Kolam (3) : Primeras Variaciones

En las dos primeras entradas sobre kolam hemos visto los kolam básicos trazados sobre tramas cuadradas o rectangulares de puntos pivote, y hemos reflexionado en su relación con el máximo común divisor de dos números. Sin embargo el mundo del kolam es amplio y profundo, y en esta entrada vamos a mostrar algunas variantes que enriquecen las posibilidades de los diseños.

En lugar de dibujar las tramas de pivotes como cuadrados o rectángulos vamos a delimitar otros diseños. El primero de ellos es el diseño en rombo. (En realidad se trata de dibujar tramas cuadradas, pero giradas 45º).

Empezamos con el rombo de lado 2. Veamos la secuencia de ilustraciones:

Figura1.
Esta es la trama en rombo de lado 2

Figura 2.
Siempre, antes de empezar un kolam, tenemos que tener claro cuáles son los puntos x.
Recordemos que los puntos x son aquellos que se encuentran entre dos pivotes adyacentes, en sentido horizontal o vertical.
Las diagonales de puntos x son las que determinan los caminos del kolam.
(Se puede observar que hay exactamente 4 puntos x.)

Figura 3.
Como siempre, empezamos por un punto x cualquiera y nos desplazamos siguiendo una diagonal. Cuando llegamos al borde, donde la diagonal de puntos x se acaba, usamos el pivote para girar hacia otra diagonal.

Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.
Después de 4 volutas, nuestra línea regresa al punto de partida y el kolam se completa. Hemos necesitado 1 curva.

Este diseño del kolam rómbico de lado 2 es una curva cerrada bastante simple, que no dudo que muchos de nosotros hemos garabateado más de una vez en algún momento de aburrimiento.

Veamos ahora el rombo de lado 3:

Figura 7.

Figura 8.
En esta ilustración señalamos los puntos x por donde debe pasar el kolam. No es necesario señalarlos, pero sí es imprescindible tener claro cuáles son, para no perder en ningún momento la orientación del dibujo. (En esta trama hay exactamente 16 puntos x.)

Figura 9.
La primera línea del kolam va de esquina en esquina, similar a la del rombo de lado 2 que hemos hecho más arriba.

Figura 10.
El kolam se completa con dos líneas más en forma de "salchicha" que atraviesan el rombo de parte a parte.
En total son 3 curvas.

Si seguimos ampliando el tamaño del rombo, sólo obtenemos dibujos similares, aunque más grandes. Así por ejemplo tenemos el rombo de lado 4:

Figura 11.
Esta es la trama del rombo de lado 4.  (Obsérvese que está formada por 9+16=25 puntos, lo que nos recuerda a la famosa terna pitagórica 3-4-5. Además si contamos los puntos x, son exactamente 36, por tanto las tramas de puntos x son cuadrados pares.)

Figura 12.
Aquí vemos el kolam terminado. Está compuesto por una línea roja cuadrada exterior, y cuatro líneas cerradas "salchichas" en diagonal.
En total se han necesitado 5 curvas.

Siguiendo la progresión que estamos viendo, podemos deducir que cualquier formación de pivotes en rombo de lado n dará lugar a un kolam de 2n−3 curvas, (una curva exterior que pasa por las cuatro esquinas del rombo, y 2n−4 curvas "salchicha" que atraviesan en diagonal la trama).

Pasemos ahora a un tipo de trama ligeramente diferente pero muy interesante. Se trata de una especie de rombo en el que la columna central queda duplicada (así el rombo queda alargado y se puede considerar un comienzo de hexágono).

Veamos el primer rombo alargado de lado 2:

Figura 13.
Esta es la primera trama del rombo alargado de lado 2. Obsérvese que está formado por dos rombos solapados, y está formado por 4+4=8 pivotes.

Figura 14.
Señalamos en esta imagen los puntos x para aclarar el kolam. Hay exactamente 9 puntos x.

Figura 15.
El kolam terminado solo se compone de una curva cerrada que pasa por todos los puntos x.

En este tipo de kolam se puede comprobar que una sola curva pasa por todos los puntos x, sin importar el tamaño del rombo alargado. Veamos el rombo alargado de lado 3.

Figura 16.
Este es el rombo alargado de lado 3. Su trama la forman 9+9=18 pivotes.

Figura 17.
Los puntos x por donde pasa el kolam. Nótese que son exactamente 25.

