[El Problema de la Semana] Negocios con trampa

Veamos el primer problema que se le plantea a los grumetes en este nuevo periplo:

Te ofrecen un par de negocios. En el primero vas a ganar 10 € el primer día, 20 € el segundo día, 30 € el tercer día, y así sucesivamente hasta llegar al día 15. En el segundo ganas 0.10 € el primer día, 0.20 € el segundo día, 0.40 € el tercer día, 0.80 € el cuarto día, y así sucesivamente hasta el día 15. Si te ofrecen escoger entre uno de los dos negocios, ¿con cuál te quedarías?

La solución, más abajo de la ilustración.


[La ilustración se ha tomado de Mathspace, en un artículo donde se pone un ejemplo de una progresión geométrica. El artículo está en inglés.]

SOLUCIÓN:

En el primer negocio tenemos una progresión aritmética. Se gana 10 € el primer día, 20 € el segundo, 30 € el tercero, etc. Entonces tenemos una sucesión de números que empieza en 10 y va aumentando, sumándole 10 cada día. Claramente si son quince días, el día quince se ganará 150 €. El problema está en sumar:
10 + 20 + 30 + ... + 150
No es una suma muy larga, se puede hacer directamente o emplear la fórmula de las progresiones aritméticas: (10 + 150) · 15 / 2 = 1200.
El resultado es 1200 euros ganamos con el primer negocio.

En el segundo negocio tenemos una progresión geométrica. Parece que empieza por muy poco dinero, ganando 0.10 € el primer día, 0.20 € el segundo, 0.40 € el tercero y así sucesivamente, multiplicando por dos en cada paso.
Las progresiones geométricas crecen rápidamente, y podemos calcular lo que se gana el día quince usando las potencias de dos.
El día quince ganamos: 0.10 · 214 = 0.10 · 16384 = 1638.40€
Para calcular el total de lo que se gana se puede hacer la suma:
0.10 + 0.20 + 0.40 + ... + 1638.40
Pero es más fácil aplicar la fórmula de la progresión geométrica:
(1638.40 · 2 0.10) / (2 1) = 3276.70
Con el segundo negocio ganamos 3276.70 euros. Por tanto, es más interesante el segundo negocio que el primero, a pesar de que las ganancias de los primeros días son más pequeñas.

Este problema es un ejemplo clásico del diferente comportamiento de una progresión aritmética y una progresión geométrica. En una progresión aritmética el crecimiento es constante, pero en la geométrica, el crecimiento va aumentando de forma muy rápida, por lo que, aunque empiece con desventaja, la progresión geométrica no tarda en superar a la aritmética y dejarla muy atrás.

Nota: Este problema ha sido adaptado del libro de Miquel Capó Dolz: El país de las mates, 100 problemas de ingenio 1.

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