumerable, siempre que las cantidades de productos pasaran de 200, toda la historia de Cuba Imaginaria de hace más de 200 años quedaría en la prehistoria al no poder hacer una cronología más extensa, y si el régimen castrista imaginario pudiera perpetuarse por más de 200 años, entonces llevaría en el poder infinitos años. Bajo este punto de vista, tendría muchas ventajas para dicho régimen poder poner la barrera del infinito en el 200 y que éste fuera el último número.

Quiero comentar también que la respuesta que le di al grumete de que el infinito no es un número, sino una expresión, es cierta, pero está incompleta. En ciertas partes de las matemáticas se admite al infinito como una especie de número, con sus peculiares propiedades para la suma, la resta, la multiplicación y la división. En esa parte de las matemáticas tienen sentido expresiones como, por ejemplo 1 + ∞. Si no recuerdo mal, esa parte de las matemáticas es llamada Teoría de la Medida. Es una rama muy avanzada y especializada, pero los matenavegantes que viajan por ella descubren un mundo abstracto muy sólido, en el que se apoyan con seguridad para después atravesar los mares del Análisis Matemático hasta sus más remotos confines.

Primer Día en el Barco Escuela

Empieza el nuevo curso y ya estamos de nuevo en nuestro Barco Escuela, dando lecciones a los grumetes.

El primer problema que les planteé para que lo resolvieran estaba inspirado en uno de mis países favoritos: el País de los Mayas, en la península del Yucatán:

Los Mayas tenían un calendario diferente al nuestro. Cada 20 días era un mes, 18 meses era un año, 20 años era un siglo, 20 siglos era un milenio, 13 milenios era lo que se llamaba un Ciclo Largo Maya. 

¿Cuántos días en total dura un Ciclo Largo? 

Busca la duración exacta del año terrestre y calcula a cuantos años equivale un Ciclo Largo. 

Si el Ciclo Largo comenzó el 13 de Agosto de 3113 a. de C., ¿Cuándo terminará? 

Hasta aquí el problema. En realidad a cada periodo le di nombres similares a los que usamos nosotros, pero tienen sus nombres mayas:

La unidad del Calendario era el día o kin; 20 kines hacían un uinal o mes, 18 uinales hacen un tun (año), 20 tunes un katun (20 años mayas o 7200 días), y 20 katunes un baktun (400 años mayas o 144.000 días).

Con esto tenemos que el Ciclo Largo Maya estaba formado por 13 baktunes, es decir, 5200 años mayas de 360 días cada uno.

Las respuestas al problema son:

Multiplicando 20 · 18 · 20 · 20 · 13 = 1.872.000 días es un Ciclo Largo. 

Buscamos por ejemplo en la Enciclopedia Encarta la duración exacta del año y encontramos: 365,2422454 días. 

Dividimos 1.872.000 entre 365,2422454 y nos da 5125,3654898 años, es decir 5125 años y una fracción. 

Si esa fracción, 0,3654898 la multiplicamos por 365,2422454 para convertirlo a días, nos da 133,49. Luego redondeando, un Ciclo Largo Maya son 5125 años y 133 días. 

Ahora nos falta sumar esta cantidad al 13 de Agosto de 3113 a. de C. 

Teniendo en cuenta que es un año anterior a Cristo, hay que hacer la operación -3113 + 5125 = 2012. Luego hay que sumar al 13 de Agosto 133 días, teniendo en cuenta que el mismo 13 de Agosto ya cuenta como el primer día, y obtenemos el 23 de Diciembre. 

El Ciclo Largo Maya finaliza, por lo tanto el 23 de Diciembre de 2012.

Los mayas desarrollaron un sistema numérico muy avanzado. Conocían el número cero, y colocaban los números en una notación posicional parecida a la que tenemos hoy en día, lo cual les permitía hacer cálculos con muchas cifras. Gracias a ello supieron medir la duración del año terrestre con una exactitud que no se ha igualado hasta el siglo XX, y realizaron todo tipo de mediciones astronómicas.

Arriba podemos ver una ilustración con los símbolos que usaban los mayas para los números desde el cero hasta el 19. El símbolo del cero representa la concha o caparazón de un pequeño caracol marino, y hay diversas variantes en su dibujo. El sistema de numeración tenía base 20, luego para el número 20, en lugar de poner cuatro rayas horizontales, se dibujaba un punto en una posición más elevada y el cero debajo. Incluimos otra ilustración con más ejemplos: 

Vientos de eternidad

Cuaderno de bitácora: Nuestro periplo nos ha llevado por el Mediterráneo hasta la desembocadura del Nilo. Hemos pasado junto a Alejandría y entrado por una de las bocas del Delta para subir río arriba y encontrarnos con los restos de la civilización Egipcia.

