Cuaderno de bitácora: donde menos se piensa y cuando menos se piensa, salta la liebre matemática.
Hace unos días estaba escuchando el podcast La Órbita de Endor, más concretamente el audio sobre la película Encuentros en la Tercera Fase. Los colaboradores del programa explicaban cómo Steven Spielberg, el director, y John Williams, el compositor de la banda sonora, se ponían de acuerdo para elegir las cinco notas musicales que iban a ser el mensaje de saludo de los extraterrestres a los humanos, y entonces surgió la cuestión matemática. Veamos cómo fue todo el asunto.
Según lo que explica el propio John Williams,
Steven repetía que debían ser cinco notas. Y recuerdo que yo le decía que si podía hacerlo con siete u ocho notas [...] Cinco notas me lo ponían más difícil que siete, ocho o nueve. Le dije a Steven que saldría mejor. Y dijo: "no, ni siquiera debería ser una melodía. Debería ser como llamar al timbre de una puerta, como cuando Avon llama a tu puerta, ya sabes, 'Ding Dong'. No es una melodía, ni siquiera es una frase, sólo intervalos musicales sin ritmo asignado. Sólo cinco notas."
Era muy difícil hacer que la señal tuviera algún sentido musical. Y recuerdo haber escrito puede que 250, 300 de estas cosas. Tuve varias reuniones con Steven para interpretarle todos estos pequeños temas, y no nos decidíamos. Nunca podíamos decir "¡Eureka! ¡Este es exactamente el que queremos!". Me encanta contar esta historia, porque pensé que lo habíamos agotado todo con trescientos ejemplos de variaciones de cinco notas dentro de la escala. Y Steven dijo, "Oh, tiene que haber más. Llamaremos a un amigo mío que es matemático y le preguntaremos cuántas combinaciones de cinco notas dentro de la escala de doce se pueden crear." Entonces el amigo de Steven nos telefoneó una hora después y dijo "aproximadamente 134.000."
Nos dimos cuenta que apenas habíamos empezado a explorar lo que se podía hacer con cinco notas. Así que finalmente, llenos de exasperación, trazamos un círculo alrededor de uno de los temas. Al día siguiente regresamos y probé unas cuantas notas más, y Steven dijo "toca la que circulamos ayer". Y regresamos a aquel tema. Finalmente dijo: "Bueno, supongo que éste es: debe ser el mejor que podemos conseguir."
Bien, la señal se ha hecho muy familiar, lo que me produce satisfacción, porque al principio las cinco notas que finalmente usamos eran tan distantes como todos los otros ejemplos que se nos ocurrieron.[Este texto ha sido traducido de la página de la Biblioteca de la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, y procede de las entrevistas que aparecen en la Edición del Coleccionista de "Encuentros en la Tercera Fase"]
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| Carátula de la película, extraído de la web de CINeol |
Bien, hagamos el papel del amigo matemático de Steven Spielberg, y tratemos de calcular cuántas combinaciones dentro de la escala de doce se pueden crear. El problema es sencillo, un matenavegante con conocimientos elementales de combinatoria debería poder resolverlo en unos minutos.
El problema, tal como está planteado, es ambiguo, porque no especifica si las notas se pueden repetir o no. Veamos los dos casos:
Si las notas se pueden repetir, entonces, entonces tenemos que elegir cinco notas entre doce tonos posibles, (en lenguaje matemático serían variaciones con repetición de doce notas tomadas de cinco en cinco). Es muy sencillo entender que para elegir la primera nota tenemos doce posibilidades, que luego se irán multiplicando por otras doce para elegir la segunda nota, otras doce para la tercera y así hasta cinco veces:
12 · 12 · 12 · 12 · 12 = 248.832 posibles variaciones si las notas se pueden repetir.
