Sobre el go (2)

Cuaderno de bitácora: en abril de 2008, tuve la oportunidad de impartir un pequeño curso de go de tres días para profesores en el Centro de Profesores (CEP) de Montilla, Córdoba. Para ilustrar mis clases, realicé una presentación en diapositivas, dividida en tres partes, y recientemente, revisando los artículos que tengo en borrador y que todavía no he terminado para publicar en el blog, se me ha ocurrido incluir esas presentaciones aquí, para todo aquél que quiera contemplarlas.
Las presentaciones son amplias, 233 diapositivas entre las tres, y en ellas se explican los pasos básicos para aprender a jugar al go, pero además se habla ampliamente de los beneficios del go, del material que se emplea en las partidas, de la historia y la filosofía, de los niveles de juego, de la etiqueta durante el juego, y de las matemáticas en el go.
Las diapositivas necesitaron muchas horas de trabajo. Contienen muchas imágenes, gran parte de ellas son de jugadas y posiciones en el tablero, pero muchas otras, obtenidas de aquí y de allá en Internet, acompañan a las explicaciones para ilustrarlas. El texto se ha tomado, en gran parte, traduciendo el contenido de la página de la Nihon Ki-in, la Asociación Japonesa de Profesionales de Go. Algunas partes del texto han sido creación mía, especialmente las de la filosofía del go y las matemáticas en el go.
Estas diapositivas formaron parte de aquel curso de tres días, que impartí y por el que recibí un pago en su momento. Hice la presentación porque me pareció una forma interesante de enseñar la parte teórica, nadie me encargó, ni por supuesto compró la presentación, sino que fue un material elaborado voluntariamente por mi persona. Considero que Internet debe ser un medio en el que se pueda compartir información, y a través del cual podamos acceder al trabajo de unos y otros, y si ese acceso es gratuito, pues mejor que mejor. Si alguien desea usar esta proyección con fines educativos, no lucrativos, desde este momento tiene mi permiso para hacerlo, pero en cualquier caso debe citar la procedencia de estas diapositivas y a su autor. Gracias.











Nota: Para poder subirlas al Google docs he tenido que partir las dos primeras presentaciones en dos trozos cada una, por lo que al final han quedado cinco partes. Además, al subirlas al Google docs han perdido las animaciones que contenían, así como el tipo de letra, y algunas de las ilustraciones eran gifs animados que también han perdido la animación. De todas formas, son sólo detalles que no impiden ver correctamente las diapositivas.

Además de las presentaciones, también redacté un documento especificando un poco más mi visión de la relación entre las matemáticas y el go. Este documento está pensado para motivar a los profesores de ciencias a que aprendan a jugar al go y se lo enseñen a sus alumnos y alumnas. A continuación incluyo el contenido de ese documento:

APLICACIONES MATEMÁTICAS DEL GO

En Occidente, de forma natural, el Go se ha relacionado con lo matemático. Presenta diversos aspectos concretos en este sentido:

- Es un juego de estrategia, sometido a reglas lógicas muy concretas. Las matemáticas siempre se ha interesado por este tipo de juegos.

- Presenta un sistema de reglas muy sencillas, similar al conjunto de axiomas que forman la base de cada rama matemática.

- Este conjunto de reglas de carácter axiomático produce un juego de estrategia profunda y de complejidad extrema, enmarcado en un sistema finito, con una riqueza que no tiene rival entre otros juegos de reglas tan sencillas.

- Todo esto favorece que el Go encaje y coincida mejor en la mente de un matemático, en el que elementos abstractos y carentes de significado interrelacionados con leyes simples adquieren una dimensión orgánica y creadora de teoremas y resultados útiles e inesperados.

El juego en sí, lo mismo que el ajedrez, y otros juegos de estrategia puramente lógicos, en los que no interviene el azar, activa y desarrolla en la mente del que los practica una serie de habilidades. Pero el Go tiene unas características añadidas:

- Desarrolla la atención y la concentración.

- A partir de elementos básicos, líneas y puntos (piedras), el jugador aprende a reconocer figuras geométricas, grupos, interdependencia de los grupos, relaciones posicionales y todo tipo de influencias que no se ven en el tablero, sino que sólo están, de forma abstracta, en su mente.

- El Go constituye un ejercicio mental en el que se practican muchas habilidades aritméticas básicas. Por ejemplo contar, sumar, restar, multiplicar, organizar en figuras geométricas, traducir áreas a cantidades numéricas, reorganizar áreas de forma adecuada en rectángulos, etc. Conforme el jugador va progresando en su juego se da cuenta de que estos procesos matemáticos deben ser mejorados y deben adquirir una gran precisión y rapidez para poder calcular las posibilidades de éxito o fracaso en la partida. Es un ejercicio entretenido e interesante mantener un conteo mental de los territorios obtenidos y de los que se pueden obtener de forma previsible.