Figura 18.
El kolam terminado sólo se compone de una línea que pasa por todas las diagonales y rodea a todos los pivotes.

Como último ejemplo, veamos el rombo alargado de lado 4:

Figura 19.
La trama tiene 16+16=32 puntos pivote. Si contásemos los puntos x, veríamos que hay 49 exactamente, es decir, los puntos x van formando cuadrados impares.

Figura 20.
El rombo alargado de lado 4 terminado en una sola línea. Si nos fijamos en él, no es difícil reconocer una distribución semejante a los escaques del ajedrez, cada pivote estaría en una casilla negra, y entre ellos están las casillas vacías blancas.

Estos últimos tipos de kolam recuerdan a ciertos nudos tradicionales. Al comparar kolam con nudos, hay que tener en cuenta que los kolam son curvas planas, mientras que los nudos tienen propiedades tridimensionales. Salvando esta diferencia, podemos encontrar algunos nudos que coinciden en su estructura con este tipo de kolam sobre la trama de rombo alargado.

Uno de ellos es el llamado Nudo Infinito o Nudo Eterno, cuyo trazo coincide con el kolam de la Figura 15:

Figura 21.
El Nudo Infinito o Nudo Eterno.

El Nudo Infinito (shrivatsa en sánscrito) es un nudo simbólico usado en el Budismo Tibetano y pertenece a uno de los Ocho Símbolos Auspiciosos. Es posible encontrarlo en el Tíbet, Mongolia, China y otros lugares del oriente. Al no tener principio ni fin, simboliza la infinita sabiduría de Buda, y también representa la interrelación del camino espiritual, el flujo del tiempo y el movimiento dentro de lo eterno. [Adaptado de la wikipedia]

Otro ejemplo es el siguiente:

Figura 22.
Aquí vemos un plato chino lacado en rojo, de la dinastía Ming. En su centro apreciamos un nudo infinito con estructura similar al kolam de la Figura 20.

Recopilando lo que hemos visto en este artículo, tenemos:

-Kolam sobre tramas de pivotes en forma de rombo, que están formados por varias líneas, y hemos calculado exactamente el número de líneas según el tamaño del kolam.

-Kolam sobre tramas de pivotes en forma de rombo alargado, en ellos el kolam está formado por una sola línea que pasa por todas las diagonales. Hemos encontrado ejemplos de estos kolam en algunos símbolos de culturas antiguas.

-También hemos visto que las tramas de puntos x, tanto en uno como en otro kolam, forman cuadrados intercalados, en los rombos, cuadrados pares, y en los rombos alargados, cuadrados impares.

Continuaremos con más variaciones sobre el kolam en próximas entradas.

Créditos:

Del Nudo Infinito (Figura 21): By Dontpanic (= Dogcow on de.wikipedia) (Own drawing./Eigene Zeichnung.) [Public domain], via Wikimedia Commons.

Del Plato Rojo Lacado (Figura 22): By User:PericlesofAthens [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC BY-SA 4.0-3.0-2.5-2.0-1.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0-3.0-2.5-2.0-1.0)], via Wikimedia Commons

Sudoku de letras (10)

Regla del Sudoku de letras: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  E  K  N  O  R  U  V  Y

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá el nombre de una famosa ciudad.

[El Problema de la Semana] Seguro de Vida

Este problema es sencillito.

Teresa echó una mirada sobre el hombro de su hijo.

-¡Eh, esos son los papeles de mi seguro de vida! -exclamó ella-. No me digas que ha vencido.

-No, mamá. Sólo que descubrí una curiosidad en el número de la póliza -dijo el muchacho-. Es el menor número con una raíz cúbica y una raíz séptima diferentes y enteras.

¿Cuál es el número?

Veamos la ilustración antes de solucionar el problema.

