[El Problema de la Semana] Pirámide numérica

Nos acercamos al final del curso en nuestro Barco Escuela y éste es el problema de la semana planteado:

La pirámide del gráfico está formada por ladrillos, cada uno con un número. El número de cada ladrillo es igual a la suma de los dos ladrillos sobre los que se apoya. Averigua los números que faltan. (Pista: comienza por averiguar razonadamente el número contenido en el ladrillo marcado con una “x”)

Por favor... ¿Todavía, no sabe dónde está la solución? ¡Cómo es posible a estas alturas...! ¡Más abajo, más abajo, después de la imagen!


[En esta imagen podemos ver la  increíble Pirámide de los Nichos en El Tajín, Veracruz, México. Pertenece a la cultura totonaca, una de las civilizaciones precolombinas que habitaron en territorio mexicano. Si nos fijamos con detalle, la pirámide está formada por siete pisos, y el número de nichos o huecos cuadrados de cada piso en la cara que vemos en la foto, va formando, de abajo a arriba, la sucesión 22, 19, 16, 13, 10, 7 y 5. Curiosamente, los seis pisos inferiores están en progresión aritmética,  de diferencia igual −3, es decir, cada piso disminuye en tres nichos conforme ascendemos. Pero el último piso, el séptimo, rompe la regla disminuyendo sólo en dos, y en lugar de tener 4 nichos tiene 5. ¿Cuál es el motivo de esta corrección? Consultando la entrada de la wikipedia, el número total de nichos que decoran la fachada coincide con el número de días de un año: 365. Si sumamos los términos de la sucesión, 22 + 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4 = 91, y multiplicamos por 4 caras que tiene la pirámide, nos da 364 nichos. En una de las caras hay una escalera, lo que modifica ligeramente la distribución. Los constructores debieron de adaptar la sucesión y poner cinco nichos en el piso de arriba en lugar de cuatro para que la cuenta coincidiera correctamente con el número de días del año al sumar todos los nichos de todas las caras. La imagen está tomada de esta web.]

Solución:
Evidentemente, sin la pista de la "x" el problema sería mucho más difícil de resolver. Fijémonos en los dos ladrillos a la izquierda, los que reposan sobre los ladrillos señalados respectivamente con 19, x, 8. Cada uno de esos ladrillos es igual a la suma de los dos sobre los que se apoya, luego en ellos los números serían 19 + x, x + 8. Sumando estas dos expresiones tenemos el ladrillo de arriba, y así obtenemos la ecuación:
(19 + x) + (x + 8) = 53
resolvemos:
19 + x + x + 8 = 53
x + x = 53 − 19 − 8
2x = 26
x = 26/2 = 13.
Una vez resuelta la "x", es muy sencillo averiguar los números que faltan. Los números de la pirámide son:

120
53   67
32   21   46
19   13   8   38

Notas: este problema se inspira en otros problemas similares recogidos en el libro de David J. Bodycombe, The Riddles of the Sphinx.

Comentarios

Anónimo ha dicho que…
ha pasado más de un año y ayer encontré por casualidad unos cuantos, de los muchos problemas de la semana, que hice estando tú de profesor en Carmen Pantión.

Recuerdo la noche de antes de la fecha tope para entregarlo, estar haciéndolo y comprobando no haberme equivocado en ningún paso y cuando te lo entregaba, la tarde sigiente me la pasaba discutiendo con mi padre si lo que habia hecho estaba bien o no!!!

Un bonito recuerdo del pasado, gracias a tu trabajo!!! :)

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