Puntos e Intervalos

Cuaderno de bitácora: hace unos días mi matenavegante más querida leyó la entrada del blog en la que se hablaba de que el cero era un punto de la recta real y no un intervalo, y me dijo que no entendía muy bien la diferencia entre punto e intervalo ni a qué se refería cada cosa.

Es fácil imaginarse un punto. Basta mirar los píxeles de la pantalla de un ordenador. Basta mirar el punto ortográfico en el que suelen terminar las frases, por ejemplo las que escribo en este blog. Si nos dicen que dibujemos un punto, podemos tomar el lápiz y señalarlo en una hoja de papel, o tomar una tiza y marcarlo en la pizarra. Hasta ahí todo parece claro.

Un intervalo de una recta es un trozo continuo de recta. Imaginemos un trozo de hilo de coser. Imaginemos una mina de grafito para cargar nuestro portaminas. Imaginemos una de esas sierras pequeñas que se colocan en las seguetas para hacer trabajos de marquetería.

Un segmento de recta, como los que nos hemos imaginado, es un intervalo. Sin embargo, en la idea de intervalo también se encuentra implícitamente la idea de escala numérica: así, por ejemplo, se puede hablar del intervalo de temperaturas que se ha alcanzado durante un día en una ciudad, o del intervalo de edades en el que están comprendidas las de un grupo de personas. Un intervalo tiene una longitud, y además un punto de inicio y un punto final, perfectamente definidos.

La mayoría de nosotros habrá aprendido en el colegio que cuando un punto se mueve genera una línea, y que una línea está compuesta por puntos unidos. Es fácil imaginarse un punto, pero ¿cómo es un punto? ¿Cómo es un punto matemático?

Un punto matemático no es exactamente un píxel, ni lo que podamos dibujar en el papel con un lápiz, ni en la pizarra con la tiza. Un punto matemático no tiene dimensiones, ni longitud, ni anchura, ni altura, ni profundidad.

Si miramos al microscopio un píxel, veremos un cuadrado. Si miramos al microscopio el punto que hemos dibujado con el lápiz sobre el papel veremos una mancha de grafito de forma irregular pero aproximadamente circular, y para mirar el punto que hemos dibujado en la pizarra con la tiza no necesitamos un microscopio: a simple vista podremos ver una mancha más o menos grande, sobre fondo oscuro, quizás del tamaño de un guisante o de un garbanzo, un pequeño borrón de arcilla terrosa blanca (como dice el diccionario) en el que se aprecia el polvo de que está compuesta.

Pero si tomamos un punto matemático y lo observamos con un microscopio, lo seguiremos viendo como un punto, jamás lo veremos más grande, no engordará ante nuestra vista, por muchos aumentos que le pongamos al microscopio.

Un punto matemático es más pequeño que una mota de polvo, que una célula, que un átomo, que un electrón. Es más: un punto matemático no tiene forma, no es redondo, ni cuadrado, ni como una pequeña bola, ni hexagonal, triangular, ni ninguna forma que se nos ocurra, porque si tuviera forma tendría dimensiones, longitud, anchura, altura, etc. Y un punto matemático, perdonad que insista, ¡no tiene dimensiones!

Si ponemos dos puntos juntos, la anchura obtenida será cero. Si ponemos cien, mil, un millón de puntos juntos, uno al lado de otro, formando una larga fila, la longitud de esta fila será ¡cero! Es como si todos los puntos se fundieran en uno solo. Dos puntos siempre han de estar separados, porque si se acercan hasta juntarse el uno con el otro, se confunden en uno solo y ya sólo veremos un punto. Entonces, para formar un intervalo, para formar un segmento de recta, algo que tenga longitud, ¡se necesitan infinitos puntos!, tantos, tantos, que no se pueden contar, ¡ni siquiera con todos los números naturales que existen!

De repente, los puntos matemáticos se me antojan elusivos, extraños, misteriosos, y hasta me han dado un poco de miedo. Pero son así. Por eso siento respeto cada vez que se habla de un punto matemático.

PD: consultando el diccionario me he dado cuenta que la palabra tiza, tan corriente, tan cercana para todos los matenavegantes, tan del día a día, ha efectuado un largo viaje hasta llegar a nosotros. Proviene del nahua tizatl. El nahua es una de las antiguas lenguas mexicanas, hablada por los aztecas antes del descubrimiento de América y la llegada de Hernán Cortés.