Kolam (3) : Primeras Variaciones

En las dos primeras entradas sobre kolam hemos visto los kolam básicos trazados sobre tramas cuadradas o rectangulares de puntos pivote, y hemos reflexionado en su relación con el máximo común divisor de dos números. Sin embargo el mundo del kolam es amplio y profundo, y en esta entrada vamos a mostrar algunas variantes que enriquecen las posibilidades de los diseños.

En lugar de dibujar las tramas de pivotes como cuadrados o rectángulos vamos a delimitar otros diseños. El primero de ellos es el diseño en rombo. (En realidad se trata de dibujar tramas cuadradas, pero giradas 45º).

Empezamos con el rombo de lado 2. Veamos la secuencia de ilustraciones:

Figura1.
Esta es la trama en rombo de lado 2

Figura 2.
Siempre, antes de empezar un kolam, tenemos que tener claro cuáles son los puntos x.
Recordemos que los puntos x son aquellos que se encuentran entre dos pivotes adyacentes, en sentido horizontal o vertical.
Las diagonales de puntos x son las que determinan los caminos del kolam.
(Se puede observar que hay exactamente 4 puntos x.)

Figura 3.
Como siempre, empezamos por un punto x cualquiera y nos desplazamos siguiendo una diagonal. Cuando llegamos al borde, donde la diagonal de puntos x se acaba, usamos el pivote para girar hacia otra diagonal.

Figura 4.

Figura 5.

Figura 6.
Después de 4 volutas, nuestra línea regresa al punto de partida y el kolam se completa. Hemos necesitado 1 curva.

Este diseño del kolam rómbico de lado 2 es una curva cerrada bastante simple, que no dudo que muchos de nosotros hemos garabateado más de una vez en algún momento de aburrimiento.

Veamos ahora el rombo de lado 3:

Figura 7.

Figura 8.
En esta ilustración señalamos los puntos x por donde debe pasar el kolam. No es necesario señalarlos, pero sí es imprescindible tener claro cuáles son, para no perder en ningún momento la orientación del dibujo. (En esta trama hay exactamente 16 puntos x.)

Figura 9.
La primera línea del kolam va de esquina en esquina, similar a la del rombo de lado 2 que hemos hecho más arriba.

Figura 10.
El kolam se completa con dos líneas más en forma de "salchicha" que atraviesan el rombo de parte a parte.
En total son 3 curvas.

Si seguimos ampliando el tamaño del rombo, sólo obtenemos dibujos similares, aunque más grandes. Así por ejemplo tenemos el rombo de lado 4:

Figura 11.
Esta es la trama del rombo de lado 4.  (Obsérvese que está formada por 9+16=25 puntos, lo que nos recuerda a la famosa terna pitagórica 3-4-5. Además si contamos los puntos x, son exactamente 36, por tanto las tramas de puntos x son cuadrados pares.)

Figura 12.
Aquí vemos el kolam terminado. Está compuesto por una línea roja cuadrada exterior, y cuatro líneas cerradas "salchichas" en diagonal.
En total se han necesitado 5 curvas.

Siguiendo la progresión que estamos viendo, podemos deducir que cualquier formación de pivotes en rombo de lado n dará lugar a un kolam de 2n−3 curvas, (una curva exterior que pasa por las cuatro esquinas del rombo, y 2n−4 curvas "salchicha" que atraviesan en diagonal la trama).

Pasemos ahora a un tipo de trama ligeramente diferente pero muy interesante. Se trata de una especie de rombo en el que la columna central queda duplicada (así el rombo queda alargado y se puede considerar un comienzo de hexágono).

Veamos el primer rombo alargado de lado 2:

Figura 13.
Esta es la primera trama del rombo alargado de lado 2. Obsérvese que está formado por dos rombos solapados, y está formado por 4+4=8 pivotes.

Figura 14.
Señalamos en esta imagen los puntos x para aclarar el kolam. Hay exactamente 9 puntos x.

Figura 15.
El kolam terminado solo se compone de una curva cerrada que pasa por todos los puntos x.

En este tipo de kolam se puede comprobar que una sola curva pasa por todos los puntos x, sin importar el tamaño del rombo alargado. Veamos el rombo alargado de lado 3.

Figura 16.
Este es el rombo alargado de lado 3. Su trama la forman 9+9=18 pivotes.

Figura 17.
Los puntos x por donde pasa el kolam. Nótese que son exactamente 25.

Figura 18.
El kolam terminado sólo se compone de una línea que pasa por todas las diagonales y rodea a todos los pivotes.

Como último ejemplo, veamos el rombo alargado de lado 4:

Figura 19.
La trama tiene 16+16=32 puntos pivote. Si contásemos los puntos x, veríamos que hay 49 exactamente, es decir, los puntos x van formando cuadrados impares.

Figura 20.
El rombo alargado de lado 4 terminado en una sola línea. Si nos fijamos en él, no es difícil reconocer una distribución semejante a los escaques del ajedrez, cada pivote estaría en una casilla negra, y entre ellos están las casillas vacías blancas.

Estos últimos tipos de kolam recuerdan a ciertos nudos tradicionales. Al comparar kolam con nudos, hay que tener en cuenta que los kolam son curvas planas, mientras que los nudos tienen propiedades tridimensionales. Salvando esta diferencia, podemos encontrar algunos nudos que coinciden en su estructura con este tipo de kolam sobre la trama de rombo alargado.

Uno de ellos es el llamado Nudo Infinito o Nudo Eterno, cuyo trazo coincide con el kolam de la Figura 15:

Figura 21.
El Nudo Infinito o Nudo Eterno.

El Nudo Infinito (shrivatsa en sánscrito) es un nudo simbólico usado en el Budismo Tibetano y pertenece a uno de los Ocho Símbolos Auspiciosos. Es posible encontrarlo en el Tíbet, Mongolia, China y otros lugares del oriente. Al no tener principio ni fin, simboliza la infinita sabiduría de Buda, y también representa la interrelación del camino espiritual, el flujo del tiempo y el movimiento dentro de lo eterno. [Adaptado de la wikipedia]

Otro ejemplo es el siguiente:

Figura 22.
Aquí vemos un plato chino lacado en rojo, de la dinastía Ming. En su centro apreciamos un nudo infinito con estructura similar al kolam de la Figura 20.

Recopilando lo que hemos visto en este artículo, tenemos:

-Kolam sobre tramas de pivotes en forma de rombo, que están formados por varias líneas, y hemos calculado exactamente el número de líneas según el tamaño del kolam.

-Kolam sobre tramas de pivotes en forma de rombo alargado, en ellos el kolam está formado por una sola línea que pasa por todas las diagonales. Hemos encontrado ejemplos de estos kolam en algunos símbolos de culturas antiguas.

-También hemos visto que las tramas de puntos x, tanto en uno como en otro kolam, forman cuadrados intercalados, en los rombos, cuadrados pares, y en los rombos alargados, cuadrados impares.

Continuaremos con más variaciones sobre el kolam en próximas entradas.

Créditos:

Del Nudo Infinito (Figura 21): By Dontpanic (= Dogcow on de.wikipedia) (Own drawing./Eigene Zeichnung.) [Public domain], via Wikimedia Commons.

Del Plato Rojo Lacado (Figura 22): By User:PericlesofAthens [GFDL (http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html) or CC BY-SA 4.0-3.0-2.5-2.0-1.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0-3.0-2.5-2.0-1.0)], via Wikimedia Commons