- También se ejercita la visión e imaginación lógica de las posibilidades de las próximas jugadas, posibilidades que también son evaluables y cuantificables mediante sumas, restas, etc.

El material de Go, independientemente del juego, es muy flexible y polivalente: el tablero se puede acomodar de forma inmediata a un sistema de coordenadas y las piedras a puntos para delimitar formas geométricas planas. También puede ser usado como ábaco, y en este campo sus posibilidades son innumerables y sólo dependen de la imaginación del educador. Además existen una gran cantidad de variantes del Go que se pueden explorar con fines educativos (Go a tres o cuatro colores, Go con reglas ligeramente modificadas, etc.)

En relación al alumnado, introducir en el aula o fuera de ella este tipo de juegos y actividades es siempre muy motivante. El Go tiene el beneficio añadido de que es ahora mismo muy desconocido, por lo que todos, sin excepción, pueden empezar a conocerlo desde cero, es decir, todos parten del mismo punto, sin que nadie tenga una ventaja inicial.

Rodear las matemáticas de actividades lúdicas y entretenidas como pasatiempos, juegos, etc., ayudan a la materia a ir perdiendo poco a poco la fama de aridez y dificultad que tradicionalmente ha tenido y logra acercarla a parte del alumnado que en principio no es atraído por la asignatura.

Nuestra tarea puede ser acercar a los alumnos este tipo de elementos: el Go, el cubo de Rubik, los puzles, los pasatiempos, etc… El alumnado no está todavía en capacidad de apreciar la profunda relación que tienen con las matemáticas, sólo el tiempo les irá descubriendo, a cada uno en su medida, la riqueza y belleza de todo este mundo de entretenimiento matemático.

Los Embajadores de Holbein

Recuperamos otro artículo que ya apareció en doDK; para esta ocasión lo hemos actualizado y ampliado considerablemente.

Cuando estaba en el colegio, en cierto libro de texto que no logro recordar, encontré una foto del cuadro Los Embajadores, de Hans Holbein. En aquella época la pintura, como tantas otras, habría pasado desapercibida para mis ojos infantiles, si no hubiera sido por la extraña forma alargada que destacaba en la parte inferior del cuadro, forma que no encajaba con ninguna perspectiva y que me resultaba inquietante e incomprensible. Aunque los recuerdos se me mezclan con lo que luego he aprendido del cuadro, estoy dispuesto a asegurar que no tardé demasiado en darme cuenta de que para poder comprender la ilógica forma alargada se necesitaba observarla desde el correcto punto de vista: había que inclinar el libro y mirarlo casi de perfil, y entonces la forma perdía su longitud y se comprimía hasta verse el descifrado dibujo de una calavera.

Puede parecer sorprendente que a un niño se le ocurra por sí solo la forma correcta de mirar el cuadro para percibir la figura de la calavera. Pero antes de este hallazgo, ya me había enfrentado el pasatiempo de una revista en el que un cierto letrero había sido estirado verticalmente hasta convertirlo en ilegible. Tuve que consultar la solición para descubrir que la forma de poder leerlo pasaba por inclinar la página donde se encontraba impreso el letrero para que la deformación se atenuara lo suficiente hasta poder distinguir las letras de qué se componía. Cuando vi el cuadro de Los Embajadores, se me vino a la mente aquel pasatiempo y le apliqué el mismo método para descifrar la figura, con éxito total.

Veamos, por ejemplo, la siguiente figura:

Podemos comprobar que, aunque parecen letras, resultan difíciles de leer. En realidad, es la palabra HOLBEIN, escrita en mayúsculas con tipo de letra Arial, y deformada y estirada en sentido vertical. Si imprimimos la figura en un papel y miramos el papel inclinado, colocando nuestros ojos casi a la altura del borde inferior, entonces la deformación se atenúa, y la palabra aparece clara y legible a nuestra vista.

El cuadro de Los Embajadores fue realizado en 1533, en pleno Renacimiento, por Hans Holbein el Joven, y representa a Jean de Dinteville a la izquierda, embajador de Francia en Inglaterra, y a su amigo Georges de Selve, obispo de Lavaur, que ocasionalmente también ejerció el cargo de embajador. Si se quiere estudiar a fondo todo lo que aparece en el cuadro se puede consultar la página correspondiente de la Wikipedia, por ejemplo, donde se explican muchos detalles del mismo.

