3.8.06

Vientos de eternidad

Cuaderno de bitácora: Nuestro periplo nos ha llevado por el Mediterráneo hasta la desembocadura del Nilo. Hemos pasado junto a Alejandría y entrado por una de las bocas del Delta para subir río arriba y encontrarnos con los restos de la civilización Egipcia.

Cualquier Matenavegante que se precie se estremece al contemplar los monumentos que se realizaron hace cinco mil años o más. Muchos historiadores coinciden que Egipto, aparte de ser una de las cunas de la civilización, también es uno de los lugares donde se empezó a desarrollar la Matemática. Muy conocido es el papiro de Rhind (ver nota 1), donde aparece una colección de problemas matemáticos antiguos, y donde se puede apreciar a simple vista el dibujo de formas geométricas, triángulos, trapecios, etc.

Pero lo más impactante de todo son las pirámides, concretamente la Gran Pirámide de Gizeh o Giza, la llamada Pirámide de Keops. Su forma no obedece al azar, sino que está calculada exactamente para que cumpla con la siguiente regla: si dividimos el perímetro de la base de la pirámide entre el doble de la altura, obtenemos el famoso número pi con muy buena aproximación (3'14159...)

También hay algunos autores que afirman que las proporciones de la pirámide obedecen a una regla en la que aparece el otro famoso número, fi (1'61803...); según ellos, la superficie de cada uno de los triángulos laterales coincide con el cuadrado de la altura, y esto es lo mismo que decir que el lado de la base, la altura de una cara lateral y la altura de la pirámide están en la misma proporción que 2, fi y la raíz cuadrada de fi.

En realidad, ambas condiciones, la de fi y la de pi, existen a la vez en la Gran Pirámide, y esto es así porque se da la extraordinaria coincidencia de que pi por la raíz de fi es casi cuatro.

Se calcula que la Gran Pirámide está compuesta por más de dos millones de bloques de piedra. Si suponemos que son unos dos millones y medio, y según los historiadores tardaron veinte años en terminarla, los egipcios lograron hacer una media muy buena de bloques por día (ver nota 2).

También es interesante una curiosidad, no muy conocida, del lugar donde se encuentran las tres pirámides. Si observamos la línea de la costa del Delta del Nilo, veremos que se parece a un arco de circunferencia, y la planicie de Gizeh sería el centro geométrico de ese arco. El radio de la circunferencia es de 180 kilómetros aproximadamente, que es la distancia, a vuelo de pájaro, desde Gizeh hasta Alejandría, o desde Gizeh a Port Said, o a Rosetta, o a Damieta, etc., todos los lugares de la costa del Delta que sobresalen más hacia el mar. Con muy buena aproximación están todos inscritos en ese arco de circunferencia, de uno 180 kilómetros de radio y 90º de amplitud.

[foto obtenida de la aplicación Google Earth; el lugar donde se encuentran las tres pirámides, Giza, está señalado con un pequeño triángulo blanco]

Otra curiosidad de la localización de Gizeh es que se encuentra exactamente en el paralelo 30º Norte. Debido a esto, la distancia de Gizeh al centro de la Tierra es la misma que la distancia hasta el polo Norte en línea recta. Gizeh, el Polo Norte y el Centro de la Tierra forman en el espacio un triángulo equilátero perfecto.

El país de los Faraones está lleno de preciosas maravillas, que permanecen luchando victoriosas contra el paso del tiempo, y que nos hablan de arte, belleza, paz, espiritualidad y amor por la ciencia.
El día que visitamos Giza o Gizeh, y pudimos contemplar de cerca las tres pirámides, inesperadamente, se nos ofreció la posibilidad de entrar en la más grande de todas, la pirámide de Keops, y no perdimos la ocasión. Ingresar al monumento más maravilloso del mundo es sobrecogedor. No se pueden describir las emociones que embargan al visitante cuando se descubre dentro de la gran galería, oscura, alta, inmensa, resonante, ni cuando después de subir por ella y agacharse para entrar por una puerta baja, desemboca en la Cámara del Rey, de piedra perfectamente pulida, majestuosa, enigmática.