Sin embargo es más lógico que las notas no se repitan, (en lenguaje matemático son variaciones sin repetición de doce notas tomadas de cinco en cinco, aunque en textos ingleses aparecen como permutaciones). Entonces tenemos doce posibilidades para elegir la primera nota, una vez elegida nos quedan once posibilidades para la segunda, luego diez posibilidades para la tercera y así hasta cinco veces:
12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 95.040 posibles variaciones si las notas no se pueden repetir
Y aquí viene el misterio:
¿Por qué el amigo matemático de Spielberg tardó una hora en contestar diciendo que había unas 134,000 variaciones, cifra que no coincide con los posibles resultados del problema?
La cifra aportada por el amigo de Spielberg no coincide para nada con ninguna de las dos situaciones planteadas. Como aproximación de cualquiera de ellas es muy errónea. Lo único que coincide de momento es que está entre los dos cálculos, aunque ni siquiera es la media de las dos cantidades.
Si tratamos de modificar ligeramente las condiciones del problema, obtenemos cifras un poco más cercanas a la respuesta del matemático.
Si puede haber hasta un máximo de dos notas iguales, entonces el número sería:
12 · 12 · 11 · 10 · 9 = 142.560, una cifra más cercana a la del matemático, pero que tampoco coincide con ella.
Si puede haber hasta un máximo de tres notas iguales, el número se aleja:
12 · 12 · 12 · 11 · 10 = 190.080.
También hay otro detalle. La variación que eligieron Spielberg y Williams, Re-mi-do-do-sol, no entra dentro de una sola octava, pues el segundo do es una octava inferior al primero. Es decir, entre las variaciones que hemos calculado hasta ahora no se encontraría la que eligieron, porque se sale de la octava. Entonces podemos suponer que en lugar de doce notas ampliamos a trece, y si las notas no se pueden repetir, el número de variaciones sería:
13 · 12 · 11 · 10 · 9 = 154.440, y tampoco coincide con las ciento treinta y cuatro mil que dice Willliams, aunque ya suena más parecido.
¿Planteó el amigo de Spielberg el problema de alguna otra forma distinta? ¿Se equivocó en el planteamiento o en los cálculos? ¿Dio simplemente una respuesta aproximada basada en cálculos mentales? ¿O es que John Williams se equivoca al recordar la cifra dada por el matemático?
Otro detalle que nos llama la atención es que el matemático tardara una hora en devolver la llamada. ¿Por qué tardó tanto? El planteamiento del problema es sencillo e inmediato. ¿Tuvo que hacer los cálculos a mano? Probablemente, pues en aquella época las calculadoras de bolsillo estaban apenas introduciéndose en los mercados. También es posible que se tomara su tiempo informándose en libros de texto, o simplemente que estuviera ocupado haciendo otras cosas y no pudiera devolver la llamada antes.
Hemos tratado en este artículo muchos detalles que sólo pueden interesar a un matenavegante ávido de conocimientos. Todas estas elucubraciones... se perderán como lágrimas en la lluvia... y en la historia del cine ¿quedará registrado sólo el testimonio de John Williams y su cifra misteriosa, sin que nadie se vuelva a preocupar de su justificación?
El problema, tal como está planteado, es ambiguo, porque no especifica si las notas se pueden repetir o no. Veamos los dos casos:
Si las notas se pueden repetir, entonces, entonces tenemos que elegir cinco notas entre doce tonos posibles, (en lenguaje matemático serían variaciones con repetición de doce notas tomadas de cinco en cinco). Es muy sencillo entender que para elegir la primera nota tenemos doce posibilidades, que luego se irán multiplicando por otras doce para elegir la segunda nota, otras doce para la tercera y así hasta cinco veces:
12 · 12 · 12 · 12 · 12 = 248.832 posibles variaciones si las notas se pueden repetir.
