[El Problema de la Semana] Sumas de impares

Hoy, otro de los antiguos problemas de doDK:

Nos han encargado que sumemos todos los números impares desde el 1 al 101 ambos inclusive. Después de un buen rato hemos finalizado la cuenta, pero luego nos han encargado la suma del 1 al 201, y cansados de sumar, queremos encontrar una fórmula fácil que nos dé el resultado.

Encuentra la fórmula, y como aplicación calcula la suma de los impares desde el 1 al 101, del 1 al 201 y del 1 al 343.

¿Dónde estará
la solución?
Justo pasando
la ilustración.
Girad la rueda
en el ratón;
la encontraréis
sin dilación.

[Esta imagen está tomada de una actividad realizada por George Hart en la Universidad de Albion (Albion College), en el verano de 2008. Muestra el vestíbulo de dicha Universidad, en la que Hart dirigió a varios grupos de personas para montar las estructuras geométricas que luego fueron izadas y colgadas a diferentes alturas, como se ve en la foto. En total hay nueve formas geométricas, aunque en la imagen sólo se ven ocho, y están colocadas de forma que su sucesión inspira el vuelo de un asteroide o cometa espacial. Es sorprendente que, a pesar de que las estructuras son perfectamente regulares, Hart ha conseguido una forma intrincada que junto a los colores elegidos sugieren la forma irregular y rugosa de una roca incandescente entrando a la atmósfera de la Tierra. Ver nota al final de esta entrada para más detalles sobre George Hart]

Solución:
Basta ir probando con las primeras sumas de impares y darse cuenta de lo que pasa:

1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32 ...

Las sumas de números impares consecutivos siempre da el cuadrado de un número, concretamente el número que es media aritmética de los impares que estamos utilizando. Si queremos sumar todos los impares desde el 1 al 101 va a salir el cuadrado del número que es media aritmética entre 1 y 101:

(1 + 101) : 2 = 51; luego

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 + 101 = 512 = 2601

Y de la misma forma:

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 199 + 201 = 1012 = 10201
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 341 + 343 = 1722 = 29584

Aclaración: evidentemente, para los matenavegantes un poco curtidos, este problema trata en realidad de la suma de progresiones aritméticas, y se pueden utilizar las fórmulas apropiadas para calcular dichas sumas, pero en este caso particular, sumando números impares, nos hemos encontrado con el atajo que se ha explicado antes y las fórmulas no son necesarias, tan solo un poco de atención e ingenio.

Nota: la página de George Hart es uno de los últimos descubrimientos en nuestro periplo de matenavegación. Recomendamos a todos los oficiales de los Barcos Escuela que la visiten, porque está llena de sorprendentes actividades. Una de ellas, concretamente la que Hart realizó en la Universidad de Sevilla en octubre de 2008, la hemos repetido en nuestro propio Barco, y en este enlace se pueden contemplar los resultados.

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