Seguros de vida. Lo que te venden: seguridad, tranquilidad, familias protegidas y felices, apoyo y cobertura en todas circunstancias. Lo que en realidad es: un juego de probabilidades como la lotería; la empresa de seguros maneja estadísticas globales de la población, y calcula probabilidades de que cada persona fallezca o sufra algún fatal imprevisto que esté cubierto en la poliza. Según la probabilidad calculada, así ajustan lo que el asegurado debe pagar, más un margen de beneficio para que la empresa salga siempre ganando.
Ejemplo: si hay una probabilidad entre mil de que una persona fallezca, por cada mil euros asegurados cobrarán un euro a la persona, más los beneficios que la empresa quiere obtener.
Supongamos que ese beneficio es de otro euro, y a cada persona asegurada cobran dos euros. Si tienen mil clientes, a dos euros cada uno, la empresa recauda dos mil euros. De esos mil clientes, por ley de probabilidad, uno fallece, y a su familia la empresa de seguros pagará mil euros; todavía la empresa se queda con un margen de mil euros de beneficio por el cobro de todas las pólizas.

Solución:

Consideramos los enteros positivos. Los números que tienen una raíz cúbica exacta, son aquellos denominados cubos: 1, 8, 27, 64, 125, etc. El primero (distinto del 1) que es un cubo es 2³ = 8.

Igualmente los números que tienen una raíz séptima exacta son aquellos que forman la sucesión de potencias de siete: 1, 128, 2187, 16384, 78125, etc. El más pequeño (distinto del 1) es 2⁷ = 128.

Si el número que buscamos tiene una raíz cúbica y una raíz séptima exactas, debe encontrarse en las dos listas anteriores. Debemos exceptuar el 1, porque nos dice explícitamente el problema que las raíces son diferentes. No es necesario buscar mucho para darse cuenta que el primer número que nos encontramos en las dos listas es 8⁷ = 128³ = 2097152.

¿Cómo razonaríamos en general? Veamos. Se necesita que el número sea una potencia de 2, pues son las potencias de números enteros más pequeñas, dejando aparte al 1. Para que se pueda hacer la raíz cúbica, el exponente del 2 debe ser divisible por 3, y para poder hacer la raíz séptima, el exponente del 2 debe ser divisible por 7. Luego el exponente del 2 debe ser divisible por el mínimo común múltiplo de 3 y 7 que es 21. Tomando 2 elevado a 21 obtenemos el resultado de antes:

2²¹ = 2097152.

Nota: Este problema ha sido extraído del libro de Jaime Poniachik: Situaciones problemáticas.

Papiroflexia Matemática: El Disco de Siete Colores

Cuaderno de bitácora: siguiendo con las figuras de papiroflexia queremos presentar en esta entrada una curiosa construcción que se hace con siete piezas muy sencillas, y da pie a una reflexión trigonométrica interesante sobre el heptágono regular.

La figura de hoy la hemos encontrado en un libro sobre aviones de papel, concretamente de un pequeño pero maravilloso libro: el Manual de Aviones de Papel de Nick Robinson.

Portada del libro. En el recuadrito de la izquierda se aprecia el disco que vamos a construir.

Veamos la construcción del Disco de Siete Colores con la siguiente serie de ilustraciones.

Figura 1.
Necesitamos siete papelitos cuadrados de siete colores distintos. Realmente los colores es para que salga más bonito, no influyen para nada a la hora de hacer la construcción.

Figura 2.
Tomamos cada papelito y lo doblamos por la mitad. Se nos forma un rectángulo de doble longitud que anchura.

Figura 3.
Este paso es clave: doblar a lo largo de la diagonal del rectángulo. El doblez es un poco delicado porque tenemos que conseguir que la diagonal nos quede lo más ajustada posible a los vértices de las esquinas.

Figura 4.
Le damos la vuelta al papel y por el otro lado hacemos el mismo doblez.

Figura 5.
Hacemos lo mismo con los demás papeles. Los colocamos todos en la misma orientación.

Figura 6.
Vamos a montar el disco. Tomamos dos papeles, en la misma orientación, introducimos uno de los papeles (en la foto el de color rojo) dentro del valle interior del otro papel.

Figura 7.
Deslizamos un papel dentro del otro hasta que el papel exterior (en la foto el azul) toque el vértice del ángulo inferior del otro. Es importante que los dos papeles queden en la posición correcta. Nos queda una figura simétrica con "orejitas" en la parte superior

Figura 8.
Doblamos las dos "orejitas" del papel exterior (en la foto el azul) escondiéndolas dentro del doblez del papel interior (rojo). La "oreja" del papel rojo la podemos dejar así de momento, ya la esconderemos más adelante.

Figura 9.
Ahora vamos repitiendo el proceso con los demás papeles, combinando los colores a nuestro gusto. En la foto añadimos el tercer papel, siempre en la misma dirección. 

