El Gordo no toca

Cuaderno de bitácora: recientemente, con motivo de las fiestas navideñas, un compañero surcador de los mares me preguntó si las matemáticas daban alguna fórmula para ganar a la lotería. Mi respuesta fue que las matemáticas te mostraban que ganar a la lotería es casi imposible.
En España, entre otros juegos de lotería, tenemos el Sorteo de Navidad, que se juega el 22 de diciembre, todos los años. Participar de este sorteo es una tradición muy extendida entre los españoles. Se dice que más de un 80% de los españoles juega alguna participación (algún décimo o participaciones más pequeñas). Para este último año se ha calculado que la media de dinero jugado por cada español era de unos 61'56 euros, cantidad bastante respetable.
Durante la mañana del 22 de diciembre, los medios de comunicación retransmiten como los niños y niñas del Colegio de San Ildefonso van cantando los números premiados, pero el número que más interesa es el Gordo (el primer premio), que reparte 20.000 euros por cada euro jugado. Luego en las noticias aparecen los datos de los lugares donde ha caído el Gordo y otros premios secundarios, y reportajes de algunas personas celebrando que les ha tocado algún premio.

[En la foto se ven las manos de los niños colocando las bolas que han salido en los alambres: una bola tiene el número agraciado y su pareja en el alambre paralelo tiene el premio que ese número ha obtenido. Las bolas están hechas de madera de boj, y los números están grabados a láser. Hay dos bombos, uno con los 100.000 números y otro con los premios. En total hay 1807 bolas en el bombo de los premios: 1 primer premio llamado el Gordo, 1 segundo premio, 1 tercer premio, 2 cuartos premios, 8 quintos premios y 1794 pedreas. Los números premiados son los van saliendo del bombo y se emparejan con estas bolas de los premios; también son premiados aquellos números que reciben premios especiales, como los números anteriores y posteriores al Gordo, al segundo, al tercero, los que tienen las últimas cifras coincidentes con alguno de los premios principales, etc. Para más detalles, ver la página de la Wikipedia correspondiente]

Si usted quiere participar en el sorteo, tenga en cuenta esto: comprando un número no le va a tocar el Gordo. Si quiere, podemos hacer una apuesta. Yo apostaré a que no le toca.
Los números posibles de la lotería de Navidad son 100.000. El Gordo es solo uno. La probabilidad de que comprando una participación de un número le toque el Gordo es una entre cien mil. En tanto por ciento sería 0'001%. Si apuesto con usted a que no le va a tocar el Gordo, tengo una probabilidad de ganar de un 99'999%. Es una buena probabilidad. El Gordo no toca.
Entonces, me dirá usted, si el Gordo no toca, ¿por qué vemos en televisión o en las noticias a personas a las que les ha tocado? Reflexione sobre esto: si la información fuera equitativa, por cada persona a la que el Gordo ha tocado, tendrían que entrevistar a 99.999 personas a las que no les ha tocado. Solo con que se le concediera un segundo de televisión a cada una de esas cien mil personas, estaríamos más de 27 horas viendo rostros, uno por segundo. Si fueran entrevistando una por una a esas 100.000 personas nos daríamos cuenta de una verdad probabilística incontestable: el Gordo no toca, y esto es cierto con una probabilidad del 99'999%.
No sé si esto hará cambiar de opinión a todos aquellos que siguen ilusionados en que les toque el Gordo. Además del Gordo hay otros premios (el segundo, el tercero, el cuarto, el quinto, las pedreas, los premios especiales, los reintegros). Sólo el 15% de los números recibe algún premio o reintegro. Si se juega a un número hay una probabilidad del 85% de perder todo el dinero.

Yo he jugado varios años a la lotería de Navidad. He comprado unos cuantos décimos y participaciones. Tan sólo un año me tocó un premio muy menor, (la llamada pedrea) en una de las participaciones, entre las participaciones y décimos que jugué había una de 4 euros en la que gané 20. La cantidad de dinero perdido en estos años ha sido mucho mayor, varios cientos de euros. Este año no jugué. La lotería de Navidad ha sacado un anuncio publicitario en el que explotaba el temor a no jugar un número cuando todos tus conocidos juegan al mismo número. Yo también sentí cierto temor de que le tocara a los compañeros de trabajo que sí jugaron a un décimo que yo no compré, y sentí miedo de que luego me reencontrara con ellos, todos alegres, y yo estuviera lamentándome de no haber jugado. Pero no fue así. A mis compañeros tampoco les tocó. Pero yo tenía una probabilidad del 99'999% a mi favor. Gané y no tuve que lamentarme.
También podemos creer que si jugamos un año y otro y otro, al final nos debe tocar el Gordo. Pero hay que esperar mucho tiempo para tener ciertas opciones. Si jugamos un año, la probabilidad de que no toque es de 99'999%. Si jugamos dos años, la probabilidad de que no toque ninguno de los dos años se calcula tomando 99'999% = 0'99999 y elevándolo al cuadrado: 0,9999800001 =99'99800001%, que es casi la misma probabilidad. Si jugamos toda la vida, la probabilidad tampoco sube mucho.
Si jugamos 100 años seguidos, la probabilidad de que no nos toque ningún año es todavía del 99'9% aproximadamente (0'99999 elevado a 100). Si jugamos 1000 años seguidos, la probabilidad de que no nos toque ningún año es del 99% y si jugásemos durante 10.000 años, tendríamos todavía una probabilidad de que el Gordo no nos tocase de 90'48%. Tendríamos que jugar durante log(0'50)/log(0'99999) = 69.314 años para que la probabilidad de que el Gordo nos toque alguna vez llegue al 50%.
Ya ven ustedes, el Gordo no toca.
P.D.: no podemos negar que es bonito jugar a la lotería de Navidad, se trata de un acontecimiento social en el que todo el país se une lleno de ilusión para jugar juntos en una fecha que marca el comienzo de la fiestas navideñas. Es agradable compartir números con la familia y los amigos, y luego comentar dónde han caído los premios.
Sin embargo, a la hora de la verdad, supone un negocio en el que muchísima gente gasta mucho dinero y unos pocos (poquísimos) reciben unos grandes premios, que no compensan todo el dinero gastado por toda la sociedad. Según mi opinión se podría organizar un sorteo en el que se rebajara la cuantía de los premios, pero se aumentara mucho el número de premios otorgados, para que así hubiera mucha más cantidad de personas que recibieran premios (cien veces más, por lo menos). Además sería justo que todo el dinero invertido por la sociedad se volviera a repartir en premios, y no como ahora, donde el porcentaje que se pierde en impuestos es cada vez más grande. De ahí la frase "a Hacienda siempre le toca el Gordo en Navidad".
No obstante, las empresas de juegos de azar tratan de atraer cada vez más público promocionando premios mayores, cuando lo que en realidad hacen es disminuir drásticamente las probabilidades de que uno gane cualquiera de esos premios. Así sucede con la lotería primitiva, la bono loto, los euro millones, etc. Tocan millones de euros, pero a una sola persona, y a veces el premio queda desierto. Hagamos conciencia de que somos millones de jugadores, y entonces la probabilidad de que seamos la persona afortunada a la que toca uno de esos premios es minúscula. Si el Gordo no toca, los euro millones, las lotos y bono lotos, tocan muchísimo menos.

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