[El Problema de la Semana] Una calculadora estropeada

Ahí va el nuevo problema:

Imagina que tu calculadora tiene estropeada la tecla del "cero". El juego consiste en conseguir que aparezcan en la pantalla estos números: 250, 205, 2050, 0'025.
¿Y cómo se podrían efectuar los siguientes cálculos? 0'025 · 205; 2050 : 250.
Recuerda que la tecla del "cero" sigue estropeada.

¡Santo cielo! ¿Dónde estará la solución? Que no cunda el pánico... Está más abajo, después de la imagen ilustrativa.

[Hablando de calculadoras, esta cosa extraña con el nombre de CURTA es en realidad una calculadora mecánica inventada durante la Segunda Guerra Mundial por un prisionero de un campo de concentración nazi, Curt Herzstark. Evidentemente, el nombre de Curta proviene del nombre su inventor, que sobrevivió al campo de concentración y perfeccionó el diseño de su calculadora, sacándola al mercado en 1948. Fueron consideradas las mejores calculadoras de mano hasta 1970, año en que empezaron a ser reemplazadas por las calculadoras electrónicas. Las Curtas pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y por su diseño fueron llamadas molinillos de pimienta. Se puede consultar la página de la wikipedia para más detalles, y también un simulador de cómo funciona]


Solución:
Es evidente que este problema admite múltiples soluciones. Por ejemplo, si queremos que aparezca en pantalla el 250 sin pulsar la tecla del "cero" podemos hacer cualquier cálculo que nos dé 250 como solución, y hay infinidad de cálculos en los que no necesitamos pulsar el "cero": 249 + 1, 251 − 1, 125 · 2, etc...
A continuación voy a escribir una de esas infinitas posibilidades, buscando pocas operaciones y una cierta "elegancia" en la elección de los números, usando principalmente productos y divisiones en lugar de sumas y restas:
250 = 125 · 2
205 = 41 · 5
2050 = 82 · 25
0'025 = 1 : (8 · 5)
Una vez que tenemos estas posibilidades, basta combinarlas para obtener las dos operaciones que nos pregunta el problema:
0'025 · 205 = [1 : (8 · 5)] · 41 · 5
2050 : 250 = (82 · 25) : (125 · 2)

Ampliación:
Aprovechando que en nuestra solución hemos usado productos y cocientes, las dos últimas operaciones se pueden simplificar y obtener el mismo resultado con menos pasos.
0'025 · 205 = [1 : (8 · 5)] · 41 · 5, aquí podemos simplificar un 5 que multiplica con otro que divide, obteniendo el mismo resultado así: 0'025 · 205 = 41 : 8
2050 : 250 = (82 · 25) : (125 · 2), podemos simplificar el 25 con el 125 y el 82 con el 2, y se obtendría el mismo resultado así: 2050 : 250 = 41 : 5
Cuando los matenavegantes nos encontramos con un problema que tiene muchas formas de solucionarse, no nos conformamos con haber encontrado esas soluciones, sino que nos preguntamos cuál de las soluciones será la más corta, la más eficiente, etc. Sí, a los matenavegantes nos gusta complicarnos la vida. En nuestro caso podría ser interesante averiguar, para cada una de las operaciones, cuál es el mínimo número de teclas que tenemos que pulsar en nuestra calculadora para obtener el resultado.
Así, para 250, parece que necesitamos al menos pulsar cinco teclas más la del "igual", aunque eso también dependerá del modelo de calculadora que tenemos.
Si hacemos 250 = 125 · 2, son cinco teclas (más la del igual, pero de ahora en adelante no vamos a contarla), pero si hacemos 250 = 53 · 2, y nuestra calculadora tiene una tecla que eleva al cubo directamente, entonces sólo tenemos que pulsar cuatro teclas.
Análogamente, 205 = 199 + 6, aquí hay que pulsar cinco teclas, pero con la solución que hemos dado más arriba, 205 = 41 · 5, sólo hay que pulsar cuatro.
Invito a todos los lectores a que experimenten con sus propias calculadoras y traten de encontrar esos números mínimos de teclas que se necesitan para cada cálculo.

Notas: este problema ha sido extraído del libro de texto de la editorial SM.


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