Figura 10.
Añadimos el cuarto papel con el mismo proceso. Se nos va formando el disco.

Figura 11.
Con el quinto papel ya se va viendo el heptágono.

Figura 12.
El sexto papel y el heptágono está casi completo.

Figura 13.
El séptimo papel completa el disco. Ahora escondemos todas las "orejas" que nos han quedado fuera, doblándolas y metiéndolas dentro de los bolsillos de los papeles correspondientes.

Figura 14.
Éste es el Disco de Siete Colores terminado.

El Disco de Siete Colores se puede usar como figura decorativa, pero también se puede lanzar como un frisbi,  por eso está incluido en un libro sobre aviones de papel, ya que puede volar como ellos.

Dejando aparte la diversión que nos puede dar el Disco si nos ponemos a jugar con él y lo lanzamos entre varios compañeros, ahora estudiaremos su curiosa estructura geométrica.

Desde el primer momento nos ha llamado la atención que unos papeles doblados de manera tan sencilla, al ser acoplados como en la Figura 7 y siguientes, vayan adoptando la configuración de lo que parece un heptágono regular.

Si miramos la Figura 14, podemos observar en la estructura del Disco que el borde exterior es un heptágono con una base en la parte inferior y un vértice apuntando arriba, mientras que el borde interior es otro heptágono más pequeño en posición invertida, y ambos heptágonos parecen regulares.

¿Pero realmente estamos construyendo heptágonos regulares con el montaje de estas siete piezas?

Vamos a hacer un pequeño estudio trigonométrico de la situación, calculando la medida de los ángulos interiores de Disco que hemos construido y comparándola con la medida de los ángulos interiores de un auténtico heptágono regular.

Dibujemos la forma obtenida en un papel tras doblar una de las diagonales, como en la Figura 3.

Figura 15.

En esta figura buscamos la medida del ángulo CFE. Vayamos por partes:

-El rectángulo ABCD es el doble de largo que de alto, es decir, d=2a.

-El punto E es simétrico del A respecto a la diagonal BD.

-Los triángulos ABD y BED son iguales, y por tanto también lo son los triángulos BED y BCD.

-Por la igualdad de triángulos mencionada, el ángulo ADB mide lo mismo que el BDE, y el ángulo CFD es igual a la suma de los dos anteriores.

Ahora vienen los cálculos, con ayuda de las fórmulas trigonométricas.

Ángulo ADB = arcotangente de a/d = arctg (1/2) = 26,5651º aproximadamente.

Ángulo CFD = 2 · Ángulo ADB = 2 · 26,5651º = 53,1301º aproximadamente.

Por último calculamos el ángulo CFE, que es el que nos interesa:

Ángulo CFE = 180º − Ángulo CFD = 180º − 53,1301º = 126,8699º

Calculemos ahora cuánto vale el ángulo interior de un heptágono para poder compararlo con la medida anterior. Un heptágono se puede dividir en cinco triángulos:

Figura 16.

La suma de los ángulos interiores de un heptágono es igual a 180º · 5 = 900º. Por lo tanto, en el heptágono regular, cada uno de los ángulos interiores vale: 900º : 7 = 128,5714º.

Luego la respuesta a la pregunta que nos hicimos es: No, en la construcción del Disco de Siete Colores no hemos obtenido exactamente un heptágono regular. Cada ángulo que forman los papeles se diferencia en 1,7015º del ángulo interior de un auténtico heptágono regular, una diferencia un poco superior al 1%.

Sin embargo, gracias a la flexibilidad y adaptación del papel, apenas se nota la diferencia. Si nos gusta ir al detalle, en la Figura 12, se ve cómo la esquina del papel rojo se monta un poco sobre la del papel verde, lo cual era de esperar si los ángulos son un poco más pequeños que los del heptágono.

Nota: las Figuras 15 y 16 han sido realizadas con el programa Geogebra.

La Espiral de Fibonacci (1) : Dibujo en papel

Cuaderno de bitácora: una de las primeras actividades que hemos propuesto a los grumetes durante el inicio del curso en el Barco Escuela, es la realización de la Espiral de Fibonacci.

Hagamos una pequeña introducción, para que todos los interesados puedan situarse antes de acometer el dibujo de la famosa espiral.