Además de ser una obra maestra de la pintura, está lleno de símbolos relacionados de una forma o de otra con las matemáticas. Cito a la wikipedia:

Ambos hombres [los embajadores], que observan al espectador de la obra, están acodados sobre un mueble con dos estantes sobre el que hay dispuestos varios objetos relacionados con el quadrivium, las cuatro ciencias matemáticas entre las siete artes liberales: la aritmética, la geometría, la música y la astronomía. En el estante superior puede verse una esfera celeste, objetos de medición del tiempo y un libro, dispuestos sobre una alfombra roja con complicados motivos geométricos. En el estante inferior hay un globo terráqueo, dos libros [uno de ellos de aritmética, escrito por Peter Apian, matemático y astrónomo de la universidad de Ingolstadt], un laúd y cuatro flautas en un estuche... El suelo está pavimentado con círculos y cuadrados, destacándose una forma difícilmente interpretable, pero que salta a la vista en tanto que parece que se halle fuera del espacio de la pintura; se ha llamado a menudo el hueso de sepia.

Más abajo, se sigue hablando de dicho hueso:

La extraña figura en primer plano, a veces llamada hueso de sepia, intrigó durante mucho tiempo a los analistas del cuadro. Nuestro afilado ojo de hoy en día, más habituado a la lectura de imágenes, nos hace adivinar que se trata de un cráneo muy deformado por una anamorfosis, aunque es probable que no hiciéramos una lectura tan inmediata.

Una anamorfosis es "una deformación reversible de una imagen producida mediante un procedimiento óptico (como por ejemplo utilizando un espejo curvo), o a través de un procedimiento matemático. Es un efecto perspectivo utilizado en arte para forzar al observador a un determinado punto de vista preestablecido o privilegiado, desde el que el elemento cobra una forma proporcionada y clara." Al parecer, la primera persona que hizo notar esta anamorfosis en el cuadro de Los Embajadores fue Jurgis Baltrusaitis, un historiador del arte del siglo XX.

Según los estudiosos del cuadro, el hecho de que Holbein haya colocado esa calavera deformada en la parte inferior tendría varios significados. Por un lado, Holbein era alemán, y en alemán hohle bein significa "hueso hueco", con lo que la calavera sería una especie de firma. Además, al pintar la calavera humana en contraste con el tema principal de la pintura, el retrato de dos hombres jóvenes, importantes y ricos, hacen del cuadro una vanidad "una obra que simboliza que lo que es importante en la tierra no lo es en el reino de los cielos, que lo que se ha hecho en nuestra vida, la muerte lo deshace". ¿Por qué Holbein no lo dibuja en la perspectiva habitual? ¿Por qué lo deforma hasta hacerlo casi irreconocible?

Si recortamos y aislamos el citado hueso, en blanco y negro para que sea más sencillo de reconocer:

Y luego deformamos el rectángulo hasta convertirlo en un estrecho romboide, ya se puede apreciar la forma de la calavera:

Esto es sencillo de realizar con ayuda de la informática y las aplicaciones que tratan y modifican imágenes (como la famosa Photoshop). Pero si no disponemos de la informática, necesitamos mirar el cuadro no de frente, sino de perfil, pegados a él. Así podemos empezar a comprender la intención del autor: el observador del cuadro, buscando el significado de dicha figura, tendrá que dejar su lugar de contemplación delante de la pintura y acercarse a la tela, y por último dirigir su mirada a la calavera desde la esquina inferior izquierda. El que observa el cuadro descubre que ha tenido que dejar su posición y aproximarse hasta casi meterse dentro de la pintura; se ha convertido en parte del cuadro, se encuentra en una esquina del mismo, y la calavera lo mira desde arriba, mientras el que la observa puede meditar sobre el sentido de la vida y de la muerte.

Otra forma que tenemos de poder ver la calavera es tomar un espejo curvo, cilíndrico o esférico, acercarlo a la figura, y observar su reflejo sobre la superficie curva del espejo. Una cuchara metálica puede servir. Cuando compré el cubo de Rubik que tengo, la caja donde venía presentado traía en la parte trasera dos cartulinas que hacían de espejos, y que conservé. Con una de esas cartulinas especulares, enrollada en forma de cilindro y orientada en el mismo sentido que el del hueso, también pude ver la calavera y enseñársela, de paso, a mis compañeros oficiales del Barco Escuela y a algunos grumetes.

Notas: insisto en recomendar que se visiten las páginas de la wikipedia relacionadas con la anamorfosis, así como otra página que explica lo que es un trampantojo,  y especialmente la web del increíble artista urbano Julian Beever. Esas páginas están relacionadas con el tema de hoy, y para el que no las conozca resultarán muy sorprendentes.

