[El Problema de la Semana] Cuadrado al cuadrado y algo más

Otro de los antiguos problemas publicados en doDK, del cual, como es habitual, he perdido la fuente y no puedo decir ahora de donde lo extraje.

He tomado un determinado número y hallado su cuadrado. Después, he elevado este cuadrado al cuadrado y multiplicado el resultado por el número original. Al final de mis cálculos, hallo como resultado un número de 7 cifras acabado en 7. ¿Cuál es el número original?

La solución no se hará esperar, en cuanto la imagen dejéis pasar.

[Esta imagen está tomada de la web Grand Illusions. Consiste en un sencillo juguete formado por seis cuadrados hechos de plástico transparente de tres colores, y unidos por una esquina mediante una pieza de goma que se puede pegar a una ventana, por ejemplo. Con la luz que entre por la ventana, los niños pueden jugar  a darle vueltas a los cuadrados y descubrir las diferentes tonalidades de colores que se van formando al combinar los cuadrados entre sí. Recomiendo visitar la página grand-illusions.com, porque está llena de todo tipo de objetos y juguetes mágicos, ilusiones ópticas, y artículos y vídeos de muchos de ellos]

Solución:

Si elevamos al cuadrado, luego otra vez al cuadrado y luego multiplicamos por el número original, estamos elevando a la quinta:

(x2)2 · x = x5

Tenemos que encontrar a un número que elevado a la quinta dé un resultado de siete cifras que termine en 7. Esto se puede hacer a tanteo, aunque basta probar con los números que terminan en 7, porque son los únicos que pueden dar de última cifra 7 cuando se elevan a la quinta potencia (los que terminan en 3 también pueden dar 7 en la última cifra, pero no cuando se elevan a la quinta potencia).

Tras un breve tanteo se comprueba que 175 = 1419857, es decir, 17 es el único número que lo cumple.

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