Según los datos históricos, [constratados con la wikipedia], Fibonacci es el apodo de un importante matemático italiano que vivió entre los años 1170 y 1240: Leonardo de Pisa. El padre de Leonardo, Guglielmo, se apodaba Bonaccio, y Fibonacci significa "hijo de Bonaccio". Leonardo era originario de Pisa, como su nombre indica. [La ciudad de Pisa, Italia, es actualmente famosa por la Torre Inclinada; coincidentemente, la Torre empezó a construirse 1173, cuando Leonardo era un niño pequeño, pero su construcción se interrumpió en 1178 cuando sólo se habían terminado tres pisos, y no se retomaría hasta cien años después.]

Guglielmo Bonaccio, el padre de Leonardo, era un importante comerciante, y tenía un puesto de comercio en Bugía, en la actual Argelia. Leonardo acompañó desde muy joven a su padre, viajó por el Mediterráneo y tuvo la oportunidad de aprender matemáticas directamente de maestros árabes, que le enseñaron el sistema decimal posicional de números indoarábigos (el que empleamos en la actualidad). En aquella época, en Europa se utilizaba el sistema de números romanos para hacer todo tipo de cuentas, y Leonardo vio enseguida que el sistema indoarábigo podía ser mucho más sencillo y eficiente que el romano para llevar la contabilidad comercial y para la aritmética en general. En 1202, cuando hubo aprendido lo suficiente, publicó el Liber Abaci (Libro del Ábaco), uno de los libros que han pasado a la historia de las matemáticas.

En el Liber Abaci, Fibonacci introdujo el sistema numérico posicional indoarábigo que usamos hoy en día, describiendo el cero, la notación posicional, la descomposición en factores primos y los criterios de divisibilidad. El libro contiene numerosos problemas aritméticos.

Uno de los problemas del Liber Abaci se ha hecho muy famoso; trata sobre la reproducción de una pareja de conejos. El problema plantea el siguiente enunciado: "Cierto hombre tenía una pareja de conejos en un lugar cerrado y deseaba saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, teniendo en cuenta que de forma natural tienen una pareja en un mes, y que a partir del segundo se empiezan a reproducir".

Razonando esquemáticamente se puede resolver fácilmente el problema. No daremos todo el razonamiento aquí, simplemente diremos que los números de parejas de conejos que hay cada mes forman la siguiente sucesión, que merecidamente se ha llamado sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Como se puede comprobar, la sucesión empieza con 1 y 1 como dos primeros términos, y luego se van sumando cada pareja de términos para dar el siguiente:

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8, etc.

Utilizaremos los términos de la sucesión para hacer una construcción geométrica muy sencilla con ayuda de regla y compás sobre una hoja cuadriculada. La construcción consiste en empezar con dos cuadrados pequeños de lado 1, añadirles un cuadrado de lado 2, luego añadir uno de lado 3, luego otro de lado 5, otro de lado 8, etc. A la vez que añadimos cuadrados, vamos dibujando arcos de circunferencia que atraviesan los cuadrados diagonalmente, y que unidos unos con otros forman una espiral.

A continuación ilustramos el proceso con fotos.

Tomamos una hoja cuadriculada de tamaño folio, colocada en posición apaisada. Si los cuadritos son de 4 milímetros, entonces podemos "centrar" el inicio de la espiral abajo a la izquierda, a 27 cuadritos del margen izquierdo y 18 cuadritos del margen inferior, como se ve en la ilustración.

Debajo del cuadrito original, que representa el primer 1 de la sucesión de Fibonacci, dibujamos otro cuadrito que representa el segundo 1 de la sucesión. En ellos inscribimos el primer arco de la espiral. Para este tamaño tan pequeño es difícil hacerlo con compás, bastará que hagamos el arco a mano, de forma aproximada.
Observemos que los dos cuadritos forman un rectángulo de dimensiones 1×2.

Dibujamos un cuadrado de lado 2 que representa el tercer término de la sucesión de Fibonacci. Dentro de él trazamos un arco de circunferencia, pinchando el compás en la esquina superior derecha del cuadrado 2. La espiral la estamos trazando en el sentido de las agujas del reloj.
El conjunto de los tres cuadrados forman un rectángulo de dimensiones 2×3.

De forma natural, siguiendo el giro de la espiral, trazamos el cuadro de lado 3.
Ahora tenemos un rectángulo 3×5.