En relación a esto de las anamorfosis, están mucho más cerca de lo que nosotros creemos. Desde hace un tiempo, quizás varios años, es costumbre que en algunos encuentros deportivos aparezcan letreros a los que se les ha aplicado una anamorfosis. No es difícil contemplar en los campos de fútbol, por ejemplo, letreros tras la portería que están impresos para que desde la perspectiva de las cámaras de televisión que retransmiten el encuentro se vean más claros para el telespectador. Obsérvese, por ejemplo, la siguiente foto [tomada de la galería de missha]:

Si nos fijamos en la parte inferior, vemos un letrero deformado:

Desde la perspectiva en la que está tomada la foto, este letrero es casi ilegible, pero si nos situamos en otro lugar de las gradas, a la izquierda, donde están las tribunas y las cámaras de televisión, la perspectiva es la correcta y el letrero se puede leer perfectamente, como si estuviera frente a los ojos del que lo contempla.

[El Problema de la Semana] Los cuatro cuatros

¡Feliz Navidad a todos!
Recuperamos aquí otro problema clásico:

El problema de los cuatro cuatros consiste en obtener todos los números que se puedan con cuatro cuatros (ni uno más, ni uno menos) y las reglas de las operaciones aritméticas básicas. Concretando más, debemos encontrar la manera de escribir todos los números del cero al diez utilizando cuatro cuatros, los signos de sumar, restar, multiplicar y dividir, y los paréntesis.

Hay que tener en cuenta que para cada número puede haber varias formas de hacerlo. Como ejemplo, damos la obtención del cero:

0 = 4 + 4 − 4 − 4; o bien, 0 = 44 − 44

1 = ...

2 = ...

etc.

A continuación una imagen de relleno, y después, la solución. ¡No siga leyendo si quiere intentar resolver el problema por sí mismo!

Solución:

Hay varias posibilidades. Una de ellas podría ser:

1 = 44 : 44
2 = 4 : 4 + 4 : 4
3 = (4 + 4 + 4) : 4
4 = (4 − 4) · 4 + 4
5 = (4 · 4 + 4) : 4
6 = (4 + 4) : 4 + 4
7 = 4 + 4 − 4 : 4
8 = 4 + (4 · 4) : 4
9 = 4 + 4 + 4 : 4
10 = (44 − 4) : 4

Notas: cuando intenté por primera vez resolver el problema, la que me resultaba más difícil de encontrar era la combinación para el 10, hasta que me di cuenta de que podía "juntar" dos cuatros para formar el número 44. En el fondo, aunque en el enunciado no se dice explícitamente que se pueda hacer esto, ni tampoco se prohíbe, esta opción de contar con el 44 me ha parecido siempre un poco tramposa, lo que le da más chispa al problema.

Aparte de los números del cero al diez, es posible seguir buscando combinaciones para obtener el once, el doce, etc. El problema se extiende de forma natural a los siguientes números; podemos incluso preguntarnos cuál es el límite, qué números son los que ya no hay forma de sacarlos a partir de cuatro cuatros, y también echar mano de operaciones aritméticas un poco más avanzadas, como las potencias y las raíces, para ampliar el abanico de posibilidades.

Existe un chiste tonto que me contaron cuando era pequeño, que dice así: llaman por teléfono, "¡Riiinnng, riiinnng!", "¿Sí, dígame?", "¿Es ahí el número 44 44 44?", "Sí, aquí es", "Pues, detenido por cuatrero".

Un cuatrero es un ladrón de caballos. Los que nos hemos educado viendo de pequeños películas del oeste, los westerns, sabemos que ser cuatrero era uno de los delitos más perseguidos por los sheriffs, y se castigaba automáticamente con la horca. Como la palabra "cuatrero" parece venir de "cuatro", y los cuatreros son unos personajes de los westerns, por eso se nos ha ocurrido ilustrar el problema de hoy con el cartel de Río Bravo, uno de los mejores westerns de todos los tiempos.

[El Problema de la Semana] Cuadrados correlativos

Aquí tenemos otro problema de los que en su momento planteamos a los grumetes y luego publicamos en doDK:

Obsérvese las siguientes igualdades (se pueden comprobar que son ciertas):

3² + 4² = 5²

10² + 11² + 12² = 13² + 14²

21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27²

Como ya se habrá dado cuenta, en cada igualdad los números van correlativos. ¿Sería capaz de encontrar otra igualdad como las anteriores pero con cinco sumandos en el primer término y cuatro en el segundo? Es decir, buscar una expresión:

a² + b² + c² + d² + e² = f² + g² + h² + i²

siendo a, b, c, d, e, f, g, h, i, números enteros consecutivos.