Nos sorprendió el tamaño de la Cámara del Rey. En las fotos parecía un lugar pequeño, pero en la realidad es una gran habitación, yo diría que casi tan grande como una sala de clases (ver nota 3)

Un guía improvisado que nos estuvo conduciendo y enseñando aquellas maravillas, nos señaló el centro de la pirámide, un lugar concreto dentro de la Cámara del Rey. Nos aseguraba que había "100 metros hacia arriba y 100 metros hacia abajo". Este comentario me intrigó mucho. De él se podría deducir que la pirámide de Keops mide 200 metros, pero no es así, originalmente medía 147 metros (hoy en día mide 137), luego es de suponerse que el guía se refería a 100 metros hacia abajo incluyendo el subsuelo donde se encuentra la Cámara del Caos.

Me entretuve en calcular el centro geométrico de la Pirámide, para ver si coincidía con la afirmación de nuestro guía. En matemáticas existen fórmulas complicadas para calcular el centro de masas o centro de gravedad de un objeto tridimensional cualquiera. Generalmente, ese cálculo implica el uso de herramientas avanzadas de Análisis Matemático: las famosas integrales. Me costaba recordar la fórmula de la integral apropiada para mi cálculo, así que la deseché y me centré en buscar un camino más sencillo.

El razonamiento que empleé se basa en la forma simétrica de una pirámide de base cuadrada. Para encontrar su centro de gravedad basta razonar sobre planos que la dividan en mitades del mismo volumen.

Supondremos que la pirámide es maciza y homogénea, que no tiene huecos y su densidad es idéntica en todos sus puntos. También supondremos que la pirámide es geométricamente perfecta. Todo esto es aproximativo, porque la pirámide no es maciza, tiene varios pasadizos interiores, y por tanto tampoco es homogénea en su estructura. En cuanto a la perfección geométrica, la gran pirámide de Keops sí alcanzó una asombrosa perfección en su origen, pero a lo largo de los siglos se vio privada de capas y capas de piedras que disminuyeron su tamaño. Esta disminución no tiene por qué haber sido regular ni proporcionada en todas sus caras y dimensiones.

Así pues, disponemos de una pirámide de base cuadrada, con el lado de la base de una longitud de unos 230 metros, y una altura cercana a los 147 metros. Su centro geométrico, por razones de simetría, debe encontrarse en la altura trazada desde el vértice superior hasta el centro de la base cuadrada. Ahora nos falta saber a qué distancia de la base se encuentra ese centro geométrico. Para ello basta encontrar el plano horizontal que divida a la pirámide en dos mitades, con el mismo volumen. Haciendo los cálculos pertinentes (ver nota 4) se obtiene que el centro geométrico de la pirámide se encuentra a una altura de 30’33 metros.

Según los datos obtenidos del libro de Luis García Gallo, De las Mentiras de la Egiptología a las Verdades de la Gran Pirámide (ver nota 5), la altura del suelo de la Cámara del Rey sobre la base o plataforma de la pirámide de Keops es de 42’91 metros. Hay una diferencia de más de doce metros entre los cálculos realizados y la altura real.

¿Qué realidad tiene entonces la afirmación del guía de que la cámara del Rey se encuentra en el centro de la Gran Pirámide y de que hay cien metros hacia arriba y cien hacia abajo?

Por un lado, que diga que hay cien metros hacia arriba desde la Cámara del Rey, es una afirmación que sí podemos decir que coincide con la realidad: al estar el suelo de la cámara a casi 43 metros, hay una diferencia de 104 metros hasta la punta de la pirámide tal como estaba originalmente, y de 94 metros hasta la altura que tiene en la actualidad. Teniendo en cuenta que la cámara tiene una altura de casi 6 metros, entonces hay un punto dentro de la cámara, a unos 4 metros de altura, que dista cien metros exactamente hasta la cúspide original de la pirámide.

Por otro lado, que diga que hay cien metros hacia abajo, esto ya es una afirmación extraña. ¿Quiere decir que originalmente la estructura de la pirámide se hundía más de cincuenta metros en el subsuelo de la planicie de Gizeh? Remitiéndonos al mismo libro de Luis García Gallo, bajo la base de la Gran Pirámide existe otra cámara, llamada Cámara del Caos, y su punto más bajo está a 33’68 metros bajo el subsuelo, lo cual queda lejos de los más de cincuenta metros que se desprenden de la aseveración del guía. ¿Acaso hay pasadizos más profundos aún por descubrir? Es posible, pues se sabe que la pirámide tiene pasadizos todavía inexplorados. No hace mucho quisieron meter una cámara montada en un pequeño robot para explorar uno de esos estrechos pasadizos, pero a los pocos metros el robot se encontró con un obstáculo que no pudo sortear y tuvieron que interrumpir la exploración.