Cualquier Matenavegante que se precie se estremece al contemplar los monumentos que se realizaron hace cinco mil años o más. Muchos historiadores coinciden que Egipto, aparte de ser una de las cunas de la civilización, también es uno de los lugares donde se empezó a desarrollar la Matemática. Muy conocido es el papiro de Rhind (ver nota 1), donde aparece una colección de problemas matemáticos antiguos, y donde se puede apreciar a simple vista el dibujo de formas geométricas, triángulos, trapecios, etc.

Pero lo más impactante de todo son las pirámides, concretamente la Gran Pirámide de Gizeh o Giza, la llamada Pirámide de Keops. Su forma no obedece al azar, sino que está calculada exactamente para que cumpla con la siguiente regla: si dividimos el perímetro de la base de la pirámide entre el doble de la altura, obtenemos el famoso número pi con muy buena aproximación (3'14159...)

También hay algunos autores que afirman que las proporciones de la pirámide obedecen a una regla en la que aparece el otro famoso número, fi (1'61803...); según ellos, la superficie de cada uno de los triángulos laterales coincide con el cuadrado de la altura, y esto es lo mismo que decir que el lado de la base, la altura de una cara lateral y la altura de la pirámide están en la misma proporción que 2, fi y la raíz cuadrada de fi.

En realidad, ambas condiciones, la de fi y la de pi, existen a la vez en la Gran Pirámide, y esto es así porque se da la extraordinaria coincidencia de que pi por la raíz de fi es casi cuatro.

Se calcula que la Gran Pirámide está compuesta por más de dos millones de bloques de piedra. Si suponemos que son unos dos millones y medio, y según los historiadores tardaron veinte años en terminarla, los egipcios lograron hacer una media muy buena de bloques por día (ver nota 2).

También es interesante una curiosidad, no muy conocida, del lugar donde se encuentran las tres pirámides. Si observamos la línea de la costa del Delta del Nilo, veremos que se parece a un arco de circunferencia, y la planicie de Gizeh sería el centro geométrico de ese arco. El radio de la circunferencia es de 180 kilómetros aproximadamente, que es la distancia, a vuelo de pájaro, desde Gizeh hasta Alejandría, o desde Gizeh a Port Said, o a Rosetta, o a Damieta, etc., todos los lugares de la costa del Delta que sobresalen más hacia el mar. Con muy buena aproximación están todos inscritos en ese arco de circunferencia, de uno 180 kilómetros de radio y 90º de amplitud.

Foto obtenida de la aplicación Google Earth. El lugar donde se encuentran las tres pirámides, Giza, está señalado con un pequeño triángulo blanco.

Otra curiosidad de la localización de Gizeh es que se encuentra exactamente en el paralelo 30º Norte. Debido a esto, la distancia de Gizeh al centro de la Tierra es la misma que la distancia hasta el polo Norte en línea recta. Gizeh, el Polo Norte y el Centro de la Tierra forman en el espacio un triángulo equilátero perfecto.

El país de los Faraones está lleno de preciosas maravillas, que permanecen luchando victoriosas contra el paso del tiempo, y que nos hablan de arte, belleza, paz, espiritualidad y amor por la ciencia. El día que visitamos Giza o Gizeh, y pudimos contemplar de cerca las tres pirámides, inesperadamente, se nos ofreció la posibilidad de entrar en la más grande de todas, la pirámide de Keops, y no perdimos la ocasión.

Ingresar al monumento más maravilloso del mundo es sobrecogedor. No se pueden describir las emociones que embargan al visitante cuando se descubre dentro de la gran galería, oscura, alta, inmensa, resonante, ni cuando después de subir por ella y agacharse para entrar por una puerta baja, desemboca en la Cámara del Rey, de piedra perfectamente pulida, majestuosa, enigmática.

Nos sorprendió el tamaño de la Cámara del Rey. En las fotos parecía un lugar pequeño, pero en la realidad es una gran habitación, yo diría que casi tan grande como una sala de clases (ver nota 3)

Un guía improvisado que nos estuvo conduciendo y enseñando aquellas maravillas, nos señaló el centro de la pirámide, un lugar concreto dentro de la Cámara del Rey. Nos aseguraba que había "100 metros hacia arriba y 100 metros hacia abajo". Este comentario me intrigó mucho. De él se podría deducir que la pirámide de Keops mide 200 metros, pero no es así, originalmente medía 147 metros (hoy en día mide 137), luego es de suponerse que el guía se refería a 100 metros hacia abajo incluyendo el subsuelo donde se encuentra la Cámara del Caos.

Me entretuve en calcular el centro geométrico de la Pirámide, para ver si coincidía con la afirmación de nuestro guía. En matemáticas existen fórmulas complicadas para calcular el centro de masas o centro de gravedad de un objeto tridimensional cualquiera. Generalmente, ese cálculo implica el uso de herramientas avanzadas de Análisis Matemático: las famosas integrales. Me costaba recordar la fórmula de la integral apropiada para mi cálculo, así que la deseché y me centré en buscar un camino más sencillo.

