23.4.10

[El Problema de la Semana] Potencias elevadas

Esta semana se les propuso a los grumetes el siguiente problema:

A Felipe y Margarita les gusta competir con sus calculadoras. Al igual que muchas otras potencias, 759 no cabe en la pantalla, pero Felipe afirma que el resultado acaba en 1, mientras que Margarita piensa que acaba en 43. ¿Cuál de los dos tiene razón?

La solución aquí mismo, en esta misma pantalla, pero un poco más abajo.

[Aquí tenemos una foto de una de las primeras calculadoras mecánicas, la pascalina, que fue inventada por Pascal, de ahí el nombre, en 1645. La pascalina sólo era capaz de sumar y restar números de hasta seis cifras, y Pascal la construyó pensando en ayudar a su padre, contador de la Hacienda francesa, y facilitarle el trabajo con los cálculos aritméticos comerciales.]

Solución:
Los problemas en los que nos dan potencias altas y nos piden en qué cifra terminan se resuelven todos probando con las primeras potencias y encontrando la secuencia de terminaciones.
Para las potencias de 7 es fácil encontrar la secuencia:
70 = 1
71 = 7
72 = 49
73 = 343
74 = 2.401
75 = 16.807
76 = 117.649
77 = 823.543
78 = 5.764.801
etc.
Como se puede comprobar, la cifra de las unidades sigue la secuencia 1, 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, ... de forma que las potencias múltiplos de 4 acaban todas en 1.
La potencia que estamos buscando es la 59, la múltiplo de 4 anterior más próxima es la 56, 756 termina en 1, 757 termina en 7, 758 termina en 9 y 759 termina en 3. Felipe, por tanto, no tiene razón.
Pero más que en 3, Margarita afirma que termina en 43 exactamente. ¿Es eso cierto? Si observamos la sucesión de potencias, veremos que también la cifra de las decenas va siguiendo un patrón concreto: 01, 07, 49, 43, 01, 07, 49, 43, luego podemos asegurar que Margarita sí tiene razón.
De hecho, con ayuda de una calculadora que pueda mostrar todos los números, por ejemplo la web2.0calc, obtenemos la potencia completa que estamos buscando: 
759 = 72.574.551.534.231.909.331.741.171.093.173.785.967.490.646.405.143

Nota: este problema ha sido extraído del libro de texto de 4º ESO de la editorial SM.