Por último, ¿está en la Cámara del Rey el centro de la pirámide? Según nuestros cálculos no es así, pero los cálculos se han hecho suponiendo la pirámide homogénea, cosa que no es realmente cierta. Cuánto se diferencia la estructura de dicha supuesta homogeneidad es algo que no sabemos, y por tanto calcular el centro con exactitud es de momento una tarea inalcanzable.

Notas:

(1) El Papiro Rhind o Papiro de Ahmés tiene unos 6 metros de longitud y 33 cm de anchura (un poco más que la altura de un folio). Fue escrito por el escriba Ahmés en el año 1650 a. de C. aproximadamente. Se encontró en Luxor en el siglo XIX, fue adquirido por Henry Rhind en 1858, y desde 1865 se custodia en el Museo Británico de Londres, aunque actualmente no está expuesto al público, como tantas otras cosas que duermen, ignoradas, en los sótanos de los museos.

(2) Si dividimos 2.500.000 entre 20 años y entre 365 días (suponiendo que no haya ningún día de descanso) nos da un total de 343 bloques diarios aproximadamente.

Si, como dicen algunos egiptólogos, los egipcios trabajaban en las pirámides sólo mientras el Nilo estaba desbordado y los campos de cultivo inundados por sus aguas, entonces el periodo de construcción se reduce a tres o cuatro meses al año, como mucho. En ese caso tendríamos que dividir 2.500.000 entre 20 años y 120 días (cuatro meses), dando una media de más de 1000 bloques colocados por día.

Téngase en cuenta que los bloques no son en absoluto como los ladrillos que conocemos actualmente, pesaban cada uno más de dos toneladas, había que tallarlos uno por uno en piedra y luego encajarlos de forma perfecta, quedando apilados y unidos entre sí sin el uso de ningún tipo de mortero.

(3) En efecto, la Cámara del Rey de la Gran Pirámide es un habitáculo de un poco más de 5 metros de ancho y el doble, casi 10 metros y medio, de largo, lo cual le da una superficie de suelo de más de 54 metros cuadrados. Un aula de un Instituto actual tiene una superficie similar, entre 50 y 60 metros cuadrados. El techo de la Cámara se encuentra a una altura de casi 6 metros, y en esto supera ampliamente a un aula de nuestros Institutos, cuyo techo está a unos tres metros o un poco más de altura.

(4) Buscamos una altura, x, tal que sea la altura a la que se halla el centro de gravedad de la pirámide. La pirámide queda dividida a esa altura en dos partes que tienen la misma masa, y si suponemos que la pirámide es homogénea y tiene la misma densidad en todos sus puntos, esas dos partes han de tener también el mismo volumen. Véase el gráfico adjunto: tenemos que encontrar una altura, x, a la que la pirámide que queda tenga la mitad del volumen de la pirámide total.

Teniendo en cuenta que el volumen de la pirámide es V = (A · h) / 3, donde A es el área de la base y h es la altura, se nos plantea la ecuación:

(2302 · 147) / 3 = (2 · l2 · x) / 3

donde l es el lado de la base cuadrada de la pirámide de altura x. Teniendo en cuenta el teorema de Tales y los triángulos proporcionales de la figura siguiente:
obtenemos que el valor de l sale de:

l / 2x = 115 / 147; y de aquí, l = 230x / 147

y sustituyendo en la expresión del volumen de más arriba, simplificando y despejando la x, queda x = 116'67, aproximadamente, luego el centro de gravedad de la pirámide se encontraría a 147 − x = 30'33 metros de la base de la pirámide.

Hay que resaltar que para hacer estos cálculos hemos supuesto que la pirámide es homogénea, cosa que no es cierta, ya que, por ejemplo, tiene en su interior varios pasillos y cámaras.

(5) Luis García Gallo, De las Mentiras de la Egiptología a las Verdades de la Gran Pirámide, tercera edición de autor, 1988.

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