El razonamiento que empleé se basa en la forma simétrica de una pirámide de base cuadrada. Para encontrar su centro de gravedad basta razonar sobre planos que la dividan en mitades del mismo volumen.

Supondremos que la pirámide es maciza y homogénea, que no tiene huecos y su densidad es idéntica en todos sus puntos. También supondremos que la pirámide es geométricamente perfecta. Todo esto es aproximativo, porque la pirámide no es maciza, tiene varios pasadizos interiores, y por tanto tampoco es homogénea en su estructura. En cuanto a la perfección geométrica, la gran pirámide de Keops sí alcanzó una asombrosa perfección en su origen, pero a lo largo de los siglos se vio privada de capas y capas de piedras que disminuyeron su tamaño. Esta disminución no tiene por qué haber sido regular ni proporcionada en todas sus caras y dimensiones.

Así pues, disponemos de una pirámide de base cuadrada, con el lado de la base de una longitud de unos 230 metros, y una altura cercana a los 147 metros. Su centro geométrico, por razones de simetría, debe encontrarse en la altura trazada desde el vértice superior hasta el centro de la base cuadrada. Ahora nos falta saber a qué distancia de la base se encuentra ese centro geométrico. Para ello basta encontrar el plano horizontal que divida a la pirámide en dos mitades, con el mismo volumen. Haciendo los cálculos pertinentes (ver nota 4) se obtiene que el centro geométrico de la pirámide se encuentra a una altura de 30’33 metros.

Según los datos obtenidos del libro de Luis García Gallo, De las Mentiras de la Egiptología a las Verdades de la Gran Pirámide (ver nota 5), la altura del suelo de la Cámara del Rey sobre la base o plataforma de la pirámide de Keops es de 42’91 metros. Hay una diferencia de más de doce metros entre los cálculos realizados y la altura real.

¿Qué realidad tiene entonces la afirmación del guía de que la cámara del Rey se encuentra en el centro de la Gran Pirámide y de que hay cien metros hacia arriba y cien hacia abajo?

Por un lado, que diga que hay cien metros hacia arriba desde la Cámara del Rey, es una afirmación que sí podemos decir que coincide con la realidad: al estar el suelo de la cámara a casi 43 metros, hay una diferencia de 104 metros hasta la punta de la pirámide tal como estaba originalmente, y de 94 metros hasta la altura que tiene en la actualidad. Teniendo en cuenta que la cámara tiene una altura de casi 6 metros, entonces hay un punto dentro de la cámara, a unos 4 metros de altura, que dista cien metros exactamente hasta la cúspide original de la pirámide.

Por otro lado, que diga que hay cien metros hacia abajo, esto ya es una afirmación extraña. ¿Quiere decir que originalmente la estructura de la pirámide se hundía más de cincuenta metros en el subsuelo de la planicie de Gizeh? Remitiéndonos al mismo libro de Luis García Gallo, bajo la base de la Gran Pirámide existe otra cámara, llamada Cámara del Caos, y su punto más bajo está a 33’68 metros bajo el subsuelo, lo cual queda lejos de los más de cincuenta metros que se desprenden de la aseveración del guía. ¿Acaso hay pasadizos más profundos aún por descubrir? Es posible, pues se sabe que la pirámide tiene pasadizos todavía inexplorados. No hace mucho quisieron meter una cámara montada en un pequeño robot para explorar uno de esos estrechos pasadizos, pero a los pocos metros el robot se encontró con un obstáculo que no pudo sortear y tuvieron que interrumpir la exploración.

Por último, ¿está en la Cámara del Rey el centro de la pirámide? Según nuestros cálculos no es así, pero los cálculos se han hecho suponiendo la pirámide homogénea, cosa que no es realmente cierta. Cuánto se diferencia la estructura de dicha supuesta homogeneidad es algo que no sabemos, y por tanto calcular el centro con exactitud es de momento una tarea inalcanzable.

Notas:

(1) El Papiro Rhind o Papiro de Ahmés tiene unos 6 metros de longitud y 33 cm de anchura (un poco más que la altura de un folio). Fue escrito por el escriba Ahmés en el año 1650 a. de C. aproximadamente. Se encontró en Luxor en el siglo XIX, fue adquirido por Henry Rhind en 1858, y desde 1865 se custodia en el Museo Británico de Londres, aunque actualmente no está expuesto al público, como tantas otras cosas que duermen, ignoradas, en los sótanos de los museos.

(2) Si dividimos 2.500.000 entre 20 años y entre 365 días (suponiendo que no haya ningún día de descanso) nos da un total de 343 bloques diarios aproximadamente.

