Durante las dos últimas semanas, nuestro compañero matenavegante Pablo Viedma nos ha dado varias explicaciones sobre el puzle Las Torres de Hanoi y su trasfondo matemático. También nos ha traído el enunciado del problema que esta semana proponemos:
Imagina un ser (extraterrestre) que emprende una carrera, y que en cada paso emplea un segundo de tiempo, pero el primer paso es de 1 metro de longitud, el segundo de 2 metros, el tercero de 4 metros, y así sucesivamente, tardando un segundo en cada paso y doblando en cada paso la longitud del paso anterior.
¿Será capaz de superar a Usain Bolt que corrió 100 metros en 9,56 segundos? ¿Y cuánto tardará en hacer la distancia de Granada a Madrid, que es aproximadamente de 420 kilómetros?
La solución viene debajo de la foto de Usain.
11.200 = 2t · ln2
[la imagen ha sido tomada de una web de la Universidad de Cambridge dedicada a las Matemáticas y el Deporte]
SOLUCIÓN:
En el primer segundo el corredor ha dado un paso de 1 metro. Cuando han pasado dos segundos, el corredor ha avanzado 1 + 2 = 3 metros. Cuando han pasado tres segundos, el corredor lleva 1 + 2 + 4 = 7 metros. Se trata de ir sumando potencias de 2. Si seguimos sumando nos damos cuenta de que cuando han pasado siete segundos ha avanzado
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 metros,
luego en menos de 7 segundos ha superado la marca de los 100 metros. Por tanto sí es más rápido que Usain Bolt.
Para averiguar el tiempo que el corredor extraterrestre tarda en cubrir la distancia de Granada a Madrid podemos seguir con el mismo método de ir sumando distancias dobles hasta sobrepasar los 420 km = 420.000 metros. Como es una progresión geométrica, los números crecen rápidamente y no hay que esperar demasiado para alcanzar esa distancia. Pero vamos a buscar una fórmula que nos simplifique el trabajo.
Lo que estamos haciendo es sumar una progresión geométrica de razón 2. Entonces podemos ver (porque conocemos la fórmula de la suma de una progresión geométrica o porque simplemente nos hemos dado cuenta) que sumando n términos el resultado es igual a 2 elevado a n menos 1:
1 = 21 – 1
1 + 2 = 3 = 22 – 1
1 + 2 + 4 = 7 = 23 – 1
...
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127 = 27 – 1
Según esto, basta ir probando con las potencias de 2 y nos damos cuenta que
219 = 524.288, y por tanto después de 19 pasos el corredor extraterrestre habrá recorrido:
219 – 1 = 524.287 metros.
Luego la respuesta es que tardará menos de 19 segundos en hacer la distancia de Granada a Madrid.
AMPLIACIÓN:
Si nos metemos en un nivel matemático más superior y pensamos también en términos de física, a este problema todavía se le puede sacar bastante jugo. Pero para eso debemos abandonar la superficie del planeta Tierra. Y entonces tiene todavía más sentido que al corredor le hayamos calificado de extraterrestre.
Hay varias cosas que llaman la atención. La primera es evidente: al tratarse de una progresión geométrica, la distancia avanzada aumenta enormemente en muy pocos pasos. Al corredor le bastan 7 pasos para sobrepasar los 100 metros, pero con 12 pasos más ya ha recorrido más de 500 kilómetros.
Pero si nos fijamos en la velocidad implicada, entonces la situación empieza a tomar mayor interés. Si con 7 segundos avanza más de 100 metros, su velocidad, aunque mayor que la de ningún corredor humano hasta la fecha, no es equiparable todavía a la de un coche: cuando en la autopista alcanzamos 120 kilómetros por hora entonces se tardan 3 segundos en recorrer 100 metros.
Pero esa velocidad aumenta rápidamente. Para llegar a Madrid en menos de 19 segundos entonces estamos hablando de que el corredor ya está avanzando a velocidades superiores a 20 kilómetros por segundo. Esta velocidad es superior a la velocidad de escape de la superficie de la Tierra. Al corredor le resultaría ya imposible, corriendo a esta velocidad, dar los pasos sobre la superficie terrestre, porque estaría volando. En cuanto superase la velocidad de escape terrestre (11,2 km/s) la fuerza de gravedad no sería suficiente para que el corredor regresara a la Tierra a dar el siguiente paso.
