[El Problema de la Semana] Venta de coches

Veamos qué problema tenemos en esta semana de primavera:

El beneficio de un vendedor de coches ha sido de 21.000 euros, después de haber vendido un cierto número de coches, todos al mismo precio. Si hubiera vendido un coche más y recibido 100 euros menos por cada coche, habría obtenido el mismo beneficio. ¿Cuántos coches se vendieron, y cuál fue el precio de cada uno?

Lo solucionamos después de la ilustración.


[En la imagen tenemos un coche MAZDA 3, cuyo dueño, un ingeniero como se aprecia en la matrícula, le ha añadido los primeros 39 decimales del número pi. Los dos últimos decimales están en orden inverso: no deben ser 79 sino 97. ¿Será un error de colocación o una alteración intencionada para que los que quieran comprobarlo?]

SOLUCIÓN: la forma más directa de solucionarlo es plantear un sistema de ecuaciones.

Podemos darle nombres a las incógnitas:
x: el número de coches vendidos
y: el beneficio obtenido por cada coche

Está claro que la primera ecuación sale del beneficio total:
x · y = 21000

También está claro que la segunda ecuación sale de "vender un coche más", x+1, y recibir 100 euros menos por cada coche, y–100.
(x + 1) · (y – 100) = 21000

Desarrollando esta última ecuación tenemos:

x·y – 100x + y – 100 = 21000

Teniendo en cuenta que de la primera ecuación sabemos que x·y es igual a 21000:

21000 – 100x + y – 100 = 21000
– 100x + y – 100 = 0
 y = 100x + 100 

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación:

x · (100x + 100) = 21000
100x2 + 100x – 21000 = 0

Simplificamos dividiendo por 100:

x2 + x – 210 = 0
Resolvemos la ecuación de segundo grado, obteniendo dos soluciones: 14 y –15. Descartamos el resultado negativo y obtenemos la solución final: x = 14, y = 1500.

Se vendieron 14 coches y el beneficio obtenido por cada uno fue de 1500 euros.


Nota: el problema de hoy ha sido adaptado del libro The Riddles of the Sphinx, de David J. Bodycombe, Penguin Books.

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