Sueños Delirantes

Cuaderno de bitácora: uno de nuestros matemarineros cayó enfermo hace seis días y está sufriendo de fiebres muy altas. Durante la noche y por la mañana parece dormir plácidamente, pero en la tarde entra en delirios y se queja y se revuelve en su cama. Más tarde, y tras la continua aplicación de paños húmedos y fríos sobre la frente, se despierta y recupera el sentido, y ha tenido a bien contarme los sueños que tiene para así liberarse de ellos.

El que más se le repite, una y otra vez, durante las últimas horas, es una ensoñación en la que se ve trepando por el palo mayor, desplegando las velas para que el viento sople con fuerza sobre ellas. No me extraña que sus delirios giren en torno a las velas del palo mayor, pues ha sido su responsabilidad en los dos últimos meses. El muchacho trepa y recoge la Vela Mayor, después sigue trepando y recoge la siguiente, la Gavia, luego el Juanete Mayor, pero encima hay más velas, un Sobrejuanete, un Sosobrejuanete, un Sososobrejuanete, y así continúan y continúan. Cuando mira hacia arriba para ver donde terminan, puede contemplar una nube oscura y baja en la que se pierde el Palo Mayor y que no le permite vislumbrar el extremo.

Ante la angustia de estos sueños, el matemarinero me ha preguntado si será capaz de llegar al final del Palo. Está seguro que hay un número infinito de Sososo...sobrejuanetes, cada uno más pequeño que el anterior, pero no sabe si la longitud del mástil es finita o infinita. Yo le he contestado que trate de medir las velas, comparándolas entre sí, la próxima vez que tenga el delirio, y que intentaré darle una respuesta.

Después del acceso de fiebre de la última tarde, me ha explicado que la Vela Mayor mide lo mismo que la nuestra, que la Gavia mide la mitad de la Mayor, el Juanete mide un tercio de la Mayor, el Sobrejuanete un cuarto de la Mayor, el Sosobrejuanete un quinto de la Mayor, y así sucesivamente. Al escuchar esto no he podido menos que decirle, con gran disgusto, que si las velas siguen esa progresión entonces el Palo Mayor de sus delirios no tiene límite, se extiende hacia el cielo de forma infinita. El muchacho ha puesto una expresión de desesperación y no ha querido escuchar el argumento que demuestra que la sucesión se hace infinita (ver la solución más abajo).

Después de esta conversación, y a pesar de todo, la fiebre le ha disminuido un tanto. Ha pasado una noche más tranquila, y se ha despertado con mejor aspecto en su rostro. Me ha contado que ha vuelto a tener el mismo sueño, pero ahora la Gavia medía tres cuartos de la Vela Mayor, el Juanete medía tres cuartos de la Gavia, el Sobrejuanete tres cuartos del Juanete y así sucesivamente. Yo le he confirmado, con una sonrisa, que está mejorando de su postración, y que ahora la sucesión sí termina, y el Palo Mayor, aunque siga oculto entre las nubes, tiene un final, e incluso es sencillo calcular su longitud. Pero tampoco ha querido oír la demostración (que viene más abajo). Con un suspiro de alivio se ha envuelto entre las sábanas y ha seguido durmiendo.

SOLUCIONES:

En el primero de los delirios, la solución está en ver si se puede sumar o no la siguiente sucesión:

 (1)

Esta suma es lo que se llama en matemáticas serie armónica. Se puede comprobar fácilmente que esta suma va creciendo sin ningún límite (tiende a infinito). Basta fijarse en la suma siguiente:

 (2)

Esta suma es menor que la (1), ya que estamos sustituyendo algunas fracciones por otras más pequeñas. Sin embargo, agrupando términos, obtenemos:

 (3)

En la serie (3) estamos sumando infinitas veces 1/2, luego el resultado no puede ser otro que infinito.

Como la serie (1) es mayor que la (2), y la (2) tiende a infinito, la (1) también tiende a infinito.

En el segundo de los delirios, tenemos que comprobar si se puede sumar la siguiente sucesión:

 (4)

Esta es una serie geométrica, de razón igual a 3/4. Como la razón es menor que 1, entonces la suma de los términos tiene un límite finito, y se puede calcular con la fórmula:

 (5)

Donde a₁ es el primer término de la sucesión y r es la razón. Hacemos la cuenta y obtenemos el resultado:

 (6)

Como conclusión a los delirios: en el primero, el Palo Mayor tiene longitud infinita; en el segundo, el Palo Mayor tiene una longitud igual a 4 veces la medida de la Vela Mayor.