Continuamos el giro con el cuadrado de lado 5.
Hemos ampliado el dibujo a un rectángulo 5×8.

Luego el cuadrado de lado 8, y con él un rectángulo total de 8×13.

El cuadrado de lado 13 y un rectángulo total 13×21.

El cuadrado de lado 21 y un rectángulo 21×34.

El cuadrado de lado 34 y un rectángulo total de 34×55. Este es el último que nos cabe en una hoja con cuadrícula de 4 milímetros; si intentamos dibujar otro cuadrado más nos salimos de la hoja.
Podemos observar que si hemos centrado bien el inicio de la espiral, ésta y el rectángulo que la contiene quedan perfectamente centrados en la hoja de papel.

Aquí vemos la espiral de Fibonacci resaltada.

Los investigadores han descubierto una enorme cantidad de propiedades en la sucesión de Fibonacci. Una de ellas es la íntima relación que tienen los términos de la sucesión con la proporción áurea. En efecto, si nosotros procedemos a comparar cada término de la sucesión con el término que le precede, tomando la razón o división entre los dos términos, entonces descubriremos que conforme avanzamos en la sucesión, la razón entre los términos de la sucesión se aproxima al número áureo:

1/1 =1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 = 1.666...
8/5 = 1.6
13/8 = 1.625
21/13 = 1.615384615...
34/21 = 1,619047619...
55/34 = 1,617647058...
89/55 = 1,6181818...
etc.

Recordemos que el número áureo es:

y vale aproximadamente: 1,6180339887...

Cuando hemos ido dibujando los cuadrados, aumentando su tamaño con la suma de los lados de los cuadrados anteriores, también estábamos construyendo rectángulos, como hemos señalado en cada una de las ilustraciones. Estos rectángulos no eran rectángulos áureos, no tenían exactamente las proporciones de los rectángulos áureos, pero conforme aumentamos el tamaño, su proporción se va aproximando a la proporción áurea, del mismo modo que el cociente o proporción entre los términos de la sucesión de Fibonacci se va aproximando al número fi 𝜑.

Ya tenemos nuestro dibujo de la Espiral de Fibonacci. Pero esto no es lo único que podemos contar de la famosa espiral. En una próxima entrada completaremos algunos aspectos interesantes.

Sudoku de letras (9)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  D  E  N  O  R  S  U

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra en plural: los profesores los piden a menudo.

Re Mi Do Do Sol

Cuaderno de bitácora: donde menos se piensa y cuando menos se piensa, salta la liebre matemática.

Hace unos días estaba escuchando el podcast La Órbita de Endor, más concretamente el audio sobre la película Encuentros en la Tercera Fase. Los colaboradores del programa explicaban cómo Steven Spielberg, el director, y John Williams, el compositor de la banda sonora, se ponían de acuerdo para elegir las cinco notas musicales que iban a ser el mensaje de saludo de los extraterrestres a los humanos, y entonces surgió la cuestión matemática. Veamos cómo fue todo el asunto.

Según lo que explica el propio John Williams,

Steven repetía que debían ser cinco notas. Y recuerdo que yo le decía que si podía hacerlo con siete u ocho notas [...] Cinco notas me lo ponían más difícil que siete, ocho o nueve. Le dije a Steven que saldría mejor. Y dijo: "no, ni siquiera debería ser una melodía. Debería ser como llamar al timbre de una puerta, como cuando Avon llama a tu puerta, ya sabes, 'Ding Dong'. No es una melodía, ni siquiera es una frase, sólo intervalos musicales sin ritmo asignado. Sólo cinco notas."

Era muy difícil hacer que la señal tuviera algún sentido musical. Y recuerdo haber escrito puede que 250, 300 de estas cosas. Tuve varias reuniones con Steven para interpretarle todos estos pequeños temas, y no nos decidíamos. Nunca podíamos decir "¡Eureka! ¡Este es exactamente el que queremos!". Me encanta contar esta historia, porque pensé que lo habíamos agotado todo con trescientos ejemplos de variaciones de cinco notas dentro de la escala. Y Steven dijo, "Oh, tiene que haber más. Llamaremos a un amigo mío que es matemático y le preguntaremos cuántas combinaciones de cinco notas dentro de la escala de doce se pueden crear." Entonces el amigo de Steven nos telefoneó una hora después y dijo "aproximadamente 134.000."