Abajo tenemos una imagen ilustrativa, y más abajo... ¡cuidado! ¡la solución!

Los números buscados son:

36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44²

Este problema de los cuadrados correlativos se puede resolver por tanteo, pero también se puede resolver planteando una ecuación: llamamos x − 4, x − 3, x − 2, x − 1, x a los números a la izquierda del igual, y x + 1, x + 2, x + 3, x + 4 a los que están a la derecha, y tendríamos la ecuación de segundo grado:

(x − 4)² + (x − 3)² + (x − 2)² + (x − 1)² + x² = (x + 1)² + (x + 2)² + (x + 3)² + (x + 4)²

Si desarrollamos los binomios y resolvemos la ecuación, nos encontramos con la solución x = 40, de la cual se deducen los nueve números consecutivos, pero también aparece otra, la x = 0, con lo cual, además de la que tenemos arriba, también podemos contar con la igualdad:

(−4)² + (−3)² + (−2)² + (−1)² + 0² = 1² + 2² + 3² + 4²

Si en el problema no se especifica que los números sean positivos, esta última solución también se debe considerar válida.

Nota: la primera de todas las igualdades, 3² + 4² = 5², es una famosa terna pitagórica. Para más detalles, leer el artículo de este blog 3 - 4 - 5.

La verdadera identidad de Monsieur LeBlanc

Se puede decir, sin caer en la exageración, que los conflictos bélicos que se libraron a principios del siglo XIX fueron auténticas guerras mundiales, mucho antes de la Primera y la Segunda Guerra Mundial libradas en el siglo XX. Debemos saber que las Guerras Napoleónicas involucraron a la mayoría de los países europeos, y los enfrentamientos se extendieron no sólo por toda Europa, sino por muchos otros puntos del globo terrestre, especialmente cuando esos enfrentamientos se dieron entre las flotas oceánicas de Inglaterra y Francia.

[ilustración extraída de http://www.kalipedia.com/]

Enmarcados en este clima de conflicto internacional, se encuentran los sucesos que vamos a narrar a continuación, y que forman parte de esa curiosa historia de las matemáticas que todo matenavegante culto debería conocer.

En octubre del año 1806, los ejércitos napoleónicos vencieron al ejército prusiano en la batalla de Jena, y desde ese momento, marcharon sobre Prusia con una celeridad inusitada, derrotando a las tropas prusianas que les salían al paso como si vencer en una batalla tras otra fuera un juego de niños. Entre las numerosas ciudades ocupadas por los soldados franceses se encontraba una importante capital de la Baja Sajonia: Brunswick, la ciudad natal de Carl Friedrich Gauss, uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. En aquellos momentos Gauss era un hombre joven de 29 años, pero ya célebre por sus impresionantes capacidades y descubrimientos.

Entre la correspondencia que mantenía con diversos científicos de la época, Gauss se había carteado con un brillante matemático francés, Monsieur LeBlanc, con el que trataba diversos aspectos de las matemáticas puras. En 1801, cuando Gauss contaba tan solo con 24 años, había ya publicado un libro que ha llegado a ser uno de los más importantes y famosos de la historia de las matemáticas, las Disquisitiones Arithmeticae. Monsieur LeBlanc le expresó por carta a Gauss su felicitación por la publicación del libro, y también le mandó comentarios, ejercicios resueltos relacionados con el contenido y aportaciones propias, incluyendo algunas sobre el famoso teorema de Fermat. Gauss tardaba en responder aquellas cartas, absorto como estaba en su propio campo de trabajo, pero cuando las contestaba lo hacía con educación, valorando positivamente los avances de LeBlanc. Sin embargo, llegaría un día en el que iba a despertarse en Gauss una repentina y gran admiración por Monsieur LeBlanc, admiración que expresó en una carta llena de entusiasmo hacia el matemático francés. Fue el día en el que Gauss descubrió que LeBlanc no se llamaba así, y ni siquiera era un monsieur. En realidad, LeBlanc era el seudónimo de una extraordinaria mujer: Sophie Germain.

Marie-Sophie Germain ha sido una de las pocas mujeres matemáticas que han llegado a tener cierta fama en los siglos pasados. Nacida en París en 1776 (un año antes que Gauss), empezó a estudiar matemáticas a los trece años, aunque sus padres trataron de disuadirla, porque consideraban que aquella era una ocupación "reservada a los varones". Como no podía ingresar en la Universidad Politécnica de París, porque no se admitían mujeres, logró hacerse con los apuntes de las clases, estudió y trabajó por su cuenta, y adoptó una identidad masculina, la de Monsieur LeBlanc, para poder mantener correspondencia con los principales matemáticos de la época, como el francés Lagrange y el alemán Gauss.