Sin embargo es más lógico que las notas no se repitan, (en lenguaje matemático son variaciones sin repetición de doce notas tomadas de cinco en cinco, aunque en textos ingleses aparecen como permutaciones). Entonces tenemos doce posibilidades para elegir la primera nota, una vez elegida nos quedan once posibilidades para la segunda, luego diez posibilidades para la tercera y así hasta cinco veces:
12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 95.040 posibles variaciones si las notas no se pueden repetir
Y aquí viene el misterio:
¿Por qué el amigo matemático de Spielberg tardó una hora en contestar diciendo que había unas 134,000 variaciones, cifra que no coincide con los posibles resultados del problema?
La cifra aportada por el amigo de Spielberg no coincide para nada con ninguna de las dos situaciones planteadas. Como aproximación de cualquiera de ellas es muy errónea. Lo único que coincide de momento es que está entre los dos cálculos, aunque ni siquiera es la media de las dos cantidades.
Si tratamos de modificar ligeramente las condiciones del problema, obtenemos cifras un poco más cercanas a la respuesta del matemático.
Si puede haber hasta un máximo de dos notas iguales, entonces el número sería:
12 · 12 · 11 · 10 · 9 = 142.560, una cifra más cercana a la del matemático, pero que tampoco coincide con ella.
Si puede haber hasta un máximo de tres notas iguales, el número se aleja:
12 · 12 · 12 · 11 · 10 = 190.080.
También hay otro detalle. La variación que eligieron Spielberg y Williams, Re-mi-do-do-sol, no entra dentro de una sola octava, pues el segundo do es una octava inferior al primero. Es decir, entre las variaciones que hemos calculado hasta ahora no se encontraría la que eligieron, porque se sale de la octava. Entonces podemos suponer que en lugar de doce notas ampliamos a trece, y si las notas no se pueden repetir, el número de variaciones sería:
13 · 12 · 11 · 10 · 9 = 154.440, y tampoco coincide con las ciento treinta y cuatro mil que dice Willliams, aunque ya suena más parecido.
¿Planteó el amigo de Spielberg el problema de alguna otra forma distinta? ¿Se equivocó en el planteamiento o en los cálculos? ¿Dio simplemente una respuesta aproximada basada en cálculos mentales? ¿O es que John Williams se equivoca al recordar la cifra dada por el matemático?
Otro detalle que nos llama la atención es que el matemático tardara una hora en devolver la llamada. ¿Por qué tardó tanto? El planteamiento del problema es sencillo e inmediato. ¿Tuvo que hacer los cálculos a mano? Probablemente, pues en aquella época las calculadoras de bolsillo estaban apenas introduciéndose en los mercados. También es posible que se tomara su tiempo informándose en libros de texto, o simplemente que estuviera ocupado haciendo otras cosas y no pudiera devolver la llamada antes.
Hemos tratado en este artículo muchos detalles que sólo pueden interesar a un matenavegante ávido de conocimientos. Todas estas elucubraciones... se perderán como lágrimas en la lluvia... y en la historia del cine ¿quedará registrado sólo el testimonio de John Williams y su cifra misteriosa, sin que nadie se vuelva a preocupar de su justificación?
Notas: Explorando la web, en la página de la Santiago Canyon College, hemos encontrado un tema sobre combinaciones y permutaciones, subido por Joyce Wagner. Uno de los problemas propuestos en el tema es precisamente el que hemos tratado en este artículo:
In western music, an octave is divided into 12 pitches. For the film Close Encounters of the Third Kind, director Steven Spielberg asked composer John Williams to write a five-note theme, which aliens would use to communicate with people on Earth. Disregarding rhythm and octave changes, how many five-note themes are possible if no note is repeated?
[Traducción: En la música occidental, una octava está dividida en 12 tonos. Para el film Encuentros en la Tercera Fase, el director Steven Spielberg le pidió al compositor John Williams que escribiera un tema de cinco notas, que sería usado por los aliens para comunicarse con la gente de la Tierra. Descartando el ritmo y los cambios de octava, ¿cuántos temas de cinco notas son posibles si no se repite ninguna nota?]
La respuesta que aparece en el tema a este ejercicio es la segunda que hemos calculado: 95.040.
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