Nos dimos cuenta que apenas habíamos empezado a explorar lo que se podía hacer con cinco notas. Así que finalmente, llenos de exasperación, trazamos un círculo alrededor de uno de los temas. Al día siguiente regresamos y probé unas cuantas notas más, y Steven dijo "toca la que circulamos ayer". Y regresamos a aquel tema. Finalmente dijo: "Bueno, supongo que éste es: debe ser el mejor que podemos conseguir."

Bien, la señal se ha hecho muy familiar, lo que me produce satisfacción, porque al principio las cinco notas que finalmente usamos eran tan distantes como todos los otros ejemplos que se nos ocurrieron.

[Este texto ha sido traducido de la página de la Biblioteca de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, y procede de las entrevistas que aparecen en la Edición del Coleccionista de "Encuentros en la Tercera Fase"]

Carátula de la película, extraído de la web de CINeol

Bien, hagamos el papel del amigo matemático de Steven Spielberg, y tratemos de calcular cuántas combinaciones dentro de la escala de doce se pueden crear. El problema es sencillo, un matenavegante con conocimientos elementales de combinatoria debería poder resolverlo en unos minutos.

El problema, tal como está planteado, es ambiguo, porque no especifica si las notas se pueden repetir o no. Veamos los dos casos:

Si las notas se pueden repetir, entonces, entonces tenemos que elegir cinco notas entre doce tonos posibles, (en lenguaje matemático serían variaciones con repetición de doce notas tomadas de cinco en cinco). Es muy sencillo entender que para elegir la primera nota tenemos doce posibilidades, que luego se irán multiplicando por otras doce para elegir la segunda nota, otras doce para la tercera y así hasta cinco veces:

12 · 12 · 12 · 12 · 12 = 248.832 posibles variaciones si las notas se pueden repetir.

Sin embargo es más lógico que las notas no se repitan, (en lenguaje matemático son variaciones sin repetición de doce notas tomadas de cinco en cinco, aunque en textos ingleses aparecen como permutaciones). Entonces tenemos doce posibilidades para elegir la primera nota, una vez elegida nos quedan once posibilidades para la segunda, luego diez posibilidades para la tercera y así hasta cinco veces:

12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 95.040 posibles variaciones si las notas no se pueden repetir

Y aquí viene el misterio:

¿Por qué el amigo matemático de Spielberg tardó una hora en contestar diciendo que había unas 134,000 variaciones, cifra que no coincide con los posibles resultados del problema?

La cifra aportada por el amigo de Spielberg no coincide para nada con ninguna de las dos situaciones planteadas. Como aproximación de cualquiera de ellas es muy errónea. Lo único que coincide de momento es que está entre los dos cálculos, aunque ni siquiera es la media de las dos cantidades.

Si tratamos de modificar ligeramente las condiciones del problema, obtenemos cifras un poco más cercanas a la respuesta del matemático.

Si puede haber hasta un máximo de dos notas iguales, entonces el número sería:

12 · 12 · 11 · 10 · 9 = 142.560, una cifra más cercana a la del matemático, pero que tampoco coincide con ella.

Si puede haber hasta un máximo de tres notas iguales, el número se aleja:

12 · 12 · 12 · 11 · 10 = 190.080.

También hay otro detalle. La variación que eligieron Spielberg y Williams, Re-mi-do-do-sol, no entra dentro de una sola octava, pues el segundo do es una octava inferior al primero. Es decir, entre las variaciones que hemos calculado hasta ahora no se encontraría la que eligieron, porque se sale de la octava. Entonces podemos suponer que en lugar de doce notas ampliamos a trece, y si las notas no se pueden repetir, el número de variaciones sería:

13 · 12 · 11 · 10 · 9 = 154.440, y tampoco coincide con las ciento treinta y cuatro mil que dice Willliams, aunque ya suena más parecido.

¿Planteó el amigo de Spielberg el problema de alguna otra forma distinta? ¿Se equivocó en el planteamiento o en los cálculos? ¿Dio simplemente una respuesta aproximada basada en cálculos mentales? ¿O es que John Williams se equivoca al recordar la cifra dada por el matemático?

Otro detalle que nos llama la atención es que el matemático tardara una hora en devolver la llamada. ¿Por qué tardó tanto? El planteamiento del problema es sencillo e inmediato. ¿Tuvo que hacer los cálculos a mano? Probablemente, pues en aquella época las calculadoras de bolsillo estaban apenas introduciéndose en los mercados. También es posible que se tomara su tiempo informándose en libros de texto, o simplemente que estuviera ocupado haciendo otras cosas y no pudiera devolver la llamada antes.