Sin embargo, al enterarse de la invasión de Prusia por el ejército napoleónico, Sophie Germain temió que Gauss pudiera correr la misma suerte que Arquímedes. Este sabio griego, del siglo III a. de C., natural de Siracusa, tuvo una muerte particularmente desafortunada. En el año 214 a. de C. los romanos pusieron sitio a la ciudad, que finalmente sería invadida en el 212. A pesar de las órdenes de que Arquímedes no fuera dañado, un soldado romano lo asesinó cuando el sabio estaba distraído dibujando círculos y otras figuras geométricas en el suelo. Se cuenta que la últimas palabras de Arquímedes fueron "¡no borréis mis círculos!". La muerte de Arquímedes constituye un paradigma del grado en que los científicos y pensadores se pueden abstraer de la realidad, y de las consecuencias de las guerras, que sin distinguir a nada ni a nadie arrasan y lo destruyen todo a su paso.

Era por tanto apenas normal que Sophie Germain tuviera el temor de que la integridad física de Carl Friedrich Gauss pudiera ponerse en peligro en medio del clima bélico, entre las tropas prusianas en retirada y las francesas avanzando y ocupando poblaciones, mientras el joven matemático, aislado de su entorno y sin interés ninguno por los asuntos políticos, se concentraba en sus estudios. Por tal motivo, Sophie se dirigió a un amigo de su familia, Monsieur Pernety, general francés de artillería en la campaña de Prusia, encargado del sitio de Breslau, para que averiguara el paradero de Gauss y procurase que el matemático alemán fuera tratado con consideración. M. Pernety ordenó entonces a M. Chantal, comandante de batallón, que cruzara los doscientos kilómetros que los separaba de la ciudad de Brunswick, ocupada ya por el ejército francés, y se encargara del asunto.

En una carta al general Pernety, Chantal le informó sobre el encuentro con Gauss. "En cuanto llegué a la ciudad me apresuré a cumplir su encargo. He preguntado a varias personas por la dirección de Gauss, en cuya residencia tenía que reunir información a petición de usted y de Sophie Germain. Monsieur Gauss replicó que no tenía el honor de conocerle a usted ni a Mademoiselle Germain, pero que había conocido a Madame Lalande en Paris. Después de explicarle los diferentes puntos contenidos en las órdenes que yo había recibido, pareció un poco confundido y me pidió que le transmitiera a usted su agradecimiento... Le dejé en compañía de su esposa y su hijo y fui a visitar al general Buisson, gobernador de la ciudad, con el fin de recomendarle a Gauss. Yo ya había tenido el honor de conocer al general en otra ocasión previa. Me respondió que haría todo lo posible por M. Gauss, me invitó a cenar, y me comentó que ya le habían recomendado a Gauss varias personas de mérito. Me despedí de él y regresé a la residencia de M. Gauss, pidiéndole que me acompañara a la cena en la casa del gobernador, para que pudiera contar directamente con toda su estima y amabilidad... M. Gauss disfruta de buena salud, y me contó que se asustó cuando las tropas entraron en Brunswick, pero que no había sido molestado..."

La confusión de Gauss, asombrado por la visita de Chantal y todas aquellas recomendaciones por parte de personas que él no conocía, se mantuvo hasta que recibió, por fin, una carta de la propia Sophie Germain en la que le aclaraba todo y develaba su verdadera identidad. "Mientras me describía el resultado de la honorable misión que yo le había encargado, M. Pernety me informó que le había mencionado a usted mi nombre. Esto me conduce a confesarle que no le soy a usted completamente desconocida, como podría suponer, pero temiendo el ridículo que me puede sobrevenir al ser una mujer científica, he tomado anteriormente el nombre de M. LeBlanc para mandarle a usted mis notas que, indudablemente, no merecen la indulgencia con la que usted me ha correspondido".

Gauss, por su parte, se apresuró a contestarle: "Cómo describirle mi admiración y asombro al ver que mi estimado corresponsal M. LeBlanc se metamorfosea en este personaje ilustre que me ofrece un ejemplo tan brillante de lo que sería difícil de creer. La afinidad por las ciencias abstractas en general y sobre todo por los misterios de los números es demasiado rara: lo que no me asombra, ya que los encantos de esta ciencia sublime sólo se revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella. Pero cuando una persona del sexo que, según nuestras costumbres y prejuicios, debe encontrar muchísimas más dificultades que los hombres para familiarizarse con estos espinosos estudios, y sin embargo tiene éxito al sortear los obstáculos y penetrar en las zonas más oscuras de ellos, entonces sin duda esa persona debe tener el valor más noble, el talento más extraordinario y un genio superior. De verdad que nada podría probarme de forma tan meridiana y tan poco equívoca que los atractivos de esta ciencia que ha enriquecido mi vida con tantas alegrías no son quimeras, que la predilección con la que usted ha hecho honor a ella."