Ya que estamos hablando de velocidades, podemos utilizar expresiones más avanzadas para calcular las velocidades con exactitud. Por lo que hemos visto más arriba, el espacio recorrido se puede calcular en función del tiempo con la siguiente fórmula:
s = 2t – 1
Donde s sería el espacio en metros, y t el tiempo en segundos. Los que conozcan un poco de física cinemática saben que la velocidad es "la derivada del espacio respecto al tiempo", y entonces derivando la fórmula anterior:
v = ds/dt = 2t · ln2
La velocidad viene expresada en metros por segundo. En la fórmula aparece ln2 que es el "logaritmo neperiano de 2", ln2 = 0,693147181. Podemos calcular cuándo el corredor alcanza la velocidad de escape terrestre, de 11,2 km/s = 11.200 metros por segundo, sustituyendo la velocidad en la fórmula y despejando el tiempo:
2t = 11.200 / ln2
t = log2(11.200 / ln2) = 13,979977485 segundos
El corredor extraterrestre supera la velocidad de escape de la Tierra a los 14 segundos aproximadamente, y ya no puede dar más pasos, porque su cuerpo ya está separándose de la superficie terrestre y entrando en órbita.
Puede ser un debate interesante decidir si el paso número 14 lo da o no lo da porque ya se haya separado lo suficiente de la superficie. Para ello tendríamos que entrar en ecuaciones físicas más complicadas, en las que se defina un vector de posición de dos coordenadas en función del tiempo, y luego se compare con la curvatura de la superficie de la Tierra. Puede ser un problema interesante de física, pero no vamos a profundizar en ello.
También podemos calcular otros hitos importantes: la barrera del sonido se alcanza a los 1234,8 km/h, es decir, a los 343 metros por segundo. Si averiguamos el tiempo:
343 = 2t · ln2
t = log2(343 / ln2) = 8,950831139 segundos
A los 8,95 segundos se produce el boom sónico, y el corredor supera la barrera del sonido.
Pero también tenemos la velocidad de la luz, de 300.000 kilómetros por segundo, o más exactamente de 299.792.458 metros por segundo, y si averiguamos el tiempo
299.792.458 = 2t · ln2
t = log2(299.792.458 / ln2) = 28,688155221 segundos
Poco después de los 28 segundos, nuestro extraterrestre alcanzaría la velocidad de la luz; ya no se le puede llamar corredor, porque desde el paso 14 abandonó la superficie de la Tierra, podemos llamarlo volador, porque estaría probablemente atravesando el espacio. Si hay coches que aceleran de 0 a 100 km/h en menos de 3 segundos, nuestro volador extraterrestre acelera de 0 a la velocidad de la luz en menos de 29 segundos. Según la física relativista, ya no puede aumentar más su velocidad y habría alcanzado el límite absoluto.
El corredor extraterrestre supera la velocidad de escape de la Tierra a los 14 segundos aproximadamente, y ya no puede dar más pasos, porque su cuerpo ya está separándose de la superficie terrestre y entrando en órbita.
Puede ser un debate interesante decidir si el paso número 14 lo da o no lo da porque ya se haya separado lo suficiente de la superficie. Para ello tendríamos que entrar en ecuaciones físicas más complicadas, en las que se defina un vector de posición de dos coordenadas en función del tiempo, y luego se compare con la curvatura de la superficie de la Tierra. Puede ser un problema interesante de física, pero no vamos a profundizar en ello.
También podemos calcular otros hitos importantes: la barrera del sonido se alcanza a los 1234,8 km/h, es decir, a los 343 metros por segundo. Si averiguamos el tiempo:
2t = 343 / ln2
A los 8,95 segundos se produce el boom sónico, y el corredor supera la barrera del sonido.
Pero también tenemos la velocidad de la luz, de 300.000 kilómetros por segundo, o más exactamente de 299.792.458 metros por segundo, y si averiguamos el tiempo
299.792.458 = 2t · ln2
2t = 299.792.458 / ln2
Poco después de los 28 segundos, nuestro extraterrestre alcanzaría la velocidad de la luz; ya no se le puede llamar corredor, porque desde el paso 14 abandonó la superficie de la Tierra, podemos llamarlo volador, porque estaría probablemente atravesando el espacio. Si hay coches que aceleran de 0 a 100 km/h en menos de 3 segundos, nuestro volador extraterrestre acelera de 0 a la velocidad de la luz en menos de 29 segundos. Según la física relativista, ya no puede aumentar más su velocidad y habría alcanzado el límite absoluto.
¿Cuánto habrá recorrido en esos casi 29 segundos? s = 228,688155221 – 1 = 432.509.091 metros, más de 432.500 kilómetros; como la Luna está a 384.400 kilómetros de la Tierra, nuestro volador extraterrestre estará más allá de la órbita de la Luna.
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