Si, como dicen algunos egiptólogos, los egipcios trabajaban en las pirámides sólo mientras el Nilo estaba desbordado y los campos de cultivo inundados por sus aguas, entonces el periodo de construcción se reduce a tres o cuatro meses al año, como mucho. En ese caso tendríamos que dividir 2.500.000 entre 20 años y 120 días (cuatro meses), dando una media de más de 1000 bloques colocados por día.

Téngase en cuenta que los bloques no son en absoluto como los ladrillos que conocemos actualmente, pesaban cada uno más de dos toneladas, había que tallarlos uno por uno en piedra y luego encajarlos de forma perfecta, quedando apilados y unidos entre sí sin el uso de ningún tipo de mortero.

(3) En efecto, la Cámara del Rey de la Gran Pirámide es un habitáculo de un poco más de 5 metros de ancho y el doble, casi 10 metros y medio, de largo, lo cual le da una superficie de suelo de más de 54 metros cuadrados. Un aula de un Instituto actual tiene una superficie similar, entre 50 y 60 metros cuadrados. El techo de la Cámara se encuentra a una altura de casi 6 metros, y en esto supera ampliamente a un aula de nuestros Institutos, cuyo techo está a unos tres metros o un poco más de altura.

(4) Buscamos una altura, x, tal que sea la altura a la que se halla el centro de gravedad de la pirámide. La pirámide queda dividida a esa altura en dos partes que tienen la misma masa, y si suponemos que la pirámide es homogénea y tiene la misma densidad en todos sus puntos, esas dos partes han de tener también el mismo volumen. Véase el gráfico adjunto: tenemos que encontrar una altura, x, a la que la pirámide que queda tenga la mitad del volumen de la pirámide total.

Teniendo en cuenta que el volumen de la pirámide es V = (A · h) / 3, donde A es el área de la base y h es la altura, se nos plantea la ecuación:

(230² · 147) / 3 = (2 · l² · x) / 3

donde l es el lado de la base cuadrada de la pirámide de altura x. Teniendo en cuenta el teorema de Tales y los triángulos proporcionales de la figura siguiente:

obtenemos que el valor de l sale de:

l / 2x = 115 / 147; y de aquí, l = 230x / 147

y sustituyendo en la expresión del volumen de más arriba, simplificando y despejando la x, queda x = 116'67, aproximadamente, luego el centro de gravedad de la pirámide se encontraría a 147 − x = 30'33 metros de la base de la pirámide.

Hay que resaltar que para hacer estos cálculos hemos supuesto que la pirámide es homogénea, cosa que no es cierta, ya que, por ejemplo, tiene en su interior varios pasillos y cámaras.

(5) Luis García Gallo, De las Mentiras de la Egiptología a las Verdades de la Gran Pirámide, tercera edición de autor, 1988.

Pasatiempos en los Matemares

Cuaderno de bitácora: Como no tenemos demasiada tarea, pues el tiempo es bueno y el viento sopla flojo, he permitido a mi tripulación que dediquen algunos ratos a los pasatiempos. El más popular, por supuesto, sigue siendo el Sudoku, que como ya sabe casi todo el mundo, consiste en rellenar el tablero con las cifras del 1 al 9 de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las cifras (sin repetirse, ya que si tienen que estar las nueve cifras en nueve casillas, no puede repetirse ninguna).

Algunos de los más aventajados se han atrevido con el Kakuro, en el que usando las cifras del 1 al 9 hay que componer horizontal o verticalmente la suma que se indica en cada apartado, sin que se repitan las cifras en la suma. Así, si dos casillas suman 4, las cifras serán 1 y 3, ó 3 y 1, pero nunca 2 y 2. Para ir entendiendo cómo va conviene empezar por un kakuro muy fácil:

Los que tienen un gusto más artístico se entretienen con lo que se ha llamado Puzzle Japonés, Nonograma o Griddler: hay que rellenar las casillas de una cuadrícula, unas irán de negro y otras de blanco, y para saber cuáles hay que rellenar, por filas y por columnas se indican con números los grupos de casillas negras seguidas, sabiendo que entre cada grupo hay una o más casillas blancas. Es fácil resolver uno que al final muestra la imagen de un querido actor mexicano:

Me parece haber escuchado el grito de las gaviotas. Nos estamos acercando a tierra. Intuyo que pronto empezará una aventura que nos ha de tener ocupados varias semanas.

Notas: El Sudoku está realizado por un programa de Oak Systems.
El Kakuro está extraído del libro Kakuro, de Mark Huckvale, Ediciones B, colección byblos. Este libro es muy recomendable a todo el que le gusten los kakuros.
Para información sobre Puzzles Japoneses se puede visitar la página de Zugarto Ediciones; los puzzles japoneses aparecen en su publicación Pictologic.
Es muy recomendable también la página Griddlers, llena de pasatiempos.