Hemos tratado en este artículo muchos detalles que sólo pueden interesar a un matenavegante ávido de conocimientos. Todas estas elucubraciones... se perderán como lágrimas en la lluvia... y en la historia del cine ¿quedará registrado sólo el testimonio de John Williams y su cifra misteriosa, sin que nadie se vuelva a preocupar de su justificación?

Notas: Explorando la web, en la página de la Santiago Canyon College, hemos encontrado un tema sobre combinaciones y permutaciones, subido por Joyce Wagner. Uno de los problemas propuestos en el tema es precisamente el que hemos tratado en este artículo:

In western music, an octave is divided into 12 pitches. For the film Close Encounters of the Third Kind, director Steven Spielberg asked composer John Williams to write a five-note theme, which aliens would use to communicate with people on Earth. Disregarding rhythm and octave changes, how many five-note themes are possible if no note is repeated?

[Traducción: En la música occidental, una octava está dividida en 12 tonos. Para el film Encuentros en la Tercera Fase, el director Steven Spielberg le pidió al compositor John Williams que escribiera un tema de cinco notas, que sería usado por los aliens para comunicarse con la gente de la Tierra. Descartando el ritmo y los cambios de octava, ¿cuántos temas de cinco notas son posibles si no se repite ninguna nota?]

La respuesta que aparece en el tema a este ejercicio es la segunda que hemos calculado: 95.040.

[El Problema de la Semana] Un Caso de Identificación

El problema que traemos en esta entrada es el siguiente:

-Me crucé con uno sólo de ellos -dijo Marta-. Con el de barba. ¿Cómo se llama?

-Veamos -contestó Carlos-. Dos de ellos están casados, dos tienen los ojos azules. El único de los tres que lleva barba tiene ojos marrones. La mujer de Daniel es la hermana de Camilo, y el soltero tiene el mismo color de ojos que Javier.

¿Quién es el barbudo?

A continuación de la ilustración, como no podía ser menos, la solución.

Aquí tenemos una ilustración del clásico juego ¿Quién es quién?. En él se hace una correspondencia entre una serie de características y cada uno de los personajes: si es hombre o mujer, el color del pelo, si lleva sombrero, si lleva barba o bigote o no lleva nada, si es calvo, si lleva gafas, si lleva pendientes. Cada personaje tiene una combinación de características que lo hacen único. 

Solución:

Este es uno de los problemas típicos de lógica, en el que hay que ir haciendo corresponder las características a cada uno de los personajes, hasta encontrar la respuesta a lo que nos preguntan.

Tenemos tres personajes, Daniel, Camilo y Javier, y las características a tener en cuenta son: si están casados o no, el color de los ojos y si tienen barba. Los datos que sabemos son los siguientes:

(1) Dos de ellos están casados y uno soltero.
(2) Dos de ellos tienen los ojos azules y uno marrones.
(3) Uno de ellos tiene barba y los otros dos no.
(4) El que tiene barba también tiene los ojos marrones.
(5) La mujer de Daniel es hermana de Camilo.
(6) El soltero tiene el mismo color de ojos que Javier.

Por (5) sabemos que Daniel está casado. Por (1) y (6) sabemos que Javier no es el soltero, luego deducimos que Javier está casado y Camilo es el soltero. Por (2) y por (6) deducimos que Javier y Camilo tienen los ojos azules. Por tanto Daniel tiene los ojos marrones, y por (3) y (4) Daniel es el que tiene barba.

Daniel: casado, ojos marrones, con barba.
Camilo: soltero, ojos azules, sin barba.
Javier: casado, ojos azules, sin barba.

Por tanto el barbudo es Daniel.

Nota: Este problema ha sido extraído del libro de Jaime Poniachik: Situaciones problemáticas.

Sudoku de letras (8)

Regla de este Sudoku: llenar las casillas vacías de forma que en cada fila, en cada columna y en cada caja de 3×3 estén todas las letras del siguiente conjunto:

A  C  D  E  I  O  P  R  V

Una vez resuelto, en la fila central aparecerá una palabra: sagaz, cauto, que sabe prevenir un riesgo.