Posteriormente, la correspondencia entre ambos personajes se interrumpió, principalmente porque sus campos de trabajo e investigación se fueron separando. A Gauss todavía le quedaba una increíble vida llena de logros y descubrimientos, entre los cuales podemos mencionar, por ejemplo, el desarrollo de métodos que ayudaron a la localización del asteroide Ceres, la profundización en la geometría diferencial de superficies, el estudio de las variables continuas en estadística y probabilidad, el estudio de las geometrías no euclídeas, las funciones elípticas, los residuos bicuadráticos, la teoría de números, y posteriormente muchos campos de la física, como la tensión superficial, la óptica, el electromagnetismo, las fuerzas y el potencial, etc.

Sophie Germain, por su parte, hizo importantes contribuciones a la teoría de los números y a la teoría de la elasticidad, y después de ser rechazada en dos ocasiones, en el año 1816 ganó por fin un concurso convocado por la Academia Francesa de las Ciencias que la convirtió en la primera mujer que asistió a las sesiones de la Academia. En 1830, la Universidad de Göttingen acordó otorgar a Sophie Germain un grado honorífico; Gauss formaba parte de dicha Universidad desde 1807, y él fue el que promovió aquel nombramiento. Sin embargo, Germain apenas tendría tiempo de recibir aquel grado, pues murió de cáncer de mama en 1831.

Carl Friedrich Gauss demostraría su genio extraordinario, y se convertiría en uno de los matemáticos y científicos más importantes de todos los tiempos. Y sin embargo, más allá de los condicionamientos de la época, supo admirar el valor, talento e inteligencia de Sophie Germain, una mujer que un día tuvo que adoptar la identidad de un hombre para no ser ridiculizada y acceder a las cumbres de las ciencias matemáticas.

Notas: además de las páginas de la Wikipedia sobre Gauss y Germain, hemos basado parte del artículo en algunas páginas de la obra Sophie Germain, an essay in the history of the theory of elasticity, escrita por Louis L. Bucciarelli y Nancy Dworsky, y publicada por D. Reidel Publishing Company. Para saber más sobre Gauss, recomiendo el artículo correspondiente ya publicado en este blog.

[El Problema de la Semana] El número de teléfono

Este problema fue planteado a los grumetes hace varios años:

Cuando le pregunté el número de teléfono a un compañero, me dijo:

"Mi número tiene cinco cifras. Si le pones un 4 delante obtienes un número que es el cuádruple del que obtienes si le pones el 4 detrás."

¿Cuál es el número de teléfono de mi compañero?

A continuación ponemos una imagen ilustrativa, y más abajo... ¡la solución!

[en la foto, Graham Bell en 1892, haciendo la primera llamada de teléfono, de Nueva York a Chicago]

Para hallar el número de teléfono se puede plantear la siguiente multiplicación:

X Y Z T R 4 · 4 = 4 X Y Z T R

donde X Y Z T R es el número de teléfono del compañero, dígito a dígito.

Haciendo la multiplicación progresivamente por 4 obtenemos que el número pedido es:

X Y Z T R = 1 0 2 5 6

[El Problema de la Semana] Primos gemelos

Éste es el nuevo problema de la semana planteado: 

Algunas parejas de números primos se diferencian en 2 unidades. Diremos entonces que estos números son primos gemelos.

El número que hay entre los 2 números de cada pareja de primos gemelos tiene una curiosa propiedad: es un múltiplo de 6 (exceptuando la primera pareja de primos gemelos: 3 y 5).

Trate de dar una explicación convincente de esta propiedad.

A continuación, ponemos una ilustración, y debajo de ella... ¡cuidado, que viene la solución al problema!
 

[en la imagen, los gemelos Fred y George Weasley, personajes de los libros de Harry Potter]

Solución:

Se trata de demostrar lógica y matemáticamente la propiedad enunciada arriba. Veamos: todos los números primos salvo el 2 son impares. Si una pareja de números primos, a y b, son gemelos, es decir, se diferencian en dos unidades, entonces ambos primos son impares, (porque el 2 no tiene ningún gemelo, ya que ni el 0 ni el 4 son primos). Entonces el número que hay entre ellos, llamémosle x, es par, y por tanto múltiplo de 2.

