[El Problema de la Semana] Contando decimales

En el nuevo periplo de nuestro Barco Escuela, el primer problema de la semana ha sido el siguiente:

Algunos números pueden tener muchas cifras decimales, incluso infinitas. Considera el número decimal 

0’012345670123456701234567… 

Si te fijas verás que los decimales se van repitiendo en una sucesión muy fácil. Observa que la primera cifra decimal es un 0, la segunda un 1, la tercera un 2, etc., y si sigues contando, la cifra que está, por ejemplo, en el lugar décimo es un 1, y la cifra que está en el lugar vigésimo es un 3. 

¿Sabrías decir qué cifra decimal está en el lugar milésimo?

Colocamos la imagen ilustrativa a continuación, y después colocamos la solución.

[En la imagen podemos ver el Ojo de Horus, dividido en partes, cada una de ellas correspondiente a una fracción. Los egipcios no usaban nuestro sistema indo-arábigo posicional, y para representar cantidades más pequeñas que la unidad utilizaban fracciones unitarias, es decir, con numerador igual a uno. Eran capaces de expresar cualquier cantidad fraccionaria sumando fracciones unitarias. La imagen y mucha más información sobre las fracciones egipcias, se pueden encontrar en la página correspondiente de la wikipedia]


Solución:

Se ve claramente que los decimales se repiten de ocho en ocho, y además que el 7 está en todos los puestos múltiplos de ocho: el octavo decimal es 7, el decimosexto decimal es 7, el vigésimo cuarto vuelve a ser 7, etc.

Coincidentemente, mil es múltiplo de ocho, luego el decimal que está en el puesto milésimo es el 7.

Nota: el número del que trata nuestro problema es un decimal infinito periódico puro. Como cualquier aprendiz de matenavegante debe saber, este número tiene una expresión en forma de fracción. En este caso la fracción es

Esta fracción es irreducible, porque numerador y denominador no tienen factores primos en común. Concretamente, 1.234.567 = 127 · 9721, y 99.999.999 = 3 · 3 · 11 · 73 · 101 · 137. Las factorizaciones las hemos hecho con la calculadora de esta página. Sin embargo, en esa misma página hay otra calculadora que pasa de decimal infinito periódico a fracción, pero que no funciona bien.


Comentarios

Entradas populares de este blog

Buscando la Combinación del Candado

La Gran Pirámide de Keops: pi por la raíz de fi es casi cuatro

Tutorial para resolver kakuros