Si exceptuamos la primera pareja de primos gemelos, 3 y 5, todos los demás primos gemelos, no pueden ser múltiplos de 3. Tenemos tres números consecutivos, a, x, b, y se puede comprobar fácilmente que dados tres números consecutivos, uno de ellos es forzosamente múltiplo de tres (y los otros dos no). Ni a ni b son múltiplos de 3, por ser primos, luego tiene que serlo a la fuerza x.

Conclusión: x, el número que está entre los dos primos gemelos, es múltiplo de 2 y de 3, por tanto debe ser múltiplo de 2 · 3 = 6.

Nota: es curioso eso de llamarle a estos dos números "primos gemelos", teniendo en cuenta que en español, la palabra "primo" aparte de referirse a los números, se refiere al parentesco que hay entre dos personas en las que uno de los padres de una es hermano o hermana de uno de los padres de la otra. (En inglés, por ejemplo, no hay esa relación entre las palabras, ya que se usan términos distintos, prime para número primo, cousin, para la relación de parentesco).

He estado pensando sobre la posibilidad de que dos personas fueran primos y a la vez gemelos, y se me ocurre el caso de un hombre que se case con su hermana, por ejemplo, y tuvieran dos hijos que fueran gemelos. Estos niños, además de ser hermanos, serían primos, pues sus padres son hermanos.

Actualmente, que dos hermanos se casen es considerado incesto, pero antiguamente existieron culturas en las que esos matrimonios eran permitidos, especialmente entre la realeza.

Ampliación: uno de los grumetes me entregó el problema resuelto de la siguiente manera: "los números primos pertenecen a las sucesiones 6n+1 y 6n−1, por lo que los números anteriores y posteriores a los múltiplos de 6 son posibles candidatos a ser números primos". A continuación el grumete indica ejemplos de números de las sucesiones mencionadas que sí son primos.

A primera vista no acepté dicho argumento, porque me pareció que afirmar que todos los números primos pertenecían a dichas sucesiones era incorrecto, y que habría números primos que no pertenecieran a dichas sucesiones. Sin embargo consideré interesante la presentación de las dos sucesiones, porque implícitamente indicaba que entre dos primos consecutivos que se diferenciaran en dos unidades (dos primos gemelos, como les estamos llamando aquí) se podía incluir otro número que necesariamente pertenecería a la sucesión 6n y por tanto sería múltiplo de 6.

Por un lado, la idea que yo tuve de que no todos los números primos eran del tipo 6n+1 ó 6n-1 es correcta. Ni el 2 ni el 3 son de este tipo, y sin embargo son primos. Pero por otro lado, estos son los únicos que no cumplen esa propiedad.

En efecto, si tenemos un número primo que no sea ni 2 ni 3, entonces lo dividimos por 6, dará un cociente n, y un resto, y el resto puede ser 0, 1, 2, 3, 4 ó 5, luego el número puede ser 6n, 6n+1, 6n+2, 6n+3, 6n+4 ó 6n+5. Si el número es primo, entonces tenemos que descartar 6n, (por ser múltiplo de 6), 6n+2 y 6n+4 (porque son pares, y el único primo par es el 2) y 6n+3 (que es múltiplo de 3). Luego nuestro número primo, al dividirlo por 6 sólo puede dar resto 1 ó resto 5, y por tanto puede ser de la forma 6n+1, o bien 6n+5 (con lo que le faltaría solo una unidad para llegar a ser múltiplo de 6, y por consiguiente es equivalente a decir que es de la forma 6n−1)

Según esto, no es difícil demostrar, con un poco de práctica para las demostraciones matemáticas, lo que pide nuestro problema. Sean dos primos gemelos, distintos de la pareja 3 y 5, llamémosle a al primero y b al segundo. Si a es de la forma 6n−1, entonces el número entre a y b es 6n, y por tanto múltiplo de 6. Si b es de la forma 6n+1, entonces el número entre a y b también es 6n. No es posible, sin embargo, que a sea de la forma 6n+1, y b de la forma 6n−1, porque entonces el anterior de a sería múltiplo de 6 y el posterior de b sería también múltiplo de 6, pero el anterior de a y el posterior de b se diferencian en sólo 4 unidades, y eso nos lleva a una contradicción, ya que los múltiplos de 6 se diferencian al menos en 6 unidades. Sea como sea, la única posibilidad es que efectivamente el número comprendido entre los primos gemelos a y b sea múltiplo de 6.

El argumento de nuestro grumete, aunque incompleto, señalaba a una demostración correcta del problema de los primos gemelos.

Nota: Este problema ha sido seleccionado por Marisa Fernández Villanueva, del IES Veles e Vents, en Torrent, para el calendario matemático publicado el curso pasado por la editorial SM.